Hoofdstuk 1. Deelbaarheid

Transcriptie

1 Getltheoe

2 Hoofdstuk Deelbhed Dele e veelvoud Stel e b zj gehele getlle met b 0 Bj delg v doo b oeme we het deeltl e b de dele Pe defte s deelb doo b ls e slechts ls e ee geheel getl k bestt zodt kb We zegge b s ee dele v, s ee veelvoud v b, of kotweg b deelt We otee: b Als ee getl ee veelvoud s v oeme we dt getl eve I het dee gevl oeme we het getl oeve Gevolge 0 s deelb doo elk geheel getl Immes, voo elk geheel getl bestt e ee getl k zodt 0 k, meljk k 0 Als e b ostef zj met 0 e b, d geldt dt b Wt kb e omdt 0 s k 0, zodt b k 3 Als e b ostef zj zodt b e b, d geldt b Wt ut het tweede gevolg wete we dt b e b, dus b 4 Als twee osteve getlle e b dezelfde deles hebbe, d zj ze geljk Wt omdt geldt d b Aloog geldt dt b Ut het dede gevolg wete we d dt b Oefeg Stel dt b e b c Too dt c Oefeg Bel lle gehele deles v 0, 7, 4, 3 e 50 Lee combte Als x e y gehele getlle zj, oeme we x by ee lee combte v e b Voobeeld Bewjs dt ls d e d b, d d x by voo lle gehele getlle x e y Olossg Ut d e d b volgt dt md e b d Dus x+by = mdx+dy =(mx+y)d Bjgevolg s x by deelb doo d Rest e quotët Voo lle gehele getlle e b met b 0 bestt e just éé koel gehele getlle ( q, ) wvoo qb e 0 b q oeme we d het quotët e de est v bj delg doo b Voo de est zegge we ook wel modulo b s De est v ee getl bj delg doo oeme we ook de tet v Oefeg Bewjs dt het quotët e de est bj delg v doo b uek zj Veodestel dt e twee quotëte zj met bjbehoede est, zeg ( q, ) e ( q, ) A Too dt deelb s doo b B Too dt e et bede gote d 0 e klee d b kue zj Bjgevolg zj est e quotët uek Oefeg Bel est e quotët bj delg v A 6 doo 0

3 B 00 doo 7 C 5 doo 8 D 50 doo 9 Oefeg (VWO 03 ode vg 7) Als je 0! deelt doo 9! kjg je ls est A 0 B C 8 D 9 E 0 Gootste gemee dele Twee getlle hebbe gemeescheljke deles s bjvoobeeld ee dele v elk getl De gootste gemee dele d v twee gehele getlle e b, de et bede 0 zj, s het gootste geheel getl dt ee dele s v e b We otee ggd(, b) d Bjvoobeeld: ggd(6,0), ggd(0,5) 5, ggd(, 6) 4 De gootste gemee dele v ee wllekeug tl gehele getlle defëe we loog ls het gootste geheel getl dt ee dele s v elk v de getlle Bjvoobeeld: ggd(5,,3) 3 Als ggd( b, ) d oeme we e b odelg odeelb, coem of eltef em Als,,, gehele getlle zj zodt ggd (, j ) voo lle j, d oeme we,,, sgewjs eltef em Voobeeld 3 Bewjs dt ggd (, b) ggd (, b ) voo elk geheel getl Olossg We toe dt d ee dele s v ggd( b, ) ls e slechts ls d ee dele s v ggd(, b ) Als d ggd(, b ), d d e d b, zodt d b- = b-, dus d ggd(, b ) Als d ggd(, b ), d d ( b ) = b dus d ggd(, b ) De getlle ggd( b, ) e ggd(, b ) hebbe dezelfde deles e zj dus geljk Stellg v Bézout Als e b gehele getlle zj s ggd( b, ) te schjve ls lee combte v e b Oefeg Bewjs de stellg v Bézout Noem V de vezmelg v lle lee combtes v e b A Too dt V ee getl bevt dt gote s d 0 Bjgevolg heeft V ee kleste stkt ostef elemet, zeg d Noem q het quotët e de est v bj delg doo d B Too dt ee lee combte s v e b C Too dt 0 We hebbe dus dt d Aloog geldt dt d b d s dus ee gemeescheljke dele v e b Stel dt c ook ee gemeescheljke dele s v e b D Too dt c d, e dt c d Bjgevolg s d de gootste gemee dele v e b, e s d te schjve ls lee combte Gevolge Als c e c b, d c ggd(, b ) Wt c deelt elke lee combte v e b, dus c deelt ook ggd( b, )

4 ggd( b, ) de klest mogeljke stkt osteve lee combte s v e b Wt ggd( b, ) deelt e b, dus ggd( b, ) deelt elke lee combte x by v e b Bjgevolg geldt dt ls x by 0, d ggd (, b) x by Voobeeld 4 Stel dt ggd( b, ) e bc Bewjs dt c Olossg Omdt ggd( b, ) best e x e y zodt x by Dus xc byc c Omdt bc s bc k D s xc yk c, of dus ( xc yk) c Dus c Oefeg Stel dt c e b c e ggd( b, ) Bewjs dt b c Oefeg Stel dt ggd( b, ) Too dt ggd(, c) ggd(, bc) Oefeg Stel d s ee geheel getl A Bewjs dt ggd( d, db) d ggd(, b) Stel u d ggd (, b) b B Bewjs dt ggd, d d Oefeg Stel dt ggd( b, ) Bewjs dt ggd( b, b ) {, } Oefeg Stel dt ggd( b, ) Bewjs dt ggd( b, b b ) {, 3} Oefeg Bewjs de volgede velgemeg v de stellg v Bézout Als,,, gehele getlle zj, d k ggd(,,, ) gescheve wode ls lee combte v,,, Oefeg (IMO 959 dg vg ) Bewjs dt de beuk getl veeevoudgb s voo gee ekel tuuljk Oefeg Bewjs dt ggd (3,6 ) Oefeg Bewjs dt ggd(, ) Algotme v Eucldes Het lgotme v Eucldes s ee techek om de gootste gemee dele v twee getlle te bele Het mkt gebuk v het ce ut voobeeld 3 Als de est s bj delg v b doo, d geldt dt ggd (, b) ggd (, ) Om ggd( b, ) te beekee voo gegeve getlle e b met b beeke je de est bj delg v b doo e je zoekt d ggd (, ) Doo dt te hehle bekom je steeds kleee getlle totdt e ggd ( d,0) komt te st D geldt dt ggd (, b) d Zo vde we bjvoobeeld dt ggd (459,34) ggd (7,34) ggd (7,08) ggd (9,08) ggd (9,0) 9

5 Deze wekwjze kue we ook otee het zogemde ekeschem v Eucldes Eest otee we het gootste v de twee getlle lks het mdde e dst het kleste Vevolges bele we het quotët bj delg v het gootste doo het kleste Dt otee we bove de dele D beekee we het oduct v het quotët met de dele, e dt otee we ode het deeltl D tekke we het bekome oduct f v het deeltl e hebbe we de est Dt oces hehle we, met de est ls euwe dele e de voge dele ls deeltl We bljve dt hehle totdt e 0 ls est komt te st De ltste dele s d de gootste gemee dele Gevolg We hebbe ee me om de gootste gemee dele v twee getlle te schjve ls lee combte Dt llustee we met het bovestde voobeeld Als we de eeste delg utvoee bekome we dt de est geljk s Dt veschl weke we et ut e lte we zo st Bj de tweede delg vde we ls est He vevge we 7 doo e we schjve 08 ls lee combte v 459 e 34, meljk ( ) We doe hetzelfde voo 9 e we vde ( ) ( ) We hebbe 9 dus gescheve ls lee combte v 459 e 34 Lee dohtsche vegeljkg Ee dohtsche vegeljkg s ee vegeljkg éé of meedee vbele wbj we zoeke gehele olossge voo de vbele Ee lee dohtsche vegeljkg s ee vegeljkg v de vom x by c, wbj, b e c gehele getlle zj e we olossge gehele getlle zoeke voo x e y

6 Oefeg Vd lle mogeljke olossge v de dohtsche vegeljkg x by c Stel dt zo' dohtsche vegeljkg ee olossg heeft A Too dt ggd(, b) c Ide e ee olossg s, geldt dus dt ggd(, b) c Bjgevolg kue we c schjve ls lee combte v e b V het ekeschem v Eucldes bele we d getlle x 0 e y 0 zodt x0 by0 c Dt geeft l éé olossg voo x e y Stel u d ggd (, b) Stel dt x e y olossge zj We kue zegge dt x x 0 m e y y 0 B Too dt m b b C Too dt m d kb Bjgevolg s m d k D Too dt d kb k De lgemee olossg s dus x x 0 e y y 0 d d Voobeeld Bel lle olossge voo x e y v de vegeljkg 4x 0y 6 Olossg We schjve eest ggd (4, 0), of dus ggd (4,0), ls lee combte v 4 e 0 v het ekeschem v Eucldes We vde ggd (4,0) ( 4 0) 4 50, of dus 4 5( 0) Om 6 te schjve ls lee combte vde we d ( 0) We hebbe dus dt x 6 e y k ( 0) De lgemee olossg s d x x0 6 5k e k 4 y y0 5 k, met k ee wllekeug geheel getl Oefeg Bel lle olossge voo x e y v de vegeljkg 5x 4y 8 Kleste gemee veelvoud Het kleste gemee veelvoud k v twee gehele getlle e b s het kleste tuuljk getl, gote d 0, dt ee veelvoud s v e b We otee kgv(, b) k Bjvoobeeld: kgv(8,6) 4, kgv(,5) 0, kgv( 0, 8) 90 Het kleste gemee veelvoud v ee wllekeug tl gehele getlle defëe we loog ls het kleste tuuljk getl, gote d 0, dt ee veelvoud s v elk v de getlle Bjvoobeeld: kgv(,5, 6) 60 Voobeeld Stel dt c e b c Bewjs dt Olossg Stel kgv(, b) kgv (, b) c k, e q e zj het quotët e de est v c bj delg doo k, dus k

7 D s c qk Omdt c e k s c m e k x, zodt c qk ( m qx) Dus Aloog geldt dt b s dus ee veelvoud v e v b M k e k s het kleste stkt ostef getl dt ee veelvoud s v e v b D moet 0, dus k c Pemgetlle Ee emgetl s ee ostef geheel getl dt eces osteve deles heeft Bjgevolg zj deze deles e We zegge ook wel s em Als ee getl gote s d e gee emgetl s, d oeme we dt getl smegesteld Als ee emgetl ee dele s v ee getl, d zegge we ook wel s ee emdele v Voobeeld Als e q emgetlle zj, bewjs dt ggd( q, ) Olossg E geldt dt ggd(, q), dus de ggd( q, ) of ggd(, q) Adezjds geldt dt ggd(, q) q, dus ggd( q, ) of ggd(, q) q De ege mogeljkhed s dus dt ggd( q, ) Oefeg Zj ee emgetl Too dt voo elke met 0 Hoofdstellg v de ekekude Elk tuuljk getl gote d s o ee ueke me te schjve ls het oduct v emgetlle, wbj,,, emgetlle zj met e,,, tuuljke getlle gote d 0 Dt oduct oeme we de emotbdg of emfctoste v Oefeg Bewjs dt e voo elk tuuljk getl met ee otbdg bestt emgetlle We bewjze dt v volledge ducte Bssst E bestt ee emotbdg voo, wt s ee emgetl Iductest Veodestel dt e dt lle getlle klee d ee emotbdg hebbe A Too dt ee emotbdg heeft ls ee emgetl s B Too dt ee emotbdg heeft ls ee smegesteld getl s Het bewjs volgt u v volledge ducte Oefeg Bewjs dt de emotbdg uek s Stel s het kleste tuuljk getl gote d dt gee ueke emotbdg heeft Dus q q q s A Too dt q s et de j,,, vookomt q s s ee dele v e dus v B Too dt q s ee dele s v 3 C Hehl deze wekwjze e too dt q s ee dele moet zj v Bjgevolg s het omogeljk dt gee ueke emotbdg heeft

8 Gevolge De gootste gemee dele v twee tuuljke getlle s het oduct v lle emfctoe met hu klest vookomede exoet I fomulevom, ls x e y tuuljke getlle zj met x e b b b y m(, b ) m(, b ) m(, b), d geldt ggd( x, y) Het kleste gemee veelvoud v twee tuuljke getlle s het oduct v lle emfctoe met hu hoogst vookomede exoet I fomulevom, ls x e y tuuljke getlle zj met x e b b b y mx(, b ) mx(, b ) mx(, b), d geldt kgv( x, y) Oefeg Beeke de gootste gemee dele e het kleste gemee veelvoud v A 75 e 60 B 000 e C 30 e 40 Oefeg Bewjs dt e oedg veel emgetlle best Veodestel dt e slechts ee edg tl emgetlle bestt Noem de emgetlle,,, Beschouw u het getl x A Too dt x gee emgetl s B Too dt x et deelb s doo ee emgetl Bjgevolg heeft x gee emotbdg, dus het s omogeljk dt e slechts ee edg tl emgetlle bestt Oefeg Too dt ggd(, b ) (ggd(, b)) voo elk tuuljk getl Oefeg Too dt ggd(, b) kgv(, b) b voo lle tuuljke getlle e b Oefeg Too dt met ee volkome kwdt s ls e slechts lle emfctoe v tot ee eve mcht vookome de emotbdg Oefeg Vd lle emgetlle, q e zodt q e q Atl deles v ee tuuljk getl Als ee tuuljk getl s met emotbdg osteve deles ( ) v geljk ( )( ) ( ) Oefeg Too de fomule voo ( ) Oefeg Hoeveel gehele deles heeft 0 0?, d s het tl Oefeg Welke tuuljke getlle hebbe eces 0 osteve deles? Oefeg Too dt ee tuuljk getl gote d 0 ee oeve tl deles heeft ls e slechts ls dt getl ee volkome kwdt s

9 Som v de deles v ee tuuljk getl Als s ee tuuljk getl s met emotbdg v de osteve deles v geljk, d s de som ( ) of dus ( )( ) ( ) Oefeg Too de fomule voo ( ) Oefeg Bel de som v de osteve deles v Oefeg Bel de som v de osteve deles v 000 Oefeg Zj ee oeve tuuljk getl Too dt som v de osteve deles v oeve s ls e slechts ls ee volkome kwdt s Otbde Otbde s het omzette v ee som ee oduct Het s ee hdge techek om dohtsche vegeljkge o te losse Het voodeel v de otte ls oduct s dt de fctoe ee getl odele deles Voobeelde v otbdge zj 3 3 b ( b)( b), b ( b)( b b ) e b b ( )( b ) Oefeg Otbd fctoe A b b b B 3 4b b 6 3 C b b b b 4 4 D 4b E b c 3bc Oefeg Vd lle tuuljke getlle e emgetlle zodt Oefeg Vd lle gehele getlle e b zodt b b Oefeg (JWO 00 fle vg ) Vd lle gehele getlle e b zodt 6 b Oefeg Zj ee emgetl Vd lle tuuljke getlle e b zodt b b Oefeg Vd lle emgetlle e tuuljke getlle zodt 8 7 Oefeg Vd lle tuuljke getlle zodt 7 9 Oefeg Ee emgetl v de vom oeme we ee Meseeemgetl Stel dt ee emgetl s Too dt ee emgetl s

10 Oefeg Ee emgetl v de vom oeme we ee Femtemgetl Stel dt ee emgetl s Too dt ee mcht v s Oefeg Vd lle tuuljke getlle e emgetlle e q zodt q Oefeg Voo welke tuuljke getlle s 4 4 ee emgetl? Ogeljkhede Het k gebeue dt ee dohtsche vegeljkg gee olossge heeft omdt het ee ld steeds gote s d het dee Het volstt dt v de ogeljkhed bewjze om te toe dt e gee olossge zj Voobeeld Vd lle tuuljke getlle, b e c zodt! b! c! Olossg Stel eest dt b D s! c! We ze dt 0 e ee olossg geve Stel u Omdt c e e c tuuljke getlle zj, s c D s c! ( )! ( )! ( )!! Het s dus omogeljk dt! c! omdt c! steeds gote s Stel u b Als, b kjge we teug de olossg c Stel dus b Omdt c!! b! b! s c gote d b We ze dt c! ( b )! ( b ) b! ( ) b!! b!, dus s het omogeljk dt! b! c! omdt c! steeds gote s De ege olossge zj dus de met, b e c Oefeg (CMO 983 vg ) Vd lle tuuljke getlle w, x, y, z de voldoe w! x! y! z! Oefeg Vd lle tuuljke getlle, b e c zodt b c b c Idcto De dcto of totët v ee tuuljk getl s het tl tuuljke getlle gote d 0 e klee of geljk dt eltef em s met We otee (), w de Eule totët fucte of h fucte s Als, d s ( ) ( ) ( ) ( ) Oefeg Too de fomule voo () Stel s ee emdele v A Wt s de ks dt ee tuuljk getl gote d 0 e klee of geljk et deelb s doo? Stel s de emotbdg v B Wt s de ks dt ee tuuljk getl gote d 0 e klee of geljk deelb s doo gee ekele emdele v? C Bel het tl tuuljke getlle gote d 0 e klee of geljk dt eltef em s met

11 Oefeg Too dt () eve s voo Oefeg Bel lle tuuljke getlle zodt ( ) 8 Oefeg Bel lle tuuljke getlle zodt ( ( ( ))) ee emgetl s Oefege Oefeg Too dt kgv(, ) Oefeg (CMO 978 vg ) Vd lle koels ( b, ) v tuuljke getlle de voldoe 3 3b Oefeg (VWO 03 fle vg ) Ee getl v zes cjfes s evewchtg wee lle cjfes veschlled zj v ul e de som v de eeste de cjfes geljk s de som v de ltste de cjfes Bewjs dt de som v lle evewchtge getlle v zes cjfes deelb s doo 3 Oefeg (JWO 009 fle vg ) Zoek het kleste tuuljk getl zodt ee volkome kwdt s Oefeg (JWO 007 fle vg 3) Wt s het kleste getl xyz bestde ut 3 veschllede cjfes x, y e z elk veschlled v 0 zodt het gemddelde v de getlle xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx ee tuuljk getl s dt edgt o 0? Oefeg (VWO 99 fle vg ) Too dt het getl, gevomd doo 99 kee het cjfe elk te schjve, et em s Oefeg (JWO 0 fle vg 3) Ee tuuljk getl s m ls ede deel v het getl, bestde ut oeevolgede cjfes ev, zelf ee emgetl s Bel lle mgetlle Oefeg (IMO 007 dg vg 4) Vd het tl ulle o het ede v 007!, e vd ook het ltste cjfe dt et 0 s Oefeg (BMO 003 ode vg ) Stel 34! cd b Bel de cjfes, b, c e d Oefeg (IMO 007 dg vg ) Vd lle koels emgetlle (, q) zodt q 6 e q 7 Oefeg (JWO 03 fle vg ) Bel het tuuljk getl zodg dt

12 Oefeg Bewjs dt voo tuuljke getlle x e y geldt dt 7 x 3y ls e slechts ls 7 9x 5y Oefeg (NWO 007 vg 4) Voo hoeveel tuuljke getlle met 00 geldt dt ee volkome kwdt s? Oefeg (JWO 004 fle vg 4) Vd lle koels tuuljke getlle ( b, ) zodt b 004 Oefeg (NWO 98 ode vg 4) Defee Bel 3 ggd(, ) Oefeg (USAMO 97 vg ) Too dt voo tuuljke getlle, b e c geldt dt ggd(, b, c) kgv(, b) kgv( b, c) kgv( c, ) kgv(, b, c) ggd(, b) ggd( b, c) ggd( c, ) Oefeg Vd lle detlle (, b, c,, ) met em zodt b c e b c Oefeg Stel Too dt het tl koels tuuljke getlle ( x, y) dt voldoet kgv ( x, y) geljk s ( ) Oefeg (Pole MO 03 fle vg ) Vd lle gehele getlle xy, zodt 4 3 x y x y Oefeg Voo welke tuuljke getlle s ee emgetl? Oefeg (VWO 009 fle vg ) Ee tuuljk getl heeft ve tuuljke deles:, zchzelf e twee echte deles Dt getl vemeeded met 9 s geljk 7 kee de som v de echte deles Bewjs dt dt getl uek s e zeg welk getl we zochte Oefeg Ee volmkt getl s ee tuuljk getl dt geljk s de som v zj osteve deles, zchzelf et begee Vd de lgemee vom v ee eve volmkt getl Stel s volmkt e eve Dus m x met m 0 e x oeve m A Too dt ( ) ( ) ( x) Omdt volmkt s, s ( ) Stel u y ( x) x B Too dt y x C Too dt y x D Too dt y x et k E Too dt y x et k F Too dt x ee emgetl s e dt x m m m De lgemee vom v ee eve volmkt getl s dus ( ) met m ee emgetl

13 Oefeg (BMO 989 vg ) Vd lle tuuljke getlle de de som zj v de kwdte v hu ve kleste osteve deles Oefeg (APMC 006 dg vg ) Ee geheel getl d 6 s moo ls voo lle gehele getlle xy, geldt dt d ( x y) x y ls e slechts ls d ( x y) x y A Is 9 moo? B Is 006 moo? C Bewjs dt e oedg veel mooe getlle zj m ggd( m, ) Oefeg Stel e m, 0 Too dt ggd(, ) Oefeg (IMOSL 00 vg 0) Zj ee tuuljk getl, met deles d d dk Bewjs dt dd dd3 dk dk ltjd klee s d bel wee het ee dele s v e Oefeg (IMOSL 004 vg 9) Bewjs dt e oedg veel tuuljke getlle best zodt de vegeljkg ( ) gee tuuljk getl ls olossg heeft

14 Hoofdstuk Modul ekee Coguete e estklsse Bj het modul ekee of modulo ekee voee we ee euw beg, coguete Als twee gehele getlle e b dezelfde est hebbe bj delg doo c, d zegge we s coguet met b modulo c e we otee b (mod c) Bjvoobeeld: 5 7 (mod 3), 8 (mod 4) Als ee getl deelb s doo c kue we dus otee 0 (mod c) Het s belgjk om te wete dt dt euw symbool ets mee s d ee hdge otte Het k vk hdg zj om deze otte te velte e b (mod c) te schjve ls b kc Het schjve de vom b kc oeme we "veboge modulo ekee" Ee estklsse modulo ee geheel getl c met c 0 s ee vezmelg v lle gehele getlle de bj delg doo c dezelfde est hebbe, of dus coguet zj modulo c Bjgevolg zj e c estklsse modulo c Voobeeld Bewjs dt b (mod c) ls e slechts ls b 0 (mod c) Olossg We bewjze de egesch twee dele Deel : ls b (mod c) d b 0 (mod c) Stel qc e b qc met 0, c Omdt b (mod c) wete we dt D s b qc qc ( q q) c Dus b 0 (mod c) Deel : ls b 0 (mod c) d b (mod c) Omdt b 0 (mod c) s b kc Stel qc D s b kc ( q k) c b heeft dus dezelfde est ls, dus b (mod c) Oefeg Bewjs de volgede egesche v coguetes A Bewjs dt b (mod c) ls e slechts ls d b d (mod c) voo elk geheel getl d B Stel dt b (mod c) e d e (mod c) Too dt d b e (mod c) C Stel dt b (mod c) Too dt b (mod c) voo elk geheel getl D Stel dt b (mod c) e d e (mod c) Too dt d be (mod c) E Stel dt b (mod c) Too dt b (mod c) voo elk tuuljk getl 0 Oefeg Too telkes met ee voobeeld dt het omgekeede v de egesche B, C, D e E et steeds w s Oefeg Beeke Oefeg Beeke 0 0 mod mod 7 Oefeg Bel het kleste tuuljk getl zodt ee geheel getl s Oefeg Bewjs dt ee tuuljk getl deelb s doo 9 ls e slechts ls de som v zj cjfes deelb s doo 9

15 Oefeg Stel b Bewjs dt voo 0 geldt dt b deelb s doo b, e dt voo oeve getlle geldt dt b deelb s doo b Oefeg Stel d 0 Too dt b (mod c) ls e slechts ls d bd (mod cd) Oefeg Bewjs dt ls ee emgetl s e b (mod ), d geldt dt b (mod ) voo elk tuuljk getl Oefeg Bewjs dt e oedg veel emgetlle v de vom 4k 3 best Ivese Ee getl x oeme we ee vese v modulo b ls e slechts ls x (mod b) Oefeg Bewjs dt ee vese heeft modulo b ls e slechts ls ggd( b, ) A Stel dt ggd( b, ) Too dt ee vese heeft modulo b B Stel dt ee vese heeft modulo b Too dt ggd( b, ) Voobeeld Vd lle tuuljke getlle met 0 7 zodt 6 8 (mod 7) Olossg 6 heeft ee vese modulo 7, bjvoobeeld 3 Weges de egesch ut oefeg 5 geldt dt (mod 7), dus 4 (mod 7) D moet 4 mod 7 7 Oefeg Stel dt ggd( b, ) e b 0 Bewjs dt e voo elk geheel getl c eces éé getl x met 0 x b bestt wvoo x c (mod b) Oefeg Vd lle tuuljke getlle met 0 zodt 9 6 (mod) Oefeg Stel dt ggd (, b) d met b 0 e dt d c Vd het tl gehele getlle x met 0 x b wvoo x c (mod b) Chese eststellg De Chese eststellg zegt dt ls m, m,, m gehele getlle zj de sgewjs eltef em zj, e,,, zj gehele getlle, d best e oedg veel getlle x zodt x (mod m ) voo elke De olossge voo x zj bovede coguet modulo mm m De stellg wodt fgekot ls CRS Oefeg Bewjs de Chese eststellg Stel y mm m qy A Too dt voo elke e getlle e q best zodt m m Stel u qy m

16 B Too dt (mod m) e dt 0 (mod m ) ls j C Too dt x voldoet de voowde D Too dt e oedg veel olossge zj voo x Vevolges bewjze we dt lle olossge voo x coguet zj modulo y Zj x e x twee olossge E Too dt m x x voo elke F Too dt x x (mod y) j Oefeg Too dt e voo elk tuuljk getl 0 ee getl m bestt zodt m e m Oefeg Vd lle gehele getlle x zodt 5x 3 (mod 7) e 6x 8 (mod0) Oefeg Too dt e ee j bestt v 9 oeevolgede tuuljke getlle de elk deelb zj doo de 7 -de mcht v ee tuuljk getl De Chese eststellg k me utbede met ee mee lgemee voowde voo het best v gehele olossge x de voldoe x (mod m ) voo elke Oefeg Stel dt x (mod m ) voo elke Too dt (mod ggd( m, m )) voo lle j j j Oefeg (BSMC 008 vg 4) Bewjs dt e voo elk tuuljk getl k oedg veel ( ) tuuljke getlle best zodt ee geheel getl s, voo elke {,,, k} Kwdtest Stel e b zj gehele getlle met b 0 We zegge dt ee kwdtest s modulo b ls e slechts ls e ee geheel getl x bestt zodt x b (mod ) Ee et-kwdtest modulo b s ee getl dt gee kwdtest s modulo b Ee kwdtestklsse s ee vezmelg v lle gehele getlle wvoo doo c dezelfde est geeft bj delg Voobeeld Too dt gee kwdtest s modulo 3 We bekjke eest wt lle mogeljke kwdteste zj modulo 3 Als b (mod 3), d geldt b (mod 3) Voo elk geheel getl bestt e ee getl b met 0b 3 wvoo b (mod 3), meljk de est v bj delg doo 3 Het volstt dus om de este v 0, e te beekee, wt elk de geheel getl heeft ee kwdt dt coguet s met éé v deze kwdte We ze dt deze este steeds 0 of zj Het s dus omogeljk dt ee kwdtest s modulo 3

17 Oefeg Too dt 0 e de ege kwdteste zj modulo 4 Oefeg Too dt het tl kwdteste modulo ee oeve emgetl e met met 0, geljk s A Too dt het volstt om het tl veschllede este v met 0 te bekjke B Wee geldt dt b ls 0, b? C Too u dt het tl veschllede este geljk s Oefeg Vd lle kwdteste modulo 5 Oefeg Vd de mogeljke este v ee dedemcht modulo 7 Oefeg Too dt oot deelb s doo 3 Oefeg Stel dt 3 b Too dt 9 b Voobeeld Vd lle gehele getlle m e zodt 4m ( m ) Olossg Omdt het lkeld e echteld geljke gehele getlle zj hebbe ze dezelfde est bj delg doo Dt beteket dt et eve k zj, des zou (mod 4) tewjl 4m ( m ) 0 (mod 4) Dus s oeve We bekjke u de vegeljkg modulo 4, dt wl zegge: we beschouwe de este v bede lede bj delg doo 4 Omdt oeve s, s (mod 4) e dus (mod 4) Het echteld s echte coguet met 0 modulo 4 E zj dus gee olossge, omdt het lkeld e echteld omogeljk dezelfde est kue hebbe bj delg doo 4 Omekg Het ljkt mssche veemd om de vegeljkg modulo 4 te beschouwe, omdt d egeljk gee ede toe ws Bj het olosse v ee degeljke vegeljkg k het best gebeue dt je de vegeljkg eest modulo dee getlle beschouwt, e et metee beslute k tekke Het s dus belgjk v et metee o te geve e te bljve obee Voobeeld Vd lle gehele getlle x e y wvoo x 5y Olossg We beschouwe de vegeljkg modulo 5 We bekjke eest wt de mogeljke kwdteste zj modulo 5 : 0 0,,, 3, 4 Mee este hoeve we et te beekee De mogeljke este zj dus 0, e Dus x k modulo 5 ekel coguet zj met 0, 3 e ( ) Het lkeld s echte coguet met modulo 5 Dt beteket dt e gee olossge zj

18 Oefeg Vd lle tuuljke getlle e emgetlle e q zodt q Oefeg Vd lle gehele getlle e met 0 zodt ( ) 3 Oefeg Vd lle olossge gehele getlle v x 4 y 5 Oefeg Bewjs dt voo tuuljke getlle geldt dt Pythgoees detl Ee tuuljk detl ( bc,, ) wvoo ls e slechts ls b c oeme we ee Pythgoees detl Ide geldt dt ggd( bc,, ) oeme we het detl mtef Oefeg Vd lle mteve Pythgoese detlle A Too dt e b et tegeljk oeve kue zj Veodestel u dt b eve s B Too dt ggd( c b, c b) C Too dt e getlle x e y best zodt D Too dt xy, b x y e c x y c b x, c b y e ggd(, ) xy Oefeg Vd ee Pythgoees detl ( bc,, ) met eve, dt et v de vom ( xy, x y, x y ) s Klee stellg v Femt Als ee emgetl s e s ee geheel getl dt gee veelvoud s v, d s (mod ) Oefeg Bewjs de stellg v Femt Beschouw de getlle x, x,, x ( ) A Too dt x xj omogeljk s ls j Beschouw u de este v x modulo Weges het voge zj de dus lleml veschlled B Too dt de este de getlle,,, zj, ee wllekeuge volgode C Defee u y x x x Too dt y ( )! (mod ) D Too dt gee dele s v ( )! E Gebuk vge C e D e too dt (mod ) Oefeg Bewjs dt voo elk geheel getl e elk emgetl geldt dt (mod ) Oefeg Too dt deelb s doo

19 Oefeg Stel s ee emgetl Vd lle tuuljke getlle, klee d zodt Oefeg Vd lle emgetlle e tuuljke getlle e b zodt b Oefeg (BMO 007 vg ) Vd ve emgetlle 00 de deles zj v Ode Stel e b zj gehele getlle Het kleste tuuljk getl met 0 wvoo (mod b) oeme we de ode v modulo b Oefeg Bewjs dt ls ee ode heeft modulo b, d ggd( b, ) Oefeg Stel dt ggd( b, ) Bewjs dt ee ode heeft modulo b A Too dt e tuuljke getlle k e l best met k l zodt k l (mod b) B Too dt e ee tuuljk getl bestt met 0 zodt (mod b) Bjgevolg bestt e ook ee klest mogeljke wde voo e heeft ee ode modulo b Oefeg Stel dt de ode s v modulo b, e dt m ee tuuljk getl s zodt m (mod b) Bewjs dt m Oefeg Zj, b, e q gehele getlle met q, 0 e zj de ode v modulo b Too dt q (mod b) ls e slechts ls q (mod ) Stellg v Eule De stellg v Eule zegt dt ls e gehele getlle zj met ggd(, ) e, d ( ) s (mod ) Oefeg Bewjs de stellg v Eule We bewjze eest v ducte dt de stellg geldt voo A Too dt de stellg geldt voo k ( ) k Veodestel u dt de stellg geldt voo k D s m k k ( ) ( ) B Too dt k ( ) k C Too dt (mod ) Weges ducte geldt de stellg u voo elke Stel ( ) D Too dt (mod ) voo elke ( ) E Too dt (mod ) k Stellg v Wlso Als ee emgetl s, d geldt ( )! (mod ) k k met em e 0 k

20 Oefeg Bewjs de stellg v Wlso De stellg geldt voo Veodestel u dt A Vd lle gehele getlle met 0 zodt (mod ) B Too dt voo elk geheel getl met 0 dt et voldoet vg e ee geheel getl b met 0 b bestt zodt b (mod ) C Too dt ( )! (mod ) Oefeg Too dt! deelb s doo ls ee emgetl s Oefeg Stel s ee oeve emgetl e k s ee tuuljk getl met k k dt ( k )!( k)! ( ) (mod ) Too Oefeg Beeke!! 3! 0! mod Oefeg Stel dt ee oeve emgetl s zodt 3 (mod 4)! (mod ) Too dt Lftg The Exoet Lemm Het Lftg The Exoet Lemm s egeljk ee vezmelg v Lemm s Het wodt fgekot ls LTE Om te bege voee we ekele ottes Stel s ee emgetl e 0 ee tuuljk getl Met v () bedoele we de gootste exoet zodt We otee ook Bjvoobeeld: v (63), v (000) 3 3 Oefeg Too dt v ( m) v ( m) v ( ) 5 Lemm Als gee dele s v, x of y e x y d geldt v ( x y ) v ( x y) Oefeg Bewjs Lemm Lemm Het egeljke LTE Als ee emgetl s zodt gee dele s v x of y e x y, e 0 ee tuuljk getl, d geldt v ( x y ) v ( x y) v ( ) Oefeg Bewjs Lemm We bewjze dt v ducte o v () Bssst We toe het ls v ( ) Stel dus b zodt gee dele s v b A Too dt v ( x y ) v ( x y ) B Too dt x y 0

21 Vevolges toe we dt gee dele s v C Too dt x y x kx (mod ) C Too dt gee dele s v y 0 v ( x y ) v ( x y) D Too dt x Iductest Veodestel dt het lemm geldt voo x y Stel dvoo y x k 0 v ( ) met 0 We toe het lemm u voo v ( ) Stel dus b zodt gee dele s v b E Too dt v ( x y ) v ( x y ) F Too dt v ( x y ) v ( x y ) G Too dt v ( x y ) v ( x y) v ( ) Lemm s u beweze v ducte Lemm 3 LTE voo het gevl Als x e y oeve zj zodt Oefeg Bewjs lemm 3 Stel b met b oeve A Too dt v ( x y ) v ( x y ) B Too dt x y ( x y) ( x y ) k0 4 x y, d geldt v x y ) v ( x y) v ( ) k k C Too dt x y (mod 4) voo k 0 D Too dt v( x y ) v( x y) v( ) Lemm 3 s u beweze k k ( Lemm 4 Als x e y oeve zj e eve, d geldt v x y ) v ( x y) v ( x y) v ( ) Oefeg Bewjs lemm 4 We bewjze dt v ducte o v ( ) Bssst Veodestel dt v ( ) A Too dt v ( x y ) v ( x ) y ( x y ) v( x y) v( x y) v( ) ( B Too dt v Iductest Veodestel dt het geldt voo v ( ) met 0 We toe het lemm u voo v ( ) Stel dus b met b oeve C Too dt v ( x y ) v ( x y ) D Too dt 4 y x E Too dt v ( x y ) v ( x y ) ( x y ) v( x y) v( x y) v( ) F Too dt v Lemm 4 s u beweze v ducte

22 Oefeg Stel, b e zj gehele getlle met b, ggd (, b) e 0 Too dt b ggd b, b Oefeg (EMC 0 vg ) Vd lle tuuljke getlle, b, 0 e emgetlle wvoo geldt dt b Oefeg (BxMO 00 vg 4) Bel lle vetlle (, b,, ) v tuuljke getlle gote d 0 zodt ee emgetl s e 3 3 b Oefege Oefeg Voo ee tuuljk getl wodt de lteeede som v zj cjfes vekege doo de cjfes fwsseled o te telle e f te tekke, beged bj het ltste cjfe Zo s de lteeede som v geljk Bewjs dt ee tuuljk getl deelb s doo ls e slechts ls de lteeede som v zj cjfes deelb s doo Oefeg (CMO 973 vg 3) Bewjs dt ls e emgetlle zj gote d 3, dt 6 ee dele s v Oefeg (CMO 980 vg ) Als 679b ee vjfcjfeg getl s dt deelb s doo 7, bel d e b 555 Oefeg We beschouwe het getl 7 e beekee de som v zj cjfes V deze som beekee we oeuw de som v zj cjfes Dt hehle we tot we ee getl bekome v slechts éé cjfe Wt s dt cjfe? Oefeg (VWO 000 fle vg ) Ee tuuljk getl v zeve veschllede cjfes s deelb doo elk v zj cjfes Welke cjfes kue et dt getl vookome? Oefeg Twee emgetlle e q met q oeme we ee emtweelg A Vd ve emtweelge De emgetlle, q e met q 4 oeme we ee emdelg B Vd lle emdelge Oefeg (VWO 009 fle vg ) O 9/09/009 kome eces 009 Belge sme om het ecod hdjes schudde te vebeke Iedeee schudt ee de eces éé kee de hd Twee v de wezge zj Thoms e Nthle Nthle ze o het ede dt ze 5 kee zoveel Vlmge ls Bussels de hd hd gegeve Thoms twoodde met "Ik heb eces 3 kee zoveel Wle ls Bussels ee hd geschud" Ut welk gewest komt Nthle e ut welk gewest komt Thoms? Oefeg (JWO 008 fle vg ) A K ee getl dt ekel ut zeves bestt deelb zj doo 99? B Motvee of ee getl utsluted bestd ut eges deelb k zj doo

23 Oefeg (JWO 00 fle vg ) Bewjs dt e gee ekel getl bestde ut meedee geljke cjfes elk ee kwdt s Oefeg (Pole MO 998 ode vg ) Bewjs dt e ode de getlle met ee tuuljke getl, oedg veel smegestelde getlle zj 50 (50 ) 50, Oefeg (VWO 00 fle vg ) O hoeveel ulle edgt 0 00? Oefeg Bel lle tuuljke getlle zodt 3 Oefeg Zj, b, d, tuuljke getlle zodt de vese s v e b de vese v modulo d Bewjs dt de vese s v b modulo d Oefeg (VWO 99 fle vg ) Bel voo elk tuuljk getl het gootste k tuuljk getl k zodt 3 Oefeg (CMO 97 vg 6) Too dt voo lle gehele getlle, gee veelvoud s v Oefeg (BMO 006 vg ) Zj ee tuuljk getl gote d 6 Bewjs dt ls zowel ls em zj, dt ( 6) deelb s doo 70 Is het omgekeede w? Oefeg (VWO 00 fle vg ) Too dt voo elk tuuljk getl geldt dt ( ) Oefeg (USAMO 979 vg ) Vd lle 4-tlle v (et oodzkeljk veschllede) tuuljke getlle wvoo de som v de vedemchte 599 s Oefeg Zj 5 ee emgetl Bewjs dt 7 6 deelb s doo 43 Oefeg Bel de de ltste cjfes v het getl Oefeg (VWO 990 fle vg ) Als b twee emgetlle zj met mstes twee 4 4 cjfes, bewjs d dt 40 b, e dt 40 de gootst mogeljke wde hevoo s x y z Oefeg Bel lle tuuljke getlle x, y e z zodt Oefeg Zj P ( ) ee et-costte veeltem met gehele coëffcëte Bewjs dt e oedg veel tuuljke getlle best wvoo P ( ) gee emgetl s Oefeg (USAMO 986 vg 3) Bel het kleste tuuljk getl zodt het ekekudg gemddelde v de getlle,,, zelf ee kwdt s

24 Oefeg Stel 0 s ee veelvoud v 8 met eces m veschllede emdeles Hoeveel olossge modulo heeft de coguete x (mod ) d? Duk je twood ut fucte v m llee Oefeg (BMO 003 vg ) K me 4004 tuuljke getlle vde zodg dt de som v elke 003 v deze getlle et deelb s doo 003? Oefeg (BMO 988 vg 4) Gegeve s de j x 49 Vd lle tuuljke getlle zodg dt x e x elk het oduct zj v eces twee veschllede emgetlle met hetzelfde veschl Oefeg (IMO 999 dg vg ) Bel lle e tuuljke getlle e emgetlle wvoo e ( ) Oefeg (IMOSL 99 vg 8) Vd de hoogste wde v k zodt 99 k v ee dele s

25 Hoofdstuk 3 Kwdtsche stellge Legede symbool Het Legede symbool of kwdtsch kkte s ee fucte de ls esultt geeft of ee geheel getl ee kwdtest s modulo ee emgetl We schjve Pe defte s 0 ls, ls ee kwdtest s modulo m gee veelvoud s v, e ls gee kwdtest s modulo Oefeg Too dt 0 Cteum v Eule Het cteum v Eule zegt dt (mod ) Oefeg Bewjs het cteum v Eule A Bewjs het cteum het gevl dt B Bewjs het cteum het gevl dt ee kwdtest s modulo Veodestel u dt gee kwdtest s modulo Too dt voo elk getl x met 0 x e ee y met 0 y bestt zodt xy (mod ) C Too dt ( )! (mod ) Weges de stellg v Wlso geldt u dt (mod ) Dus ook dt gevl geldt het cteum v Eule Oefeg Too dt b b Oefeg Bewjs dt ee kwdtest s modulo ee emgetl ls e slechts ls of (mod 4) Oefeg Too dt e oedg veel emgetlle v de vom 4k best Oefeg Stel dt ee emgetl s e ggd( b, ) Bewjs dt ls ee dele s v b, d (mod 4) Pmteve wotel Als 0 ee tuuljk getl s, d s ee mteve wotel modulo ls e slechts ls de ode v modulo geljk s ()

26 Oefeg Too dt ee mteve wotel s modulo met ls e slechts ls ( ) (mod ) Oefeg Too dt ee mteve wotel s modulo 3, voo Oefeg Stel dt ee mteve wotel s modulo s modulo voo lle m m Bewjs dt ee mteve wotel Oefeg Vd lle tuuljke getlle zodt e ee mteve wotel bestt modulo Stel e veodestel dt e ee mteve wotel bestt modulo A Too dt de getlle em zj B Too dt k, k e Beschouw eest het gevl ( ), ( ),, ( ) sgewjs eltef k, met em e k 0 de ege mogeljkhede zj k C Too dt k gee mteve wotel k hebbe ls k, e dt e 4 ee mteve wotel hebbe k Stel u, e s ee et-kwdtest modulo D Too dt ee mteve wotel s modulo k Stel k E Too dt e ee oeve et-kwdtest bestt modulo F Too dt ee mteve wotel s modulo k Lemm v Guss Stel s ee oeve emgetl e ee geheel getl dt et deelb s doo Beschouw de getlle,,, e hu este bj delg doo Deze este zj lleml veschlled Stel s het tl este de gote zj d Het lemm v Guss zegt dt ( ) Oefeg Bewjs het lemm v Guss Stel y Defee de fucte dx ( ) voo ee geheel getl x met est bj delg doo, zodt d( x) ls 0 e d( x) ls Stel s het tl este v de getlle,,, bj delg doo, de gote zj d A Too dt y ( ) d( ) d( ) d (mod )

27 B Too dt d( v) d( w) met vw, llee k ls v w C Too dt de getlle d( ), d( ),, d geljk zj de getlle,,,, ee wllekeuge volgode D Too dt ( ) (mod ) Het lemm v Guss volgt u ut het cteum v Eule Oefeg Bewjs dt A Too dt B Too dt C Bewjs u dt ( ) ( ) ( ) ( ) ls (mod 4) ls 3 (mod 4) Oefeg Bewjs dt ee kwdtest s modulo ee emgetl ls e slechts ls (mod 8), (mod 8) of Oefeg Zj 3 oeve e zj ee emdele v Bewjs dt (mod 8) Lemm v Eseste Het lemm v Eseste geeft ee lteteve otte voo het Legede symbool Het lemm zegt dt ls ee oeve emgetl s dt gee dele s v ee oeve geheel getl, d geldt ( ) (, ) k met (, ) k Oefeg Bewjs het lemm v Eseste Zj U de vezmelg gehele getlle,,, e stel u We defëe V ls de vezmelg v de este v de getlle ut U bj delg doo Noem de est v u bj delg doo V bevt m getlle b, b,, b m de klee zj d e getlle c, c,, c de gote zj d

28 A Too dt m B Too dt u Noem t de som v de getlle U, x de som v de getlle b e y de som v de getlle c C Too dt t (, ) x y Zj W de vezmelg v de getlle b, b,, b m e c, c,, c D Too dt de getlle W geljk zj de getlle,,, Noem w de som v de getlle W E Too dt w x y F Too dt t w (, ) y G Too dt (, ) (mod ) H Too dt ( ) (, ) Oefeg Zj ee oeve emgetl e ee eve geheel getl, et deelb doo Bewjs dt ( ) (, ) Wet v de kwdtsche ecoctet Voo oeve emgetlle e q geldt dt q ( ) q ( )( q) 4 Oefeg Bewjs de wet v de kwdtsche ecoctet ( )( q) We zulle toe dt (, q) ( q, ) Beschouw de costucte ee 4 othooml ssestelsel zols o de fguu

29 A Too dt e gee oosteute o de schue echte lgge B Too dt het tl oosteute be de odeste dehoek geljk s ( q, ) C Too dt het tl oosteute be de boveste dehoek geljk s ( q, ) ( )( q) D Too dt (, q) ( q, ) 4 E Too dt q ( ) q ( )( q) 4 Oefeg Stel dt e q veschllede emgetlle zj zodt 4 q Bewjs dt q ee kwdtest s modulo ls e slechts ls ee kwdtest s modulo q Oefege Oefeg Zj m e tuuljke getlle Bewjs dt 4m m oot ee volkome kwdt s Oefeg Vd het gootste tuuljk getl zodt q voo lle emgetlle e q zodt mstes 00 cjfes e q mstes 00 cjfes heeft

30 Hoofdstuk 4 Somme v kwdte Stellg v Bhmgut-Fbocc Als ee tuuljk getl het oduct s v twee somme v twee kwdte, d s dt getl ook te schjve ls de som v twee kwdte Dt volgt ut de dettet v Bhmgut- Fbocc, meljk ( b )( c d ) ( c bd) ( d bc) Oefeg Too dt je som v twee kwdte ( b )( c d ) o og ee dee me k schjve ls de Oefeg (VWO 005 vg 3) Ee getl s goed ls het k gescheve wode ls de som v twee veschllede stkt osteve kwdte Ee getl s bete ls dt o mstes twee mee k, e best ls dt o mstes ve mee k A Bewjs dt het oduct v twee goede getlle goed s B Bewjs dt 5 goed s, 005 bete e 005 best Stellg Als ee tuujk getl o twee mee te schjve s ls de som v twee kwdte, d s dt getl ook het oduct v twee somme v twee kwdte Oefeg Bewjs de bovestde stellg Stel s ee tuuljk getl zodt b c d met, b, c, d 0 c b d Stel x e y A Too dt x e y tuuljke getlle zj, evetueel omwssele v c e d B Too dt x y b y x c Stel u ggd( x, y), x, y q C Too dt x c qs e y b s D Too dt qs e b q s e ggd( x c, y b) s E Schjf ls het oduct v twee somme v twee kwdte Oefeg Too dt ee emgetl o hoogstes éé me k wode gescheve ls de som v twee kwdte Keststellg v Femt Ee oeve emgetl k wode gescheve ls de som v twee kwdte ls e slechts ls (mod 4) Tweekwdtestellg

31 Ee getl k wode gescheve ls de som v twee kwdte ls e slechts ls lle emdeles v de vom 4k 3 de emotbdg v dt getl tot ee eve mcht vookome Oefeg Bewjs de tweekwdtestellg A Too dt ls ee getl k wode gescheve ls de som v twee kwdte, de emdeles v de vom 4k 3 tot ee eve mcht vookome Fobeusgetl Postult v Betd Het ostult v Betd s ee vemoede dt, voo elk tuuljk getl 0 e ee emgetl bestt met Dt vemoede s mddels beweze Stellg v Dchlet Vemoede v Ctl Oefeg (CMO 974 vg 6) Ee oututbe vood v ostzegels v 8 cet e v 5 cet zj voohde Sommge wde kue met deze twee ostzegels et beekt wode Wt s het gootste obeekbe bedg met deze twee ostzegels? Oefeg (CMO 976 vg 5) Bewjs dt ee tuuljk getl de som s v mmum twee oeevolgede getlle ls e slechts ls dt getl gee mcht v s Oefeg (VWO 994 vg ) Bel lle tuuljke getlle ( c) ( b c) 60 0 c, b, c met c 94 zodt

32 Aedx Sommteteke e multlcteteke Ee sommteteke s ee vekote schjfwjze v ee som Als f ee fucte s e e b gehele getlle met b k 5 k3 b, otee we f ( ) f ( ) f ( b ) f ( b) vekot ls f ( k) Hebj s k de dex, de odeges e b de boveges Bjvoobeeld: k ( 3) ( ) ( ) De lette k mg evetueel ee dee lette zj, zolg deze m gee dee betekes heeft de cotext De otte b b f ( b) s dus fout Als odeges of boveges k ook oedg wode geome Bjvoobeeld: 5 Ee multlcteteke doet hetzelfde voo ee oduct f ( ) f ( ) f ( b ) f ( b) otee we ls b f ( ) Fcultet De fcultet v ee tuuljk getl met 0 s het oduct v lle tuuljke getlle gote d 0 e klee of geljk We zegge fcultet e we otee Bjvoobeeld:!, 4! 4, 5! 0 Pe fsk s 0!! k Bomlcoëffcët De bomlcoëffcët met e b tuuljke getlle e 0 b s ee tuuljk b! 3 7 getl geljk Bjvoobeeld: 3, 5, b!( b)! 5 0 Bomum v Newto Het bomum v ewto s ee lgemee utwekg v ( b) met ee tuuljk getl, ( b) b k0 k Otbdge k k Bjvoobeeld: k ( b b) 4 b 6 b 4b Voo 0 ee tuuljk getl e, b 0 eële getlle s k k b ( b) b k0 3 3 Bjvoobeeld: ( )( 4)