x z vonden we dat de z-score aangeeft hoeveel standaardafwijkingen de waarde

Transcriptie

1 PW11: Betrouwbaarhedstervalle Bj de stude va de ormale verdelg hebbe we geze dat volgede belagrjke regel geldt: Ogeveer 68% va de waaremge lgt be ee afstad va Ogeveer 95% va de waaremge lgt be ee afstad 2 va Ogeveer 99,7% va de waaremge lgt be ee afstad 3 va Deze regel llustreert de rol va als maat va de spredg va de populatedata omhee het populategemddelde. Z N 0,1 1 Als N, da s Door deze trasformate wordt de cocrete waarde x va getrasformeerd de waarde x z va Z. We oeme het z de stadaardscore of z-score va x. Ut de formule x z vode we dat de z-score aageeft hoeveel stadaardafwjkge de waarde x verwjderd s va het gemddelde. De z-scores gebruke we om data va verschllede ormale verdelge met elkaar te vergeljke. We wete dat ogeveer 68% va de waaremge ee terval va 1 stadaardafwjkg (z-score = 1) va verwjderd lgge. We kue dus zegge dat, ee betrouwbaarhedsterval s met ee betrouwbaarhedsveau va 68%. De correspoderede z-score bedraagt 1 e otere we als z 0,16. Dt geeft aa dat de oppervlakte rechts va z 0,16 geljk s aa 16%. 1 Z s stadaard ormaal verdeeld met gemddelde 0 e stadaardafwjkg 1.

2 OPDRACHT 1: Bepaal met behulp va je GRM de z-score de hoort bj ee betrouwbaarhedsterval met ee betrouwbaarhed va 95%, m.a.w. z, z zodat ogeveer 95% va de waaremge dt terval lgge. De gezochte z-score zulle we otere als z 0,025 geeft aa dat de oppervlakte rechts va z 0,025 geljk s aa 2,5%.. Dt We bepale de z-score zodat lks herva oder de stadaard ormale verdelg N(0,1) ee oppervlakte va 2,5% (0,025) wordt bepaald: vnorm(0.025,0,1) = -1,96. Ide we de z-score bepale zodat rechts herva oder de stadaard ormale verdelg N(0,1) ee oppervlakte va 2,5% (0,025) wordt bepaald: vnorm(0.975,0,1) = +1,96. Ee betrouwbaarhedsterval (BI) met ee betrouwbaarhed va 95% voor N(0,1) s dus [-1,96;1,96]. Algemee beteket dt dat als we bj ee ormale verdelg ee terval 1,96, 1,96 eme we 95% va de oppervlakte oder de ormale verdelg hebbe bepaald. OPDRACHT 2: Om de proporte p va de Vlamge met bloedgroep O te bepale, worde persoe oderzocht: 80 oder he hebbe bloedgroep O. Als schattg voor p eme we de 80 steekproefproporte p 0, 40 40%. Bepaal ee 95% betrouwbaarhedsterval voor p met behulp va je GRM. [0,3321 ; 0,4679] Stel het aatal persoe met bloedgroep O bj ee steekproef va persoe, da s bomaal verdeeld met parameters = e p = kas op succes (bloedgroep O). Va bomale stochaste wete we dat: B,p met E p e Var 2 p q p 1 p s ee som va oafhakeljke toevalsvarabele met ee Beroull verdelg met parameter p. Volges de cetrale lmetstellg moge we aaeme dat waeer ee groothed te beschouwe s als de som va ee groot aatal, los va elkaar staade vloede of oorzake, dat deze groothed bj beaderg ormaal

3 verdeeld s. Naarmate het aatal opgetelde oorzake groter s, wordt de ormale verdelg beter beaderd. Herut volgt dat ook dat de toevalsvarabele verdeeld s met gemddelde p e stadaardafwjkg P eveees bj beaderg ormaal p 1 p. OPDRACHT 3: Too aa dat het gemddelde e de stadaardafwjkg va P geljk s aa respecteveljk p e p 1 p. 1 1 EP E E p p 1 1 p 1 p Var P Var Var p 1 p 2 2 P p 1 p Ut opdracht 1 wete we dat z 0,025 = 1,96, m.a.w. dat 95% va de gevalle P ee waarde p aaeemt be 1,96 stadaardafwjkge va het gemddelde p: p 1 p p 1 p p 1 p p p 1,96 p 1,96 p p 1,96 OPDRACHT 4: Cocreet p 1 p p 1 p p 1 p 0, 4 p 1,96 p 1,96 0, 4 p 1,96 95% zekerhed. Los deze ogeljkhed op (je mag je GRM hervoor gebruke). met (1) 0, 4 p 1,96 0, 4 p 1,96 p 1 p p 1 p (2) p 1 p 0,4 p 1,96 KV : OK p 1 p p 1 p p 1,96 0, 4 p 0, 4 1,96

4 p 1 p 0,16 p 0,8p 3,8416 0, p p 2 1, p 0, p 0, GRM: p 0, e p 0, ,3346;0,4692 Beaderede methode: Met 95% zekerhed s p gelege be 1,96 stadaardafwjkge va het gemddelde p of het gemddelde p s gelege be 1,96 stadaardafwjkge va p 1 p p 1 p p1,96 p p1,96 p : We beadere p 1 p door p1 p, dt levert het 95% betrouwbaarhedsterval p 1 p p 1 p p1,96 p p1,96 OPDRACHT 5: Welk beadered betrouwbaarhedsterval bekome we met p = 0,4 e =. Vergeljk met het exact bereked betrouwbaarhedsterval ut opdracht 4 e met het betrouwbaarhedsterval gevode va het GRM opdracht 2. Beaderede methode: 0,3321;0,4679 We vde ee goede beaderg e dt resultaat komt perfect overee met wat os GRM os als BI gaf. OPDRACHT 6: Hermaak oefeg 1 (Teertjd) e bepaal het BI zoder gebruk va GRM. 0,45 1 0,45 0,45 1 0,45 0, 45 1,96 p 0, 45 1, ,45 1,96 0, p 0,45 1,96 0, ,45 0, p 0,45 0,

5 0,4280 p 0,4720 Dt s perfect os gevode resultaat. Beslut: Ee beadered betrouwbaarhedsterval met betrouwbaarhedsveau 1, voor ee populateproporte p, wordt gegeve door pz 2 p1 p, waarbj p ee steekproefproporte s.