Parameter-krommen benaderen in een vlak

Transcriptie

1 Parameter-krommen benaderen in een vlak Inleiding Het komt vaak voor dat we slechts gedeeltelijke informatie hebben over het vloeiende verloop van een kromme in een bepaalde ruimte Bij ruimte denken we aan het (tweedimensionale teken)- vlak, maar het kunnen meerdimensionale ruimten zijn De positie van punten in de ruimte wordt beschreven met de variabele r Vaak wordt het vloeiende verloop van een kromme bepaald door de tijd ik zal veelal een tijdsbeeld gebruiken meer algemeen wordt het vloeien beschreven met een parameter t In ieder geval wil ik me niet beperken tot de krommen van het type y = f(x), waarbij de parameter de waarde van de x-coördinaat is: de ruimte heeft geen voorkeursrichting Een zogenaamde scheve ellips is even goed als een gewone ellips De kromme is dus de (ontelbare) verzameling van positie-tijd punten: P = (r, t), waarbij nogmaals aangetekend dat bijzondere interesse uitgaat naar de vlakke tweedimensionale positie Praktisch kennen we slechts een beperkt aantal punten van de kromme Bij kennen van de kromme denk ik in eerste instantie aan de positie ( Gauss ), maar in tweede instantie ook aan de richting van de kromme ( Hermite, Bézier ), waarvan ik veronderstel dat de afgeleide bestaat op een aantal geïsoleerde punten na Een punt van aandacht is het convergeren van een benadering naar de werkelijke kromme, waarbij een fout analyse een belangrijke rol speelt Overigens zal ik de wiskunde op een zachte manier gebruiken en niet al te ver daarop ingaan Voldoende is het begrijpen van de mij bekende benaderingen Helaas heb ik geen literatuur verwijzing voor de verschillende benaderingen, zodat de benamingen Gauss, Hermite en Bézier niet als standaard moeten worden genomen, maar als aanduiding voor de essentie van de benadering dienen Voor de methodiek van de Gauss benadering verwijs ik naar Numerieke Wiskunde Opgaven van AvdSluis, TH Twente Benadering met punten: Gauss Nuldegraads Gauss benadering door één punt Stel dat van een kromme alleen het punt P 0 = (r 0, t 0 ) bekend is Het punt P = (r, t) wordt in de nuldegraads Gauss benadering r G0 gelijk gesteld aan de bekende positie: r G0 = r 0 Bij het vervangen van het punt door de nuldegraads benadering wordt de fout( error ) e G0 in de positie gemaakt: e G0 = r r G0 r = r G0 + e G0 (1) Deze fout is 0 als t = t 0, zodat volgens de fundamentaalstelling van de algebra de fout, als functie van de parameter t, kan worden geschreven als: e G0 = (t t 0 )X waarbij X een vloeiende functie is, afhankelijk van P 0 en P Na invullen van de definities blijkt: te gelden voor de factor X; expliciet geldt: r = r 0 + (t t 0 )X X = (P 0, P ) = r r 0 t t 0 = (P, P 0 ) Feitelijk is (P 0, P ) de numeriek eerste afgeleide van de kromme tussen de punten P 0 en P Belangrijk is dat de volgorde der punten er kennelijk niet toe doet De afgeleide (P 0, P ) is slechts dan 0 als r = r 0 1

2 De numeriek eerste afgeleide kan worden afgeschat met een afgeleide (mits de kromme differentieerbaar is) in een middenpunt van de kromme: dat punt waar de raaklijn evenwijdig is aan de koorde van r 0 naar r (P 0, P ) = r (τ) = r τ τ (t 0 + t)/2 De vraag waar het middenpunt ligt kan beantwoord worden door bestudering van de ontwikkeling van r r 0 rond een nader te bepalen τ Noem t τ = u, dan is: r r 0 = 0 + (u u 0 ))r τ + (u 2 u 2 0)r τ /2 + (u u 0 )O(r ) = u 0 r τ + u 0 (u + u 0 )r τ /2 + (u u 0 )O(r ) e G0 = r (τ) + (t + t 0 2τ)r τ /2 + O(r ) Met de keuze τ = (t + t 0 )/2 verdwijnt de term met de tweede afgeleide, en verkrijgen we de best mogelijke benadering van τ in de buurt van r 0! Conclusie Voor de nuldegraads Gauss benadering met punt P 0 geldt: r G0 = r 0 e G0 = (t t 0 ) (P 0, P ) e G0 = r (t m ) + O(r ) (2) Eerstegraads Gauss benadering door twee punten Met een tweede punt van de kromme P 1 = (r 1, t 1 ) wordt op zijn beurt de fout e G0 geschat, dus de functie (P 0, P ), door het variabele punt P = (r, t) te vervangen door het vaste punt P 1 = (r 1, t 1 ) Zodoende verkrijgen we de benadering van de eerstegraad r G1 (lineair in t): r G1 = r G0 + e G0 (r 1 ) = r G0 + (t t 0 ) (P 0, P 1 ) (3) De benadering van de kromme is een rechte lijn door de twee posities van de kromme r 0 en r 1, met steunpunt r 0 en richtingsvector r 1 r 0 Voor de fout e G1, die gemaakt wordt als deze eersteorde benadering wordt gebruikt, geldt uiteraard Door invullen blijkt de fout te schrijven als e G1 = r r G1 r = r G1 + e G1 (4) e G1 = (t t 0 ) ( (P 0, P ) (P 0, P 1 )) Deze fout is niet alleen 0 als t = t 0, maar ook als t = t 1 Dus kan deze worden geschreven als e G1 = (t t 0 )(t t 1 ) G1 (5) waarbij G1 een functie is afhankelijk van de punten P 0 = (r 0, t 0 ), P 1 = (r 1, t 1 ) en P = (r, t) Feitelijk is G1 de numeriek tweede afgeleide van de kromme van deze drie punten (de volgorde doet er niet toe), wat blijkt door invullen: G1 = (P 0, P ) (P 0, P 1 ) t t 1 = (P 0, P 1, P ) = (P 0, P, P 1 ) = (P 1, P 0, P ) (6) De tweede afgeleide (P 1, P 0, P ) is alleen maar nul als de drie posities op een lijn liggen, of samenvallen De numeriek tweede afgeleide kan worden afgeschat tot een tweede afgeleide in het zwaartepunt van de kromme: dat punt waar de raaklijn van de numeriek eerste afgeleide evenwijdig is aan de koorde van r 1 naar r (P 0, P 1, P ) = r τ /2 τ (t 0 + t 1 + t)/3 Ook nu rechtvaardigt de reeksontwikkeling rond t τ de keuze van het middenpunt: (P 0, P ) = r τ + (u + u 0 )r τ /2 + (u 2 + uu 0 + u 2 0)r τ /6 + 2

3 Na aftrekken van (P 0, P 1 ) en delen door t t 1 = u u 1 volgt (P 0, P 1, P ) = r τ /2 + (u + u 1 + u 0 )r τ /6 + Door de keuze u + u 1 + u 0 = t + t 1 + t 0 3τ = 0 is τ = (t 0 + t 1 + t)/3, waardoor de afhankelijkheid van de derde afgeleide verdwijnt Conclusie Voor de eerstegraads (Gauss) benadering geldt: r G1 = r 0 + (t t 0 ) (P 0, P 1 ) e Gb1 = (t t 0 )(t t 1 ) (P 0, P 1, P ) (P 0, P 1, P ) = r τ /2 + O(r (iv) ) (7) Tweedegraads Gauss benadering door drie punten Met een derde punt van de kromme P 2 = (r 2, t 2 ) wordt op zijn beurt de functie (P 0, P 1, P ) afgeschat, en verkrijgen we de tweedegraads (kwadratisch in t) benadering r G2 : r G2 = r G1 + (t t 0 )(t t 1 ) (P 0, P 1, P 2 ) De benadering van de kromme is, mits de drie posities niet op een lijn liggen, een parabool in het vlak door de drie posities r 0, r 1, r 2, met (P 0, P 1, P 2 ) als y-richting, de richting van de as van symmetrie Immers, in de y-richting is de benadering kwadratisch y = p 2 (t), in de x- richting, loodrecht op de laatste, is de benadering lineair x = p 1 (t) De grafiek heeft de vorm y = p 2 (p 1 1 (x)) = ax2 /B 2 + (b at 1 )x/b Voor de fout e G2, gemaakt als de tweedeorde benadering wordt gebruikt, geldt uiteraard e G2 = r r G2 r = r G2 + e G2 (8) Door invullen blijkt de fout (iteratief) te schrijven als een numeriek derde afgeleide e G2 = (t t 0 )(t t 1 ) (P 0, P 1, P 2, P ) (P 0, P 1, P 2, P ) = (P 0, P 1, P ) (P 0, P 1, P 2 ) t t 2 Intermezzo: Bij tweedegraads krommen is de (numerieke) 2de afgeleide constant, de (numerieke) 1ste afgeleide lineair en de tweedegraads benadering exact r = r 0 + (t t 0 )r 0 + (t t 0 ) 2 r 0 /2 (P, P 0 ) = (r r 0 )/(t t 0 ) = r 0 + (t t 0 )r 0 /2 r 1 = r 0 + (t 1 t 0 )r 0 + (t 1 t 0 ) 2 r 0 /2 r r 1 = (t t 1 )r 0 + ((t t 0 ) 2 (t 1 t 0 ) 2 )r 0 /2 = (t t 1 )(r 0 + (t t 0 + t 1 t 0 )r 0 /2) (P, P 1 ) = (r r 1 )/(t t 1 ) = r 0 + (t t 0 + t 1 t 0 )r 0 /2 (P 0, P 1, P ) = ( (P 0, P ) (P 1, P ))/(t 0 t 1 ) = r 0 /2 (P 0, P 1, P 2 ) = r 0 /2 (P 0, P 1, P 2, P ) = ( (P 0, P 1, P ) (P 0, P 1, P 2 ))/(t t 2 ) = 0 e G2 = 0 De numeriek derde afgeleide kan worden afgeschat met een derde afgeleide in een zwaartepunt van de kromme: dat punt waar de raaklijn van de numeriek tweede afgeleide evenwijdig is aan de koorde van r 2 naar r (P 0, P 1, P 2, P ) = r (τ)/6 τ (t 0 + t 1 + t 2 + t)/4 (9) Ook nu rechtvaardigt de reeksontwikkeling rond τ de keuze van het zwaartepunt: (P 0, P 1, P ) = r τ /2 + (u + u 0 + u 1 )r τ /6 + (u 2 + uu 0 + u u u 1 u 0 ))r τ /24 + 3

4 Na aftrekken van (P 0, P 1, P 2 ) en delen door t t 2 = u u 2 volgt (P 0, P 1, P 2, P ) = r τ /6 + (u 0 + u 1 + u2 + u)r τ /24 + Door de keuze τ = (t 0 + t 1 + t 2 + t)/4 wordt u 0 + u 1 + u2 + u = 0 en verdwijnt de afhankelijkheid van de vierde afgeleide Conclusie Voor de tweedegraads (Gauss) benadering geldt: r G2 = r G1 + (t t 0 )(t t 1 ) (P 0, P 1, P 2 ) e G2 = (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 ) (P 0, P 1, P 2, P ) (P 0, P 1, P 2, P ) = r τ /6 + O(r (v) ) (10) Iteratieve Gauss benadering door n + 1 punten Meer in het algemeen baseren we een nde-graads benadering r Gn op n + 1 bekende punten P 0 = (r 0, t 0 ), P 1 = (r 1, t 1 ),, P n = (r n, t n ) Dan verdwijnt de fout e Gn in elk van die punten Voor de fout geldt dus dat er een nde orde numeriek afgeleide is: r = r Gn + e Gn e Gn = r r Gn = (t t 0 )(t t 1 ) (t t n ) (P 0, P 1,, P n, P ) De volgende benadering r Gn+ van de graad n + 1 verkrijgen we door het afschatten van de fout e Gn (r) met het volgende punt van de kromme P n+1 = (r n+1, t n+1 ) (net zoals we dat eerder deden): r Gn+ = r Gn + e Gn (r n+1 ) = r Gn + (t t 0 ) (t t n ) (P 0,, P n, P n+1 ) Enerzijds geldt voor de nieuwe fout e Gn+ op grond van de constructie: e Gn+ = r r Gn+ = r r Gn (t t 0 ) (t t n ) (P 0,, P n, P n+1 ) = e Gn (t t 0 ) (t t n ) (P 0,, P n, P n+1 ) = (t t 0 ) (t t n ) (P 0,, P n, P ) (t t 0 ) (t t n ) (P 0,, P n, P n+1 ) Anderzijds moet bij elk van de gebruikte tijden t 0,, t n+1 de fout verdwijnen: e Gn+ = (t t 0 ) (t t n )(t t n+1 ) (P 0,, P n, P n+1, P ) Daaruit volgt de recursieve eigenschap van de numerieke afgeleiden : (P 0,, P n, P n+1, P ) = ( (P 0,, P n, P ) (P 0,, P n, P n+1 ))/(t t n+1 ) (11) De beginwaarde (r) = r volgt uit de eenpunts benadering Merk op, dat de numeriek afgeleide symmetrisch is in het variabele punt P en laatste punt P n+1 Maar dat geldt ook voor de voorgaande punten Ze is dus symmetrisch in alle punten, inclusief het variabele punt P Zonder bewijs merk ik op, dat de n + 1ste numerieke afgeleide van de punten P 0 P n kan worden benaderd in het zwaartepunt van de deelnemende punten τ = (t t n + t)/(n + 2): (P 0,, P n, P ) = r (n+1) τ /(n + 1)! + O(r (n+3) ) 4

5 Derdegraads Gauss benadering door vier punten Met een vierde punt van de kromme P 3 = (r 3, t 3 ) schatten we op zijn beurt de functie (P 0, P 1, P 2, P ) af Zodoende krijgen we de derdegraads ( cubic ) benadering r G3 : r G3 = r G2 + (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 ) (P 0, P 1, P 2, P 3 ) Wat betreft de grafiek van de benadering: in de richting van (P 0, P 1, P 2, P 3 ) is de benadering een derdegraads veelterm y = p 3 (t), in de richting loodrecht erop in het algemeen een tweedegraads veelterm x = p 2 (t) tenzij (P 0, P 1, P 2 ) en (P 0, P 1, P 2, P 3 ) dezelfde richting hebben als P 3 ligt op de parabool door P 0, P 1, P 2 De grafiek van de kromme is van het type By 2 +(Bx+C)y = p 3 (x) met in het algemeen C 0 Intermezzo: Neem de kromme met grafiek y = x 3 met de punten achtereenvolgens op t 0 = 0, r 0 = 0, t 1 = 1, r 1 = (1, 0), t 2 = 1/2, r 2 = (1/2, 1/8), en t 3, r 3 = (t 3, t 3 3) willekeurig (zie 3 ) De benadering is exact (P 0, P ) = ((t, t 3 ) (0, 0))/(t 0) = (1, t 2 ) (P 0, P 1, P ) = ((1, t 2 ) (1, 1))/(t 1) = (0, t + 1) (P 0, P 1, P 2, P ) = ((0, t + 1) (0, 3/2))/(t 1/2) = (0, 1) r = 0 + t(1, 1) + t(t 1)(0, 3/2) + t(t 1)(t 1/2)(0, 1) = (t, t + t(t 1)3/2 + t(t 1)(t 1/2)) = (t, t 3 ) y = x 3 (!) Voor de fout e G3, die we maken als we deze tweedeorde benadering gebruiken, geldt uiteraard e G3 = r r G3 r = r G3 + e G3 (12) De fout kan worden uitgedrukt in de numeriek vierde afgeleide van de kromme: e G3 = (t t 0 )(t t 1 )(t t 2 )(t t 3 ) (P 0, P 1, P 2, P 3, P ) (13) (P 0, P 1, P 2, P 3, P ) = ( (P 0, P 1, P 2, P ) (P 0, P 1, P 2, P 3 ))/(t t 3 ) (14) De numeriek vierde afgeleide kan worden afgeschat tot een vierde afgeleide in een zwaartepunt van de kromme: dat punt waar de raaklijn van de numeriek derde afgeleide evenwijdig is aan de koorde van r 3 naar r (P 0, P 1, P 2, P 3, P ) = r (4) (τ)/4! τ (t 0 + t 1 + t 2 + t 3 + t)/5 (15) De keuze van het middenpunt wordt gerechtvaardigd met de reeksontwikkeling rond τ: (P 0, P 1, P 2, P 3, P ) = r (4) (τ)/4! + (u 0 + u 1 + u 2 + u 3 + u)r (5) (τ)/5! + Intermezzo: Bij derdegraads krommen is de numerieke derdeafgeleide constant, de numerieke vierdeafgeleide nul en de derdegraads benadering exact Gebruik de relatieve notatie u = t t 0 r = r 0 + ur 0 + u 2 r 0 /2 + u 3 r 0 /6 r 1 = r 0 + u 1 r 0 + u 2 1r 0 /2 + u 3 1r 0 /6 (P 0, P ) = (r r 0 )/(t t 0 ) = r 0 + ur 0 /2 + u 2 r 0 /6 (P 0, P 1 ) = r 0 + u 1 r 0 /2 + u 2 1r 0 /6 (P 0, P 1, P ) = ( (P, P ) (P 0, P 1 ))/(t t 1 ) = r 0 /2 + (u + u 1 )r 0 /6 (P 0, P 1, P 2 ) = r 0 /2 + (u 1 + u 2 )r 0 /6 (P 0, P 1, P 2, P ) = ( (P 0, P 1, P ) (P 0, P 1, P 2 ))/(t t 2 ) = r 0 /6 (P 0, P 1, P 2, P 3, P ) = 0 5

6 Lagrange notatie voor Gauss benaderingen Neem weer het interval van P 0 = (r 0, t 0 ) tot P 1 = (r 1, t 1 ) en, voorzover van toepassing, tussenpunten P 2 = (r 2, t 2 ) en P 3 = (r 3, t 3 ) De lineariteit van de benadering in de gebuikte punten kan worden gebruikt om de symmetrie tussen de punten te gebruiken en tot inzichtelijkere notatie te komen Men spreekt van Lagrange notatie als de benadering (of de numerieke afgeleiden) wordt geschreven als de som van benaderingen voor een enkel punt r Gn = n L n i r i i=0 Bij de benadering komt iedere positie r i voor met factor L n i, waarin de gehele tijdafhankelijkheid zit De L n i factor is een veelterm in t De factorizering van L n i geeft, op zijn beurt, per punt een simpele Lagrange factor L i,j : L n i = n j=0,j i L i,j L i,j = (t t j )/(t i t j ) Merk op, dat L i,j (t i ) = 1 en L i,j (t j ) = 0 Eenvoudig is te controleren dat de formule klopt door invullen van alle bekende tijden Vullen we t = t k in, dan is L k,j = 1 (mits k j) en L i,k = 0 (mits k i) Dientengevolge is iedere L i = 0, omdat in het product ook L i,k voorkomt, behalve als i = k, maar dan is L k = 1 omdat in het produkt alleen Lagrange factoren L k,j = 1 voorkomen Karakteristiek voor de L n i is de som- en verwissel-eigenschap: 1 = n L n i 1 = L i,j +L j,i (16) i=0 Altijd geldt, dat de som van alle veeltermen 1 is, omdat ze is op te vatten als de benadering voor een kromme met constante waarde 1: Op dezelfde wijze gaat de Lagrange notatie van numerieke afgeleiden van n punten P 0 P n : n = I n i = 0 = n Ii n r i i=0 n j=0,j i n i=0 I n i I i,j I i,j = 1/(t i t j ) 0 = I i,j +I j,i De producteigenschap is eenvoudig te controleren door te bedenken dat bij ieder extra punt door een extra factor wordt gedeeld 6

7 Genormeerde-tijdnotatie op een interval Gebruik de mogelijkheid om de beschrijving van de ruimte en/of de tijd te herschalen om te vereenvoudigen Ruimte en tijd kunnen relatief een nulpunt worden genomen De tijd is dimensieloos te maken met een vaste tijdlengte op het interval P 0, P 1, gebaseerd op t 1 t 0 Ik spreek van genormeerde-tijdnotatie als t 0 = 0 en t 1 = 1: de tijd wordt verschoven met t 0 en genormeerd met t 1 t 0 zodat t (t t 0 )/(t 1 t 0 ) De eindpunten zijn P 0 (r 0, 0) en P 1 (r 1, 1) In de genormeerde-tijdnotatie vereenvoudigen de numerieke afgeleiden tot: (P 0, P ) = (r r 0 )/t (P 0, P 1 ) = r 1 r 0 (P 0, P 1, P ) = (r 1 r)/(1 t) (r r 0 )/t = r 0 /t + r 1 /(1 t) r/t(1 t) (P 0, P 1, P 2, P ) = (((r 1 r)/(1 t) (r r 0 )/t) ((r 1 r 2 )/(1 t 2 ) (r 2 r 0 )/t 2 )/(t t 2 ) = r 0 /tt 2 + r 1 /(1 t)(1 t 2 ) + r 2 /t 2 (1 t 2 )(t t 2 ) r/t(1 t)(t t 2 ) In de genormeerde-tijdnotatie vereenvoudigen de benaderingen tot: r G1 = r 0 + t(r 1 r 0 ) = (1 t)r 0 + tr 1 r G2 = r G1 t(1 t)((r 1 r 2 )/(1 t 2 ) (r 2 r 0 )/t 2 ) = (1 t)(t 2 t)/t 2 r 0 + t(t t 2 )/(1 t 2 )r 1 + t(1 t)/t 2 (1 t 2 )r 2 r G3 = r G2 t(1 t)(t t 2 )( r 0 /t 2 t 3 + r 1 /(1 t 2 )(1 t 3 ) + + r 2 /t 2 (1 t 2 )(t 3 t 2 ) r 3 /t 3 (1 t 3 )(t 3 t 2 )) = (1 t)(t t 2 )(t t 3 )/t 2 t 3 r 0 + t(t t 2 )(t t 3 )/(1 t 2 )(1 t 3 )r 1 + (17) + t(1 t)(t t 3 )/t 2 (1 t 2 )(t 2 t 3 )r 2 + t(1 t)(t t 2 )/t 3 (1 t 3 )(t 3 t 2 )r 3 Tijdsymmetrie voor de tussenpunt(en) van het interval betekent bij de tweedegraads t 2 = 1 2, bij de derdegraads t 3 = 1 t 2 [bijzondere waarde t 2 = 1 3] De tijdsymmetrische numerieke afgeleiden vereenvoudigen tot: (P 0, P 1, P 2 ) = (r 1 r 2 )/(1 t 2 ) (r 2 r 0 )/t 2 [= 2(r 0 + r 1 2r 2 )] (P 0, P 1, P 2, P 3 ) = (r 1 r 0 (r 3 r 2 )/(t 3 t 2 ))/t 2 t 3 [= 9/2((r 1 r 0 ) 3(r 3 r 2 ))] en de tijdsymmetrische benaderingen tot: r G2 = r 0 + t(r 1 r 0 ) 2t(1 t)(r 0 + r 1 2r 2 ) r G3 = r 0 + t(r 1 r 0 ) t(1 t)(r 0 /t 2 + r 1 /t 3 r 2 /t 2 t 3 ) t(1 t)(t t 2 )/t 2 t 3 (r 1 r 0 (r 3 r 2 )/(t 3 t 2 )) [= r 0 + t(r 1 r 0 ) 3t(1 t)(2r 0 + r 1 3r 2 )/2 9t(1 t)(t 3)(r 1 1 r 0 3(r 3 r 2 ))/2] = r 0 + tr 1 t(1 t)/t 2 (1 t 2 ) ( 1 2r 1 1 2(r 2 + r 3 ) ( 1 2 t)(r 1 2(r 1 3 r 2 )/( 1 2 t 2 ))) (18) 7

8 Standaardnotatie op een interval Ik spreek van standaard-tijdnotatie als t 0 = 1 en t 1 = 1: de tijd is verschoven met (t 1 + t 0 )/2 en herschaald met (t 1 t 0 )/2 Ik spreek van standaard notatie als het middenpunt van het interval P m = (P 0 + P 1 )/2 = (r m, t m ) het nulpunt is, met r m = (r 0 + r 1 )/2 en t m = (t 0 + t 1 )/2) De ruimte wordt verschoven met r m en de tijd met t m ; r staat voor r r m en t staat voor 2(t t m )/(t 1 t 0 ) De eindpunten zijn hierdoor tegengesteld: P 1 = (r 1, 1) en P 0 = ( r 1, 1), het middenpunt P m = (0, 0) In de standaardnotatie vereenvoudigen de numerieke afgeleiden: (P 0, P 1 ) = r 1 (P 0, P ) = (r 1 + r)/(1 + t) (P 1, P ) = (r 1 r)/(1 t) (P 0, P 1, P ) = ((r 1 r)/(1 t) (r 1 + r)/(1 + t))/2 = ( r + tr 1 )/(1 t 2 ) (P 0, P 1, P 2 ) = (r 2 t 2 r 1 )/(1 t 2 2) (P 0, P 1, P 2, P 3 ) = (( r 3 + t 3 r 1 )/(1 t 2 3) ( r 2 + t 2 r 1 )/(1 t 2 2))/(t 3 t 2 ) In de standaardnotatie vereenvoudigen de benaderingen zeer: r G1 = tr 1 r G2 = tr 1 + ((1 t 2 )/(1 t 2 2))(r 2 t 2 r 1 ) = (t t 2 )(1 + tt 2 )r 1 + (1 t 2 )/(1 t 2 2)r 2 r G3 = tr 1 + ((1 t 2 )/(1 t 2 2))(r 2 t 2 r 1 ) + (t 2 1)(t t 2 ) (P 0, P 1, P 2, P 3 ) (19) Je controleert eenvoudig, door invullen van t = 1, t = 1 en t = t 2, dat dit correct is Vanwege de 2-3 wisselsymmetrie is het dan ook correct voor t = t 3 Duidelijk te zien in de standaardnotatie zijn de rechte lijn- en paraboolbenadering Verdere vereenvoudiging ontstaat als de tussenpunt(en) van het interval tijdsymmetrisch worden gekozen Dat betekent bij de tweedegraads t 2 = 0, bij de derdegraads t 2 = t 3 De numerieke afgeleiden vereenvoudigen tot: (P 0, P 1, P 2 ) = r 2 (P 0, P 1, P 2, P 3 ) = (r (r 2 r 3 )/t 3 )/(1 t 2 3) De tijdsymmetrische standaardnotatie wordt daarmee: r G2 = tr 1 + (1 t 2 )r 2 r G3 = tr 1 + ((1 t 2 )/(1 t 2 3))(r 2 + t 3 r 1 ) (1 t 2 )(t + t 3 )(r (r 2 r 3 )/t 3 )/(1 t 2 3) = tr ((1 t 2 )/(1 t 2 3))(r 2 + r 3 t(r (r 2 r 3 )/t 3 )) (20) 8

9 Fout in het vlak bij benadering van een punt op de kromme Tot nu toe heeft de dimensie van de ruimte geen enkele rol gespeeld Dat ruimtelijk aspect komt naar voren bij afstanden, zoals in het volgende We onderzoeken de grootte van de fout die gemaakt wordt als de kromme r op het interval [t 0, t 1 ] worden vervangen door de benadering r b Altijd, onafhankelijk van het type benadering, is de fout van de benadering e b in een gegeven punt de afstand tussen werkelijke en benaderde waarde: e b = r r b (21) Als t loopt van t 0 tot t 1, dan loopt r b langs de benadering van r 0 tot r 1 Als we in de benadering van een afzonderlijk punt zijn geinteresseerd, dan hoort bij het (vaste) punt r een (dichtstbijzijnde) benaderingspunt op minimumafstand met parameter t b Daarbij moet de waarde van de parameter t b zó worden gekozen, dat de benadering zo dicht mogelijk bij het punt ligt: de fout daar is zo klein mogelijk De fout zal dan, grafisch als vector gezien, loodrecht staan op de raaklijn aan de benadering De vergelijking voor de minimale fout is: 0 = e b r b(t b ) (22) e b = min t b r(t) r b (t b ) (23) Uit deze vergelijkingen moet t b (r b, e b = r r b ) worden opgelost Als de benadering r b een veelterm in t is van de graad n, dan is, in de eerste vergelijking ( loodrecht op de benadering ), ook e b van de graad n en de raaklijn aan de benadering van de graad n 1 De graad van de vergelijking zelf is n + (n 1) = 2n 1 Is deze niet exact oplosbaar, dan is het mogelijk om iteratief een oplossing van de maximumfout vergelijking te vinden met behulp van de raaklijnmethode volgens Newton-Raphson Te beginnen met t b0, vinden we sucessievelijk een volgende waarde; een waarde t b levert een volgende t b+ op: t b+ t b = e b (t b ) r b (t b) r b (t b) 2 e b (t b ) r b (t b) Bekend is dat deze methode snel convergeert: in enkele stappen wordt met grote nauwkeurigheid de verlangde limietwaarde van t b bereikt Door substitutie van t = t b wordt het benaderingspunt r b gevonden, waarmee de fout e b = r r b Omdat de minimale foutvector loodrecht op (de raaklijn aan) de benadering staat, kunnen we alternatief de minimale fout vinden uit de component van de fout loodrecht op de benadering: (24) e Bb = (e b r B (t b )) r B (t b )/ r b(t b ) 2 = (e Bb r b(t b )) r B (t b )/ r b(t b ) 2 e b = max t b e Bb (25) Merk op, dat we hier de maximumafstand zoeken van de loodrecht component Fout bij Gauss-benadering van de punten op de kromme Zijn we bovendien geinteresseerd in de benadering van de kromme als geheel, dan kiezen we het punt r op de kromme zó, dat de bijbehorende fout (loodrecht op de benadering) zo groot mogelijk is De foutvector staat dan tevens loodrecht op de raaklijn aan de kromme, dus: de raaklijn aan de kromme en de raaklijn aan de benadering zijn evenwijdig Voor de maximale fout bij de benadering van een kromme geldt: 0 = e b r (t) (26) Als de kromme een vergelijking van de graad k n is, dan is de loodrecht op de kromme vergelijking van de graad 2k 1 Tezamen met de minimale fout vergelijking zijn deze vergelijkingen 9

10 hoogstens van de graad 2n 2 = 2(n 1), door achtereenvolgende eliminatie van alle machten groter of gelijk aan 2n 1 Een tweedegraads benadering geeft dus al een tweedegraads vergelijking, die weliswaar oplosbaar is, maar niet eenvoudig Zijn de vergelijkingen niet exact oplosbaar, dan wordt de kromme r benaderd met een benadering r Bn+ van de graad n + 1 Zoals we zagen wordt deze benadering verkregen door in e b het punt r te vervangen door r n+1 : r Bn+ = r Bn + e bn (r n+1 ) e bn (r n+1 ) = p n+1 (t) (r 0, r 1,, r n, r n+1 ) p n+1 (t) = (t t 0 ) (t t n ) Na invullen van de verschillende benaderingen zoeken we voor het punt met maximale fout de oplossing van: 0 = e b (r Bn(t) + e bn (r n+1 ) (t)) = e b (r Bn(t) r Bn(t b ) + e bn (r n+1 ) (t)) e b r Bn+ (t) r Bn (t b ) = r Bn (t) r Bn (t b ) + e bn (r n+1 )(t) Merk op, dat voor t = t b de fout gelijk is aan e b = e bn (r n+1 )(t b ) Die is maximaal als 0 = e bn (r n+1 )(t) e bn (r n+1 ) (t) = 0 = p n+1 (t)p n+1(t) = 0 = p n+1 (t) 0 = p n+1(t) Samengevat: de fout bij t = t b kan alleen extreem zijn als dan ook de foutveelterm p n+1 extreem is Wat betreft de keuze van r n+1 : zoals eerder aangegeven is dat gunstig in het zwaartepunt van het interval t n+1 = τ = (t t n )/(n + 1), en dus r n+1 = r τ Fout bij een eerstegraads Gauss-benadering van een kromme Pas de raaklijnmethode toe op de eerstegraads benadering r B1 om de waarde t b te vinden bij een bekend punt van de kromme r Benadering en afgeleiden zijn: Met startwaarde t b0 = t 0 is r B1 r 0 = (t t 0 ) (r 0, r 1 ) r B1 = (r 0, r 1 ) = r r B1 = 0 r B1 (t 0 ) = r 0 e b1 (t 0 ) = r r 0 en de volgende geïtereerde waarde is, omdat de eerste afgeleide constant is, direct de oplossing t b1 : t b1 t 0 = ((r r 0 ) r)/ r 2 r B1 r B0 = ((r r 0 ) r) r/ r 2 e b1 e b0 = ((r r 0 ) r) r/ r 2 De grafische interpretatie is als volgt Het punt r wordt geprojecteeerd op de koorde r 1 r 0 als r B1 De eersteorde foutvector r r 0 is te splitsen in een deel langs de koorde, dat is de eerstegraads benadering, en een deel loodrecht op de koorde, dat is de fout in de eerstegraadsbenadering Uitwerking geeft de component van de fout in de eerstegraads benadering: e b1 = ((x x 0 )(y 1 y 0 ) (y y 0 )(x 1 x 0 )) / r (27) Voor de fout van het punt r van de kromme, op het interval r 0 r 1, waar de fout maximaal is, vinden we door nogmaals differentiëren de vergelijking voor het punt met grootste fout (verste punt): 0 = x (y 1 y 0 ) y (x 1 x 0 ) 10

11 Afschatten van e b1 in het zwaartepunt τ = (t 0 + t 1 )/2 geeft: r B1 r B0 = (t t 0 ) (r 0, r 1 ) + (t t 0 )(t t 1 )r τ /2 r B1 = (r 0, r 1 ) + (t (t 0 + t 1 )/2)r τ Invullen in de vergelijking voor het verste punt en uitwerken resulteert in: 0 = (t τ)x τ (y 1 y 0 ) (t τ)y τ (x 1 x 0 ) De oplossing is t = τ, in overeenstemming met de algemene theorie t = t b = τ De maximale component van de fout in de eerstegraads benadering is: max e b1 = ((x τ x 0 )(y 1 y 0 ) (y τ y 0 )(x 1 x 0 )) / (r 0, r 1 (28) Fout bij tweedegraads interpolatie benadering van een kromme Neem als benadering van de kromme de tweedegraads interpolatie door de punten r 0, r 1 en r 2 Een punt r van de kromme heeft een tweedegraads benadering r B2 Het verschil, en de afgeleiden van het verschil, zijn evenredig met 2 r = (r 0, r 1, r 2 ): (r B2 r B1 ) = (t t 0 )(t t 1 ) 2 r (r B2 r B1 ) = (2t (t 0 + t 1 )) 2 r = 2(t (t 0 + t 1 )/2) 2 r (r B2 r B1 ) = r B2 = 2 2 r In dit tweedegraads geval is r B2 constant(hangt niet van t af), omdat r B1 = 0 Het benaderingspunt r b moet voldoen aan de derdegraads minimumfout vergelijking: 0 = e b2 r B2 11

12 Benadering met punten en afgeleidepunten: Hermite Eerstegraads Hermite door een afgeleidepunt We noemen een punt van een kromme een raakpunt als, naast positie en tijd, ook de richting van de afgeleide bekend is; is (bovendien) de afgeleide zelf bekend dan heeft het raakpunt een afgeleidepunt Als het raakpunt P = (r, t) is, dan is het afgeleidepunt P = (r, t) Een benadering waarbij in het raakpunt beide, punt en afgeleidepunt, correct zijn noemen we een Hermite benadering; notatie r Hn De eerstegraads Hermite benadering wordt bepaald door de eerstegraads Gauss benadering, gebaseerd op de punten P 0 en P 0+ in de limiet naar P 0 : r H1 = r 0 + (t t 0 ) lim (P 0, P 0+ ) lim (P 0, P 0+ ) = lim ((r 0+ r 0 )/(t 0+ t 0 )) = r 0 e H1 = (t t 0 ) 2 lim (P 0, P 0+, P ) We noteren de limiet in de numerieke afgeleide door het gebruik van het afgeleideteken Tevens wordt de, vervangen door een ; De afgeleide in die notatie noemen we pseudo-numerieke afgeleide: (P 0 ; P 0) = lim (P 0, P 0+ ) = r 0 (29) (P 0 ; P 0, P ) = lim (P 0, P 0+, P ) = ( (P, P 0 ) lim (P 0, P 0+ ))/(t t 0 ) = ( (P, P 0 ) r 0)/(t t 0 ) = (r r 0 )/(t t 0 ) 2 r 0/(t t 0 ) Conclusie Voor de eerstegraads Hermite benadering r H1 en fout e Gh1 geldt: (30) r H1 = r 0 + (t t 0 ) (P 0 ; P 0) e H1 = (t t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P ) (31) De pseudo numerieke tweede afgeleide wordt afgeschat als tweede afgeleide in het zwaartepunt Dit volgt direct uit de methode waarbij de pseudo afgeleide wordt geschreven als een numerieke afgeleide met het punt op t 0 dubbel : (P 0 ; P 0, P ) r τ /2 τ = (2t 0 + t)/3 Wat weten we nu van de afgeleide r? Dat deze correct is op t 0 We hebben dus een nuldegraads Gauss benadering voor de afgeleide met een bijpassende fout: r H0 = r 0 = r H1(P 0 ) e G0 = (t t 0 ) (P 0, P ) (P 0, P ) = ( r r 0)/(t t 0 ) (32) Tweedegraads Hermite door afgeleidepunt en punt We nemen aan dat raakpunt P 0 = (r 0, t 0 ) en punt P 1 = (r 1, t 1 ) op de kromme liggen en dat P 0 = (r 0, t 0 ) het afgeleidepunt is bij P 0 We verwachten een tweedegraads benadering bepaald door r 0, r 0 en r 1 De tweedegraads Gauss benadering, gebaseerd op de punten P 0, P 0+ en P 1, bepaalt de tweedegraads Hermite benadering r H2 met fout e H2 Dan geldt: lim (P 0, P 1, P 0+ ) = (P 0 ; P 0, P 1 ) = ( (P 0, P 1 ) r 0)/(t 1 t 0 ) lim (P 0, P 1, P 0+, P ) = (P 0 ; P 0, P 1, P ) = ( (P 0 ; P 0, P ) (P 0, P 0, P 1 ))/(t t 1 ) 12

13 r G1 r H1 = (t t 0 )( (P 0, P 1 ) r 0) = (t t 0 )(t 1 t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) r H2 = r G1 + (t t 0 )(t t 1 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) = r H1 + (t t 0 )((t 1 t 0 ) + (t t 1 )) (P 0 ; P 0, P 1 ) = r H1 + (t t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ) e H2 = e G1 (t t 0 )(t t 1 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) = (t t 0 )(t t 1 ) ( (P 0, P 1, P ) (P 0 ; P 0, P 1 )) = (t t 0 )(t t 1 ) ( (P 0, P 1, P ) ( (P 0, P 1 ) r 0)/(t 1 t 0 )) = e H1 (t t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ) = (t t 0 ) 2 ( (P 0 ; P 0, P ) (P 0 ; P 0, P 1 )) = (t t 0 ) 2 ( (P, P 0 )/(t t 0 ) (P 1, P 0 )/(t 1 t 0 ) + (t t 1 )/(t t 0 )(t 1 t 0 )r 0) = (t t 0 ) 2 (t t 1 ) (P 0 ; P 0, P 1, P ) Conclusie: Voor de tweedegraads Hermite benadering r H2 en fout e H2 geldt: r H2 = r H1 + (t t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) = ( (P 0, P 1 ) r 0)/(t 1 t 0 ) e H2 = (t t 0 ) 2 (t t 1 ) (P 0 ; P 0, P 1, P ) (P 0 ; P 0, P 1, P ) = ( (P 0 ; P 0, P ) (P 0 ; P 0, P 1 )) /(t t 1 ) = ( (P 0, P 1, P ) (P 0 ; P 0, P 1 )) /(t t 0 ) (33) De pseudo numerieke derde afgeleide kan worden afgeschat, via de numerieke derde afgeleide met het punt P 0 dubbel, als derde afgeleide in het zwaartepunt: (P 0 ; P 0, P 1, P ) r τ /6 τ = (2t 0 + t 1 + t)/4 Intermezzo: Voor tweedegraads krommen is de tweedegraads Hermite benadering r H2 exact De pseudo numerieke tweede afgeleide is gelijk aan de numerieke tweede afgeleide, dus constant Zoals eerder met u = t t 0 : r = r 0 + ur 0 + u 2 r 0 /2 r = r 0 + ur 0 r = r 0 (P 0, P ) = r 0 + ur 0 /2 (P 0 ; P 0, P ) = ( (P, P 0 ) r 0)/(t t 0 ) = r 0 /2 (P 0 ; P 0, P 1, P ) = ( (P 0 ; P 0, P ) (P 0 ; P 0, P 1 ))/(t t 1 ) = 0 Is er op de kromme r een denkbeeldig (tussen)punt r 2 te bepalen zodat r 0, r 1, r 2 eenzelfde benadering r H2 geeft als de benadering r H2 gebaseerd op r 0, r 1, r r0? Meestal niet Immers, de tweedegraads benadering r H2, gebaseerd op r 2, zou dan identiek zijn aan r H2, en r 2 ligt op de tweedegraads kromme r H2, maar is niet r 0 of r 1 Zulk een tussenpunt bestaat meestal niet Alleen als de kromme zelf van de tweedegraad is, en dus gelijk aan de benadering, voldoet iéder punt 13

14 Derdegraads Hermite door twee afgeleidepunten De derdegraads Hermite benadering ( cubic ) wordt bepaald door de twee punten met afgeleidepunt; P 0 en P 1 liggen op de kromme met afgeleidepunten P 0 en P 1 De derde graads Gauss benadering gebaseerd op de punten P 0, P 1, P 0+ en P 1+ bepaalt de derde graads Hermite benadering: r H3 = lim r H2 (P 0, P 1, P 0+ ) + (t t 0 ) 2 (t t 1 ) lim lim (P 0, P 1, P 0+, P 1+ ) e H3 = (t t 0 ) 2 (t t 1 ) 2 lim lim (P 0, P 1, P 0+, P 1+, P ) lim r H2 (P 0, P 1, P 0+ ) = r H2 (P 0 ; P 0, P 1 ) lim lim (P 0, P 1, P 0+, P 1+ ) = (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) lim lim (P 0, P 1, P 0+, P 1+, P ) = (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) Merk op, dat de pseudo numerieke afgeleiden (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) en (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) symmetrisch zijn in de raaklijnpunten: (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = ( (P 1 ; P 1, P 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ))/(t 1 t 0 ) = ((r 1 (P 0, P 1 )) + (r 0 (P 0, P 1 )))/(t 1 t 0 ) 2 = (r 0 + r 1 2 (P 0, P 1 ))/(t 1 t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) = ( (P 1 ; P 1, P 0, P ) (P 0 ; P 0, P 1, P ))/(t 1 t 0 ) = ( ( (P 0, P 1, P ) + ( (P 0, P 1 ) r 1)/(t 1 t 0 )) /(t t 1 ) ( (P 0, P 1, P ) ( (P 0, P 1 ) r 0)/(t 1 t 0 )) /(t t 0 ) ) /(t 1 t 0 ) = (P 0, P 1, P )/(t t 0 )(t t 1 ) + + (( (P 0, P 1 ) r 1)/(t t 1 ) + ( (P 0, P 1 ) r 0)/(t t 0 )) /(t 1 t 0 ) 2 Conclusie: De derdegraads Hermite benadering r H3, gebaseerd op de punten van de kromme P 0, P 1 met afgeleidepunten P 0 en P 1, en fout e H3 is: r H3 = r H2 + (t t 0 ) 2 (t t 1 ) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = ((r 1 + r 0) 2 (P 0, P 1 ))/(t 1 t 0 ) 2 e H3 = (t t 0 ) 2 (t t 1 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) = (P 0, P 1, P )/(t t 0 )(t t 1 ) + + (( (P 0, P 1 ) r 1)/(t t 0 ) + ( (P 0, P 1 ) r 0)/(t t 1 )) /(t 1 t 0 ) 2 (34) De pseudo numerieke vierde afgeleide kan worden afgeschat als vierde afgeleide in het zwaartepunt (beide eindpunten tellen dubbel): (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) r (4) τ /4! τ = (2t 0 + 2t 1 + t)/5 Intermezzo: Voor derdegraads krommen is de derdegraads Hermite benadering r H3 exact De pseudo numerieke derde afgeleide is het dubbele van de numerieke derde afgeleide Gebruik de 14

15 relatieve tijden u = t t 0 : r = r 0 + ur 0 + u 2 r 0 /2 + u 3 r 0 /6 r = r 0 + ur 0 + u 2 r 0 /2 r = r 0 + ur 0 (P 0, P 1 ) = r 0 + u 1 r 0 /2 + u 2 1r 0 /6 r 1 = r 0 + u 1 r 0 + u 2 1r 0 /2 (P 0, P 1) = r 0 + u 1 r 0 /2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = ((r 1 + r 0) 2 (P 0, P 1 ))/(t 1 t 0 ) 2 = (2r 0 + u 1 r 0 + u 2 1r 0 /2 2(r 0 + u 1 r 0 /2 + u 2 1r 0 /6))/u 2 1 = r 0 /3 (P 0 ; P 0, P ) = ( (P, P 0 ) r 0)/(t t 0 ) = r 0 /2 + ur 0 /6 (P 0 ; P 0, P 1 ) = r 0 /2 + u 1 r 0 /6 (P 0 ; P 0, P 1, P ) = ( (P 0 ; P 0, P ) (P 0 ; P 0, P 1 ))/(t t 1 ) = r 0 /6 (P 1, P ) = r 0 + (u + u 1 )r 0 /2 + (u 2 + uu 1 + u 2 1)r 0 /6 (P 1 ; P 1, P ) = ( (P, P 1 ) r 1)/(t t 1 ) = r 0 /2 + (u + 2u 1 )r 0 /6 (P 1 ; P 1, P 0 ) = r 0 /2 + u 1 r 0 /3 (P 1 ; P 1, P 0, P ) = ( (P 1 ; P 1, P ) (P 1 ; P 1, P 0 ))/(t t 0 ) = r 0 /6 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) = ( (P 1 ; P 1, P 0, P ) (P 0 ; P 0, P 1, P ))/(t 1 t 0 ) = 0 Bij de afgeleide r liggen P 0 en P 1 op de kromme De benadering van de afgeleide is daarmee een eerstegraads Gauss benadering De afgeleide van de benadering is echter tweedegraads, zodat de punten P 0, P 1 op de kromme verdere informatie geven over de afgeleide: r ba 2 = r H3 = r 0 + 2(t t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) + (t t 0 )(t t 0 + 2(t t 1 ))) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = r 0 + 2(t t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) + (t t 0 )(t 1 t 0 + 3(t t 1 ))) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = r 0 + (t t 0 )(2 (P 0 ; P 0, P 1 ) + (t 1 t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)) + + (t t 0 )(t t 1 )3 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = r 0 + (t t 0 ) (P 0, P 1) + (t t 0 )(t t 1 )3 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) e H2 = r r 0 (t t 0 ) (P 0, P 1) (t t 0 )(t t 1 )3 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = (t t 0 )(t t 1 )( (P 0, P 1, P ) 3 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)) Merk op, dat voor een derdegraads kromme (P 0, P 1, P ) = r 0 /2 en dat 3 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = r 0, zodat de benadering van de afgeleide van derdegraads krommen buiten de randen niet correct is Wel is de benadering van de afgeleide correct voor tweedegraads krommen 15

16 Notaties voor Hermite benaderingen In de genormeerde-tijdnotatie met t 0 = 0, t 1 = 1 vereenvoudigen de numerieke afgeleiden tot: (P 0, P 1 ) = r 1 r 0 (P 0 ; P 0, P ) = (r r 0 )/t 2 r 0/t (P 0 ; P 0, P 1 ) = (r 1 r 0 ) r 0 (P 1 ; P 1, P ) = (r r 1 )/(1 t) 2 + r 1/(1 t) (P 1 ; P 1, P 0 ) = r 1 (r 1 r 0 ) (P 0 ; P 0, P 1, P ) = (r 0 r)(1/t + 1/t 2 ) + r 0/t + (r 1 r)/(1 t) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = 2(r 1 r 0 ) + r 0 + r 1 De Hermite benaderingen en fouten in genormeerde-tijdnotatie: r H2 = r H1 + t 2 (r 1 r 0 r 0) = (1 t 2 )r 0 + t(1 t)r 0 + t 2 r 1 e H2 = t 2 (1 t) (P 0 ; P 0, P 1, P ) r H3 = r H2 t 2 (1 t)(r 0 + r 1 2(r 1 r 0 )) (35) = (1 t) 2 (1 + 2t)r 0 + t 2 (3 2t)r 1 + t(1 t) 2 r 0 t 2 (1 t)r 1 e H3 = t 2 (1 t) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) In de standaardnotatie met r 0 = r 1, t 0 = 1, t 1 = 1 vereenvoudigen de numeriek afgeleiden tot: (P 0, P 1 ) = r 1 (P 0 ; P 0, P ) = (r + r 1 )/(1 + t) 2 r 0/(1 + t) (P 0 ; P 0, P 1 ) = 2(r 1 1 r 0) (P 1 ; P 1, P ) = (r r 1 )/(1 t) 2 + r 1/(1 t) (P 1 ; P 1, P 0 ) = 2(r 1 1 r 1) (P 0 ; P 0, P 1, P ) = r 1 ( 1 2/(1 + t) + 1 4/(1 + t) 2 ) + 1 2r 0/(1 + t) + 4r 1 1 /(1 t) r/(1 + t) 2 (1 t) = 1 2r 1 (1/(1 + t) + 2/(1 + t) 2 ) + 2r 1 0/(1 + t) + (r 1 r)/(1 t)(1 + t) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) = 1 4( 2r 1 + r 0 + r 1) De Hermite benaderingen en fouten in standaardnotatie: r H2 = tr 1 1 2(1 t 2 )(r 1 r 0) e H2 = (1 + t)(1 t 2 ) (P 0 ; P 0, P 1, P ) r H3 = tr 1 1 4(1 t 2 )(r 1 r 0) 1 4t(1 t 2 )(r 1 + r 0 2r 1 ) e H3 = (1 t 2 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P ) (36) 16

17 Benadering met punten en raaklijnpunten: Bézier Op de kromme ligt het raakpunt P 0 = (r, t), met afgeleidepunt P 0 = (r 0, t 0 ) Op de raaklijn in P 0 ligt het punt P r0 = (r r0, t r0 ) met raaklijnpositie r r0 en onbepaalde raaklijntijd t r0 ; het is een raaklijnpunt Deze benadering, gebaseerd op punten en raaklijnpunten, noemen we een Bézier benadering; notatie positie r B, fout e B Verschillend van de Hermite benadering is dat van de afgeleide wel de richting, maar niet de grootte bekend is, zodat het raaklijnpunt deels onbepaald is Ergens langs de raaklijn ligt een punt P r0, met nog onbekende raaklijntijd, zodanig dat: r 0 = (P 0, P r0 ) r r0 = r 0 + (t r0 t 0 )r 0 (37) We zullen zeggen dat de afgeleide exact is als de raaklijntijd (exact) aan deze vergelijking voldaan is Is dat het geval dan hebben we een Hermite benadering, waarbij de afgeleide indirect gegeven is door positie en tijd van P r0 De raaklijntijd t r0 van de n-degraads benadering wordt bepaald door de eis dat de afgeleide exact is tot en met n-degraads krommen Noem het tijdsverschil tussen P r0 en P 0 de relatieve raaklijnpunttijd u r0 ; Als deze tijden genormeerd zijn zeggen we genormeerde relatieve raaklijntijd τ r0, en symmetrisch τ r1 : u rn = t rn t n τ r0 = (t r0 t 0 )/(t 1 t 0 ) τ r1 = (t r1 t 1 )/(t 0 t 1 ) Merk op, dat gebruikelijk t 1 > t r0 > t 0, dus u r0 en τ r0 positief, en t 0 < t r1 < t 1, dus u r1 negatief maar τ r1 positief Een bijzonder geval van raaklijntijd is symmetrische raaklijntijd, waarbij het tijdsverschil tussen raaklijnpunt en raakpunt bij P 0 en dat tijdsverschil bij P 1 gelijk maar tegengesteld zijn Als er symmetrische raaklijntijd is, dan is er ook een evenredigheidsfactor τ, die we genormeerde symmetrische raaklijntijd noemen: (t r0 + t r1 )/2 = (t 0 + t 1 )/2 = t m u r0 = u r1 = τ(t 1 t 0 ) τ r0 = τ r1 = τ t r0 = t 0 + τ(t 1 t 0 ) t r1 = t 1 τ(t 1 t 0 ) (38) Eerstegraads Bézier benadering met één raaklijnpunt Uit de eerstegraads Hermite benadering volgt direct dat de eerstegraads Bézier benadering r B1 de lijn is door de punten P 0 en P r0 : r B1 = r 0 + (t t 0 ) (P 0, P r0 ) In tegenstelling tot de Hermite benadering zal de fout van de Bézier benadering in t algemeen slechts één factor (t t 0 ) hebben: e B1 = r r B1 = (t t 0 )X X = (r r 0 (t t 0 ) (P 0, P r0 ))/(t t 0 ) = (r r 0 )/(t t 0 ) (P 0, P r0 ) = (P 0, P ) (P 0, P r0 ) = (t t r0 ) (P 0, P r0, P )) e B1 = (t t 0 )(t t r0 ) (P 0, P r0, P ) Intermezzo: Bij een eerstegraads veelterm is aan de afgeleidevoorwaarde voldaan De kromme is een rechte, die tevens raaklijn is Ieder raaklijnpunt is een punt van de kromme Conclusie Voor de eerstegraads Bézier benadering r B1 met fout e B1, gebaseerd op raaklijnpunt P 0, P r0, geldt: r B1 = r 0 + (t t 0 ) (P 0, P r0 ) (P 0 ; P r0 ) = (P 0, P r0 ) e B1 = (t t 0 )(t t r0 ) (P 0, P r0, P ) (39) De eerstegraads fout is in het algemeen moeilijk af te schatten zolang de raaklijntijd onbepaald is De fout kan worden geminimaliseerd en de raaklijntijd afgeschat door de fout in de richting van 17

18 de afgeleide nul te maken: 0 = (r 0 e B1 )/(r 0 r 0) = (r 0 ( (P 0, P ) (P 0, P r0 )))/(r 0 r 0) = (r 0 (P, P 0 ))/(r 0 r 0) 1/u r0 (t r0 t 0 ) = ((r r0 r 0 ) (P, P 0 ))/(u r0 (r r0 r 0 ) (r r0 r 0 )) 1/u r0 (t r0 t 0 ) u r0 = (t r0 t 0 ) ((r r0 r 0 ) (P, P 0 ))/((r r0 r 0 ) (r r0 r 0 )) Tweedegraads Bézier quadratic met raaklijnensnijpunt Op de kromme liggen de raakpunten P 0 en P 1 De raaklijnen snijden elkaar in het raaklijnensnijpunt r r Één enkele positie r r bepaalt twéé afgeleiden: ten opzichte van P 0 is het snijpunt P r0 met positie r r en raaklijntijd t r0, ten opzichte van P 1 is het snijpunt P r1 met positie r r en raaklijntijd t r1 We zullen laten zien hoe een enkel raaklijnpunt P r te kiezen met positie r r en raaklijntijd t r De drie punten P 0, P 1 en P r bepalen een tweedegraads benadering r B2, in de literatuur quadratic Bézier genoemd Ga uit van de eerstegraads Gauss benadering r G1 gebaseerd op P 0 en P 1 met tweedegraads fout e G1 en voeg toe een tweedegraads term (t t 0 )(t t 1 )X 2, die de punten P 0 en P 1 onverlet laat De tweedegraads benadering r B2 wordt: r B2 = r G1 + (t t 0 )(t t 1 )X 2 r B2(t 0 ) = (P 0, P 1 ) (t 1 t 0 )X 2 = (P 0, P r0 ) e B2 = e G1 (t t 0 )(t t 1 )X 2 r B2(t 1 ) = (P 0, P 1 ) + (t 1 t 0 )X 2 = (P 1, P r1 ) De vergelijkingen voor de afgeleiden zijn op te vatten als twee afhankelijke vergelijkingen voor één onbekende X 2 Door aftrekken volgt X 2, door optellen de voorwaarde voor de raaklijnpunten: X 2 = 1 2( (P 1, P r1 ) (P 0, P r0 ))/(t 1 t 0 ), (P 0, P r0 ) + (P 1, P r1 ) = 2 (P 0, P 1 ) De laatste vergelijking is op te vatten als: het gemiddelde van de afgeleiden aan de uiteinden is gelijk aan de koordeafgeleide Bijgevolg geldt, door invullen van de numerieke afgeleiden, gebruikmakend van de (genormeerde) relatieve raaklijntijden u rn = t rn t n (τ rn ): (r r r 0 )/u r0 + (r r r 1 )/u r1 = 2(r 1 r 0 )/(t 1 t 0 ) (r r r 0 )/τ r0 (r r r 1 )/τ r1 = 2(r 1 r 0 ) (1/τ r0 1/τ r1 )(r r r 0 ) = (2 1/τ r1 )(r 1 r 0 ) Als de drie posities r 0, r 1 en r r niet op één lijn liggen, dan zijn de vectoren r r r 0 en r 1 r 0 onafhankelijk: de vergrotingsfactoren 1/τ r0 1/τ r1 = 2 1/τ r1 = 0 zijn nul, dus τ r0 = τ r1 = 1/2 t r0 = t r1 = t m = (t 0 + t 1 )/2 P r0 = P r1 = P r (40) We concluderen dat als aan de raaklijnvoorwaarde is voldaan de raaklijnpunten P r0 en P r1 samenvallen in het raaklijnsnijpunt P r met positie r r en tijdstip t r = t m Liggen r 0, r 1 en r r wel op één lijn, dan is X 2 = 0 met ontaarding in de eerstegraads benadering Intermezzo: Bij een tweedegraads veelterm door P 0 en P 1 is de benadering exact mits t r0 = t r1 = t m Immers, met genormeerde-tijd: r = r 0 + tr 0 + t 2 r 0 /2 r r0 = r 0 + t r0 r 0 r 1 = r 0 + r 0 + r 0 /2 r = r 0 + tr 0 r 1 = r 0 + r 0 r r1 = r 1 (1 t r1 )r 1 = r 0 + t r1 r 0 + (t r1 1/2)r 0 r r0 = r r1 = r r t r0 = t r1 = 1/2 = t m P r0 = P r1 = P r (P 0, P r0 ) = (P 0, P r ) = r 0 (P 1, P r1 ) = (P 1, P r ) = r 1 X 2 = 2r 1 0 e G1 = (P 0, P 1, P ) = r 0 /2 e B2 = 0 18

19 Met t r = t m vereenvoudigt X 2 tot: X 2 = 2((P 1 1, P r ) (P 0, P r ))/(t 1 t 0 ) = 1 2 (P 0, P r, P 1 ) (P 0, P r, P 1 ) = 2(r 0 + r 1 2r r )/(t 1 t 0 ) 2 = 4(r m r r )/(t 1 t 0 ) 2 Conclusie: De tweedegraads Bézier benadering r B2, fout e B2, raaklijnensnijpunt P r (r r, t m ): r B2 = r 0 + (t t 0 ) (P 0, P 1 ) + (t t 0 )(t t 1 ) 1 2 (P 0, P 1, P r ) e B2 = (t t 0 )(t t 1 )( (P 0, P 1, P ) 1 2 (P 0, P 1, P r )) = (t t 0 )(t t 1 )( 1 2 (P 0, P 1, P r ) + (t t m ) (P 0, P 1, P r, P )) 1 2 (P 0, P 1, P r ) = 2(r r r m )/(t 1 t 0 ) 2 (41) Bij het raaklijnpunt P r (r r, t m ) hoort tegelijkertijd het punt op de kromme P 2 (r 2, t m ) Het halftijds punt r 2 ligt precies halverwege snijpunt r r en middenpunt r m : r 2 = r B2 (t m ) = r 0 + (t m t 0 ) (P 0, P 1 ) 2(t m t 0 )(t m t 1 )(r r r m )/(t 1 t 0 ) 2 = r (r 1 r 0 ) + 1 2(r r r m ) = (r m + r r )/2 Vergelijk de Bézier benadering met de Gauss benadering door het punt op de kromme P 2 (r 2, t r ) Het verschil van tweedegraads veeltermen door P 0 en P 1 is hooguit een tweedgraadsveelterm, nul op t 0 en t 1 Verder is op t 2 : r G2 (t 2 ) r B2 (t 2 ) = r 2 r B2 (t 2 ) = e B2 (t 2 ) Drie punten bepalen het verschil uniek: e B2 e G2 = r G2 r B2 = (t t 0 )(t t 1 )/(t 2 t 0 )(t 2 t 1 )e B2 (t 2 ) e B2 = (t t 0 )(t t 1 ) ((t t 2 ) (P 0, P 1, P 2, P ) + e B2 (t 2 )/(t 2 t 0 )(t 2 t 1 )) De verschilfout, in het interval t 0, t 1 van hetzelfde teken, is maximaal in het symmetrische halftijdspunt t m = (t 0 + t 1 )/2 (ongeacht welke t r!) De tweedegraads Bézierfout wordt, na afschatting van de numerieke afgeleiden in t m, van de derdegraad, met nulpunten in t 0, t m, t 1 en extreme waarden op ongeveer u = 2 3u 1 of (t t 0 )/(t 1 t 0 ) = 2 3 Daaruit volgt de Lagrange notatie van de tweedegraads Bézier benadering, met de tijd in twee Lagrangefactoren, L 1,0 = (t t 0 )/(t 1 t 0 ) en L 0,1 = 1 L 1,0 = (t 1 t)/(t 1 t 0 ) Controleer bij t = t 0 dat r en r juist zijn: r B3 = L 0 r 0 + L 1 r 1 + L r r r, met L 0 = L 2 0,1 L 1 = L 2 1,0 L r = 2L 0,1 L 1,0 Merk op, dat ook L 0 + L 1 + L r = L 2 0,1 + L 2 1,0 + 2L 0,1 L 1,0 = (L 0,1 + L 1,0 ) 2 = 1 Het raaklijnensnijpunt De ligging van het raaklijnensnijpunt is zuiver meetkundig bepaald Noem λ rn de verhouding van de afstand r n r rn, van raakpunt tot raaklijnpunt, tot de afstand r n r r, van raakpunt tot raaklijnensnijpunt De numerieke afgeleiden van de raaklijnpunten kunnen daarmee worden uitgedrukt in die van het raaklijnensnijpunt Noem de verhouding van de numerieke afgeleiden (P n, P rn ) en (P n, P r ) het raaklijnpunt verhoudigsgetal ν rn Dan is er in t algemeen een verband tussen het raaklijnpunt verhoudingsgetal ν rn en de genormeerde raaklijntijd τ rn : (P n, P rn ) = ν nr (P n, P r ) (r rn r n )/(t rn t n ) = ±λ rn (r r r n )/(τ rn (t 1 t 0 )) = ν rn (r r r n )/(t r t n ) ν rn τ rn /λ rn = ±(t r t n )/(t 1 t 0 ), met conditie (42) 1 = ν r0 τ r0 /λ r0 + ν r1 τ r1 /λ r1 We zeggen dat er evenredig raaklijnpunt is als ν rn = 1, dus τ rn /λ rn = ±(t r t n )/(t 1 t 0 ) Als bovendien de snijpunttijd halftijds is, t r = t m, dan is (t r t 0 )/(t 1 t 0 ) = 1/2, zodat λ r0 =λ r1 = 2τ 19

20 Bij de tweedegraads Bézier benadering is tenslotte ook P rn = P r, zodat dan geldt λ rn = 1, dus τ = 1/2 Het bepalen van het snijpunt r r, uitgaande van twee raakpunten op de kromme, is delicaat vanwege het meetkundige karakter ervan We gaan er van uit dat de raaklijnen r 0 en r 1 niet evenwijdig zijn, zodat er een snijpunt is We vinden dat snijpunt met behulp van de projectie(s) loodrecht op de raaklijn(en): r r = r 0 + u r0 r 0 = r 1 + u r1 r 1 (r 1 r 0 ) = u r0 r 0 u r1 r 1 r 1 (r 1 r 0 ) = (r 1 r 0)u r0 = (r 0 r 1)u r0 r 0 (r 1 r 0 ) = (r 0 r 1)u r1 u r0 = r 1 (r 1 r 0 )/(r 0 r 1) u r1 = r 0 (r 1 r 0 )/(r 0 r 1) Merk op dat de noemer (r 0 r 1) = (r 1 r 0) 0, want de raaklijnen zijn niet evenwijdig De koorde r 1 r 0 bepaalt de numerieke eerste afgeleide, en die op zijn beurt onder gebruikmaking van de Hermite benaderingen, met r 0 en r 1, numeriek 2de- en 3de afgeleiden: (P 0, P 1 ) = r 0 + (t 1 t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ) = r 1 + (t 0 t 1 ) (P 1 ; P 1, P 0 ) (P 0, P 1 ) = 1 2(r 0 + r 1) + 1 2(t 1 t 0 )( (P 0 ; P 0, P 1 ) (P 1 ; P 1, P 0 )) = 1 2(r 0 + r 1) 1 2(t 1 t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) (P 0, P 1) = (r 1 r 0)/(t 1 t 0 ) = (P 0 ; P 0, P 1 ) + (P 1 ; P 1, P 0 ) De raaklijntijden van het snijpunt worden uitgedrukt in de numeriek derde afgeleide: u r0 = (t 1 t 0 )r 1 (P 0, P 1 )/(r 0 r 1) = 1 2(t 1 t 0 )r 1 (r 0 + r 1 (t 1 t 0 ) 2 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1))/(r 0 r 1) = 1 2(t 1 t 0 ) + 1 2(t 1 t 0 ) 3 r 1 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) u r0 u r1 = (t 1 t 0 ) u r1 = 1 2(t 1 t 0 ) + 1 2(t 1 t 0 ) 3 r 0 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) u r0 + u r1 = 1 2(t 1 t 0 ) 3 (r 0 + r 1) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) Tot op de tweede orde hebben de raaklijntijden de tweedegraads waarde t m = (t 1 +t 0 )/2, waardoor r B2 in de eindpunten correcte afgeleiden heeft Vanaf de derde orde worden de afgeleiden niet meer foutloos benaderd Voor het snijpunt geldt: 2(r m r r ) = u r0 r 0 u r1 r 1 = 1 2(t 1 t 0 )(r 1 r 0) 1 2(t 1 t 0 ) 3 (r 0r 1 + r 1r 0) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) = 1 2(t 1 t 0 ) 2 ( (P 0 ; P 0, P 1 ) + (P 1 ; P 1, P 0 )) 1 2(t 1 t 0 ) 3 (r 0r 1 + r 1r 0) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) Foutafschatting tweedegraads Bézier Voor het bepalen van de fout zetten we verschillen van afgeleiden om in hogere afgeleiden: e B2 /(t t 0 )(t t 1 ) = (P 0, P 1, P ) 1 2 (P 0, P 1, P r ) = 1 2( (P 0, P 1, P ) (P 0 ; P 0, P 1 )) + 1 2( (P 0, P 1, P ) (P 1 ; P 1, P 0 )) (t 1 t 0 )(r 0r 1 + r 1r 0) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) = 1 2(t 1 t 0 )(r 0r 1 + r 1r 0) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1)/(r 0 r 1) (t t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1, P ) + 1 2(t t 1 ) (P 1 ; P 1, P 0, P ) 20

21 welke verder kan worden herschreven als = 1 2(t 1 t 0 )/(r 0 r 1)(r 0r 1 + r 1r 0) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) (t t 0 )( (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) + (t t 1 ) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P )) (t t 1 )( (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) + (t t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P )) = 1 2(t 1 t 0 )/(r 0 r 1)(r 0r 1 + r 1r 0) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) + + (t t m ) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) + ( t 2 m ( 1 2(t 1 t 0 )) 2) (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1, P )) De fout wordt afgeschat door ontwikkelen van de pseudo afgeleiden rond t m, met u = t t m, u 1 = 1 2(t 1 t 0 ): e B2 = ( u 2 1 u 2)( u 1 /(r 0 r 1)(r 0r 1 + r 1r 0) (r m/6 + O(r m (5) )) + + u(r m/6 + O(r (5) m )) ( u 2 1 u 2) (r m /4! + ) In het algemeen is de fout evenredig met de derde macht van het interval en van de orde derde afgeleide, begrensd door u 1 3 (2 r m /3! + u 1 r m /4!) Dit moet beter kunnen zou je denken ) 21

22 Derdegraads Bézier met twee raaklijnpunten We nemen aan dat de raakpunten P 0 en P 1 op de kromme liggen en dat op de raaklijn aan de kromme in P 0, respectievelijk P 1, het raaklijnpunt P r0, respectievelijk P r1, ligt Deze vier punten bepalen een derdegraads Bézier benadering r B3 met fout e B3 Zoals bij de tweedegraads benadering gaan we uit van de eerstegraads Gauss benadering door de punten P 0 en P 1 en voegen toe een derdegraads term (t t 0 )(t t 1 )X 23, die de punten P 0, P 1 onverlet laat De factor X 23 is lineair in de tijd r B3 = r G1 + (t t 0 )(t t 1 )X 23 e B3 = e G1 (t t 0 )(t t 1 )X 23 = (t t 0 )(t t 1 )( (P 0, P 1, P ) X 23 ) r B3(t 0 ) = (P 0, P 1 ) (t 1 t 0 )X 23 (t 0 ) = (P 0, P r0 ) r B3(t 1 ) = (P 0, P 1 ) + (t 1 t 0 )X 23 (t 1 ) = (P 1, P r1 ) De punten X 23 (t 0 ) en X 23 (t 1 ) volgen uit de afgeleiden aan de randen, en daarmee is X 23 bekend X 23 (t 0 ) = (r B3(t 0 ) (P 0, P 1 ))/(t 0 t 1 ) X 23 (t 1 ) = (r B3(t 1 ) (P 0, P 1 ))/(t 1 t 0 ) In tegenstelling tot bij de tweedegraads benadering is er geen voorwaarde op de raaklijnpunten Merk op dat, met afgeleidepunt vervangen door raaklijnpunt, X 23 (t 0 ) (P 0 ; P 0, P 1 ), X 23 (t 1 ) (P 1 ; P 1, P 0 ) Als nu bijvoorbeeld X 23 = X 2 + (t t 0 )X 3 dan zijn ook X 2 en X 3 bekend; ook X 2 (P 0 ; P 0, P 1 ) en X 3 (P 0 ; P 0, P 1 ; P 1) zijn pseudo numerieke afgeleiden: X 2 = X 23 (t 0 ) = ( (P 0, P 1 ) (P 0, P r0 ))/(t 1 t 0 ) X 3 = (X 23 (t 1 ) X 23 (t 0 ))/(t 1 t 0 ) = ( (P 0, P r0 ) + (P 1, P r1 ) 2 (P 0, P 1 ))/(t 1 t 0 ) 2 Intermezzo: De derdegraads Bézier benadering van derdegraads krommen is slechts dan exact als de raaklijnpunten zijn gekozen overeenstemmend met de afgeleide ( Hermite ): Als (P n, P rn ) = γ rn r n, dan moet γ rn = 1 Behalve voor tweedegraads krommen is er geen P r = P r0 = P r1 met (P n, P r ) = r n die niet afhangt van de kromme Gebruik Gauss resultaten en genormeerdetijdnotatie: r = r 0 + tr 0 + t 2 r 0 /2 + t 3 r 0 /6 r r0 = r 0 + t r0 r 0 r = r 0 + tr 0 + t 2 r 0 /2 r r1 = r 1 (1 t r1 )r 1 = r 0 + t r1 r 0 + (t r1 2)r (t r1 3)r 2 0 /2 r r1 r r0 = (t r1 t r0 )r 0 + (t r1 1 2)r 0 + (t r1 3)r 2 0 /2 P r1 = P r0 = P r (t r 2)r (t r 2 3)r 0 /2 = 0 t r = ( 1 2r r 0 )/(r r 0 ): afhankelijk kromme (P 0, P ) = r 0 + tr 0 /2 + t 2 r 0 /6 (P 0, P 1, P ) = r 0 /2 + (1 + t)r 0 /6 e G1 = t(t 1)(r 0 /2 + (1 + t)r 0 /6) X 2 = X 23 (t 0 ) = (1 γ r0 )r 0 + r 0 /2 + r 0 /6 X 23 (t 1 ) = (γ r1 1)r 1 + r 0 /2 + r 0 /3 X 3 = (γ r1 1)r 1 + (γ r0 1)r 0 + r 0 /6 X 23 = X 2 + tx 3 = ( t(γ r1 1)r 1 + (t 1)(γ r0 1)r 0 e B3 = t(t 1) ( (t 1)(1 γ r0 )r 0 + t(1 γ r1 )r 1 ) e B3 = 0 (r 0=0 γ r0 =1) (r 1=0 γ r1 =1) ) + r 0 /2 + (1 + t)r 0 /6 De conclusie is, dat we geen vaste raaklijntijden kunnen kiezen waarbij alle derdegraadskrommen exact worden Is de derdegraads benadering wèl exact bij tweedegraads krommen? Voor tweedegraads krommen is r = 0, zodat t r = t m en P r0 = P r1 = P r, dus evenredig raaklijnpunt (P n, P rn ) = (P n, P r ) De meetkundige interpretatie hiervan is, met van r 0 naar r 1 als tijdas t 0 naar t 1, en r m halverwege als halftijds t m, dat de projectie van de raaklijn op de koorde-tijdas evenwijdig aan r r r m (of symmetrieas) gelijk is aan de raaklijntijd Voor ontaarding in tweedegraads Bézier is evenredige raaklijnpunt met t r =t m nodig 22