1.1 EEN KONIJNENHISTORIE EN MEER

Transcriptie

1 DE RIJ VAN FIBONACCI. EEN KONIJNENHISTORIE EN MEER.. Historiek Fiboacci is beter beked als Leoardo Pisao, ofwel Leoard va Pisa. Omdat hij lid was va de familie Boacci werd hij ook wel Fiboacci (filius Boaccii, zoo va Boacci) geoemd. Hij werd omstreeks 7 i Pisa gebore als zoo va Guilielmo Boacci. Zij vader was hadelsvertegewoordiger va de koopliede va de stad Pisa i Noord-Afrika. Daar maakte de joge Fiboacci keis met het Idisch- Arabische getallesysteem e leerde allerlei wiskudige techieke. Rod 00 keerde Fiboacci terug aar Pisa e werkte er aa zij bekedste boek, het Liber Abaci, het boek der berekeige. Hiermee itroduceerde hij de Arabische cijfers zoals wij die u og kee e het gebruik va de ul i Europa. Bij Romeise cijfers was er gee ood aa ee symbool voor ul maar i het tietallig positiestelsel wel: (MMX 00). Tege de ivoerig va dit ieuw talstelsel e de ivoerig va de duivelse ul is er lage tijd heel wat verzet geweest. Me beweerde o.a. dat 000 gemakkelijk ko vervalst worde tot 999. I dit boek Liber Abaci wordt ook ee merkwaardige rij va getalle geïtroduceerd die begit met, e waarbij de volgede terme telkes de som zij va de twee vorige:,,,3,,8,3,,34,.. De atuur schijt ee voorkeur te hebbe voor deze getalle. Het aatal bloemblaadjes zij vaak aatalle uit de rij va Fiboacci: 3 voor lelie e iris, voor ajers e boterbloem, 8 voor ridderspoor (delphiium), 3 voor goudsbloem, voor aster e of 89 voor madeliefjes. Deze getalle va Fiboacci treft me ook aa i de spirale op het oppervlak va ee deeappel, aaas e og het meest opvalled i de ordeig va de zaadjes va zoebloeme. De getalle va deze rij va Fiboacci worde ook mooi geïllustreerd door de stamboom va maelijke bije. Deze rij heeft ook talrijke wiskudige eigeschappe e verbade met de gulde sede, de driehoek va Pascal e Pythagorische drietalle. Ee ader belagrijk werk va Fiboacci budelde alle keis over meetkude e driehoeksmetig uit die tijd i ee boek Practicae Geometriae dat i 0 verschee. Iva De Wie

2 .. De koijerij Fiboacci stelde i 0 i zij boek Liber Abaci het volgede probleem. Ee boer gig aar de markt i Pisa e kocht er twee koije; éé va het maelijk e éé va het vrouwelijk geslacht. De eerste maad bregt dit koppel og gee lagore voort, maar a de tweede maad worde de eerste twee koije gebore. Gedurede de daaropvolgede maade bregt dit eerste koppel steeds ee ieuw koppel koije va ee verschilled geslacht ter wereld. Bereke hoeveel koijepare er a éé jaar zij, idie me veroderstelt dat: Ee paar babykoije a éé maad volwasse is Ee volwasse paar koije iedere maad éé paar babykoije voortbregt (J + M) Er gee koije sterve Ee stukje NOSTALGIE Tijdes het schooljaar , (de prille begiperiode va het Iteret!!), otwierpe leerlige va het Sit- Doatusistituut ee mii-website over de rij va Fiboacci. Dit resulteerde i de eerste prijs voor de Digikids wedstrijd. Dit probleem werd toe als volgt igeleid door Bieke De Clerck e Maaike De Block. koppel eerste maad Ee boer had twee koije gekocht; ee maetje e ee vrouwtje. Na ee maad werde de twee verliefd op elkaar, met als gevolg twee maad later og twee kleie koijtjes bij. koppel tweede maad De ouders. e hu kleitjes: koppels derde maad De kidere worde atuurlijk ook groot. Om zich voort te plate is het og wat te vroeg, maar de ouders zorge voor og ee broertje e zusje: 3 koppels vierde maad koppels vijfde maad 8 koppels zesde maad De rij va Fiboacci,,, 3,, 8, 3,,34,, 89, 44, 33. Iva De Wie

3 ..3 Va tegel aar tegel De rij va Fiboacci ka me ook visualisere met het volgede tegelprobleem. Hieroder vid jij ee betegelig i de vorm va ee hoigraat. Het is de bedoelig om started op tegel A, te stappe aar de tegel uiterst rechts. Me moet steeds vooruit gaa, d.w.z. dat ekel de volgede bewegige toegelate zij; Vauit A ka me op slechts éé maier aar de aagrezede tegel rechtsbove. Vauit A ka me op twee maiere aar de aagrezede tegel rechtsoder. I de volgede tabel de mogelijke maiere om aar de volgede tegels te gaa Zodoede ka me op 33 verschillede maiere aar de laatste tegel op de figuur gaa. I het Fise Turku heeft ee Italiaase kusteaar Mario Merz op ee fabrieksgebouw de eerste tie getalle va de rij va Fiboacci aagebracht,,,3,,8,3,,34, Iva De Wie 3

4 ..4 Familie va ee dar (apicultuur) Het probleem over de koije va Fiboacci is weiig realistisch omwille va de voorwaarde. De rij va Fiboacci was allicht al eerder geked door imkers vauit de bijecultuur. I ee bijekorf heb je éé koigi, ee vrouwtje dat de eiere legt. Daaraast heb je ee aatal vrouwelijke werkbije die gee eiere legge e otstaa zij uit de eiere va de koigi a bevruchtig door ee maelijke bij. De meeste vrouwtjes worde werkster. Ekele uitverkoree werkbije krijge speciale voedig e worde koigi. Zij zulle later zelf ee ieuwe koloie starte. Vrouwelijke bijtjes hebbe dus ouders: ee maetje e ee vrouwtje. Maelijke bije (dar) kome uit ee obevrucht ei e hebbe maar éé ouder: ee vrouwtje. Idie wij de stamboom va ee maelijke bij (ee dar) opstelle da heeft: ee maelijke bij heeft maar éé ouder, amelijk ee moeder. Hij heeft grootouders, omdat zij moeder twee ouders heeft. Hij heeft 3 over-grootouders, wat zij grootmoeder heeft ouders e zij grootvader maar éé. Hij heeft bet-over-grootouders. Hij heeft 8 betoudovergrootouders ezovoort. Hieroder ee schematische voorstellig va de stamboom va ee dar ( ) Iva De Wie 4

5 . VORMINGSWET VOOR DE RIJ Aagezie de opeevolgede terme va de rij va Fiboacci volledig bepaald worde als de som va de twee vorige terme ka me deze rij weergeve met ee recursief voorschrift waarbij de eerste twee terme u e u gegeve zij. u + u + u - F(+) F()+F(-) met F() e F() Deze recursieformule ka me ook als ee quotiëtrij otere Uit u+ u + u volgt u+ + u u u q + + () q waaruit of u u u + u u u + Ee iteressate eigeschap va de rij va Fiboacci bekomt me door de opeevolgede terme door elkaar te dele waarbij q + u u + F() quotiëtrij decimaal,,666,6,6,63846, Blijkbaar is deze quotiëtrij coverget. Wij toe aa dat deze rij covergeert aar ee merkwaardig getal amelijk de gulde sede! + ϕ, Iva De Wie

6 Bewijs: q + + volgt dat q Uit lim q+ + lim x q lim q+ + lim x a + a a a + a a 0 q De oplossige va deze vierkatsvergelijkig zij a e a + ϕ + Omdat de terme va deze rij positief zij is de gevraagde limiet ϕ GULDEN SNEDE! Dit getal komt vaak voor als ideale verhoudig i de bouwkust, schilderkust e zelfs de atuur. Tusse de getalle va de rij va Fiboacci e het gulde sede getal hebbe wij ee toch wel erg merkwaardig verbad gevode..3 DE FORMULE VAN BINET.3. Opstelle va de formule e bewijs Ee mogelijke beschrijvig va de rij va Fiboacci werd gegeve door de eerder besproke vormigswet met ee recursief voorschrift: de eerste twee terme va de rij zij e de daaropvolgede terme zij telkes de som va de twee vorige. Het adeel va deze werkwijze dat me om ee bepaalde term va deze rij te kee telkes ALLE voorgaade terme moet bereked hebbe. Biet (786-86) stelde ee formule op waarmee me omiddellijk de de term va de rij va Fiboacci ka berekee. Dit verbad was ruim éé eeuw eerder geked door Abraham de Moivre (667-74). Iva De Wie 6

7 STELLING De de term u F() uit de rij va Fiboacci wordt gegeve door de formule va Biet F( ) + BEWIJS + Stel p e q Deze twee getalle zij de oplossig va de volgede vierkatsvergelijkig. + ( x ).( x ) x x 0 M.a.w. er geldt dat p p 0 e p p + Hieruit volgt p p + F() 3 p p p p p F() e F(3) 4 p p p p ) p 3p + ( F(3) e F(4)3 p p p p p p 3 + 3( + ) F(4)3 e F() 6 p p p p p p + 3 ( + ) F() e F(6)8 7 p 8 p p p p p + 8( + ) F(6)8 e F(7)3 Het valt op dat de coëfficiëte e de costate i deze opeevolgede formules de opeevolgede getalle zij uit de rij va Fiboacci. Door volledige iductie ka me deze formule veralgemee p F( ). p + F( ) e aaloog q F( ). q + F( ) Hieruit volgt dat p q F( ). p + F( ) F( ). q F( ) Iva De Wie 7

8 p q F( ).( p q) F( ) F( ) p q p q p q e teslotte F( ) +.3. Vereevoudigde vorm De formule va Biet ka me ook og i ee adere vorm otere: Er geldt immers dat voor >0, de absolute waarde va steeds kleier is da 0, F( ) + De tweede term i deze formule adert al vrij sel tot ul. Zodoede ka zoder bezwaar bij berekeige va grotere Fiboacci getalle de tweede term worde weggelate. Door afrodig bekomt me de getalle va de rij va Fiboacci + F( ) afrode Iva De Wie 8

9 .4 MERKWAARDIGE EIGENSCHAPPEN RIJ FIBONACCI.4. De driehoek va Pascal e Fiboacci I de zevetiede eeuw costrueerde de Frase filosoof e wiskudige Blaise Pascal (63-66) zij beroemde cijferdriehoek..4. Som va de eerste terme va de rij va Fiboacci Wij oderzoeke vooreerste ee aatal speciale gevalle. F() S() S() + S(3) ++4 S(4) S() S(6) Merk op dat de somme S(), S(), S(3), S(4), S() telkes mider zij da de Fiboacci getalle die twee kolomme verder staa. S(3)F()- S(4)F(6)- algemee vermoede S(N) F(N+) - S(6)F(8)- Iva De Wie 9

10 .4.3 Fiboacci getalle e Pythagorische drietalle ( A² B² + C² ) Beschouw 4 opeevolgede getalle va ee algemee rij va Fiboacci (ook Lucas rij geoemd). Dit is ee rij waarbij me als aavagswaarde iet oodzakelijk e eemt maar twee willekeurige ader getalle. Vb begiede met e 7,,,7, algemee voorgesteld door b a, a, b, a + b Veroderstel dat A de schuie zijde va ee rechthoekige driehoek voorstelt waarbij A gelijk aa de som va de kwadrate va de bieste getalle. A a² + b² Veroderstel dat B de ee rechthoekszijde voorstelt waarbij B gelijk aa het dubbel product va de bieste getalle. B ab Stel C de adere rechthoekszijde gelijk aa het product va de buiteste getalle C (b a).(a + b) b² - a² Er geldt steeds A² B² + C² amelijk (a² + b²)²(ab)²+(b²-a²)² Zodoede ka me vrij eevoudig ee aatal Pythagorische drietalle berekee. Vb:,, 7, A a² + b²²+7²74 B ab..770 C b² - a²7²-²4 Cotrole 74²476 70²4900 4² 76 Vb : 3,, 8, 3 A a² + b²²+8²89 B ab..880 C b² - a²8²-²39 Cotrole 89²79 80² ² Iva De Wie 0

11 .4.4 Wat hebbe twee Fiboacci bure gemeeschappelijk? a otbidig a otbidig a otbidig De terme va de rij va Fiboacci kue geoteerd worde door,,,.b a, a,b, a + b Me ka dit ook veralgemee tot zogeaamde Lucas rije, waarbij de begiterme adere waarde hebbe. 4,7,,8,9,47,66,,6,8,4,,36,8, Eigeschap va delers: Idie a e b ee gemeeschappelijke deler hebbe da is dit ook ee deler va het volgede getal a + b e het vorige b a Idie a e b gee gemeeschappelijke deler hebbe b e a + b er ook gee. Immers idie zij wel ee gemeeschappelijke deler hadde da zou dit ook ee deler zij va het verschil e dit is a. Besluit: I ee algemee Fiboacci-rij (Lucas rij) die begit met oderlig odeelbare getalle zij ook alle pare opeevolgede getalle oderlig odeelbaar. Aderzijds idie de begigetalle wel ee gemeeschappelijke deler hebbe da zal die deler voorkome i alle terme va de rij Vb 3, 9,,,33, Fiboacci (e Lucas) bure hebbe allee gemeeschappelijk wat hu verste bure gemeeschappelijk hebbe. Nog heel wat meer eigeschappe va de rij va Fiboacci worde beschreve op de website Iva De Wie

12 . RIJEN MET GEOGEBRA.. De rij va Fiboacci Lees eerst de uitvoerige beschrijvig va het GeoGebra commado Rij i het documet Rije met GeoGebra.pdf. I het volgede GeoGebra bestad make wij gebruik va de eerste vorm va de formule va Biet voor het berekee va ee aatal terme va de rij va Fiboacci. F( ) + Maak ee schuifkop voor de waarde va de expoet i de formule va Biet met va tot 0 e stapgrootte. Typ i het ivoerveld de volgede (igewikkelde formule) Rij[((( + sqrt()) / )^i - (( - sqrt()) / )^i) / sqrt(), i,, ] I het algebravester ku jij de aam lijst wijzige i fib Wij late de terme va deze rij als tekst op het scherm verschije met het commado LabelLT Uitgewerkt voorbeelde fib.ggb e fib.ggb (met afrodigsformule) Iva De Wie

13 .. Ee belagrijke quotiëtrij Zoals eerder vermeld covergeert de quotiëtrij q u + + u F( + ) F( ) aar het gulde sede getal φ + lim q ϕ, Bestad quotiëtrij.ggb Het verbad tusse de getalle va de rij va Fiboacci e de gulde sede wordt i deel aaschouwelijk voorgesteld. Iva De Wie 3