4 B-splines. 4.a Definities en elementaire eigenschappen 4 B-SPLINES 40

Transcriptie

1 4 B-SPLINES 4 4 B-splines 4.a Definities en elementaire eigenschappen In plaats van de bereening van een spline-benadering via een loale-polynoomrepresentatie per deelinterval, unnen we oo een basis iezen in de ruimte M p,p ( ) van splines van graad p en een benadering schrijven als een lineaire combinatie van deze basiselementen. Een geschite basis wordt gevormd door de B-splines van een graad p Figure 2: B-splines van graad,, 2 en 3 op de punten {,.5, 2.2, 3, 4, 4.5, 6}. Voor definitie van B-splines en afleiding van eigenschappen veronderstellen we (voorlopig) dat we beschien over een oneindige serie nopen {t i } i, < t 2 < t < t < t < t 2 < t 3 <. We definiëren de B-spline van graad op de nopen t en t door als t B < t, (t, t ; ) : elders. (4.) Vervolgens definiëren we recursief de B-spline van graad p op de punten t, t,, t p door B p (t,, t p ; ) : t t p t (t,, t p ; ) t p t p t (t,, t p ; ). Voor p beteent dit bijvoorbeeld: B t (t, t, t 2 ; ) B (t, t ; ) t 2 B (t, t 2 ; ) t t t 2 t t als t t, t t t 2 t 2 t als t t 2, elders. (4.2) (4.3)

2 4 B-SPLINES 4 Notatie: Voor het gema zullen we in het vervolg de notatie aforten en schrijven: B p () i.p.v. B p (t,, t p ; ), tenzij de lange notatie beter is voor de duidelijheid. Opmering. In de pratij laten we bij het uitreenen van B p de recursie liever niet lopen tot op het niveau p, omdat B niet continu is in de nopen en een leine verschuiving van (b.v. door een afrondfout) een verschil van orde tot gevolg an hebben. Uit de definitie (4.) zien we dat het interval [t, t ] de drager van B is, dit is de afsluiting van verzameling punten waar de funtie niet nul is. Bovendien is B op die drager niet-negatief. Uit (4.3) zien we dat [t, t 2 ] de drager van B is en dat oo deze daar (en dus overal) niet-negatief is. Verder zien we, dat B continu is en stusgewijs een polynoom van graad. Uit de recursieve definitie (4.2) zien we vervolgens, dat voor alle p de B-spline B p van graad p de drager [t, t p ] heeft, dat hij nergens negatief is, en dat hij stusgewijs een polynoom van graad p is. Bovendien heeft B p p continue afgeleiden, zoals vogt uit de volgende stelling: Stelling: De afgeleide van B p voldoet aan de recursie: d d Bp () p p () () (4.4) t p t t p t bewijs. Met volledige indutie naar p. Voor p (en {t, t, t 2 }) volgt (4.4) trivialiter uit (4.) en (4.3). Voor p > voeren we de differentiatie van formule (4.2) diret uit en gebruien vervolgens de indutieaanname voor d (): d d Bp () () t p t d Bp t p t () t d t p t d Bp () t p d t p t d Bp () t t p t t p t p t de eerste regel heeft reeds de goede vorm; in de tweede gebruien we de indutieaaname op het niveau p ( ) p p () t p t t p t () ( ) p t p t () p 2 t p t () 2 op de plaatsen van de twee minteens voegen we geschite veelvouden van toe, die samen met de eerste en de laatste term Bp resp. vormen; de middentermen sommeren tot nul. p ( t () t ) p t p t t p t t p t () p ( ) tp t t p t t p t t p t () ( p tp t ) t p t t p t t p t () ( p t t p t t p t () t ) p 2 t p t () 2 p () t p t p t p t () Het gevolg van deze stelling is, dat B p een stusgewijs polynoom van graad p met p continue afgeleiden, zodat B p Mp,p ( ) en dus met recht een spline genoemd an worden. We

3 4 B-SPLINES 42 zullen bewijzen, dat we met B p een basis unnen vormen. Hiervoor bewijzen we de volgende twee stellingen. Stelling: De verzameling B-splines van graad p vormen een partitie van de eenheid: B p () IR. (4.5) bewijs. Met volledige indutie naar p. Voor p zijn de dragers van B en B j disjunt als j en B op zijn drager; hun som is dus oo gelij aan. Voor p > passen we de definitie (4.2) toe en verschuiven de inde in de tweede som van het rechterlid met : B p t t p t () t t p t () Hieruit volgt de geldigheid van (4.5) voor alle p. t p t p t () t p () t p t () volgens de indutieaanname. We meren op, dat in de som (4.5) voor iedere er hoogstens p termen ongelij aan nul zijn, omdat de drager van B p zich slechts uitstret over p deelintervallen. Als we op een begrensd deel van IR ijen zijn er daar dan oo slechts een eindig aantal B-splines ongelij aan nul; uit de volgende stelling volgt, dat deze lineair onafhanelij zijn.: Stelling: Als [t, t n ] geldt S() : dan geldt: c p c p c n 3 c n 2 c n. c B p (), (4.6) bewijs. met volledige indutie. Voor p is de bewering triviaal, omdat alle dragers disjunt zijn. Voor p > unnen we (4.6) differentiëren, gebrui maen van formule (4.4) en de sommatieinde in de tweede som verschuiven, S () c d d Bp () c p () t p t c p () t p t (c c )p (). t p t c p t p t () c p () t p t Volgens de indutieaanname zijn de coëfficiënten in de laatste epressie nul, c p c p c p2 c p c n 3 c n 2 c n 2 c n zodat alle betroen coëfficiënten c ( p n ) aan elaar gelij zijn. Volgens (4.5) is S() dan constant op het interval [t, t n ] en gelij aan c p, zodat c p. Het gevolg van deze stelling is, dat de collectie B-splines {B p p, B p p,, Bp n 2, Bp n } een onafhanelije verzameling van n p funties vormt in M p,p ( ). Omdat dit aantal gelij is aan de dimensie, vormt deze collectie dus een basis in deze ruimte.

4 4 B-SPLINES 43 Opmering. Een discontinuïteit in een spline-benadering of haar afgeleide in een nooppunt unnen we creëren door zo n noop twee- (of meer-)voudig in de nopenlijst op te nemen. In de recursie (4.2) moeten we daar natuurlij wel reening mee houden; als er een noemer nul is, is de teller oo nul en unnen we betreffende term nul stellen, mits we er in formule (4.3) voor zorgen dat steeds geldt B (t ) als t < t 2 (immers, als we t vast houden en t van beneden of t 2 van boven naar t laten lopen, blijft steeds B (t ) ). De afleidbaarheid wordt dan verminderd, daar in (4.4) een noemer nul wordt, zodat de formule niet geldig is in dat punt. Als we dus bijvoorbeeld in een ubische-splinebenadering een ni willen leggen in een punt t, dan leggen we in dit punt een drievoudige noop, zodat we continuïteit van eerste en tweede afgeleide in dat punt verliezen. Dit recept unnen we oo toepassen in een randpunt van een interpolatieinterval; in plaats van het iezen van een aantal unstmatige nopen buiten het interval maen we de randnoop meervoudig, zie fig. 3 en Figure 3: B-splines van graad 2 (lins) en 3 (rechts) op de nopen {,, 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8} met een drievoudige noop 4. Duidelij is, dat de B 2 discontinu zijn in 4 en dat de B 3 er een ni vertoont. 5 5 Figure 4: B-splines van graad 2 (lins) en 3 (rechts) op de nopen {,,,, 2, 3, 4, 5, 6} met een meervoudige randnoop. 4.b Het reenen met B-splines De eerste vraag is om waarde van een lineaire combinatie S() van B-splines voor een gegeven waarde van uit te reenen. Laat S gegeven zijn door S() c p Bp (). (4.7) We meren om te beginnen op, dat er hier voor iedere in feite maar een eindige som staat, omdat voor [t j, t j ] alleen de B-splines B p j p (),, Bp j () ongelij aan nul zijn. Om (4.7) te

5 4 B-SPLINES 44 evalueren maen we gebrui van recursie (4.2) en verschuiven de sommatieinde in de tweede som: S() c p c p c p Bp () c p t t p t () t t p t () () c p c p t p t p t () t p () t p t (4.8) waarbij c p gedefiniëerd is door c p : c p t t p t c p t p t p t. (4.9) Hiermee hebben we de som (4.7) van B-splines van graad p herleid tot een van graad p. Dat de coëfficiënten impliciet van afhangen is niet belangrij, omdat we toch vast houden in deze afleiding. Dezelfde recursieslag als (4.8) unnen we nu opnieuw toepassen van graad p naar p 2 en we unnen doorgaan tot we bij graad nul zijn en vinden: S() c B () c j als [t j, t j ]. Voor de bereening van c j en dus van S() hebben we dus niet meer nodig, dan het driehoeig tableau c p c p c p c c p c c p c 2 c p 2 (4.) c p 3 waarin de olommen van lins naar rechts bereend worden met formule (4.9). Toepassing: Collocatie voor een tweepuntsrandwaardeprobleem. We willen de oplossing van het tweepuntsrandwaardeprobleem op het interval [, ] a()u b()u c()u f() met u() α, u() β. (4.) benaderen met ubische splines. We iezen daartoe een verdeling van het interval in n deelintervallen (en aan weerszijden 3 deelintervallen erbuiten). Laat {B 3 3,, B3 n } de B-spline basis zijn voor M 3,2 ( ). Schrijf de benadering uit in deze basis, u n 3 c B 3 () (4.2) met n 3 te bepalen parameters. Deze benadering moet aan de randvoorwaarden voldoen, zodat c 3 B 3 3 c 2 B 3 2 c B 3 α, en c n 3 B 3 n 3 c n 2 B 3 n 2 c n B 3 n β. (4.3) De benadering u an natuurlij niet overal (eact) aan de differentiaalvergelijing voldoen; om een goede benadering te verrijgen is het voldoende dat u aan de vergelijing voldoet in de

6 4 B-SPLINES 45 deelpunten t, t,, t n, t n, de zogenaamde collocatiepunten. Dit geeft n vergelijingen; tesamen met (4.3) zijn dit er precies voldoende om de n 3 onbeende coëfficiënten in u te bepalen. Omdat in het deelpunt t j alleen Bj 3 3, B3 j 2 en B3 j ongelij aan nul zijn, geeft de j-de collocatievergelijing een betreing tussen c j 3, c j 2 en c j. Het resulterende stelsel vergelijingen heeft dus de vorm: (4.4) Vanwege de recurrente betreing (4.2) unnen de bereeningen zeer efficiënt geïmplementeerd worden. De zo verregen benadering is van orde O(h 4 ), als f etc. voldoend glad zijn. Het idee achter het bewijs van deze foutschatting is, dat de ubische B-splines in het linerlid van de differentiaalvergelijing (4.) tweemaal gedifferentieerd worden. We interpoleren het rechterlid dus als het ware met stusgewijs lineaire splines die een benaderingsorde O(h 2 ) geven. Tweemaal integreren geeft dan, bij gebrui van de randvoorwaarden, de gewenste orde O(h 4 ). 4.c Bézier-polynomen en controlepunten Op zoe naar een manier om gladde rommen in het platte vla (IR 2 ) op een eenvoudige manier te beschrijven wam Bézier (ingenieur bij Renault) rond 6 met een methode waarbij de gezochte romme niet beschreven wordt als een funtie y f() maar in parametrische vorm, f(t), y g(t), t IR. Als f en g gladde funties zijn, dan is (g (t), f (t)) de richting van de raalijn, tenzij deze nul is. De geparametriseerde romme (f(t), g(t)) is dus glad, tenzij de afgeleiden van f en g tegelij nul zijn. Standaard-voorbeelden van geparametriseerde rommen zijn de cycloide en de epicycloiden, geschetst in fig. 5. Als we een cirel met straal laten rollen over een rechte (fig 5A), dan beweegt een vast punt op die cirel zich over een (epi-)cycloide. Als de cirel over een afstand t is voortgerold, dan is deze oo over een hoe t gedraaid. De baan van zo n vast punt op de cirel, dat op een afstand r van het middelpunt staat wordt dus beschreven door (t r sin t, r cos t). De richting van de raalijn is dus ( r sin t, r cos t), hetgeen nul is als r en t ±π. De cycloide in fig 5B heeft dan oo een ni, terwijl de epicycloiden (met r ) van fig 5C en fig 5D overal glad zijn. Als we n punten {p : (, y ) j n j} gegeven hebben, dan unnen we hierbij de romme van graad n in parametervorm definiëren door nj ( ) P n n j (t) : ( t) n t p met t [, ]. (4.5) j Dit is een polynoom van graad n in de parameter t. Deze formule definieert ieder punt van de romme als een convee lineaire combinatie van de controlepunten, omdat P n j (t) c p met c en c (ga na!). Vanwege de beende recursie voor binomiaalcoëfficiënten geldt: P n j (t) ( t)p n j (t) tpj n (t). (4.6) Dit geeft een eenvoudig en snel algoritme om de waarde van de romme voor iedere t te bereenen. De belangrijste eigenschappen (die we niet zullen bewijzen) zijn:

7 4 B-SPLINES 46 A: Voortbrengende cirel. B: cycloide; straal C: epicycloide; straal.6 D: epicycloide; straal.4 Figure 5: Epicycloiden. A: Voortbrenging door vaste punten () op een rollende cirel. B: De cycloide (r ). C-D: Epicycloiden. ) P n j () p j en P n j () p nj. 2) In t (het beginpunt) raat de romme aan de rechte door p j en p j en in t (het eindpunt) raat de romme aan de rechte door p nj en p nj. 3) De romme ligt geheel binnen het convee omhulsel van {p j p nj }, dit is het leinste convee polygoon, dat al deze punten omvat. Dit volgt eenvoudig uit de definitie (4.5), die Pj n (t) geeft als een convee lineaire combinatie van de controlepunten. Het concept van controlepunten tesamen met de eenvoudige recursie (4.6) maen dit soort rommen een aantreelij interactief grafisch hulpmiddel. Creëren, verschuiven en weglaten van controlepunten an eenvoudig met een muis gebeuren. Een nadeel van deze Bézierpolynomen is, dat de graad nogal hoog an oplopen en dat de rommen daardoor mogelij ongewenst hard gaan ronelen, als we veel controlepunten iezen. Het alternatief van stusgewijze Bézierpolynomen is oo niet aantreelij omdat de overgang van een stu naar een volgend stu moeilij glad te maen is. Zie fig. 6 voor enige voorbeelden Figure 6: Bézierpolynomen van graad 3 met (genummerde) controlepunten. Uit de figuur is te zien, dat de volgorde belangrij is. Dit soort Bézier-rommen wordt bijvoorbeeld gebruit in de postscript functie curveto. De opdracht y 2 y2 3 y3 curveto teent een Bézier-romme van de graad 3 van het actuele punt (, y) naar het punt ( 3, y 3 ) met intermediaire controlepunten (, y ) en ( 2, y 2 ) zoals in fig. 6.

8 4 B-SPLINES 47 4.d B-spline-rommen en controlepunten Punten op een Bézierromme worden, zoals we zagen in 4.c, gevormd als een convee lineaire combinatie van controlepunten. Aangezien B-splines volgens formule (4.5) oo een partitie van de eenheid vormen, unnen we oo met B-splines zo n convee lineaire combinatie vormen. Als B p (t) : Bp (,,, p ; t) de B-spline van graad p is die leeft op [, p ], dan is Bp (t) voor alle t. Met een collectie controlepunten {p IR 2 Z} unnen we dan de romme S p (t) in het vla vormen als de convee lineaire combinatie S p (t) : p B p (t). (4.7) Aangezien de drager van iedere B p van hoogstens p termen, bepert is tot [, p ], staat hier altijd een eindige som S p (t) : p B p (t) j j p p B p (t) als t [j, j ]. (4.8) Hierdoor heeft de B-spline-romme S p naast de vaste (lage) graad een behoorlije mate van loaliteit, ongeacht het aantal controlepunten. Natuurlij is de parametrisering (en dus oo de romme) niet oneindig glad; voor t geheel sluiten de stuen hoogstens p maal continu differentieerbaar aan elaar aan. In vergelijing met Bézierrommen leveren we dus gladheid in voor lage graad en loaliteit. Evenals de Bézierromme is de B-spline-romme S p niet interpolerend in de controlepunten (gaat niet door die punten). Voor de eenvoud van de formulering is in (4.7) een oneidig aantal controlepunten gebruit. Als er echter precies n controlepunten {p IR 2,, n } gegeven zijn, willen we slechts een eindige som S p (t) : n p B p (t) beschouwen. Als funtie van de parameter t hebben beide componenten van S p de drager [, np], maar slechts voor p t n is de eindige som, zie fig. 7, n Bp (t) een partitie van de eenheid (immers, de dragers van de eerste weggelaten termen B p en Bp n lins en rechts zijn [, p] resp. [n, np]). Voor t en t np geldt bijvoorbeeld S p () S p (np) (, ). Het gevolg is, dat we voor t < p en n < t n p geen convee combinatie van de controlepunten hebben, zodat de grafie in het begin en eind niet goed aansluit. Dit probleem unnen we oplossen, door aan de nopenverzameling {p, p,, n}, zoals in fig. 4, de randnopen p en n multipliciteit p te geven. Hierdoor loopt de romme inderdaad van het eerste naar het laatste controlepunt, zoals we zien in fig. 8.

9 4 B-SPLINES Figure 7: Geteend zijn de ubische B-splines B 3 voor 9 en hun som. In de linerfiguur is de nopenverzameling {,, 2,,2} gebruit en in de rechter {3, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9}. Tengevolge van de 4-voudige randnopen liggen in de rechterfiguur alle dragers binnen het interval [3, 9] waar de negen B-splines een partitie van de eenheid vormen Figure 8: Gestippeld is de lissajousfiguur {(cos t, sin2t) π < t < π} en elf genummerde controlepunten daarop. Langs die controlepunten is de B-spline-romme van graad 3 getroen. In de linerfiguur zijn de nooppunten van de parametrisering 4 geozen. In de rechter zijn randnopen met multipliciteit 4 geozen. De rechterromme loopt dan oo van het eerste naar het laatste controlepunt, terwijl de liner ergens in de buurt van de tweede en de voorlaatste ophoudt.

10 REFERENCES 2 References [] M. Hestenes & E. Stiefel, Methods of conjugate gradients for solving linear systems, J. Research NBS, 49, pp , 952. [2] C. Lanczos, An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators, J. Research NBS, 45, pp , 95. [3] J.K. Reid, On the method of conjugate gradients for the solution of large sparse systems of linear equations, Proc. Conf. on Large Sparse Sets of Linear Equations, Academic Press, New Yor, 97. [4] J.A. Meijerin and H.A. van der Vorst, An iterative solution method for linear systems of which the coefficient matri is a symmetric M-matri, Math.of Comp., 3, pp , 977. [5] G.H. Golub & C.F. Van Loan, Matri Computations, The Johns Hopins University Press, Baltimore, Maryland, USA, ste dru, 983, 2 de dru, 988, 3 de dru, 995. [6] R. Bulirsch & J. Stoer, Introduction to Numerical Analysis, Springer Verlag, Berlin, 977. (Oo verrijgbaar in een goedope duitstalige poceteditie). [7] D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis, Broos & Cole Publishing Company, Pacific Grove, California, USA, 99; 2de dru, 996.