HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE. 1. Inleiding

Transcriptie

1 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE IGNACE VAN DE WOESTYNE. Inleiding In zowel de theorie van het consumentengedrag als in de arbeidstheorie, beiden gesitueerd in het geheel van de micro-economie, wordt als uitgangspunt vertrokken van het optimaliseren (maximaliseren) van het nut. In de theorie van het consumentengedrag zal de consument zijn inkomen op een zodanige wijze besteden dat zijn nut, dat een functie is van de hoeveelheden van de verschillende goederen die hij kan aankopen, zo groot mogelijk wordt. In de arbeidstheorie zal de werknemer zijn nut, dat nu een functie is van de vrije tijd en het inkomen, zo groot mogelijk maken. Met vrije tijd wordt de tijd aangegeven dat de werknemer niet werkt. In deze publicatie zullen we ons beperken tot de laatst geschetste situatie van een arbeidsaanbod. De moeilijkheid die men in de praktijk ervaart is het vinden van een kwantitatief model voor de nutsfunctie. Het nut is immers een subjectief begrip dat moeilijk te vatten is in cijfers. Voor theoretisch onderzoek echter kan vertrokken worden van een denkbeeldig model. In de plaats van dit denkbeeldig model te schetsen en dus op een grafische wijze hieruit conclusies te trekken, zullen we in deze publicatie vertrekken van een mathematisch model. Een in de literatuur bekend model voor een nutsfunctie is het Cobb-Douglas model, ontwikkeld door de Amerikaanse wiskundige Charles Cobb en de Amerikaanse economist Paul Douglas. 2. Het Cobb-Douglas model Stel dat we het aantal uren vrije tijd per dag van een werknemer voorstellen met de variabele x en het inkomen van de werknemer voorstellen door. De Cobb-Douglas nutsfunctie heeft dan als vergelijking u = kx c d, waarbij u het nut voorstelt en k, c en d strikt positieve constanten zijn. Met een indifferentiecurve bedoelen we de kromme die ontstaat wanneer we het nut constant houden. Wiskundig betekent dit dat de indifferentiecurven de niveau-krommen zijn die horen bij de nutsfunctie. De expliciete vergelijking van de indifferentiecurven kan eenvoudig uit het Cobb-Douglas model berekend worden. We hebben immers dat = u k x c d zodat de indifferentiecurven gegeven worden door waarbij K een constante is en a = c d. = Kx a, In figuur zien we de grafiek van de Cobb-Douglas nutsfunctie voor c =.6, d =.3 en k =. Figuur 2 toont enkele indifferentiecurven horend bij dit model.

2 2 IGNACE VAN DE WOESTYNE u 2 2 x 2 Figuur. De grafiek van een Cobb-Douglas nutsfunctie x Figuur 2. De grafiek van enkele indifferentiecurven Zoals we kunnen zien in figuur 2 kennen de indifferentiecurven allen een dalend verloop. Dit volgt uit de vaststelling dat = akx a <. Ze hebben ook allen een convexe vorm, wat volgt uit = a(a + )Kx a 2 >. Dat geen enkele indifferentiecurve een andere zal snijden is logisch aangezien verschillende indifferentiecurven horen bij verschillende constante nutswaarden. Eén gemeenschappelijk punt impliceert dan meteen dat de betrokken indifferentiecurven moeten samenvallen. Tenslotte merken we op dat er voor een willekeurig punt (x, ) in het eerste kwadrant, dit wil zeggen dat zowel x als positief zijn, precies één indifferentiecurve bestaat waartoe dat punt behoort. Stel immers K = x a en het gewenste is bereikt. Met de loonlijn wordt de rechte bedoeld die het verband aangeeft tussen het inkomen (per dag bijvoorbeeld) dat een werknemer verdient en de beschikbare vrije tijd (eveneens per dag). De vergelijking van de loonlijn kan eenvoudig worden bepaald wanneer het uurloon bekend is. Stel dat het uurloon p bedraagt. Dan bepalen de punten (, p) en (, ) de loonlijn. We veronderstellen hierbij dat, wanneer men geen vrije tijd heeft men uren werkt en men bijgevolg p verdient. Eveneens veronderstellen we dat, wanneer men uren vrije tijd zou hebben men niet werkt en men dus ook niets verdient. De loonlijn heeft dus als vergelijking = p(x ). Het principe dat de werknemer zijn nut zal maximaliseren, gegeven het uurloon p, komt nu neer op het zoeken van de indifferentiecurve die hoort bij een zo groot mogelijk nut en die toch nog

3 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE 3 een punt gemeen heeft met de loonlijn. Men ziet gemakkelijk in dat we de indifferentiecurve zoeken die raakt aan de loonlijn. Het raakpunt van de loonlijn en de indifferentiecurve bepaalt het aantal uren vrije tijd dat de werknemer voor het uurloon p wenselijk acht. Voor het zoeken van de gewenste indifferentiecurve met vergelijking = Kx a bepalen we eerst de vergelijking van de raaklijn in een willekeurig punt (x, ) van deze kromme. Aangezien het punt behoort tot de indifferentiecurve is = Kx a. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn wordt bepaald door de eerste afgeleide in x zodat de vergelijking van de raaklijn gegeven wordt door Kx a = akx a (x x ). We drukken nu uit dat deze raaklijn de loonlijn moet zijn die hoort bij het uurloon p. Dit wil zeggen dat de punten (, p) en (, ) moeten voldoen aan de vergelijking. Hieruit volgt dat x = a p en K = + a + a xa. De gezochte indifferentiecurve is hierdoor volledig bepaald en de optimale vrije tijd bij het uurloon p is gelijk aan x = a + a. Meteen valt op dat het uurloon p geen invloed heeft op de optimale vrije tijd van de werknemer. Dit betekent dat wanneer de werknemer meer of minder zou werken, zijn optimale vrije tijd dezelfde blijft. De meetkundige plaats van de optimale punten wanneer we het uurloon laten variëren, ook wel het expansiepad genaamd, is de verticale rechte met als vergelijking x = a +a. In figuur 3 wordt het voorgaande gevisualiseerd. De situatie is hierbij geschetst voor een uurloon van. Als waarde voor a werd 2 genomen inkomen vrije tijd Indifferentiecurve Loonlijn Optimum Expansiepad Figuur 3. Indifferentiecurve, loonlijn en expansiepad We stellen vast dat het Cobb-Douglas model leidt tot een eigenaardige en economisch weinig realistische situatie. Het is immers ongewoon dat het uurloon geen invloed heeft op de hoeveelheid vrije tijd en bijgevolg ook niet op het aantal uren te presteren arbeid. We stellen vast dat de arbeidsaanbodcurve van de werknemer, die het verband geeft tussen het inkomen (per dag

4 4 IGNACE VAN DE WOESTYNE bijvoorbeeld) en het aantal werkuren (per dag) dat de werknemer bereid is hiervoor te presteren, eveneens een vertikaal verloop kent. Immers, het aantal werkuren per dag bedraagt x met x zoals hiervoor het aantal uren vrije tijd. In economische termen wordt gezegd dat het arbeidsaanbod hier perfect inelastisch is, met andere woorden dat de aangeboden hoeveelheid arbeid constant is, ongeacht het inkomen. 3. Het verschoven Cobb-Douglas model Teneinde te komen tot een meer economisch realistisch model dat toch niet te veel afwijkt van het zuivere Cobb-Douglas model, beschouwen we de volgende nutsfunctie: u = kx c ( C) d, waarbij u weerom het nut voorstelt en k, c en d strikt positieve constanten zijn. Ook C is een constante, doch, mag zowel positief, negatief als nul zijn. We zullen dit model in wat volgt aangeven met de benaming verschoven Cobb-Douglas model. We zien dat voor C = het gewone Cobb-Douglas model verschijnt dat we in de voorgaande sectie behandelden. De indifferentiecurven van het verschoven Cobb-Douglas model vinden we eveneens als niveaukrommen van de nutsfunctie. Uit het model volgt dat de expliciete vergelijking van de indifferentiecurven gegeven wordt door = Kx a + C, waarbij K een constante is en a = c d. Hieruit blijkt dat de indifferentiecurven deze zijn van het gewone Cobb-Douglas model maar verschoven over een absis C in de -richting. Dit verklaart meteen de gebruikte benaming. In figuur 4 zien we de grafiek van de verschoven Cobb-Douglas nutsfunctie waarin we c =, 6, d =, 3, k = en C = 5 stelden. In figuur 5 zien we enkele bijhorende indifferentiecurven. u 2 2 x 2 Figuur 4. De grafiek van een verschoven Cobb-Douglas nutsfunctie De loonlijn van een werknemer heeft dezelfde vergelijking als in de vorige sectie, namelijk = p(x ), waarbij x staat voor het aantal uren vrije tijd (per dag) en voor het inkomen (eveneens per dag). Op basis van het principe dat de werknemer zijn nut zal maximaliseren bij een gegeven

5 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE x Figuur 5. De grafiek van enkele bijhorende indifferentiecurven uurloon p dient weerom gezocht te worden naar de indifferentiecurve die hoort bij een zo groot mogelijk nut en die toch nog een punt gemeenschappelijk heeft met de loonlijn. Zoals voorheen dienen we dus de indifferentiecurve te zoeken die raakt aan de loonlijn. Het raakpunt van de loonlijn en de indifferentiecurve bepaalt het aantal uren vrije tijd dat de werknemer voor het uurloon p wenselijk acht. We zoeken de gewenste indifferentiecurve met vergelijking = Kx a + C door eerst de vergelijking van de raaklijn in een willekeurig punt (x, ) van deze kromme op te stellen. We weten dat = Kx a + C. De richtingscoëfficiënt van de raaklijn wordt weerom bepaald door de eerste afgeleide in x zodat de volgende vergelijking van de raaklijn gevonden wordt Kx a C = akx a (x x ). Aangezien deze raaklijn de loonlijn moet zijn die hoort bij het uurloon p volgt dat C K = ax a ( x ) x a en dat K = p C ( + a)x a. Hieruit volgt dat C ax a ( x ) x a = p C ( + a)x a of nog dat C( + a)x a = (p C) ( ) ax a ( x ) x a. Na enig rekenwerk bekomen we dat x = a(p C) p( + a) en = ac + p + a. Aangezien de optimale waarde x moet gelegen zijn tussen en hebben we dat Hieruit volgt dat p C a(p C) p( + a). en p ac,

6 6 IGNACE VAN DE WOESTYNE of nog dat { } C p max, ac. De te zoeken indifferentiecurve is weerom volledig bepaald evenals de optimale vrije tijd bij het uurloon p. Om het expansiepad van dit model te bepalen zoeken we de meetkundige plaats van de optimale punten wanneer we het uurloon laten variëren. De parametervergelijking van het expansiepad wordt gegeven door { x(p) = a(p C) p(+a), (p) = ac+p +a waarbij het uurloon p de parameter is. De Cartesische vergelijking van het expansiepad kunnen we bekomen door de parameter p te elimineren. Uit de tweede coördinaatfunctie halen we dat p = ( + a) ac. Substitutie in de eerste coördinaatfunctie resulteert in x = a( C) ( + a) ac, wat in het bijzonder geval dat C = het resultaat uit de voorgaande sectie oplevert. In figuur 6 vinden we de voorstelling van het voorgaande voor een uurloon van. Als waarde voor a werd 2 genomen. Verder is C = inkomen vrije tijd Indifferentiecurve Loonlijn Optimum Expansiepad Figuur 6. Indifferentiecurve, loonlijn en expansiepad De arbeidsaanbodcurve van de werknemer, die zoals eerder aangegeven het verband geeft tussen het inkomen (per dag bijvoorbeeld) en het aantal werkuren (per dag) dat de werknemer bereid is hiervoor te presteren, kan uit de vergelijking van het expansiepad berekend worden. Noteer het aantal werkuren per dag van de werknemer met de variabele ˆx. Dan is ˆx = x zodat

7 HET COBB-DOUGLAS MODEL ALS MODEL VOOR DE NUTSFUNCTIE IN DE ARBEIDSTHEORIE 7 a( C) ˆx = ( + a) ac = ( + a) ac. We kunnen de vergelijking ook oplossen naar. We bekomen dan ac ˆx = ( + a)ˆx. Figuur 7 toont de arbeidsaanbodcurve die hoort bij het laatste voorbeeld loonvoet arbeidsuren Arbeidsaanbod Figuur 7. De arbeidsaanbodcurve We stellen vast dat deze een stijgend verloop kent, wat van een normale aanbodcurve verwacht wordt. Dit is het geval voor elke waarde C <. Immers de eerste afgeleide van de aanbodfunctie bedraagt ac = (( + a)ˆx ) 2 zodat we eenvoudig zien dat > voor elke C < wat een stijgende aanbodcurve impliceert. Uit de eerste afgeleide vindt men ook dat voor C > geen economisch realistisch model wordt bekomen aangezien de overeenkomstige aanbodcurve dan steeds dalend verloopt. Met de software-applicatie ArbeidGraf van de auteur kan gesimuleerd worden hoe het verschoven Cobb-Douglas model verandert wanneer de parameters worden gewijzigd. Deze applicatie is te downloaden vanaf de website Topics uit wiskunde en economie, terug te vinden op de in dit artikel vermelde URL. Katholieke Universiteit Brussel, Faculteit ETEW, Vrijheidslaan 7, B-8 Brussel, België adres: Ignace.VandeWoestne@kubrussel.ac.be URL: