1 Stelsels lineaire vergelijkingen

Transcriptie

1 1 Stelsels lineaire vergelijingen 1.1 Methode van Gauss (p. 50) Omzetten naar bovendriehoesvorm Achterwaarste substitutie Om meerdere stelsels (zelfde coëfficiëntenmatrix A, verschillende rechterleden B) op te lossen: LU-decompositie. P is een permutatiematrix die ervoor zorgt dat de pivotelementen niet gelij aan nul worden. L = R = L R = P A Er geldt oo T (P A) = = R T 1 = L Meerdere stelsels oplossen (p. 60) A X = B P A X = P }{{ B } B L R X }{{} Y = B L Y = B = Oplossen van Y door voorwaartse substitutie uit L Y = B, waarna R X = Y = X an gevonden worden (achterwaartse subsitutie) uit R X = Y. 1.2 Gauss-Jordan (p. 51) Na methode van Gauss nieuwe elementaire rijtransformaties toepassen om het tot de eenheidsmatrix op te zetten. Bijna nooit gebruit; levert meer wer op dan Gauss

2 1.3 Methode van Crout (p. 72) Gebruit een licht gewijzigde ontbinding (geen reening houdend met P) A = L R L = R = Omzetten van Gauss naar Crout D = r r 22 0 D 1 = 0 0 r 33 r r r33 1 L C = L G D R C = D 1 L G Voordeel van Crout (p. 76) De onstabiliteit wordt geconcentreerd op welbepaalde plaatsen die men dan an optimizeren. 2 Veelterminterpolatie 2.1 Volgens Lagrange (p. 96) Gegeven {(x i, f(x i ))}, dan is algemeen y n (x) = 0 i j l i (x) f(x i ) met l i (x j ) = 1 i = j Voor l i (x) rijgen we Equidistante punten (p. 97) Lineaire interpolatie (p. 98) l i (x) = u = x x 0 l i (x) = n j=0,j i (x x j ) (x i x j ) = x n x 0 n n u j i j j=0,j i y 1 (x) = x x 1 x 0 x 1 f(x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 f(x 1 ) Nut l i (x) onafhanelij van f, unnen op voorhand uitgereend worden toevoegen extra interpolatiepunten problematisch (alle l i (x) opnieuw uitreenen) goed voor coëfficiëntenprobleem, slecht voor waardeprobleem 2.2 Volgens Newton (p. 98) Gedeelde differenties (p. 99) f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i Algemene formule (p. 101) i 1 y n (x) = f[x 0, x 1,..., x n ] (x x j ) i=0 j=0 2

3 2.3 Gregory-Newton (p. 111) Methode van Newton maar met equidistante punten y n (x 0 + λ h) = ( λ i i=0 ) i f(x 0 ) Voorwaartse differenties (p. 110) f(x ) = f(x +1 ) f(x ) n f(x ) = n 1 f(x +1 ) n 1 f(x ) Centrale differenties (p. 112) n f(x i ) = δ n f(x i+ n 2 ) δn f(x i ) = n f(x i n 2 ) Gauss formules (p. 113) Equidistante punten; springt rond het gezochte punt (waardeprobleem). Voorwaartse Gauss x 0, x 1, x 1, x 2, x 2 Achterwaartse Gauss x 0, x 1, x 1, x 2, x 2 Stirling (p. 113) Symmetrische vorm van Gauss. Achterwaartse differentie (p. 114) 2.4 Hermite interpolatie (p. 118) De interpolatie moet niet alleen door bepaalde (x i, f(x i )) gaan, er zijn oo nog een aantal eisen op de afgeleiden in deze punten. 3 Numeriee differentiatie (p. 127) Algemeen slecht geconditioneerd probleem. Algoritmen oo onstabiel. 3.1 Lagrange (p. 129) f (x) 3.2 Newton (p. 130) l i(x) f(x i ) i=0 met Alleen pratisch te gebruien in x 0. f (x) f[x 0, x 1,..., x ] π 1(x) =1 n π n (x) = (x x i ) i=0 Equidistante punten (p. 130) 3

4 4 Numeriee integratie (p. 135) Algemeen goed geconditioneerd probleem. met H de gewichten en x de abscissen. b f(x) a =0 H f(x ) Nauweurigheidsgraad exact integreren. Een wadratuurformule met nauweurigheidsgraad n an veeltermen tot en met graad n 4.1 Lagrange (p. 135) 4.2 Newton-Cotes (p. 139) H = b a l (x) dx Equidistante punten; zie tabel p Niet nuttig voor grote n. 4.3 Samengestelde regels (p. 142) Integraal opsplitsen in deelintervallen waar de functie door een lagegraadsveelterm wordt benaderd Darboux: boven- en ondersom (n=0) (p. 142) Rechthoejes waarvan hoogte gelij is aan een functiewaarde in het beschouwde interval. Ondersom f(ξ) = min x I f(x), bovensom f(ξ) = max x I f(x). Beide omen naar elaar toe als I leiner wordt. Methode convergeert traag ( 1 n ) Middelpuntsregel (n=0) (p. 144) Zelfde als Darboux, maar men iest als ξ = b a 2. Nauweurigheidsgraad 1. Convergeert 1 n Trapeziumregel (n=1) (p. 145) Lineaire interpolatie in el interval. Equivalent met herhaalde Newton-Cotes met n = Simpson (n=2) (p. 146) Interpolatie van tweede graad voor el subinterval (interpolatiepunten: uiteinden en midden). Men gebruit Newton- Cotes met n = Automatische integratie (p. 147) Trapeziumregel (p. 148) I +1 = 1 2 I + h +1 x (+1) 2i+1 h +1 = 1 2 h Simpson (p. 149) Middelpuntsregel (p. 150) 5 Differentiaalvergelijingen (p. 156) 5.1 Taylorrees (p. 158) Leidt tot ingewielde uitdruingen. Zelden gebruit. 4

5 5.2 Eenstapsmethoden Euler (p. 158) Gegeven dan is y = f(x, y) y +1 = y + h f(x, y ) Orde = Cauchy (p. 162) Orde = 2. Aanpassing van Euler, door de afgeleide voor y +1 niet te nemen in x, maar in x + 1. Wert dus in twee 2 stappen y (x i ) = f(x i, y i ) y (x i+ 1 2 ) = f(x i + h 2, y = y + h 2 y (x i )) y +1 = y + h y (x i+ 1 2 ) Heun (p. 163) Orde = 2. Wert via integratie. x+1 y(x +1 ) = y(x ) + +1 y +1 y = f(x, y) dx x Integraal uitweren m.b.v. Newton-Cotes (n = 2). y(x +1 ) = y + h 2 ( ) f(x, y ) + f(x +1, y +1 ) y +1 omt hier in beide leden voor. Voor het rechterlid gebruien we een predictor (= y +1 volgens Euler), waarna we het terug invullen om de waarde van y +1 volgens Heun te vinden. y P +1 = y + h f(x, y ) Men an het invullen in de vergelijing meerdere malen herhalen (meerdere generaties y P ) om de nauweurigheid te bevorderen Runge-Kutta (p. 165) Zoals Heun x+1 y(x +1 ) = y(x ) + +1 y +1 y = f(x, y) dx x De integraal wordt uitgewert met Newton-Cotes (n 3). De y +(0,1) waarden worden telens opgebouwd vanuit y. 5.3 Meerstapsmethoden (p. 169) Adams-Bashforth (p. 169) x+1 y(x +1 ) = y(x ) + +1 y +1 y = f(x, y) dx x De integraal wordt gedaan over een interpolatie van f door x, x 1,.... Hogere graden afgeraden. x+1 y(x +1 ) = y(x ) + I[x, x 1, x 2,...] dx x Er wordt dus geïntergreerd over een stu buiten het interpolatie interval (men extrapoleert dus). 5

6 5.3.2 Adams-Moulton (p. 171) Zelfde als Adams-Bashfort, maar de interpolatie bevat nu oo het punt x +1. Om de waarden van f hier te ennen, hebben we echter oo y +1 nodig, hiervoor wordt een predictor gebruit. x+1 y(x +1 ) = y(x ) + I[x +1, x, x 1, x 2,...] dx x Adams-Bashfort-Moulton (p. 171) Adams-Bashfort wordt gebruit als predictor die dan gebruit wordt in Adams-Moultin (slechts 1 corrector stap) BDF (p. 172) Goede stabiliteit voor stijve differentiaalvergelijingen. 6 Oplossen niet-lineaire vergelijingen (p. 6) 6.1 Bisectie (p. 7) Interval herhalend in twee delen. 6.2 Secant-methode (p. 10) Gegeven x 0 en x 1 tret men er een rechte door (lineaire interpolatie) en zoet men het snijpunt x 2 met de X-as. Herhalen voor x 1 en x 2. Kan divergeren. 6.3 Regula falsi (p. 15) Gegeven x 0 en x 1 tret men er een rechte door waarvan men het snijpunt x 2 met de X-as zoet. Men gooit nu x 0 of x 1 weg zodat we twee y waarden overhouden met verschillend teen. Op deze manier zijn we zeer dat het nulpunt zich in het beschouwde interval bevindt. 6.4 Deer-Brent (p. 18) 6.5 Newton-Raphson (p. 20) Lineaire benadering, gaande door het punt (x, y) en raend aan de romme in dit punt. Zoeen snijpunt met X-as, en van hieruit opnieuw beginnen. 6.6 Whittaer (p. 22) Richtingscoëfficiënt raalijn wordt gedurende meerdere stappen behouden (afgeleide uitreenen is duur). 6.7 Muller (p. 24) Gegeven x 0, x 1 en x 2 stellen we een parabool op door deze drie punten. Het snijpunt dat het dichtst bij x 2 ligt, wordt behouden (doordat x 2 het laatst beomen punt is). 6.8 Inverse interpolatie (p. 27) Interpolatie opstellen van de inverse en dit evaluaren naar Halley (rationale interpolatie) (p. 28) Veeltermbreu met graad 1 in teller en noemer, drie vrijheidsgraden: (2 in teller, 2 in noemer, -1 doordat men breuen an delen/vermenigvuldigen met een constante). y(x 0 ) = f(x 0 ) y (x 0 ) = f (x 0 ) y (x 0 ) = f (x 0 ) 6

7 6.10 Versnellingen (p. 46) Aiten (p. 46) ɛ (+1) ɛ () ɛ() ɛ ( 1) ρ = x (+1) x x () x x() x x ( 1) x x uit bovenstaande vergelijing oplossen geeft een extra benadering zonder de ost van een potentieel dure functieevaluatie Steffensen (p. 47) x (3) = F (F (F (x (0) ))) Bedoeling is dat men deze uitdruing an vereenvoudigen en zo drie stappen tegelij an maen Stabiliteit iteratieve methoden (p. 50) Snelle convergentie leidt tot betere stabiliteit doordat de fouten sneller unnen worden weggeïtereerd. Uiteindelije stabiliteit hangt af van de laatste stappen (hiervoor zijn er geen extra iteraties om de fout weg te weren) Stopcriteria (p. 52) Lengte van het onzeerheidsinterval. Grootte van de correctie. Grootte functiewaarde x (+1) x () < tolerantie f(x) < η Monotonietest op x () : de rij zou moeten convergeren, als x () dit gedrag niet meer vertoont, heeft men te maen met afrondingsfouten. Monotonietest op correcties. De rij bestaande uit moet dalend zijn. Bovengrens op het aantal stappen. Gebrui van de ennis van de convergentiesnelheid. x (+1) x () Specifiee stopcriteria (reening houdend met specifiee eigenschappen van gebruite functies, etc.) Absoluut of relatief stopcriterium 7 Stelsels niet-lineaire vergelijingen (p. 69) 7.1 Bisectie (p. 69) Voor n = 2 (twee vgl) heeft men 4 punten nodig die in de vier wadranten rond het nulpunt zitten. Ten sterste afgeraden. 7.2 Secant (p. 70) Levert numeriee problemen op. 7

8 7.3 Newton-Raphson (p. 71) f(x) y(x) = B + J(x (0) ) (x x (0) ) = x (1) = x (0) J(x (0) ) 1 f(x (0) ) Inverse wil men niet uitreenen, dus F (x) = x J 1 f(x) }{{} Y = Y = J 1 f(x) = J Y = f(x) Na hierin Y te hebben opgelost unnen we terug invullen F (x) = x + Y 7.4 Whittaer (p. 72) Zelfde als Newton-Raphson, maar we herbruien dezelfde Jacobiaan. 7.5 Vereenvoudigde Newton-Raphson (p. 73) Men wert component per component ipv met ganse vectoren. We weren dus terug met scalaire beweringen. Totale stap methode: el van de componenten wordt behandeld, pas als ze allemaal bereend zijn worden ze daadwerelij gebruit (voor een volgende iteratie). Enelvoudige stap methode: één componentn wordt behandeld, en deze wordt meteen al in reening gebracht om de andere componenten te verbeteren. 8 Iteratief oplossen van stelsels lineaire vergelijingen (p. 79) 9 Veeltermvergelijingen (p. 85) 9.1 Beweringen (p. 85) Evaluatie (Hornerschema) (p. 85) Evalueren afgeleiden (p. 87) Evalueren van reële veelterm voor complexe waarden (p. 88) 9.2 Bairstow (p. 93) 10 Eigenwaarden (p. 97) 10.1 Dominante eigenwaarde (Von Mises) (p. 99) A +1 X = λ X 10.2 Kleinste eigenwaarde (Wielandt) (p. 100) A (+1) X = 1 λ X 10.3 Andere eigenwaarden (p. 101) A = ( λ I A) 1 λ schatting (moet het dichtst de gezochte λ zijn). Opzoeen met Von Mises geeft 1 λ λ. 8

9 11 Optimisatie in één veranderlije (p. 106) 11.1 Afgeleiden (p. 107) is nodig maar niet voldoende. f (x ) = Veelterminterpolaties (p. 107) 11.3 Intervalreductie (p. 109) Twee punten u en v iezen binnen in het interval (a, b); afhanelij van de functiewaarden f(u) en f(v) houdt men een bepaald interval over. Herhalen Dichotomie (p. 110) Zoals intervalreductie, we iezen u en v zo opdat men een zo lein mogelij interval overhoudt. Normaal zou u = v = 1 2 (a + b), dit an uiteraard niet. We moeten dus u en v symmetrisch rond het midden van het interval iezen, met v u = resolutieafstand. Dichotomie met afgeleiden Als men de eerste afgeleide an bereenen, doet men dit telens in het midden van het beschouwde interval; afhanelij van het teen an men beslissen in wele helft het minimum zit Gulden snede (p. 111) Zoals intervalreductie/dichotomie, maar hier iezen we u en v zó dat we bij de volgende iteratie één van beide punten unnen herbruien. Zo convergeert het traag, maar hoeft men minder functieevaluaties uit te voeren. 12 Optimisatie in meerdere veranderlijen (p. 116) 12.1 Afdalingsmethodes (p. 124) Richting iezen met richtingsafgeleide 0, en een bepaalde staplengte iezen zodat men een lagere functiewaarde beomt Methode van de steilste afdaling (p. 127) Men iest de gradiëntrichting Newton-Raphson (p. 131) Benaderen door een wadrie met in x zelfde functiewaarde, gradiënt en Hessiaan. 9