Acdemi Press Dele Bij delig vermeigvuldigt me met het omgekeerde v de deler..3.5 Vereevoudige Het is goed mogelijk dt voorgde bewerkige iet de
|
|
- Bart Hermans
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Acdemi Press 0 BIJLAGE Wiskudige opfrissig. Bewerkige bij vergelijkige Verdere v lid is omkere v de bewerkig, dus verderig v teke bij som of verschil y x+ b y b x vermeigvuldigig wordt delig e omgekeerd y y x x. Voorrgsregels bij bewerkige Mchtsverheffig heeft voorrg op lle dere bewerkige. Vermeigvuldigig e delig hebbe voorrg op som e verschil. Hkjes heffe de voorrg op; dus de bewerkig tusse de hkjes heeft voorrg bove de dere..3 Bewerkige met breuke.3. Optelle e ftrekke Optelle e ftrekke v breuke is llee mogelijk ls ze gelijkmig zij, d.w.z. dezelfde oemer hebbe..3. Gelijkmig mke Alle breuke kue gelijkmig gemkt worde. De eevoudigste methode om de gemeeschppelijke oemer te beple is het product te mke v de oorsprokelijke oemers Vermeigvuldige Me vermeigvuldigt teller met teller e oemer met oemer BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
2 Acdemi Press Dele Bij delig vermeigvuldigt me met het omgekeerde v de deler..3.5 Vereevoudige Het is goed mogelijk dt voorgde bewerkige iet de eevoudigste vorm v de resulterede breuk oplevert. Deze eevoudigste vorm is deze wrbij teller e oemer zo klei mogelijk zij. Om deze vorm te vide otbidt me de teller e de oemer i priemgetlle of getlle die iet verder deelbr zij tezij door of door zichzelf. Door schrppig v de gemeeschppelijke getlle oder e bove de breuklij, bekomt me d de meest eevoudige vorm v de breuk. : 3 5 : Mchte Bij mchtsverheffig vermeigvuldigt me het getl zoveel ml met zichzelf ls de mcht geeft Vermits dele vermeigvuldige is met het omgekeerde ket me ook egtieve mchte e de mcht 0. ā - 0 ā Mchte v mchte Mchte v ee product ( x ) y xy ( b) b b - b BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
3 Acdemi Press 0 4 Mchte v ee veelterm. Deze mchte kue meestl iet i ee eevoudige evewrdige schrijfwijze omgezet worde. Uitzoderige vorme ee tl merkwrdige producte ( + b) + b + b ( b) b + b ( + b + c) + b + c + b + c + bc.5 Worteltrekkig Bij worteltrekkig zoekt me r ee getl dt i de de mcht verheve, het getl oder het wortelteke ls resultt geeft. We zoeke met dere woorde het grodgetl v de mchtsverheffig wrbij we de expoet e het resultt v de bewerkig kee. Altertieve schrijfwijze 4 wt wt wt x x x x Door combitie met de mchtsverheffig otst gebroke expoete. ( x) m x m x m.6 Logritme Het logritme is eveees ee bewerkig fgeleid v de mchtsverheffig. Hier zoeke we de expoet v de mchtsverheffig ls het grodgetl e het resultt v de mchtsverheffig geked zij wr de worteltrekkig r het grodgetl zoekt. g Als we schrijve dt log x d is g x. We spreke over het g-logritme of het logritme met grodgetl g v ee reëel getl. Als we dit grodgetl g tot de mcht x verheffe is het resultt. Voorbeeld: 3 8, dus 3 is de mcht wrtoe verheve moet worde om 8 te krijge. Me oemt 3 het logritme voor het grodgetl wrv 8 het resultt is v de mchtsverheffig. Nottie: log 8 3. BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
4 Acdemi Press Briggse logritme Als we 0 ls grodgetl kieze, spreke we v decimle of Briggse logritme, geoemd r de Egelse wiskudige Hery Briggs (56-63). Dit logritme wordt kortweg met log geduid. Log x 0 x Bijgevolg 0 log Het reëel getl moet strikt positief zij, omdt elke mcht v 0 strikt positief is. Het getl log k positief, egtief of ul zij. Log omdt Log 0 omdt 0 0 Log 0 omdt 0 0 Log 0,0 omdt 0 0,0 Met de ZRM k je het logritme v elke behorede tot de strikt reële getlle berekee. Hiervoor gebruik je de log-toets..6.. Voorbeelde ZRM disply Log log Log log Log 0, ,045 log Merk op dt:. Negtieve getlle hebbe gee log omdt ze iet geschreve kue worde ls ee mcht v 0.. Met de x y toets of ee gelijkwrdige toets kue we ee cotrole uitvoere: Log 3 0, omdt 0 0, Bewerkige met logritme Het gebruik v logritme lt os toe igewikkelde berekeige sterk te vereevoudige: vermeigvuldigige worde herleid tot optellige, mchtsverheffige tot vermeigvuldigige, delige tot ftrekkige,... Logritme v ee optellig log( + b) Me zl eerst e b moete smetelle lvores het log te beple. Logritme v ee verschil log( b) Me zl eerst b v moete ftrekke lvores het log te beple BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
5 Acdemi Press 0 6 Logritme v ee product log( b) log + logb Logritme v ee quotiët log b log logb Logritme v ee mcht log log Logritme v ee -de mchtswortel log log Logritme v ee -de mchtswortel v ee getl tot ee mcht log m m log.6..3 Vergelijkige v de vorm x b Ee vergelijkig v de vorm x b wrbij e b strikt positieve reële getlle voorstelle, oeme we ee expoetiële vergelijkig. Oplosse x b log x log b x. log log b x log b/log We kue dus de expoet v ee expoetiële vergelijkig op ee eevoudige wijze met logritme beple Voorbeeld Prktische toepssige met log Bereke de eidwrde v belegd op s.i. gedurede jr 4,5% per jr. Oplossig Formule: K K o. u Berekeig: ,045 Me zou dit kue omzette r log e vervolges op de volgede wijze verder rekee Log K log log,045 Log K log log,045 Log , log,045 0,9 Log K 5,30 Iv log K 04 3, Uiterrd gebeurt dit sids het best v de elektroische rekemchies iet meer expliciet. Impliciet zette de meeste rekemchies voor deze BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
6 Acdemi Press 0 7 berekeige ee dergelijke rekeroutie op. Aderzijds k me ook weer me de eidwrde, de begiwrde e de itresthoogte ket de legte v de beleggigsduur vststelle. We hereme drtoe de cijfers v het voorbeeld ,045 x 04 3,7 log 04 3, x log,045 x wt we tuurlijk wiste wt het ws i het voorgde gegeve..6. Het tuurlijk logritme of l I lle gevlle wri me k werke met log k me evezeer werke met l. Het tuurlijk logritme is ee logritmestelsel met e 4 ls grodgetl ipv 0. Dezelfde rekeregels gelde ls bij de Briggse logritme..7 Rije.7. Rekekudige rij t, t, t 3,... is ee rekekudige rij ls tusse twee elkr opvolgede terme ee vst verschil bestt. Dit vst verschil wordt voorgesteld door v. Voorbeeld,5,8, v 3 De som v ee rekekudige rij v terme k gevode worde met de formule RR t s + t -. Drbij is t : de eerste term t : de ltste term : het tl terme Toegepst op het voorbeeld: RR + s Idie me weet dt de RR terme bevt, k me de ltste vide op grod v de vststellig dt de opeevolgede terme t, t +v, t +v, t + 3v t + ( ) v zij. De ltste term is dus t t + ( ) v. De som werd gevode door lle terme tweeml te sommere. Drbij worde de terme i stijgede e i dlede volgorde oder elkr gezet: 4 e werd geoemd r de Zwitserse wiskudige Leohrd Euler ( ) e is bij bederig gelijk, BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
7 Acdemi Press 0 8 s RR t + t + v + t + v + + t v + t RR + s t + t v + t v + + t + v + t RR s t + t + t + t + t + t + + t + t + t + t RR ( t s + t ) -.7. Meetkudige rij t, t, t 3,... is ee meetkudige rij ls de volgede term uit de voorgde volgt door vermeigvuldigig met ee positief vst getl. Dit vst getl is de rede e wordt voorgesteld door q. Er zij dlede e stijgede meetkudige rije l rgelg de vermeigvuldiger groter of kleier is d. Voorbeeld 0,0,40,80,60 e 3,6,8,4,, De som v de terme v ee meetkudige rij k gevode worde met de formule s MR q t q Drbij is t : de eerste term q: de rede Toegepst op het eerste voorbeeld: S 5 MR Cijfervoorbeeld Ee bkistellig die sprdeposito's beheert, ket i de loop v éé burgerlijk jr ekelvoudige itrest toe tege ee werkelijke rete v 6% e bereket deze per hlve md of quizie. Op het eide v elk burgerlijk jr worde de itreste gekpitliseerd e bregt het bekome sldo rete voort op smegestelde itrest tege ee werkelijke rete v 8%. Ee persoo stort om de 4 dge, de eerste ml i de eerste week v juri, 5 euro op het depositoboekje e dit gedurede 0 jr. De ltste v deze stortige wordt uitgevoerd i de tweede helft v december v het 0 de jr. We zoeke het slotsldo wrover de persoo zl beschikke 0 jr. De eerste stortig geeft recht op 3 hlve mde itrest. Op 3 december bereikt deze stortig ls slotwrde 6,4375, l , De tweede stortig (die uit de tweede helft v juri) bereikt op 3 december, hlve mde itrest, ls slotwrde 6,375, l , BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
8 Acdemi Press 0 9 Voor de derde stortig wordt dit 6,35 of 5 + 0, ez. De voorltste stortig uit het eerste burgerlijk jr is og éé hlve md retedrged e bereikt ls slotwrde 6,065 of 5 + 0, De ltste stortig uit het eerste jr levert gee rete meer op. Bijgevolg bedrgt het slotsldo éé burgerlijk jr: , De som is zó misschie mider gem om te berekee mr k ook gemkkelijk bereked worde wt de getlle RR vorme ee rekekudige rij. De som wordt d S Het slotsldo éé burgerlijk jr bedrgt dus , 06 67, 4. 4 Elk burgerlijk jr sprt de persoo dus 67,5 sme. Deze jrlijks bijee gesprde bedrge brege elk rete op tege 8% op smegestelde itrest. Hier verschijt ee veelvoudig gebruikte ficiële verrichtig m.. gelijke stortige met jrlijkse tussepoze. Het probleem bestt eri de slotwrde tege smegestelde itrest te berekee v deze opeevolgede stortige. De slotwrde uit het eerste burgerlijk jr bregt og 9 jre rete voort e groeit tot 67,5 x, ,8856. Het slotsldo v het tweede burgerlijk jr groeit og tot 67,5 x,08 8 4,4876 Het slotsldo v het tiede burgerlijk jr groeit iet meer. Bijgevolg bedrgt het slotsldo 0 jr 67,5 (,08 9 +,08 8 +, ,08 +,08 0 ). De getlle tusse hkjes vorme u ee meetkudige rij die ls we ze v chter r vore leze ls rede,08 heeft. MR Bijgevolg is de som S, 080 4, , 08 N 0 jre spre beschikt de persoo uiteidelijk over 67,5 x 4, ,83. Uiteidelijk zulle we deze som met uïteiteformules veel seller kue berekee. BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
9 Acdemi Press Oplosse v vergelijkige.8. Eerstegrdsvergelijkige Deze vergelijkige kue steeds oder de vorm x + b 0 gebrcht worde. b Door overbregig bekomt me d ls oplossig: x..8. Tweedegrdsvergelijkige Deze vergelijkige kue steeds geschreve worde ls x + bx + c 0. Voor de oplossig diet eerst de discrimit bereked: D b 4c. Als D < 0 is er gee oplossig D 0 is de oplossig x D D > 0 levert twee oplossige: l. x x - b + D b D BIJLAGE WISKUNDIGE OPFRISSING
Algebra. Dr. Caroline Danneels
Algebr Dr. Crolie Deels 1 Reële getlle 1.1 Mchte v ee reëel getl met gehele expoet IR e IN :... ( fctore) IR : 1 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 1 IR 0 e IN : Eigeschppe:, b IR e m, Z m m + m m ( ) b b b m ( ) b m (
Nadere informatie4 Differentierekening en reeksen
WIS4 4 Differetierekeig e reekse 4. Delt Differeties Differetierekeig bestudeert de differetie-opertor, gedefiieerd door f(x) = f(x + ) f(x) Vergelijk dit met differetilrekeig: de fgeleide-opertor D is
Nadere informatie1 Bewerkingen met matrices invoeren via voorbeelden. , is een commutatieve groep.
1 Bewerkige met mtrices ivoere vi voorbeelde 11 -tlle e de bewerkige ( 1, 2, 3,, ) is ee -tl met i De verzmelig v reële -tlle otere we met Defiieer de som ls ( 1, 2, 3,, ) + (b 1,b 2,b 3,,b ) = ( 1 +b
Nadere informatie16.6 Opgaven hoofdstuk 7: Producten en combinatoriek
166 Opgve hoofdstu 7: Producte e combitorie 166 Opgve hoofdstu 7: Producte e combitorie Opgve 71 1 + x) 3 1 + x) 1 + x) 2 1 + x) 1 + 2x + x 2 ) 1 + 2x + x 2 + x + 2x 2 + x 3 1 + 3x + 3x 2 + x 3 Opgve 72
Nadere informatie0 niet gedefinieerd is).
Mchte 1) Mchte et gehele exoete Volgede defiities kee we l ekele jre,...... 1 fctore (erk o dt iet gedefiieerd is). 1, Je ket ook l ee hele tijd de ekede rekeregels,,.,,,,,,.,, ) Vierktswortels e -de chtswortels
Nadere informatie0 niet gedefinieerd is).
Mchte 1) Mchte et gehele exoete Volgede defiities kee we l ekele jre fctore R, N R (erk o dt iet gedefiieerd is) 1 1 R, N Je ket ook l ee hele tijd de ekede rekeregels R,, Z R,, Z R Z,,,, R Z, R, Z R )
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Examencursus
Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en
Nadere informatie1. Hebben de volgende rijen een limiet, en zo ja, bepaal die dan: (i) u n = sin(πn) (d) u n = cos(2πn) (l) u n = log n
Hoofdstuk 1 Limiet va ee rij 1.1 Basis 1. Hebbe de volgede rije ee iet, e zo ja, bepaal die da: (a) 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... (b) 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49,... (c) 1, 8, 7, 64, 15,... (d) u = ( 1) (e) u =
Nadere informatie1) Definitie, rekenkundige en meetkundige rijen
Rije ) Defiitie, reeudige e meetudige rije ) Defiitie e ottie Ee rij is ee fbeeldig v u : u, u, u,, u, N i R We otere ee rij ls ( ) 3 Hierbij zij u, u, u 3, de terme v die rij, e u is de lgemee term v
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5
INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24
Nadere informatieWe kennen in de wiskunde de volgende getallenverzamelingen:
Masteropleidig Fiacial Plaig Kwatitatieve Methode Relevate wiskude We kee i de wiskude de volgede getalleverzamelige: De atuurlijke getalle: N = {0,,,,4, } De gehele getalle: Z = {, -,-,-,0,,,, } (egels:
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieRekenen in Ê. Module De optelling. Definitie
Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4
Nadere informatieHoofdstuk 2: Bewerkingen in R
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen
Nadere informatieRATIONALE GETALLEN BREUKSTREEP. Een breuk kunnen we beschouwen als een quotiënt. 3,00 4 4 0 0,75 30
Breuken en hun decimle schrijfwijze Benmingen in een breuk Teller Noemer 3 TELLER (dit geeft het ntl gekleurde delen n) BREUKSTREEP NOEMER (dit geeft het totl ntl delen n) Breuk omzetten in deciml getl
Nadere informatie4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat
Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste
Nadere informatieHet differentiequotiënt van een functie in een interval geeft de gemiddelde helling weer van die functie in dat interval. Symbolisch wordt dit:
Afgeleide ) Het begrip fgeleide ) Ileidig Bij de wielerwedstrijd De Wlse Pijl kome de reers op de muur v Hoei Zols je k ie op de figuur hierst heeft dee klim ee gemiddeld stijgigspercetge v 9,8% Wiskudig
Nadere informatieMerkwaardige producten en ontbinden in factoren
6 Merkwrdige producten en ontinden in fctoren Dit kun je l 1 een mcht tot een mcht verheffen eentermen vermenigvuldigen 3 eentermen delen 4 veeltermen vermenigvuldigen 5 een veelterm delen door een eenterm
Nadere informatieRekenregels van machten
4 Rekenregels vn mchten Dit kun je l 1 mchten met een ntuurlijke exponent berekenen mchten met een gehele exponent berekenen 3 terminologie in verbnd met de mchtsverheffing correct gebruiken Test jezelf
Nadere informatieOplossingen extra oefeningen: rijen (leerstof RR, leerstof MR)
Oplossige extra oefeige: rije (leerstof RR, leerstof MR) Beschouw de rij ( u ) = 3,5,9,7,33, () Geef de volgede twee terme uit deze rij ( u e u 7) Defiieer deze rij (je mag kieze tusse ee expliciete of
Nadere informatieAppendix A: De rij van Fibonacci
ppedix : De rij va Fiboacci Het expliciete voorschrift va de rij va Fiboacci We otere het het e Fiboaccigetal met F De rij va Fiboacci wordt gegeve door: F F F F 4 F F 6 F 7 F De volgede afleidig is gebaseerd
Nadere informatieVerzamelingen. De natuurlijke getallen. = 0 verzameling van de strikt natuurlijke getallen. De gehele getallen
Verzmelingen De ntuurlijke getllen = {,1,2,3,4,... } = verzmeling vn de strikt ntuurlijke getllen De gehele getllen = {..., 3, 2, 1,,1,2,3,... } = verzmeling vn de strikt gehele getllen + = verzmeling
Nadere informatieRijen. 6N5p
Rije 6N5p 0-03 Rije Ileidig I de wiskude werke we vaak met formules e/of fucties die elke mogelijke waarde aa kue eme. Als bijvoorbeeld f( x) = 5x + 5x 3, da ku je voor x (bija) elke waarde ivulle e ka
Nadere informatieComplexe getallen. c(a+ib)=ca+i(cb) id(a+ib)=i(ad)+i 2 (bd)=(-bd)+i(ad) (a+ib)(c+id)=ac+i(ad)+i(bc)+i 2 (bd)= ac-bd+i(ad+bc)
. Ileidig: Complexe getalle I de wiskude stelt zich het probleem dat iet bestaat voor de reële getalle of dat de vergelijkig x + 0 gee reële ulpute heeft. Om dit euvel op te losse werd het getal i igevoerd
Nadere informatieVerloop van exponentiele en logaritmische functies
Verloop v epoetiele e loritmische fucties ) Herhli ) Defiitie e rfiek v epoetiële fucties Ee epoetiële fuctie is ee fuctie met voorschrift vk eoteerd ls ep Hierst st ekele rfieke v epoetiële fucties eteked
Nadere informatieExact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode
Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde
Nadere informatiePARADOXEN 9 Dr. Luc Gheysens
PARADOXEN 9 Dr Luc Gheyses LIMIETEN, AFGELEIDEN EN INTEGRALEN: ENKELE MERKWAARDIGE VERHALEN Ileidig: verhale over ifiitesimale Ee ifiitesimaal (of ifiitesimaal kleie waarde) is ee object dat mi of meer
Nadere informatieVideoles Discrete dynamische modellen
Videoles Discrete dyamische modelle Discrete dyamische modelle Orietatie Algebraisch Algebraisch/ umeriek Numeriek Maak de volgede rijtjes af: Puzzele met rijtjes a. 2 4 6 8 10 - b. 1 2 4 8 16 - c. 1 2
Nadere informatieDeel D. Breuken en algebra n
Deel D Breue e lgebr 9 9 7 7 7 9 0 Reee et stroe (). stt voor ee obeed tuurlij getl 7 9 0 Met wordt bedoeld e dus oo 0 0 Vul i: et wordt bedoeld... e dus oo... Vul oo de vjes v de stroo i: Tel de getlle
Nadere informatien n n bedoelen we uiteraard dat n N : 0 f x divergeert naar + of.
Limiete Defiities a Limiet voor a I het hoofdstuk ratioale fucties i het begi va dit schooljaar zage we reeds dat zulke fucties soms perforatiepute hebbe De fuctiewaarde i zo put bestaat iet, maar de grafiek
Nadere informatieHet reëel getal b is een derdewortel van het reëel getal a c. Een getal en zijn derdewortel hebben hetzelfde toestandsteken.
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. 1. Derdewortel vn een reëel getl (oek pg 7) Een derdewortel vn het reëel getl is dus een getl wrvn de derdemcht gelijk is n. Vooreelden:
Nadere informatieelement (of de rol van nul bij opt)
- 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Voor elk koppel reële getllen De optelling is overl gedefinieerd estt er een reëel getl dt hun som is., R R + De optelling is ssoitief Een som vn reële
Nadere informatieelement (of de rol van nul bij opt)
Atheneum Wispelerg - Wispelergstrt - 9000 Gent Bijlge - Leerfihes (3 e jr 5uur wiskunde) Eigenshppen vn de ewerkingen in R Nm Kls. - 1 - Leerfihe 1 Eigenshppen vn de optelling in R Nm vn de eigenshp Eigenshp
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieInleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Nadere informatieDuurzaam (ver)bouwen. Noordoost-Brabant 2013-2016
t e v o C l io g Re Duurzm (ver)bouwe Noordoost-Brbt 2013-2016 e w u o b e m S d i e h m duurz Duurzm Bouwe Grodstoffe worde schrser, het eergievrgstuk ijpeder e os klimt verdert. Duurzm bouwe e verbouwe
Nadere informatieHoofdstuk 1 - Rijen ) = bladzijde ; voor x = 11 is y = = 55. te rekenen omdat die ook met hele stappen toeneemt.
Hoofdstuk - Rije bladzijde V-a Als x steeds met toeeemt, da eemt y met toe. b Voor x is y + 5 ; voor x is y + 55. c De waarde va x eemt met hele stappe toe. De waarde va y is da makkelijk uit te rekee
Nadere informatieAnalyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Nadere informatie7.1 Recursieve formules [1]
7.1 Recursieve formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is ee getallerij. De getalle i de rij zij de terme. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is de vijfde term (u
Nadere informatie1. Recursievergelijkingen van de 1 e orde
Recursievergelijkige va de e orde Rekekudige rije Het voorschrift va ee rekekudige rij ka gegeve wordt met de volgede recursievergelijkig: u = u + b Idie we deze vergelijkig i de vorm u = u u = b otere
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2016-I
wiskude A pilot vwo 06-I Aalscholvers e vis maximumscore 3 De viscosumptie per dag is 30 0 0,36 + 696 0, 85 ( 788 (kg)) I de maad jui is dit 30 788 (kg) Het atwoord: 38 000 ( 38 duized) (kg) Als ee kadidaat
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: MEER DAN 0 JAAR ERVARING Dit document estt uit twee delen: de voorereidende opgven en een overzicht met lgerïsche vrdigheden. Mk de volgende opgven het liefst voorin
Nadere informatie1) Complexe getallen - definitie
Complexe getalle ) Complexe getalle - defiitie a) Meetkudige betekeis va het getal i Als je ee reëel getal met ee ader reëel getal vermeigvuldigt, wordt zij afstad tot de oorsprog met dit getal vermeigvuldigd
Nadere informatieConvergentie, divergentie en limieten van rijen
Covergetie, divergetie e limiete va rije TI-spire e rije 7N5p GGHM 22-23 Eigeschappe rekekudige rij b = begiwaarde v = verschil tusse twee opeevolgede terme recursieve formule: u = u + v met u = b directe
Nadere informatiewiskunde A pilot vwo 2017-II
wiskude A pilot vwo 07-II Gewicht va diere maximumscore 4 Het opstelle va de vergelijkige 3, 7 = a b e 50 = a 000 b 3, 7 Uit de eerste vergelijkig volgt a = 3, 7 b = De tweede vergelijkig wordt hiermee
Nadere informatiePeriodiciteit bij breuken
Periodiciteit bij breuke Keuzeodracht voor wiskude Ee verdieede odracht over eriodieke decimale getalle, riemgetalle Voorkeis: omrekee va ee breuk i ee decimale vorm Ileidig I deze odracht leer je dat
Nadere informatieIntegraalrekening. Georg Friedrich Bernhard Riemann Breselenz 17 september 1826 Selasca 20 juni 1866
Itegrlrekeig Georg Friedrich Berhrd Riem Breselez 7 septemer 86 Selsc 0 jui 866 Heri Léo Leesgue Beuvis 8 jui 875 Prijs 6 juli 94 I de wiskudige lyse geeft de itegrl v ee positieve fuctie ee uwkeurige
Nadere informatieBereik en waardering RTV Dordrecht - Herhalingsmeting
Bereik e wrderig RTV ordrecht - Herhligsmetig Socil Geogrfisch Bureu bureu voor beleidsoderzoek e sttistiek ordrecht drs. F.W. Witerwerp drs. J.M. Schiff september 2006 Colofo Opdrchtgever Tekst rukwerk
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieStudiekeuzecheck wiskunde deeltijd Basisvaardigheden Algebra Hoofdstuk 1 t/m 4
Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 08 Bsisvrdigheden Algebr Hoofdstuk t/m Inhoudsopgve Hoofdstuk Rekenen met letters..... Formules..... Mchten.... Worteltrekken... 6. Delen door nul kn niet... 9 Hoofdstuk
Nadere informatie3 Meetkundige voorstelling van complexe getallen
3 Meetkudige voorstellig va complexe getalle 31 Complexe getalle als pute va ee vlak Complexe getalle zij geïtroduceerd als pute va ee vlak tov ee orthoormaal assestelsel Ee dergelijk assestelsel is odig
Nadere informatieWISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel
Nadere informatieHoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek
Nadere informatieRijen met de TI-nspire vii
Rije met de TI-spire vii De tore va Pisa Me laat ee bal valle vaaf de tore va Pisa(63m hoog) Na elke keer stuitere haalt de bal og ee vijfde va de voorgaade hoogte. Gevraagd zij: a) De hoogte a de e keer
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatieOVERZICHT VAN DE FORMULES
80 OVERZIHT VN DE FORMULES Goioetrie Fucties op de goioetrische cirkel si² cos² si tg si cos tg cotg Relties Wrdes v veel voorkoede hoeke 0 0 45 60 90 si 0 cos 0 tg 0 - Goioetrische fucties i rechthoekige
Nadere informatie5.1 Hogeremachtswortels [1]
5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij
Nadere informatie1.1 EEN KONIJNENHISTORIE EN MEER
DE RIJ VAN FIBONACCI. EEN KONIJNENHISTORIE EN MEER.. Historiek Fiboacci is beter beked als Leoardo Pisao, ofwel Leoard va Pisa. Omdat hij lid was va de familie Boacci werd hij ook wel Fiboacci (filius
Nadere informatieWiskundige Analyse 1
Wiskundige Anlyse 1 Belngrijkste stellingen 1 Getllen Driehoeksongelijkheid : b ± b + b Supremumprincipe : Elke nietlege verzmeling reële getllen die nr boven begrensd is, heeft een supremum Infimumprincipe
Nadere informatieopgave Opgave Bepaal de convergentiestralen van de volgende machtreeksen: (n + 1)! n! = lim n = lim (n + 1)!/(2n + 2)! n!/(2n)!
opgave 7 7 Bepaal de covergetiestrale va de volgede machtreekse: a!z ; b! (! z ; c 3 z! ; d z! a Zij a!, da lim ( +!! ( +, dus R 0 b Zij a!, da (! lim ( +!/( +!!/(! ( + 0, dus R c Zij a 3, da! lim 3 +
Nadere informatieEigenschappen van de bewerkingen in R Toets jezelf: herhalingsoefeningen voor examen I
Toets jezelf: herhlingsoefeningen voor emen I - - Overzicht vn wt je moet kennen voor dit emen:. Alger:. Hoofdstuk : Reële getllen. Hoofdstuk : Eigenschppen vn de ewerkingen in R o Optellen, ftrekken,
Nadere informatieEOA. Eentermen: optellen en aftrekken van gelijksoortige! eentermen
Eenterm: getlwrde berekenen vervng de letters door hun wrde (hkjes?) ) werk uit met resecteren voorrngsregels getlwrde vn voor x en y 1 xy 1 1 Eentermen: otellen en ftrekken vn gelijksoortige! eentermen
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatied 25, 35, 47 of27, 43, 69 b 2, 27, 10240, 100, e = 287 u( n) = 243 ( ) n
Netwerk 4-5 vwo wiskude D Hoofdstuk 8 uitwerkige Hoofdstuk 8 Ker a 3, 37, 43 c 5, 3, 49 b, 3, d 5, 35, 47 of7, 43, 9 a,, 3, 5, 7 d 0,,,, 0 b, 7,, 3, 8 e 35, 35, 35, 35, 35 c 5, 0, 0, 40,80 f 0,, 8, 7,
Nadere informatieUITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B2
UITWERKINGEN VOOR HET VWO NETWERK VWO B HOOFDSTUK 9 KERN RIJEN a) Zie ook plaatje..., wat ieder mes schudt de had va twee adere. Dele door twee, wat bij de worde de pare hade dubbel geteld. b) c) d) ;
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Stoomcursus
Voorereidende opgven Stoomcursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt geruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het eknopt overzicht
Nadere informatieReeksen. Convergente reeksen
Reekse Reekse Defiitie, otatie e voorbeelde Defiitie: Eereeks is ee koppel ( ) {u } l, {s } l met s = u k = u l + u l+ + u l+2 +...+ u + u k=l u l = s l, u = s s, = l +, l +2,... {u } l oemt me de termerij,
Nadere informatieHandout bij de workshop Wortels van Binomen
Hadout bij de workshop Wortels va Biome Steve Wepster NWD 014 Verbeterde versie 1 Historische achtergrod Klassieke Griekse meetkude: I de klassieke Griekse meetkude zoals we die bijvoorbeeld bij Euclides
Nadere informatieRinse Poortinga Lineaire Algebra en Voortgezette Analyse. 2 Lineaire afbeeldingen
Rise Poortig Lieire Algebr e Voortgezette Alyse 2 Lieire fbeeldige Ihoud: 2 Lieire fbeeldige 22 Rije- e koloerg 23 rspoere 24 De deterit 25 De oplossige v ee stelsel lieire vergelijkige 26 Guss-eliitie
Nadere informatieHandig rekenen met eigenschappen G15 + + + + + ( 14 + 24) + (3 19) 10 16 = 6 (6 + 14) + (5 + 55) 20 + 60 = 80 (27 + 35) + ( 12 58 3) 62 73 = 11
84 V** Vul binnen de hkjes de juiste tekens in zodt de gelijkheden kloppen. De letters stellen gehele getllen voor. + + + + + + + + + b + + d + e f = (... b...... d... e... f ) b b + + d + e f = ( b) +
Nadere informatieOpgaven OPGAVE 1 1... OPGAVE 2. = x ( 5 stappen ). a. Itereer met F( x ) = en als startwaarden 1 en 100. 100...
Opgave OPGAVE 1 a. Itereer met F( ) = e als startwaarde 1 e 1. 16 1............... 16 1............... b. Stel de bae grafisch voor i ee tijdgrafiek. c. Formuleer het gedrag va deze bae. (belagrijk is
Nadere informatieWPP 5.2: Analyse. Oplossing onderzoeksopdrachten
WPP 5.: Aalyse oderzoeksopdrachte Oderzoeksopdracht leerboek bladzijde 0 Limiet va ee rij : defiities Beschouw de rij u :,,, 4,.... Bepaal de algemee term u. Via PC / GRT bepaal je de tabel e teke je
Nadere informatiePraktische opdracht: Complexe getallen en de Julia-verzameling
Praktische opdracht: Complexe getalle e de Julia-verzamelig Auteur: Wiebe K. Goodijk, Zerike College Hare Beodigde Voorkeis: 1 = i Het complexe vlak. Notatie: z = a + bi of z = r(cosϕ + i si ϕ) Regel va
Nadere informatieHoofdstuk 6 : Veeltermen
- 8 - Hoofdstuk 6 : Veelterme Evetjes herhale! Veelterme i éé obepaalde: Elke uitdrukkig va de gedaate a 0 + a + a +... + a + a + a0 waarbij a a, a,... 0, a R e N oeme we e veelterm i de obepaalde Beamige
Nadere informatieMatrixrekening - Samenvatting
I. Ekele defiities Ee mtri is ee tel v getlle trirekeig - Smevttig = i m j i m ottie = ( De i-de r v estt uit: i i De j-de kolom v estt uit: j Het (i,j-de elemet v is het elemet o de i-de r e de j-de kolom:.
Nadere informatieB C D E Welke rij is noch een Rekenkundige. noch een Meetkundige Rij? A B C D E
Naam : Klas:.Datum: Ma 0 sept. 00 Rechterkat als kladblad gebruike A. 5067 De rij x, x+, x+,... is rekekudig als x gelijk is aa ) ) ) 4) 4 5) 0 6) 4 7) 8) ee getal tusse e 0 B. 57 80 De legtes a, b e c
Nadere informatieLagrange-polynomen. Dick Klingens september 2004
Lgrge-polyome Dck Klges september 004 1. Probleem V ee fucte f s, hetzj door metg, hetzj door berekeg, slechts ee edg tl fuctewrde (her + 1 beked: f( x0, f( x1,, f( x We wlle deze (verder obekede fucte
Nadere informatieFormeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen
1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende
Nadere informatiePraktische opdracht Optimaliseren van verpakkingen Inleidende opgaven
Prktische opdrcht Optimliseren vn verpkkingen Inleidende opgven V, WB Opgve 1 2 Gegeven is de functie f ( x) = 9 x. Op de grfiek vn f ligt een punt P ( p; f ( p)) met 3 < p < 0. De projectie vn P op de
Nadere informatie2. Limiet van een rij : convergentie of divergentie
2. Limiet va ee rij : covergetie of divergetie 2. Eigelijke of eidige limiet 2.. Voorbeeld I ee bos staa 4 bome. De diest bosbeheer zal jaarlijks 2% bome kappe e ieuwe aaplate. Zal het bos verdwije? Zal
Nadere informatieINLEIDING FYSISCH-EXPERIMENTELE VAARDIGHEDEN (3A560) , ANTWOORDEN. en y m.b.v. y = n
INLEIDING FYICH-EXEIENTELE VAADIGHEDEN (3A56 3-1-, ANTWOODEN OGAVE 1 (a y wordt bereked mb y ³ e y mb y Uit de laatste ergelijkig ide we y i ³ x1 1 + + x ³ x1 1 + + x ³ + j6i i j xj y + j6i i j xj Omdat
Nadere informatieDus n n (a + b) n = a n + a n 1 b + heet een binomiaalcoëfficiënt (uitspraak n boven k ). Newton vond de
CONTINUE WISKUNDE: BINOMIUM VAN NEWTON EN RECURRENTE BETREKKINGEN Het Biomium va Newto Het Biomium va Newto is ee uitdruig voor a + b), waarbij a e b willeeurige getalle zij, e ee atuurlij getal I deze
Nadere informatieJulian gooit 20 keer met een dobbelsteen. Bereken de kans dat hij precies 5 keer een zes gooit.
- Test Hfst D kasrekeig - Kase ofwel exact ofwel afgerod op decimale geve. ( x p) Tim gooit drie keer met ee gewoe dobbelstee. Na zij derde worp telt hij het aatal oge va de drie worpe bij elkaar op. Bereke
Nadere informatieAFSTANDEN EN HOEKEN IN
AFSTANDEN EN HOEKEN IN Kls 6N e 7N K. Temme INHOUD. DE AFSTAND AN TWEE PUNTEN.... DE AFSTAND AN EEN PUNT EN EEN LIJN.... DE AFSTAND AN EEN PUNT EN EEN LAK... 7. DE AFSTAND AN EEN LIJN EN EEN LAK... 9.
Nadere informatieEindexamen wiskunde A1-2 vwo 2008-II
Groepsfoto s Alle mese kippere met hu oge. Daardoor staa op groepsfoto s vaak ekele persoe met geslote oge. Sveso e Bares hebbe oderzocht hoeveel foto s je moet make va ee groep va persoe om 99% kas te
Nadere informatieEen meetkundige constructie van de som van een meetkundige rij
Ee meetkudige costructie va de som va ee meetkudige rij [ Dick Kliges ] Iets verder da Euclides deed Er wordt door sommige og wel ees gedacht dat Euclides (hij leefde rod 300 v. Chr.) allee over meetkude
Nadere informatieInleiding. 1. Rijen. 1.1 De rij van Fibonacci. 2 Zou je deze regelmatigheden kunnen verklaren met wiskunde? déäçéáç=çççê=táëâìåçé=éå=téíéåëåü~éééå=
Ileidig Waarom vorme zoebloempitte 2 bochte i de ee richtig e 34 i de adere? E wat heeft ee huisjesslak te make met + 5 2 Zou je deze regelmatighede kue verklare met wiskude? Heeft wiskude cocrete toepassige
Nadere informatieFourierreeksen. Calculus II voor S, F, MNW. 14 november 2005
Fourierreekse Calculus II voor S, F, MNW. 14 ovember 2005 Deze tekst is gedeeltelijk gebaseerd op het Aalyse BWI I dictaat e op aatekeige va Alistair Vardy. 1 Ileidig Het is vaak belagrijk ee gegeve fuctie
Nadere informatieFormularium Wiskunde
Formulrium Wiskude Te gebruike bij exme Ileidig tot de Hogere Wiskude Trscedete fucties. Goiometrische fucties t x = tg x = si x cos x cot x = cotg x = cos x si x sec x = cos x cosec x = si x cos( ± b)
Nadere informatiePROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 2009 REEKS 1
PROEFEXAMEN SOCIALE STATISTIEK November 009 REEKS Score /5. ( pute) Beatwoord volgede vraag aa de had va oderstaade SPSSoutput: Omcirkel de juiste waarde voor A e voor B als je weet dat deze verdelig bereked
Nadere informatieGehele getallen: vermenigvuldiging en deling
3 Gehele getllen: vermenigvuldiging en deling Dit kun je l 1 ntuurlijke getllen vermenigvuldigen 2 ntuurlijke getllen delen 3 de commuttieve en de ssocitieve eigenschp herkennen 4 de rekenmchine gebruiken
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen
Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt
Nadere informatieSteekproeftrekking Onderzoekspopulatie Steekproef
Steekproeftrekkig I dit artikel worde twee begrippe beschreve die va belag zij voor het uitvoere va ee oderzoek. Het gaat om de populatie va het oderzoek e de steekproef. Voor wat betreft steekproeve lichte
Nadere informatieEindexamen wiskunde A vwo 2010 - I
Eidexame wiskude A vwo - I Beoordeligsmodel Maratholoopsters maximumscore 3 uur, 43 miute e 3 secode is 98 secode De selheid is 495 98 (m/s) Het atwoord: 4,3 (m/s) maximumscore 3 Uit x = 5 volgt v 4,4
Nadere informatieBoek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..
Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.
Nadere informatie