x x y y Omdat de som van twee kwadraten niet negatief kan zijn, is er geen enkel punt van het oppervlak dat in het grondvlak ligt.

Transcriptie

1 Hoofdstu 4 Functies van twee of meer variabelen 4.13 Herhalingsopgaven 1a z x y 4x y 6 Doorsnijden met grondvla geeft 0 x y 4x y 6 x 4x y y 6 0 x x y y x y x y Omdat de som van twee wadraten niet negatief an zijn, is er geen enel punt van het oppervla dat in het grondvla ligt. Doorsnijden met een vla evenwijdig aan het grondvla en hoogte minstens 1 geeft een cirel. Bijvoorbeeld snijden met het vla z 5 geeft via een bereening als hierboven 5 x y 4x y 6 x y 1 4 Dit is de vergelijing van een cirel in het vla 5 Doorsnijden met achtervla x 0 geeft z met middelpunt, 1,5 en straal z y y z y y z y y z Dit is de vergelijing van een parabool. Doorsnijden met zijvla y 0 geeft z x 4x 6 z x 4 6 x z Oo dit is de vergelijing van een parabool. Hieronder staat een Maple-plot van het beschreven oppervla; het is een paraboloïde. De x-as is geteend van - tot 6, de y-as van -6 tot 6 en de z-as van 0 tot 10. 1b x 4z y

2 Doorsnijden met grondvla x 0 y x y x y of x y Dit zijn twee rechte lijnen in het grondvla. Doorsnijden met een vla evenwijdig aan het grondvla geeft een hyperbool, ies bijvoorbeeld z 1: x 4 y x y 4 Doorsnijden met achtervla x 0 geeft twee rechte lijnen 0 4 of z y y z y z Doorsnijden met een vla evenwijdig aan het achtervla geeft een hyperbool, ies bijvoorbeeld y z y z x 4 : 16 4z y 4z y Doorsnijden met zijvla y 0 : x z x z Dit geeft slechts één punt, namelij O0,0, én 0 Doorsnijden met een vla evenwijdig aan het zijvla geeft een ellips, ies bijvoorbeeld y : x z x 4z Hieronder staat een Maple-plot van het beschreven oppervla. De x-as is geteend van -6 tot 6, de y-as van -8 tot 8 en de z-as van -5 tot 5. u x y u x x x en u x e x 1 e y u u Dus geldt e x y 1 e e x y u x y Hiermee is aangetoond wat aangetoond moest worden. e x, dus e x x y e x x y e x x y e x 1 e x x y 1

3 3 Voor de gevraagde maximale relatieve fout geldt Q Q Q R I t Q R I t I t R RIt I RI t Q Q RI t I tr RItI RI t R I t RI t RI t RI t R I t 0,5 0, 05 0, , 433 1,5, Voor de gevraagde maximale relatieve fout geldt F F F m M Mm M m r γ M γ m γ r F 3 M m r r r r F F Mm γ r γmrm γmrm γmmr γmrm γmrm γmmr γmmr γmmr γmmr γmmr 5a M m r 0, 05 0, 0 0, , M m r 7, 0, 0 5, xy De impliciet gegeven functie sin xsin y e 0 is te schrijven als F x, y sin xsin y e xy F Voor d y dx geldt dan d y x dx F y F xy dy cos sin e Hieruit volgt x x y y xy dx F sin xcos y e x y 5b De impliciet gegeven functie x y ln y arctan 0 is te schrijven als x F x, y ln x y arctan y x F x, y 0, met F x, y 0, met

4 F Voor d y dx geldt dan d y x dx F y F F We bepalen eerst en afzonderlij x y F 1 1 y x y x y x x x y y x x y y x x y 1 x F y 1 y 1 y y x y y x x y y x x y 1 x F x y dy Hieruit volgt x x y x y x y dx F y1 y 1 1y y x y 6 Omdat, x 3cos en y 3sin x y de cirel met middelpunt 0,0 Voor de afgeleide van z x y O en straal 3 doorloopt geldt 3 naar de hoe geldt dz z dx z dy 6x3sin 4y3cos d x d y d 63cos 3sin 4 3sin 3cos 54sin cos 36sin cos 18sin cos 9sin 7. Voor de stationaire punten x, y geldt dat de beide partiële afgeleiden gelij moeten zijn aan 0. f f Er geldt 3x 0 6y 0 3x 6y en 3y 0 6x 0 3y 6x x y Nulstellen levert twee vergelijingen f 1 0 3x 6y 0 y x x f 1 0 3y 6x 0 x y y De tweede vergelijing invullen in de eerste geeft y y y y y y y y y y y y of 8 0 of y 0 invullen in de tweede vergelijing levert: x 0

5 y invullen in de tweede vergelijing levert: x Er zijn dus twee stationaire punten xy, 0,0 en xy,, Voor het bepalen van de aard van de stationaire punten hebben we de tweede afgeleiden nodig f f f A 6x, B 6 en C 6y x xy y Voor de Hessiaan H geldt dan H AC B 6x 6y 6 36xy 36 In het punt xy, 0,0 geldt H Hier is dus sprae van een zadelpunt. Voor de z-coördinaat van dit zadelpunt geldt z f In het punt xy,, geldt: H f Bovendien geldt: A x Hier is dus sprae van een loaal maximum. Voor de z-coördinaat van het betreffende punt geldt 3 3 0, z f, x x ,7 4, 1,8 1,3 5,0 7, 4 7,7 1 4, 0 1,8 1 1,3 5,0 30,9 y xy aantal waarnemingen: 5 Normaalvergelijingen van Gauss a 10 b0 30,9 10a 30,9 a 3, 09 3,1 a 0 b5 7, 4 5b 7, 4 b 1, 48 1,5 Gevraagde eerstegraadsfunctie y 3,1x 1,5 9 We leiden eerst de formules af waarmee a en b te bepalen zijn. Dat gaat op dezelfde manier als de afleiding van de normaalvergelijingen van Gauss voor het bepalen van een rechte lijn met de leinste wadratenmethode. We iezen een parabool, zodanig dat de som van de wadraten van de afwijingen ten opzichte van deze parabool zo lein mogelij is. Met afwijing bedoelen we de verticale afstand tussen een punt op de parabool met dezelfde x-coördinaat en het meetpunt. De waarden van y op de parabool y a bx rijgen we door invullen van de x-waarde. Bij x y x a bx hoort voor iedere waarde van de y-waarde Voor n meetpunten is de genoemde som van de wadraten f a, b a bx y n 1

6 Dit is een functie van twee onafhanelije variabelen a en b. We willen een minimale waarde van f a, b bepalen. Het is dan noodzaelij dat de partiële afgeleiden van de eerste orde gelij f f zijn aan nul. Dus moet gelden 0 en 0 a b Op vergelijbare wijze als in paragraaf 4.1 leiden we twee vergelijingen af. Let op: er staat nu x in plaats van x en de rol van a en b is verwisseld. De vergelijingen zijn b x a x x y n n bx na y 1 1 n n n , oftewel a x b x x y na b x y 4 In de gegeven situatie van de opgave geldt x x y 1,9,5 4,1 6, 4 10,0 4,9 x y 0 1,9 1,5 4,1 3 6, ,0 36,5 aantal waarnemingen: n 5 We bepalen a en b met behulp van bovenstaand stelsel en vinden a 30 b ,5 a 1,98 5a b30 4,9 b 0,50 De gevraagde vergelijing van de parabool is daarmee y1,98 0,50x. 10 Het punt C beweegt zich in een rechte lijn. Op 0 ligt C in het punt 3,4. Maa een teening van de situatie. y Voor de hoe A, die we noemen, geldt tan C t x 3t t Hieruit volgt arctan 3t De gevraagde snelheid is d dt Er geldt t bevindt C zich in het punt C 0,, op t 1

7 d d t 1 3t t 3 arctan dt dt 3t t 3t 1 3t t 9t 9t t 13t 8t 4 1 9t d 6 6 Op t 1 geldt dus: rad/s dt 13t 8t 4 5 t1 t1