Schatters en betrouwbaarheidsintervallen

Transcriptie

1 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Les 3 Schatters e betrouwbaarheidsitervalle I de vorige les hebbe we era gekeke hoe we bijvoorbeeld het gemiddelde e de variatie va ee populatie kue schatte, door deze gegeves op steekproeve te bepale. We hebbe daarbij het iet erg verrassede resultaat igezie dat de auwkeurigheid va ee schattig met de grootte va de steekproef toeeemt, bijvoorbeeld eemt de steekproefstadaardafwijkig eemt met 1 de factor af. We zulle i deze les de vraag agaa, hoe we uitsprake erover kue make dat ee iterval rod ee schattig de juiste waarde met ee gegeve kas bevat. Zo iterval oemt me ee betrouwbaarheidsiterval. Hierbij moete we i het bijzoder precies formulere, wat de uitspraak ee waarde ligt met ee betrouwbaarheid va 95% i ee zeker iterval eigelijk beteket. Tot u toe hebbe we het begrip schattig va ee waarde eigszis ituïtief gehateerd. Om de cocepte achter betrouwbaarheidsitervalle goed te kue begrijpe, moete we u echter ekele eigeschappe va het proces beschrijve, waarmee schattige verkrege worde. Zo proces oemt me ee schatter. Hierbij zij twee gevalle belagrijk: Ee schattig die ee ekele waarde oplevert oemt me ee putschatter, ee schattig die ee iterval geeft, heet ee itervalschatter. 3.1 Putschatters We hebbe tot u al vaker gezegd dat het steekproefgemiddelde x := 1 x i ee schattig voor het gemiddelde va de populatie is. We zulle u kort het abstracte begrip va ee schattig toelichte. De meeste kasverdelige die i de statistiek ee rol spele, hage va ee of meerdere parameters af, de ormale verdelig bijvoorbeeld va de verwachtigswaarde µ e de variatie e de expoetiële verdelig met dichtheidsfuctie f(x) = λ e λx va de itesiteit λ. Defiitie: Zij X ee stochast met ee kasverdelig die va de parameter θ afhagt. (i) Ee schattig is ee fuctie (of procedure) die uit ee steekproef x 1,..., x ee waarde voor de parameter θ va de kasverdelig va X bepaalt. Deze waarde hagt allee maar va de gegeves i de steekproef af e wordt bereket volges ee fuctie t(x 1,..., x ). (ii) Als we de elemete x i i de steekproef als realisaties va stochaste X i zie die alle dezelfde kasverdelig hebbe als X, da oeme we de stochast T = t(x 1,..., X ) die de verdelig va de schattige over alle steekproeve aageeft ee schatter voor θ. We hebbe i de vorige les al voorbeelde va schatters gezie: 39

2 Statistiek voor Iformatiekude, 006 X := 1 X i is ee schatter voor de verwachtigswaarde µ = EX va X. S := 1 1 (X i X) is ee schatter voor de variatie = V ar(x) va X. Defiitie: We zegge dat ee schatter T zuiver (ubiased) is, als voor elke waarde va de parameter θ voor de kasverdelig va de stochast X geldt, dat de verwachtigswaarde ET juist θ oplevert. We hebbe gezie dat X e S zuivere schatters zij. Deze eigeschap va S was juist de rede om bij de steekproefvariatie door 1 e iet door te dele. Voor de schatter T := 1 (X i X) hadde we amelijk gezie dat ET = 1 is als de stochast X variatie heeft. Omdat lim ET = oemt me T ee asymptotisch zuivere schatter. Dit beteket, dat de schatter voor grote steekproeve wel ee goede schattig geeft. Alhoewel S = 1 1 (X i X) ee zuivere schatter voor de variatie 1 is, is S = 1 (X i X) gee zuivere schatter voor de stadaardafwijkig, d.w.z. i het algemee is ES. Dit ligt simpelweg eraa dat a + b a + b. Er zij verschillede algemee pricipes hoe me schatters voor de parameters va kasverdelige costrueert. We zulle twee va de meest gebruikelijke va deze pricipes u kort bekijke. Mometeschatters Meestal is ee kasverdelig die va ee aatal parameters θ 1,..., θ s afhagt door ee dichtheidsfuctie f(x) gegeve, die va deze parameters afhagt. Als we voor zo verdelig de momete µ k (of cetrale momete µ k) berekee, hage deze atuurlijk ook va de parameters θ 1,..., θ s af. Bij de ormale verdelig met parameters µ e hebbe we bijvoorbeeld µ 1 = µ e µ = + µ. Vaak is het mogelijk, deze vergelijkige aar de parameters op te losse, waarbij me steeds et zo veel momete i aamerkig eemt als er parameters zij. Voor de ormale verdelig geeft dit bijvoorbeeld de relaties µ = µ 1 e = µ µ 1. Het idee va ee mometeschatter is u, als schattig voor de momete µ k de steekproefmomete m k := 1 xk i te bepale e M k := 1 Xk i als schatter voor het k-de momet µ k te defiiëre. Door de schatters voor de momete i de relaties tusse parameters e momete i te vulle, krijge we zo schatters voor de parameters. 40

3 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Bij de ormale verdelig levert dit als schatter voor µ de oude bekede X = 1 X i e als schatter voor krijge we. 1 Xi ( 1 X i ) = 1 ( Xi 1 ( X i ) ) = 1 (X i X) = 1 S. De mometeschatter is dus i het bijzoder iet oodzakelijk ee zuivere schatter. Maximum likelihood schatters Als ee dichtheidsfuctie f(x) va parameters θ 1,..., θ s afhagt, kue we dit ook expliciet uitdrukke door f(x) = f(x; θ 1,..., θ s ) te schrijve. Voor ee steekproef x 1,..., x is da het product L(θ 1,..., θ s ) := f(x i ; θ 1,..., θ s ) ee maat voor de aaemelijkheid waarmee ee stochast X met parameters θ 1,..., θ s de elemete va de steekproef geproduceerd heeft. Hoe groter deze aaemelijkheid, hoe beter past de verdelig va de stochast bij de gevode steekproef. De maximum likelihood schatter (meest aaemelijke schatter) bepaalt daarom de waarde θ 1,..., θ s zo, dat de aaemelijkheid maximaal wordt. Bij ee aatal va kasverdelige is het mogelijk dit expliciet met behulp va afgeleide uit te rekee. Voorbeeld: We kijke aar ee expoetiële verdelig met parameter λ. De dichtheidsfuctie is f(x; λ) = λ e λx e als aaemelijkheid voor ee steekproef x 1,..., x krijge we L(λ) = λ e λx i = λ e λ(p i xi). De aaemelijkheid is maximaal als L (λ) = 0 e voor de afgeleide krijge we L (λ) = λ 1 e λ(p i x i) λ e λ(p i x i) ( i x i ) = λ 1 e λ(p i x i) ( λ( i x i )) e er geldt L (λ) = 0 als λ( i x i) = 0, dus voor λ = i x i = 1 x. Dit is atuurlijk precies het verwachte resultaat. I feite geeft de maximum likelihood schatter voor de veel va de gebruikelijke verdelige de meest voor de had liggede schattig. 41

4 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Omdat de aaemelijkheid L(θ) = f(x 1 ; θ)... f(x ; θ) ee product va uitdrukkige i θ is, is het vaak ohadig de afgeleide va deze fuctie te bepale. Weges de productregel krijgt me hierbij amelijk erg veel terme. Het is daarom vaak hadig, i plaats va de fuctie L(θ) zelfs de logaritme log(l(θ)) te bekijke, omdat log(l(θ)) = log(f(x 1 ; θ)) log(f(x ; θ)). Omdat de logaritme ee mootoo stijgede fuctie is, eemt log(l(θ)) precies voor dezelfde waarde va θ zij maximum aa als L(θ), daarom ka me i plaats va de ulpute va L (θ) ook de ulpute va log(l(θ)) bepale. Voor de ormale verdelig levert de maximum likelihood schatter hetzelfde resultaat als de mometeschatter, dus krijgt me ook hier iet i elk geval ee zuivere schatter. Er laat zich wel aatoe dat de maximum likelihood schatters altijd asymptotisch zuiver zij. 3. Itervalschatters De schatters die we tot u toe hebbe bekeke, oemt me putschatters omdat ze voor ee gegeve steekproef ee precieze waarde voor ee parameter oplevere. Bijvoorbeeld levert de schatter X := 1 X i voor het gemiddelde va ee populatie op ee gegeve steekproef x 1,..., x de schattig x = 1 x i. I tegestellig hiertoe geeft ee itervalschatter voor ee gegeve steekproef ee iterval aa waari de juiste waarde θ va de parameter moet ligge. Hierbij wordt altijd ee level γ va betrouwbaarheid geëist, waarmee het iterval de juiste waarde bevat. De betrouwbaarheid γ wordt als volgt geïterpreteerd: Voor ee gegeve waarde va θ is γ de kas dat ee steekproef ee iterval oplevert dat θ bevat. We kijke dus weer aar alle mogelijke steekproeve e aalysere de verdelig va de schattige. Merk op: Ee betrouwbaarheid va 95% voor ee iterval beteket iet dat de juiste waarde θ met kas 95% i het iterval ligt, maar dat oze methode om het iterval te schatte voor 95% va de mogelijke steekproeve ee iterval oplevert, dat θ bevat. Bij ee betrouwbaarheid va γ = 0.8 zoude we dus bij vijf steekproeve verwachte, dat de juiste parameter vier keer i het geschatte iterval ligt, bijvoorbeeld zo als i het volgede plaatje met de itervalle rod de schattige x (i) aagegeve. x (4) x (5) x () x (3) θ x (1) 4

5 Statistiek voor Iformatiekude, 006 I de taal va stochaste e schatters levert dit idee va betrouwbaarheid het volgede cocept op: Zij X ee stochast met dichtheidsfuctie f(x) := f(x; θ) e verdeligsfuctie F (x) := F (x; θ) die va ee parameter θ afhage, da berekee we de kase voor X door P (X x) = P θ (X x) = F (x) = x f(t) dt. Defiitie: We oeme ee paar (T 1, T ) va schatters ee itervalschatter va betrouwbaarheid γ voor θ als P (T 1 θ T ) = γ voor elke mogelijke waarde va de parameter θ. Ee realisatie va ee itervalschatter op ee cocrete steekproef x 1,..., x heet ee betrouwbaarheidsiterval va betrouwbaarheid γ voor θ. Omdat we de waarde va θ va twee zijde igeschakeld hebbe, oeme we het paar (T 1, T ) ook ee tweezijdige itervalschatter. Als we i de praktijk ee betrouwbaarheidsiterval voor de verwachtigswaarde µ := EX schatte, zal het iterval bija altijd symmetrisch rod het steekproefgemiddelde x ligge. Dit is gee oodzakelijke voorwaarde maar wel heel gebruikelijk. Er laat zich aatoe dat voor ee ormaal verdeelde stochast X het symmetrische iterval rod x de kleiste legte va alle itervalle met betrouwbaarheid γ heeft. Soms is het iteressat om allee maar ee bove- of ee beedegres voor ee parameter te schatte. Dit levert éézijdige itervalschatters. We oeme ee schatter T 1 ee rechtséézijdige itervalschatter va betrouwbaarheid γ als P (T 1 θ) = γ voor elke mogelijke waarde va de parameter θ e we oeme ee schatter T ee likséézijdige itervalschatter va betrouwbaarheid γ als P (θ T ) = γ voor elke mogelijke waarde va de parameter θ. De rede waarom de schatter T 1 met P (T 1 θ) = γ rechtséézijdig heet, hagt met de éézijdige toetse same die we i de volgede les gaa behadele. 3.3 Betrouwbaarheidsitervalle bij gegeve variatie Ee belagrijk voorbeeld va ee itervalschatter is het bepale va ee betrouwbaarheidsiterval voor de verwachtigswaarde µ va ee ormaal verdeelde stochast X met bekede variatie. Hetzelfde pricipe werkt bij beaderig ook voor de verwachtigswaarde va iet ormaal verdeelde stochaste, i het bijzoder voor de verwachte kas op succes bij ee biomiale verdelig. 43

6 Statistiek voor Iformatiekude, 006 De cetrale limietstellig zegt dat de som va oafhakelijke stochaste goed beaderd wordt door ee ormale verdelig. Hieruit volgt dat de vorm va de oderzochte stochast X gee grote rol speelt als de steekproefgrootte iet te klei is. Maar er zij wel adere probleme, waardoor de verdelig va schattige va de ormale verdelig afwijkt. Deze hebbe vooral met de veroderstellig te make dat we ee aselecte steekproef hebbe geome. Dit is i de praktijk vaak lastig, omdat mese bijvoorbeeld ee equête weigere, maar dit iet represetatief over de populatie gebeurt. Ook is het vaak iet realistisch, dat de verschillede steekproefelemete oafhakelijk va elkaar geome worde. Het is de kust va de istitute voor opiieoderzoek deze factore zo ver mogelijk te oderdrukke of de resultate aveat te corrigere. Stel we hebbe ee ormaal verdeelde stochast X N (µ, ) da wete we dat X := 1 X i ee zuivere schatter voor µ is. Omdat X ormaal verdeeld is, geldt dit ook voor X (de som va oafhakelijke ormaal verdeelde stochaste is weer ormaal verdeeld) e we wete dat V ar(x) =. Hieruit volgt dat de stochast stadaard-ormaal verdeeld is. Z := X µ = (X µ) Als X ee iet-ormaal verdeelde stochast met verwachtigswaarde µ e variatie is, geldt voor X og steeds dat EX = µ e V ar(x) =, maar X is iet meer ormaal verdeeld. Uit de Cetrale limietstellig volgt echter dat voor ee iet te kleie de verdelig va X sterk op ee ormale verdelig lijkt e hierdoor goed beaderd ka worde. Voor ee stochast Z N (0, 1) met stadaard-ormale verdelig defiiëre we u de z-waarde z α va level α := 1 γ door P (Z > z α ) = α. Voor ee betrouwbaarheid va 95% is dus α = 0.05 = e geeft z α de waarde aa, waarvoor slechts 5% va de waarde va Z bove z α ligge e de waarde va Z dus met betrouwbaarheid 95% hoogstes z α zij. De level α = 1 γ wordt ook wel de obetrouwbaarheid geoemd. Omdat de ormale verdelig symmetrisch rod 0 is, geldt Hieruit volgt i het bijzoder: P (Z < z α ) = α e dus P ( Z > z α ) = α. P ( z α Z z α ) = 1 α = γ. De waarde va de stadaard-ormale verdelig ligge dus met kas γ = 1 α tusse z α e z α. I Figuur 15 is dit voor γ = 0.9 aageduid. Het witte 44

7 Statistiek voor Iformatiekude, 006 stuk oder de grafiek bevat 90% va de totale oppervlakte oder de grafiek, de resterede 10% ligge i de grijze staarte, dus telkes 5% i de liker- e rechterstaart. De z-waarde z 0.05 is dus juist het put waar de rechterstaart begit x 4 Figuur 15: γ = 0.9. Stadaard-ormale verdelig met betrouwbaarheidsiterval voor Als we de relatie P ( z α Z z α ) = γ u op de stadaard-ormaal verdeelde stochast Z = (X µ) toepasse, krijge we voor de betrouwbaarheid γ e obetrouwbaarheid α := 1 γ: P ( z α Z z α ) = γ P ( z α (X µ) P ( z α P (µ z α P (X z α X µ z α X µ + z α z α ) = γ ) = γ µ X + z α ) = γ ) = γ. We wete dus dat de schatter X voor het steekproefgemiddelde met kas γ iet meer da z α va de juiste waarde µ afwijkt. Als itervalschatter voor het gemiddelde µ eme we dus (T 1, T ) met T 1 := X z α e T := X + z α e het betrouwbaarheidsiterval voor µ is ee realisatie va de itervalschatter voor ee cocrete steekproef, dus het iterval x z α, x + z α. Omdat P (µ z α X + z α ) = P (X z α X µ + z α µ ) geldt, is het betrouwbaarheidsiterval precies het iterval 45

8 Statistiek voor Iformatiekude, 006 va de waarde va µ waarvoor x bie het symmetrische iterval rod µ met kasmassa γ valt. Merk op dat de legte va het betrouwbaarheidsiterval allee maar va de gekoze betrouwbaarheid γ, de grootte va de steekproef e de variatie va de stochast X afhagt. Voor éézijdige betrouwbaarheidsitervalle kue we op dezelfde maier als bij de tweezijdige itervalle argumetere. Voor ee rechtséézijdig iterval met betrouwbaarheid γ e α := 1 γ krijge we: P (Z z α ) = γ P ( (X µ) z α ) = γ P (X µ z α P (X µ + z α ) = γ P (X z α µ) = γ ) = γ dus is T 1 := X z α ee rechtséézijdige itervalschatter e ee cocrete steekproef geeft het rechtséézijdige betrouwbaarheidsiterval x z α,. Dit is precies het iterval va de waarde va µ waarvoor x bie het aar rechts begresde e aar liks ope iterval rod µ met kasmassa γ valt. We zie hier dus de rede waarom de schatter T 1 met P (T 1 µ) = γ ee rechtséézijdig betrouwbaarheidsiterval geeft. De waarde va µ die i dit éézijdige betrouwbaarheidsiterval ligge, zij amelijk juist de waarde waarvoor x ee plausibele schattig aageeft, als we met plausibel bedoele, dat de schattig x iet te ver rechts va de ware waarde ligt. Aaloog krijge we voor het likséézijdige betrouwbaarheidsiterval met betrouwbaarheid γ de likséézijdige itervalschatter T := X + z α met P (µ T ) = P (µ X + z α ) = γ e ee cocrete steekproef geeft het likséézijdige betrouwbaarheidsiterval, x + z α. Aapasse va betrouwbaarheidsitervalle Typische waarde die voor de betrouwbaarheid γ gehateerd worde, zij 90%, 95% e 99%. I Tabel 1 zij de z α - e z α -waarde voor ee aatal gebruikelijke betrouwbaarhede aagegeve. 46

9 Statistiek voor Iformatiekude, 006 α γ α z α z α Tabel 1: Kritieke waarde voor de stadaard-ormale verdelig. We hebbe gezie dat betrouwbaarheidsitervalle door drie parameters beschreve worde: (i) De grote va de steekproef. (ii) De geweste betrouwbaarheid γ. (iii) De legte va het betrouwbaarheidsiterval. Als we de betrouwbaarheid wille verhoge, moete we of de steekproef vergrote of ee groter iterval acceptere. Omgekeerd kue we het betrouwbaarheidsiterval allee maar kleier make door of de steekproef te vergrote of ee lagere level va betrouwbaarheid te kieze. Bij ee gegeve grootte va de steekproef zij dus de legte va het betrouwbaarheidsiterval e de level va betrouwbaarheid parameters, die elkaar tegestrijdig beïvloede. Bij het opzette va ee experimet (bijvoorbeeld ee equête) heeft me vaak adere voorwaarde: Voor ee gegeve level γ va betrouwbaarheid is er ee maximale legte l va het betrouwbaarheidsiterval dat als acceptabel beschouwd wordt. Hierdoor wordt de oodzakelijke grootte va de steekproef bepaald, amelijk door: z α ( l z α ) = z α l l. Betrouwbaarheidsiterval voor relatieve frequeties Als we de kas p schatte waarmee ee Beroulli-experimet ee succes oplevert, telle we het aatal k va successe bij pogige ee eme p := k als schattig voor p. I dit geval vorme dus de pogige ee steekproef va grootte. De stochast X die de verdelig va het aatal successe bij pogige beschrijft, is biomiaal verdeeld met parameter p e er geldt EX = p e V ar(x) = p(1 p). Voor de stochast P := X die de verdelig va de relatieve aatalle over alle steekproeve va pogige beschrijft, geldt dus EP = p e V ar(p ) = p(1 p). Als iet te klei e p iet te dicht bij 0 of 1 is, kue we met de ormale beaderig va de biomiale verdelig werke, d.w.z. we kue aaeme dat 47

10 Statistiek voor Iformatiekude, 006 P ormaal verdeeld is. Oder deze aaame wordt de stochast Z := P p p(1 p) = (P p) p(1 p) goed door de stadaard-ormale verdelig beaderd. We kue u weer de redeerig va de ormale verdelig toepasse e krijge: ( ) p(1 p) p(1 p) P P z α p P + z α = γ. Dit geeft het betrouwbaarheidsiterval p z α p(1 p), p + z α p(1 p) voor de schattig va de parameter p. Het probleem bij de biomiale verdelig is, dat de variatie p(1 p) e dus ook de legte va het betrouwbaarheidsiterval va de gezochte parameter p afhagt. I de praktijk wordt dit meestal opgelost door p gewoo door p te vervage, me gebruikt hiervoor de stadaard fout (stadard error) p(1 p) SE(p) := va p. De stadaard fout is dus ee schattig voor de stadaardafwijkig V ar(p ) va de schatter P. Met behulp va de stadaard fout krijgt me het betrouwbaarheidsiterval p(1 p) p(1 p) p z α, p + z α = p z α SE(p), p + z α SE(p). Bij ee precieze aalyse komt me erachter dat de zuivere greze voor het betrouwbaarheidsiterval p + z α ± z α 1 + z α p(1 p) + z α 4 zij, maar voor p 50 e (1 p) 50 kue de correctie terme veilig verwaarloosd worde. Ook i het geval va de relatieve frequeties ka me de beodigde grootte va de steekproef afschatte om ee betrouwbaarheid γ e ee maximale legte va l voor het betrouwbaarheidsiterval te bereike. Er geldt dezelfde relatie als bij de ormale verdelig, met vervage door p(1 p), dus z p(1 p) α l. 48

11 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Merk op dat we ook hierbij weer de gezochte relatieve frequetie p odig hebbe. Omdat we juist wille bepale, hoe groot we de steekproef moete kieze om p te bepale, kue we hier atuurlijk iet de schattig p voor p ivulle. Maar we kue wel ee gok doe wat voor ee waarde va p we verwachte e hiermee ee (grove) schattig voor p(1 p) make. Voorbeeld: Bij ee equête oder 1000 mese hebbe 5% aagegeve voor de Europese grodwet te stemme. Ee betrouwbaarheidsiterval op de p(1 p) = level 99% geeft ee auwkeurigheid va z α voor de schattig p = 0.5 va de echte proportie va toestemmig. Het betrouwbaarheidsiterval is dus 47.9%, 56.1%. Natuurlijk is de iteressate vraag, of de toestemmig bove de 50% ligt. Om hierover ee uitspraak met betrouwbaarheid 99% te kue doe, moet de legte va het betrouwbaarheidsiterval tot 4% worde beperkt. De beodigde grootte va de steekproef hiervoor is z α p(1 p) l = Hierbij hebbe we voor p de schattig p = 0.5 igevuld, voor p = 0.5 zoude we 4140 krijge, dus bija hetzelfde. 3.4 Betrouwbaarheidsitervalle bij obekede variatie We zij er tot u toe va uitgegaa dat we het met ee ormaal verdeelde stochast X met bekede variatie te make hebbe. Omdat dit i de praktijk iet realistisch is, kijke we u aar het geval va ee stochast met obekede variatie. I dit geval hebbe we helaas iets meer aa de stochast Z := (X µ), omdat we de variatie gewoo iet kee. Maar we wete wel, dat S := 1 1 (X i X) ee zuivere schatter voor is, dus kue we probere de obekede variatie door de schatter S te vervage. Dit geeft de stochast T := X µ S = (X µ) S die we al i de laatste les zij tegegekome: Voor ee ormaal verdeelde stochast X heeft T de Studet-t verdelig met 1 vrijheidsgrade. We wete dat deze verdelig voor kleie meer uitgespreid is da de stadaard-ormale verdelig e voor grote steeds meer op de stadaard-ormale verdelig lijkt. Met dezelfde argumete als i het geval va bekede variatie kome we u weer aar betrouwbaarheidsitervalle, als we de stadaard-ormale verdelig altijd door de Studet-t verdelig met 1 vrijheidsgrade vervage. Aaloog met de stadaard-ormale verdelig defiiëre we de t-waarde t α := t 1,α va level α = 1 γ door P (T > t α ) = α waarbij het aatal 1 va vrijheidsgrade meestal iet aageve wordt, omdat het uit de samehag duidelijk is. 49

12 Statistiek voor Iformatiekude, 006 Ee soortgelijke berekeig als bove geeft: P ( t α T t α ) = γ P ( t α (X µ) S P (µ t α P (X t α t α ) = γ S X µ + t α S µ X + t α S ) = γ S ) = γ. Voor ee steekproef x 1,..., x met steekproefgemiddelde x = 1 x i e 1 steekproefstadaardafwijkig s = 1 (x i x) oeme we (et als bij de biomiale verdelig) de schattig s voor de stadaardafwijkig V ar(x) va de schatter X de stadaard fout va x e otere dit met SE(x). Hiermee krijge we het betrouwbaarheidsiterval s s x t α, x + t α = x t α SE(x), x + t α SE(x) va betrouwbaarheid γ voor µ. Net zo als bij de stadaard-ormale verdelig worde de t-waarde voor de meest gebruikelijke levels va betrouwbaarheid e voor de verschillede vrijheidsgrade i tabelle opgeslage. Imiddels worde i plaats va tabelle meestal software pakkette gebruikt, die de t-waarde voor ee geweste betrouwbaarheid γ e ee gegeve aatal va vrijheidsgrade uitrekee. Typische waarde va t,α zij i Tabel te zie (waarbij we met = de waarde voor de stadaard-ormale verdelig aageve): \α Tabel : Kritieke waarde t,α voor de Studet-t verdelige met vrijheidsgrade. Voorbeeld: Me eemt aa dat het aatal lije die i ee grote telefoocetrale tijdes het spitsuur i gebruik zij ormaal verdeeld is. Uit ee steekproef over 11 dage blijkt ee steekproefgemiddelde va x = 10 voor het aatal lije, met ee steekproefstadaardafwijkig va s = 10. Als we ee betrouwbaarheidsiterval op level 99% voor het gemiddelde aatal µ va lije i gebruik wille bepale, hebbe we de t-waarde t 10,0.005 odig, wat I de tabel vide we t 10,0.005 = 3.169, dus is de af e we krijge het betrouwbaarheidsiterval = 11 e α = wijkig t α 110.4, 19.6 voor µ. s 10 =

13 Statistiek voor Iformatiekude, Betrouwbaarheidsitervalle voor de variatie We hebbe i de vorige les aagegeve dat voor stadaard-ormaal verdeelde stochaste X i de stochast Y := 1 S = ( X i X ) ee χ -verdelig met 1 vrijheidsgrade heeft. Deze stochast Y is u geschikt om ee betrouwbaarheidsiterval voor de variate aa te geve. Aaloog met de z-waarde voor de stadaard-ormale verdelig e de t- waarde voor de Studet-t verdelig defiiëre we de χ -waarde χ α := χ 1,α door P (Y > χ α ) = α waarbij de idex voor het aatal vrijheidsgrade weer weggelate is. Omdat de χ -verdelig iet symmetrisch is, kue we iet meer zo makkelijk uit χ α ee waarde χ β afleide zo dat P (Y < χ β ) = P (Y > χ α) = α is. Maar uit P (Y > χ 1 α ) = 1 α volgt dat tusse χ 1 α e χ α de kasmassa (1 α ) α = 1 α = γ ligt. Bij symmetrische verdelige zo als de ormale verdelig laat zich aatoe dat de symmetrische betrouwbaarheidsitervalle de itervalle va miimale legte voor ee gegeve betrouwbaarheid zij. De χ - verdelig is iet symmetrisch, e me ka voor het iterval rod Y dat de kasmassa γ bevat ook ee willekeurig iterval va de vorm χ γ+c, χ c kieze. Zo iterval heeft iderdaad iet voor c = α de miimale legte, maar de waarde c waarvoor de legte miimaal is ligt i de praktijk meestal zo dicht bij α dat me dit verwaarloost. Met ee aaloge redeerig als eerder krijge we voor de stochast Y : P (χ 1 α Y χ α ) = 1 α = γ P (χ 1 α 1 S χ α ) = γ P (χ 1 α ( 1)S P ( χ α 1 S µ + χ α 1 ) = γ ( 1)S χ ) = γ. 1 α Voor ee cocrete steekproef x 1,..., x met steekproefvariatie s krijge we hieruit als betrouwbaarheidsiterval va betrouwbaarheid γ voor het iterval ( 1)s ( 1)s χ, α χ. 1 α We kue ook ee betrouwbaarheidsiterval voor de stadaardafwijkig aageve, wat worteltrekke geeft P 1 1 S S = P χ α χ 1 α 51 ( ( 1)S χ α ) ( 1)S χ = γ 1 α

14 Statistiek voor Iformatiekude, 006 e hieruit krijge we het betrouwbaarheidsiterval 1 1 s, s χ α χ 1 α va betrouwbaarheid γ voor de stadaardafwijkig. Belagrijke begrippe i deze les putschatter mometeschatter maximum likelihood schatter betrouwbaarheid tweezijdige / éézijdige itervalschatter betrouwbaarheidsitervalle z-waarde, t-waarde, χ -waarde stadaard fout Opgave 11. We hebbe gezie dat X := 1 X i ee zuivere schatter voor de verwachtigswaarde µ = EX is. Laat zie dat X gee zuivere schatter voor µ is. 1. Zij X ee stochast met uiforme verdelig op het iterval 0, θ, da is P (X x) = x θ voor 0 x θ. We wille uit ee steekproef x 1,..., x ee schattig voor θ make. (i) Laat zie dat de schattig t := (x x ) ee zuivere schatter T := (X X ) = X voor θ geeft. (ii) Ee adere mogelijke schattig voor θ is het maximum va de gevode waarde, dus t max := max(x 1,..., x ). Laat zie dat voor de schatter T max := max(x 1,..., X ) geldt dat P (T x) = ( x θ ) e cocludeer dat T de dichtheidsfuctie f(x) = x 1 θ heeft. Ga a dat T max gee zuivere schatter, maar wel ee asymptotisch zuivere schatter voor θ is, door te late zie dat ET = θ 0 x dx = 1 +1 θ+1.) (iii) Laat zie dat +1 T max ee zuivere schatter voor θ is. +1 θ. (Hit: Er geldt 13. Voor ee stochast X met uiforme verdelig op het iterval 0, θ wordt va ee steekproef x 1, x va twee waarde de schattig t := 3 x 1 x voor θ gemaakt. Laat zie dat T := 3 X 1 X ee zuivere schatter voor θ is. 5

15 Statistiek voor Iformatiekude, Laat zie dat voor ee stochast X met uiforme verdelig op het iterval 0, θ de schatter T max := max(x 1,..., X ) de maximum likelihood schatter is. (Hit: Ga a dat de aaemelijkheid L(θ) voor ee steekproef x 1,..., x gegeve is door L(θ) = 0 als θ < max(x 1,..., x ) e L(θ) = 1 θ als θ max(x 1,..., x ).) 15. Zij X ee uiform verdeelde stochast op het iterval θ 1, θ + 1 e zij x 1,..., x ee steekproef voor deze stochast. Laat zie dat mi(x 1,..., x ), max(x 1,..., x ) ee betrouwbaarheidsiterval voor θ is (dus de realisatie va ee itervalschatter) e bepaal de level γ va betrouwbaarheid va dit iterval. 16. Bij het bedrijf Boaza Baaa heeft ee steekproef va 5 aavrage ee gemiddelde verwerkigstijd va x = 7 jerks opgeleverd. Uit lagdurige ervarig is beked dat de stadaardafwijkig voor de verwerkigstijd = 3 jerks bedraagt. (i) Bepaal ee betrouwbaarheidsiterval voor de level 95% voor de gemiddelde verwerkigstijd. (ii) Hoe groot moet de steekproef mistes zij om op level 95% ee betrouwbaarheidsiterval va legte hoogstes 0.5 jerks te hebbe? 17. I ee aselecte steekproef va 100 studete geve 18 studete aa dat ze beked met de biomiale verdelig zij. (i) Bepaal betrouwbaarheidsitervalle op de levels 90%, 95% e 99% voor het relatieve aatal p va studete die de biomiale verdelig kee. (ii) Hoe groot moet voor ieder va de drie levels uit (i) de steekproef zij om de legte va het betrouwbaarheidsiterval op hoogstes 0.05 te beperke? 18. Gegeve is ee aselecte steekproef (1.05, 1.71, 1.5, 1.40, 1.15, 1.94, 1.00, 1.40, 1.49, 1.33, 1.37) va 11 waaremige va ee ormaal verdeelde stochast met obekede verwachtigswaarde µ e (bekede) stadaardafwijkig = 0.3. (i) Bereke ee betrouwbaarheidsiterval op level 95% voor µ. (ii) Bereke ee likséézijdig betrouwbaarheidsiterval op level 90% voor µ. (iii) Vergelijk het betrouwbaarheidsiterval uit (i) met het betrouwbaarheidsiterval op level 95% bij obekede stadaardafwijkig. 19. Ee oderzoek aar het atoomgewicht va thallium leverde de volgede waarde op: 03.68, , , , , (i) Bereke ee betrouwbaarheidsiterval va level 95% voor het atoomgewicht. (ii) Hoeveel waaremige moete er extra worde gedaa om op level 95% het atoomgewicht met ee auwkeurigheid va 0.00 te kue bepale? 0. Iemad werpt 600 keer met ee dobbelstee e vidt 70 keer ee 6. Geef ee betrouwbaarheidsiterval op level 95% voor de kas op ee 6 bij deze dobbelstee. Doe hetzelfde voor de levels 99% e 99.9%. Lijkt je dit ee eerlijke dobbelstee? 53