Dus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de

Transcriptie

1 CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze paragraaf zulle we het Biomium afleide e eele toepassige behadele Er geldt: a + b) 2 a 2 + 2ab + b 2 ; a + b) 3 a + b)a + b) 2 a + b)a 2 + 2ab + b 2 ) a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; a + b) 4 a + b)a + b) 3 a + b)a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ) a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 Zo doorgaad, zie we dat a + b) a worde uitgeschreve als ee som va terme, waarva de som va de expoete va a e b steeds gelij is aa De coëfficiëte voor a, a 1 b, a 2 b 2, schrijve we als, 1), 2), Dus ) ) a + b) a + a 1 b ) a b 0 ) heet ee biomiaalcoëfficiët uitspraa bove ) Newto vod de volgede uitdruig voor ) Stellig 1 )! )!! ) ) ) a 2 b + + a 2 b 2 + ab , voor 0, 1) 2) + 1), 1 2 1) voor 1,, ) b Opmerig Voor 1,, geldt! )!! 1 2 ) + 1) 1) 1 2 ) 1 2 1) + 1) 1) 1 2 1) 1

2 2 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Ga zelf a dat 1 Voorbeeld ) 4 1, 0 ) 11 7 ) 4 4 ) , , 11! 4! 7! 11! 7! 4! ) ) We leide eerst eele eigeschappe af va biomiaalcoëfficiëte, daara late we eele toepassige zie va het Biomium va Newto, e aa het eid va het hoofdstu leide we de stellig af Eigeschappe va biomiaalcoëfficiëte Stellig 2 i): ) 1, voor 0, 1, 2, ; ii): ) ), voor 0,, ; iii): ) 1 ) + 1 1), voor 1,, 1 Bewijs i) ii) ) ) 0 )!! 1 0! )! )!!!! )!! )}! )! iii) We begie met ) ) Mer op dat ) 1 1)! 1 )!!, ) 1 1)! 1 1 1)}!! 1)! )! 1)! We brege beide uitdruige oder éé oemer e wel oder de oemer )!! Daartoe moete we teller e oemer va ) 1 met ) vermeigvuldige Immers, )! ) 1)! We moete teller e oemer va 1 1) vermeigvuldige met omdat! 1)! Dus ) ) 1 1)! ) 1 1)!, e )!! 1 )!!

3 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN 3 Hieruit volgt ) ) )! 1)! )!! +) )!!! )!! Uit i) e iii) volgt dat de biomiaalcoëfficiëte ue worde geragschit i de driehoe va Pascal waarva op de zijde ée staa e waarva el getal de som is va het getal lisbove e het getal rechtsbove Uit ii) volgt oo dat de rije va de driehoe symmetrisch zij We rijge ) 1 1) 2 ) 2 ) ) 3 ) 3 ) 3 ) ) 4 ) 4 ) 4 ) 4 ) ) 5 ) 5 ) 5 ) 5 ) 5 ) ) Ivulle va de biomiaalcoëfficiëte geeft: )

4 4 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Toepassige va het Biomium va Newto We ue ee aatal formules afleide door i het Biomium va Newto a + b) 0 ) a b geschite waarde voor a e b i te vulle 1: 0 ) 2 Vul i het Biomium a b 1 i 2: ) 0 1) 1) + 2) 3) + 0 Vul i het Biomium a 1 e b 1 i 3: Bepaal de coëfficiët va x 7 i x 4 2/x) ) 8 Pas het Biomium toe met 8, a x 4 e b 2/x Dit geeft: x 4 2 x )8 8 ) 8 8 ) 8 x 4 ) 8 2/x) 2) x 48 ) 1/x) ) 8 2) x 32 4 x 0 8 ) 8 2) x De coëfficiët va x 7 is de coëfficiët met , dwz de coëfficiët met 5 Dus ) ) ) ) 5 2) 5 2) ) ) Bewijs va Stellig 1 We leide de door Newto gevode uitdruig voor de biomiaalcoëfficiët ) af I de formule a + b) 0 ) a b vulle we a 1 e b x i Dit geeft ) ) ) ) ) 1 + x) + x + x x 1 + x We moete dus de coëfficiëte uitreee va het polyoom 1 + x) Dit doe we met behulp va de oderstaade stellig Stellig 3 Zij fx) c 0 + c 1 x + c 2 x c x ee polyoom va graad Da geldt c f ), voor 0, 1,,,! waarbij f f e f ) de -de afgeleide va f is

5 Bewijs Er geldt BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN 5 fx) c 0 + c 1 x + c 2 x c x f 1) x) 1 c 0 + 2c 2 x + 3c 3 x 2 + 4c 4 x 4 + 5c 5 x c x 1 f 2) x) 1 2 c c 3 x c 4 x c 5 x ) c x 2 f 3) x) c c 4 x c 5 x ) 1) c x 3 f ) x) 1 2 c ) c +1 x ) c +2 x 2 + Door x 0 i te vulle, zie we dat + + 1) + 2) c x f )!c oftewel c f )! We passe bovestaade stellig toe op fx) 1+x) + 1) x+ 2) x ) x Volges Stellig 3 is Aderzijds is ) f x) 1 + x) 1 f )! f 2) x) 1)1 + x) 2 f 3) x) 1) 2)1 + x) 3 f ) x) 1) 2) + 1) 1 + x) }} terme Hieruit volgt dat f ) 1) 2) + 1) We vide zo: ) f ) 1) 2) + 1), voor 1,,,!! ) f 1 0

6 6 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Recurrete betreige We gaa getallerije a 1, a 2, } beije die ee vaste oderlige relatie hebbe: er zij getalle A e B zodat 1) a Aa 1 + Ba 2, 3 Dit is ee zogeaamde homogee lieaire recurrete betreig va de tweede orde met costate coëfficiëte Lieair beteet dat er gee combiaties va voorgaade getalle uit de rij voorome behalve gewoge) somme; tweede orde dat el getal direct afhagt va het het getal twee plaatse daarvoor, e iet va getalle die verder terug i de rij stode; costate coëfficiëte beteet dat A e B costat zij e iet va afhage Je ut oo de zogeaamde ihomogee lieaire recurrete betreig va de tweede orde met costate coëfficiëte bestudere: 2) a Aa 1 + Ba 2 + f), 3, met f) ee beede fuctie va e B 0 Oplossig va de homogee betreig Mbv de volgede stellig ue we de rij a 1, a 2, uitreee Stellig 4 Voor de recurrete betreig 1) met radvoorwaarde a 1 e a 2 geldt het volgede Los de vergelijig x 2 Ax + B op: deze heeft twee evetueel complexe) wortels α e β i): Als α β da is 3) a K 1 α + K 2 β, waarbij de costate K 1 e K 2 door a 1 e a 2 eeduidig zij bepaald ii): Als α β da is 4) a K 1 + K 2 )α

7 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN 7 Bewijs i) 3) is juist voor 1, 2 per costructie Per ispectie blijt dat je K 1 e K 2 uie bepaald zij Stel dat 3) juist is voor 1 Da geldt Dus rijge we a 1 K 1 α 1 + K 2 β 1, a 2 K 1 α 2 + K 2 β 2 a Aa 1 + Ba 2 A K 1 α 1 + K 2 β 1) + B K 1 α 2 + K 2 β 2) K 1 Aα 1 + Bα 2) + K 2 Aβ 1 + Bβ 2) K 1 α 2 Aα + B ) + K 2 β 2 Aβ + B ) K 1 α 2 α 2 + K 2 β 2 β 2 K 1 α + K 2 β Uit het pricipe va volledige iductie volgt u dat 3) waar is voor voor allle Het bewijs va ii) volgt aaloog I de 13de eeuw bestudeerde Leoardo Fiboacci va Pisa de groei va ee rattepopulatie Ieder paar ratte produceert haar eerste paar aomelige a twee maade Daara iedere maad éé paar Na éé maad is er éé paar, a twee maade zij er 2 pare We eme aa dat de ratte iet dood gaa Duid u met a het aatal pare a maade aa Da geldt a 1 1, a 2 2 e a a 1 + a 2, 3 De getalle a worde de Fiboacci getalle geoemd Toepassig va Stellig 4 geeft dat a ) ) Het is atuurlij duidelij dat de Fiboacci getalle allemaal gehele getalle zij Dat beteet dat 5 iet voor mag ome als we de uitdruig voor a uitwere Dit ue we met het biomium va Newto Eig reewer geeft: a 1 +2)/ ) Oplossig ihomogee betreig Gegeve de ihomogee betreig 2) Hoe losse we deze op? 1) Los eerst de homogee betreig a Aa 1 + Ba 2 op met Stellig 4, zoder de costate K 1 e K 2 te bepale

8 8 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN 2) Bepaal ee speciale oplossig p) Dit is ee westie va goe Als f) Cγ, probeer da p) K 3 γ Als f) ee polyoom va graad is, probeer da voor p) ee polyoom va graad of va graad + 1 3) Bepaal u de costate K 1 e K 2 door a 1 K 1 α + K 2 β + p1) e a 2 K 2 α 2 +K 2 β 2 +p2) i te vulle, i het geval va twee verschillede wortels I het geval va éé wortel vul je a 1 K 1 + K 2 )α + p1) e a 2 K 1 + 2K 2 )α 2 + p2) i Voorbeeld a a 1 +, a 1 1 We losse eerst de homogee vergelijig a a 1 op zoder K 1 e K 2 te bereee De wortels va de vergelijig x 2 x zij x 0 e x 1 Dus de oplossig va de homogee vergelijig is K K 2 0 K 1 Hier hebbe we iets te mae met K 2! f) is ee polyoom va graad 1 i Als speciale oplossig probere we ee polyoom va graad 2, zeg p) a 2 + b + c Da geldt voor alle a 2 + b + c p) p 1) + a 1) 2 + b 1) + c + a 2 2a + a + b b + c + De coëfficiëte va 2 moete lis e rechts gelij zij: a a, dit geeft gee iformatie De coëfficiëte va moete lis e rechts gelij zij: b 2a + b + 1 Dus 2a+1 0, oftewel a 1/2 De costate moete lis e rechts gelij zij: c a b + c, oftwel a b 0, dus b a 1/2 We rijge u als speciale oplossig p) 1/2 2 + ) + 1)/2 De oplossig va de recurrete betreig is u de algemee) oplossig va de homogee plus de speciale: a K 1 + p) K )/2 We hoeve u allee og K 1 te bereee uit de waarde a 1 1: Dus K 1 0 e a + 1)/2! 1 a 1 K 1 + p1) K /2 K 1 + 1

9 OPGAVEN BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN 9 Opgave 1 Los de volgede recurrete betreig op: a 5a 1 6a 2, 3 a 1 a 2 1 Opgave 2 Los de volgede recurrete betreig op: a 4a 1 a 2 ), 3 a 1 0, a 2 4 Opgave 3 Los de volgede recurrete betreig op: a 2a 1 a 2, 3 a 1 2, a 2 3 Opgave 4 Los de volgede recurrete betreig op: a 5a 1 4a 2, 3 a 1 5, a 2 21 Opgave 5 Zij a het aatal rijtjes va cijfers uit 0, 1, 2}, zodat ee cijfer 1 op de j-de plaats ooit gevolgd wordt door ee 1 of 2 op plaats j + 1, 1 j 1 i): Too aa dat a 2a 1 + a 2, 3 ii): Bepaal a voor 1 a 1 3, a 2 7 Opgave 6 Bepaal de oplossig va de volgede recurrete betreig a 2 5a a 2 2 0, 3 a 1 4, a 2 13 Opgave 7 Zij a het aatal rijtjes va cijfers uit 0, 1}, waari gee twee opeevolgede ulle zij toegestaa i): Too aa, dat a a 1 + a 2, 3 ii): Bepaal a a 1 2, a 2 3 Opgave 8 Zij a het aatal rijtjes uit 1, 2} waarva de som is, 1 Bepaal a

10 10 BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Opgave 9 Los de volgede recurrete betreig op: a + 2a 1 + a 2 2, 3 a 1 0, a 2 3 Opgave 10 Tores va Haoi rige va verschillede grootte zij i afemede grootte op ee staaf A geplaatst va beede aar bove) De bedoelig is de rige éé voor éé aar ee adere staaf B over te brege Er is ee derde staaf beschibaar waarop de rige tijdelij ue worde geplaatst Gedurede het hele proces mag gee rig ooit op ee leiere rig worde geplaatst Hoeveel verplaatsige zij er miimaal odig om alle rige va A aar B over te brege? Opgave 11 Laat a 1 2, 1 a): Leid ee recurrete betreig af voor a b): Bepaal a Opgave 12 Bepaal de oplossig va de recurrete betreig a 3a , 2 a 1 1 Opgave 13 Bepaal de oplossig va de volgede recurrete betreig a 3a 1 2a 2 + 3, 3 a 1 1, a 2 4 Opgave 14 Zij a het aatal getalle va cijfers uit 1, 2, 3, 4, 5} dat deelbaar is door 3 i): Too aa dat a voldoet aa de volgede recurrete betreig a + a , 2 ii): Bepaal a a 1 1 Opgave 15 Geef uitdruige voor de volgede somme a): ); b): ); c): 1 4 ; d): 1 3 ; e): 1 1) 3 ; f): ; g): )