IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire

Transcriptie

1 IV Eigenvectoren en Eigenwaarden bij Lineaire Transformaties in R IV0 Meetundige inleiding: delijnen en eigenvectoren Bij veel toepassingen van de Gauss-Jordan methode gaat men uit van de delijnen van een lineaire transformatie L in R om de matri L van deze lineaire transformatie op te stellen Zoals we verderop in deze paragraaf zullen zien hangen delijnen samen met de zogenoemde eigenvectoren en eigenwaarden van een lineaire transformatie L in R Een eerste voorbeeld van dit gebrui van delijnen bij de Gauss- Jordan methode vormt de spiegeling S in R in een lijn Voorbeeld Dit voorbeeld is reeds in III5 aan de orde geomen Er is daar in R sprae van de spiegeling S in de lijn : 3 = 4 De vectoren langs de lijn liggen na spiegeling nog steeds 4 langs die lijn Een voorbeeld van zo n vector is v = waarvan 3 het beeld na spiegeling dezelfde vector is ( v ) = v S Oo langs de lijn l loodrecht op liggen de vectoren na spiegeling langs diezelfde lijn De vectoren die langs l staan hebben 4 3 hun tegengestelde vector als spiegelbeeld Een voorbeeld vormt de vector w = = 3 4 waarvan het beeld na spiegeling is S ( w) = w Uitgaande van deze vectoren v en w met hun resp spiegelbeelden levert de Gauss- Jordan methode (zie oo III5) I '' = I ' 3 4 I ' = 4I + 3 II II ' = 3I 4II II '' = II ' I II I ' II ' I '' II '' Dit levert voor de matri van de spiegeling 7 4 S = De lijnen en l vormen de zogenoemde delijnen van de spiegeling S * Definitie In het platte vla met standaard assenstelsel (, ) is een delijn van een lineaire transformatie een lijn door de oorsprong met de eigenschap dat als een vector volgens die lijn is gericht dan oo het beeld van die vector volgens de lijn is gericht

2 Anders gezegd: Die lijnen door de oorsprong die door een lineaire transformatie op zichzelf worden afgebeeld heten de delijnen van de lineaire transformatie Voordat we verder gaan met de definities van eigenwaarden en eigenvectoren nog een Voorbeeld Gegeven In een standaard assenstelsel (, ) de lijnen l : = en m : = 3 Voor een lineaire transformatie L in R geldt dat l een delijn is De vectoren die langs l liggen hebben oo hun L -beeld langs l De beeldvectoren zijn 3 eer zo lang als de originelen Oo de lijn m vormt een delijn voor L De beeldvectoren langs deze lijn zijn de tegengestelden van de originelen langs deze lijn Gevraagd a) Verlaar dat de vector v = het beeld L ( v ) = 3v heeft 3 b) Geef hetl -beeld van de vector w = c) Bepaal met behulp van de Gauss-Jordan methode de matri L van de lineaire transformatie d) Geef de entallen van beelden L ( e ) resp L ( e ) van de standaardbasis e, e Bereen oo de lengtes van deze beeldvectoren e) Teen naast elaar twee eer het standaard assenstel (, ) In het liner assenstelsel zullen de originelen worden geteend en in het rechter de L - beelden f) Teen in het liner assenstelsel de vectoren e, e van de standaardbasis en arceer het vierant dat zij opspannen Teen daarin oo de lijnen l en m en verder de vectoren v en w als positievectoren g) De vectoren L ( e ) resp L ( e ) leggen een scheef assenstelsel (, ) vast Teen deze assen in het rechter diagram als streepjes lijnen Teen oo de vectoren L ( e ) en L ( e ) en arceer het parallellogram dat zij opspannenteen de lijnen l en m oo in het rechter assenstelsel h) De vector v heeft entallen en ten opzichte van het scheve assenstelsel (, ), dus v = L ( e ) + L ( e ) Teen v als positievector in het rechter assenstelsel Teen oo de vector w = 3 L ( e ) + L ( e ) die entallen 3 en heeft ten opzichte van (, ) j) Bereen de entallen van v ten opzichte van de standaard basis en laat met behulp hiervan zien dat v het L -beeld is van v Bereen de entallen van w ten opzichte van de standaard basis en laat met behulp hiervan w = L ( w)

3 Oplossing a) Op de lijn l : = geldt als = dan = De vector v = is dus gericht volgens l Voor de vectoren langs l geldt dat de L -beelden 3 eer zo lang zijn, dus L ( v) = 3v 3 b) De vector w = is gericht volgens de lijn m De L -beelden zijn hierbij tegengesteld gericht dus L ( w) = w c) De Gauss-Jordan methode levert uitgaande van de gegevens uit a) en b) I '' = I ' I ' = I II II ' = 3I + II II '' = II ' I II I ' II ' I '' II '' De matri van de lineaire transformatie is dus 3 4 L = d) L ( e ) = en L ( e ) = met lengtes L ( e ) = = 5 5 e) f) g) h) Zie figuur L ( e ) = = resp 5 v 3 4 ( e ) ( e = + ) = + = 3 = 3 ( ) v = v L L L w ( e ) ( e ) 3 = + = + = = ( ) w = w L L L h) 3

4 Opmeringen ) Het antwoord op vraag h) bevestigt de lineariteit van L zoals besproen in III Immers v = e + e met L ( v) = L ( e ) + L ( e ), en w = 3e + e met L ( w) = 3 L ( e ) + L ( e ) p ) De lijnen l en m zijn de enige delijnen van L Zo is de vector p = = p = pe 0 0 gericht volgens de -as terwijl zijn beeld L ( p ) = L ( pe ) = pl ( e ) gericht is volgens de -as De -as valt niet samen met -as Op vergelijbare manier is het L -beeld van de -as en de niet ermee samenvallende -as, want q = qe is gericht volgens de -as en L ( q ) = L ( qe ) = ql ( e ) volgens de -as Met het bestaan van delijnen hangt de volgende definitie samen Definitie De eigenvergelijing van een lineaire transformatie L in L ( ) =τ R is de vergelijing Als er waarden van de scalar τ zijn waarbij er vectoren 0 zijn die aan de eigenvergelijing voldoen, dan heten deze waarden van de scalar de eigenwaarden van de transformatie L en de betreffende vectoren heten eigenvectoren van de transformatie L Opmeringen ) In het laatste voorbeeld is L ( ) = 3 een eigenvergelijing met eigenwaarde τ = 3 en een oplossing ervan is de eigenvector v = In het voorbeeld is de tweede eigenvergelijing L ( ) =, die dus de eigenwaarde 3 τ = heeft, en een oplossing ervan is de eigenvector w = ) Als een vector v 0 eigenvector is bij een eigenwaarde τ dan zijn oo de vectoren = λv eigenvectoren bij dezelfde eigenwaarde Immers L ( ) = L ( λv ) = λl ( v ) = λ τv = τ Gezien als positievectoren liggen zowel de eigenvectoren en als hun beelden alle langs de delijn m : = λv Hierbij ligt eindpunt van een beeldvector L ( ) een factor τ verder van de oorsprong dan het eindpunt van de bijbehorende origineelvector 3) Niet alle lineaire transformaties in R hebben eigenwaarden en eigenvectoren De rotatier θ over een hoe θ in R heeft bijna nooit eigenwaarden en eigenvectoren (Zie opgave IV0 ) In deze paragraaf hebben we vanuit gegeven delijnen en gegeven eigenvectoren met behulp van de Gauss-Jordan methode matrices opgesteld van lineaire transformaties in R De centrale vraag in de volgende paragraaf is het omgeeerde: Als van een lineaire transformatie in R de matri gegeven is hoe valt dan na te gaan of deze transformatie eigenwaarden heeft, en zo ja wat zijn dan de bijbehorende eigenvectoren? 4

5 Voor het antwoord op deze vraag zullen we in die paragraaf de zogenoemde arateristiee vergelijing afleiden In de volgende paragrafen spelen die eigenvergelijingen de hoofdrol waarbij één van de eigenwaarden gelij is aan 0 Het volgende voorbeeld gaat in op de meetundige aspecten bij eigenwaarde 0, die oo worden besproen in het aanhangsel van IV3 Aanhangsel : Eigenwaarde 0, een voorbeeld De scheve projectie is een voorbeeld van een lineaire transformatie met eigenwaarde 0 Voorbeeld Gegeven De lijnen : = en l : = 3 in een standaard assenstelsel (, ) en de scheve projectie P, l in R, die oo III5 al aan de orde is geomen Gevraagd a) Licht toe: Voor v = geldt P, l = Voor w = 0 geldt P, l = b) Bereen volgens de Gauss-Jordan methode de matri van P, l c) Teen in een standaard assenstelsel (, ) de lijnen en l Teen oo de vectoren e, e d) Verlaar dat de lijnen en l delijnen zijn van de lineaire transformatie P, l e) Langs wele lijn liggen de vectoren die een oplossing zijn van de eigenvergelijing P, l ( ) = 0 ( = 0) met eigenwaarde τ = 0 Wele van de in c) geteende vectoren is een oplossing (een eigenvector) bij deze eigenwaarde τ = 0? f) Langs wele lijn liggen de vectoren die een oplossing zijn van de eigenvergelijing P, l ( ) = met eigenwaarde τ = Wele van de in c) geteende vectoren is een oplossing (een eigenvector) bij deze eigenwaarde τ =? g) Geef in de figuur de beelden P, ( ) en P, ( ) aan l v l w 5 3 h) De vectoren a =, b = en c = hebben alle hetzelfde P, 5 4 aan door bereening met de matri, l P l -beeld Toon dit i) Teen in de figuur de vectoren a, b en c als positievectoren en geef oo hun P, l - beeld aan j) Teen een streepjeslijn langs de oppen van de vectoren uit i) Verlaar de richting van deze lijn ) Teen tenslotte de beeldvectoren P, l ( e ) en P, l ( e ) van de standaardbasis l) Toon aan dat geldt P, l ( e ) = 3 P, l ( e ), dus dat de beelden van de standaardbasis afhanelij zijn Hoe blijt deze afhanelijheid oo uit de figuur? 5

6 Oplossing a) De vectoren langs blijven bij de projectie P, l onveranderd De vector langs en er geldt dus P, l ( v) = v De vectoren langs l worden bij de projectie P, l afgebeeld op de vector 0 De vector w = is zo n vector en er geldt dus P, l ( w) = 0 = 0w 3 b) I '' = I ' 3 I ' = 3I II II ' = I II 6 6 II '' = II ' De I matri II van P I ' II ' I '' II '', l is dus 6 P, l = 5 3 c) Zie figuur d) De positievectoren langs zijn voor en na de projectie P, l hetzelfde De originelen en beelden zijn beide langs deze lijn gericht en dus is een delijn De positievectoren langs l hebben alle als beeld de vector 0 Originelen en beeld liggen dus op één lijn en daarom is oo l een delijn e) De vector w ligt langs l en er geldt P, l ( w) = 0w De vector = w is dus een oplossing van de eigenvergelijing P, l ( ) = 0 Oo = w of = w zijn oplossingen Alle oplossingen zijn dus volgens l gericht f) De vector v is volgens gericht en is oplossing van de eigenvergelijing P, l ( ) = Alle vectoren = λv, met λ een nader te bepalen scalar, zijn oplossingen van deze vergelijing en zijn alle gericht volgens g) Zie figuur ( )5 4 h) P, l ( a) = P, l = = = ( ) ( )( ) 4 P, l ( b) = P, l = = = ( )( ) v = ligt 6

7 6 6 + ( )( 4) 4 P, l ( c) = P, l = = = ( )( 4) i) Zie figuur j) De lijn door al deze oppen is evenwijdig aan l Deze vectoren hebben daarom als beeld eenzelfde positievector op de lijn waarvan de op oo op deze lijn ligt ) Teen vanuit de oppen van de standaardbasis e, e lijnen evenwijdig aan l Dit levert op de resp positievectoren P, l ( e ) en P, l ( e ) 6 3 l) Uit de matri L volgt P, l ( e ) = = en P, l ( e ) = = P ( e ) = 3 P ( e ) Dus, l, l In de figuur liggen deze vectoren beide langs de delijn, wat oo beteen dat zij van elaar afhanelij zijn Opmeringen ) Uit de vragen ) en l) blijt dat de beelden van standaardbasis e, e afhanelij zijn In de volgende paragraaf zal blijen dat dit altijd geldt als een lineaire transformatie eigenwaarde 0 heeft ) Uit de vragen i) en j) blijt dat er verschillende vectoren zijn hetzelfde beeld hebben In het aanhangsel van IV3 zal besproen worden dat alleen bij lineaire transformaties met een eigenwaarde 0 het geval is Is er geen eigenwaarde 0 dan hebben verschillende vectoren verschillende beelden Aanhangsel Als afronding van deze paragraaf één stelling die we verder in het vervolg niet nodig hebben en die dus an worden overgeslagen Stelling Heeft een lineaire transformatie in R twee verschillende eigenwaarden dan zijn de bijbehorende eigenvectoren onafhanelij Bewijs Stel een lineaire transformatie L in R heeft eigenwaarden τ en τ met τ τ Laat v 0 een eigenvector zijn bij eigenwaarde τ, dus L ( v ) =τv Laat w 0 een eigenvector zijn bij eigenwaarde τ, dus L ( w ) =τ w We bewijzen vanuit het ongerijmde dat v en w onafhanelij zijn Stel het tegendeel De vectoren v en w zijn wel afhanelij Er is dan een scalar λ 0 zodanig dat w = λv De vector = λv 0 heeft eigenwaarde τ, dus L ( ) =τ De vector = w 0 heeft eigenwaarde τ, dus 7

8 Gevolg L ( ) =τ τ = τ τ τ = 0 ( τ τ ) = 0 τ τ = 0 τ = τ Dit is strijdig met de aanname τ τ, dus is er een zogenoemde ongerijmdheid De eigenvectoren bij τ en τ zijn dus onafhanelij Opgaven IV0 De vermenigvuldiging V, λ in R ten opzichte van een lijn door de oorsprong met een factor λ heeft eigenwaarden en λ Verlaar dit meetundig IV0 a) Verlaar meetundig dat rotatie R θ in R over een hoe θ geen 0 eigenvectoren heeft behalve als θ = 80, waarbij een geheel getal is b) Verlaar meetundig voor wele hoeen θ de rotatie Rθ eigenwaarde heeft c) Verlaar meetundig voor wele hoeen θ de rotatie Rθ eigenwaarde heeft IV03 Een lineaire transformatie L in R heeft als delijnen l : = en m : = 3 De eigenvectoren behorend bij de delijn l hebben eigenwaardeτ = en de eigenvectoren behorend bij de delijn m hebben eigenwaarde τ = a) Geef een eigenvector v met eigenwaarde τ = en een eigenvector w met eigenwaarde τ = b) Toon met behulp van de Gauss-Jordan methode aan dat de matri van deze lineaire transformatie is 5 3 L = 4 9 c) Licht de situatie meetundig toe met een figuur als in het tweede voorbeeld IV04 Een lineaire transformatie L in 3 3 Voor de vector v = geldt = + 3 = L 3 3 = = 3 3 a) Waarom is v een eigenvector van L en wele eigenwaarde behoort bij deze vector? R wordt vastgelegd door de matri L 0 = 4 8

9 b) Toon door bereening aan dat oo v = een eigenvector is met dezelfde eigenwaarde c) Geef de formule van de bijbehorende delijn m d) Geef de entallen van debeelden L ( e ) en L ( e ) van de standaardbasis e) Toon door bereening aan dat L ( e ) + L ( e ) = en bespree het 3 verband met de gegeven figuur Opmering: In opgave IV zal met behulp van de zogenoemde arateristiee vergelijing blijen dat deze lineaire transformatie slechts één eigenwaarde en één delijn heeft IV05 De lineaire transformatie L in R wordt vastgelegd door de matri 0 4 L = 0 a) De vectoren v = en w = zijn eigenvectoren van lineaire transformatie Toon dit door bereening met de matri aan en geef de bijbehorende eigenwaarden b) De vector a = is geen eigenvector van de lineaire transformatie Toon dit aan c) Geef de formules van de delijnen bij deze transformatie d) Licht de situatie meetundig toe met een figuur als in het tweede voorbeeld Opmering: In de volgende paragraaf omt in opgave IV5 aan de orde hoe men de eigenvectoren van deze lineaire transformatie an vinden met behulp van de zogenoemde arateristiee vergelijing IV06 De glijschuiving G in, vastgelegd door de matri R in de richting van de -as met een factor wordt G = 0 a) De vectoren = λ, met λ, langs de -as zijn eigenvectoren van deze 0 glijschuiving Toon dit aan en geef de bijbehorende eigenwaarde(n) b) Verlaar meetundig dat deze glijschuiving alleen deze vectoren als eigenvectoren heeft en geen andere, 9

10 IV De arateristiee vergelijing In deze paragraaf bewijzen we een twee stellingen die, samen met de determinant (zie aanhangsel), direct leiden de zogenoemde arateristiee vergelijing van een lineaire transformatie in R, waarmee de eventuele eigenwaarden van de lineaire transformatie unnen worden bereend Als de eigenwaarden eenmaal beend zijn dan is het niet al te lastig om van een lineaire transformatie in R de eigenvectoren te bepalen Stelling Een lineaire transformatie L in R heeft een eigenwaarde 0 dan en slechts dan als de beelden L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis afhanelij zijn Bewijs - Stel de transformatie heeft eigenwaarde 0 Er is dan een vector v = ve + ve 0 zodanig dat L ( v) = 0v Oo geldt voor het beeld van v dat L ( v) = vl ( e ) + vl ( e ) Gevolg vl ( e ) + vl ( e ) = 0 Omdat v 0 is ten minste één van de entallen v en v ongelij 0 Als v 0 dan geldt v L ( e ) = L ( e ) v De beelden van de standaardbasis zijn dan dus afhanelij Het geval v 0 levert een vergelijbaar resultaat - Stel de beelden van de standaardbasis zijn afhanelij Er is dan een scalar λ zodanig dat L ( e ) = λl ( e ) of een scalar µ zodanig dat λ L ( e ) = µ L ( e ) In het eerste geval is de vector v = een eigenvector v 0 met eigenwaarde 0 want L ( v) = λl ( e ) + L ( e ) = 0 = 0v In het tweede geval is de vector w = een eigenvector w 0 met eigenwaarde 0 µ In de volgende stelling wordt het begrip determinant van een lineaire transformatie gebruit, dat al eerder in de paragrafen I8, I9 en III6 aan de orde is geomen Voor wie niet op de hoogte is van dit begrip wordt in het aanhangsel van deze paragraaf een orte herhaling gegeven die onafhanelij van de eerdere paragrafen an worden bestudeerd Stelling Een lineaire transformatie L in R heeft een eigenwaarde 0 dan en slechts dan als de determinant van de transformatie gelij is aan 0, dus als L = 0 0

11 Bewijs - Stel de lineaire transformatie heeft geen eigenwaarde 0 Volgens de vorige stelling zijn de beeldvectoren L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis onafhanelij en liggen dus niet volgens één lijn Zij spannen dan een oppervla ongelij 0 op, dus O( L ( e ), L ( e )) 0 In dat geval geldt dus L 0 - Stel de lineaire transformatie heeft een eigenwaarde 0 Volgens de vorige stelling zijn de beeldvectoren L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis afhanelij en liggen dus volgens één lijn Zij spannen dan een oppervla gelij 0 op, dus O( L ( e ), L ( e )) = 0 In dat geval geldt dus L = 0 Deze laatste stelling levert direct de arateristiee vergelijing die we nodig hebben om de eventuele eigenwaarden van een lineaire transformatie in R te vinden Het basisinzicht bij het bewijs is dat zodra een lineaire transformatie L in R een eigenwaarde τ bezit dan an er een nieuwe lineaire transformatie L τi worden gevormd die eigenwaarde 0 heeft Stelling De eigenwaarden τ van een lineaire transformatie L in vergelijing L τi = 0, de zogenoemde arateristiee vergelijing van L R zijn alle de oplossingen van de Bewijs Bij iedere eigenwaarde τ van L is er een vector v 0 zodanig dat L ( v ) =τ v dus zodanig dat L ( v) τ v = 0 Of iets anders gesteld ( L τi )( v) = 0v Dit beteent dat bij iedere eigenwaarde τ de lineaire transformatie L τi een eigenwaarde 0 heeft omdat v 0 Volgens de vorige stelling is dit dan en slechts dan het geval als voor de determinant geldt L τi = 0 Dat het eenvoudig is om bij een lineaire transformatie in eigenvectoren te vinden blijt uit het volgende Voorbeeld Gegeven: Een lineaire transformatie L in 3 L = 4 3 Gevraagd: a) De eigenwaarden van L b) De eigenvectoren van L Oplossing a) Er geldt R vanuit beende eigenwaarden de R wordt vastgelegd door de matri

12 3 0 3 τ L τ I = τ = τ Dit levert als arateristiee vergelijing 3 τ = τ Dus (3 τ ) 4 = 0 De oplossingen van deze vergelijing zijn (zie opgave V) τ = of τ = 5 v b) De eigenwaarde τ = Laat v = 0 een eigenvector zijn bij deze eigenwaarde v Er is aldus de vergelijing v v L = v v Dus 3 v v 3v + v v 3 v + v = v v = v = = 4 3 v v 4v + 3v v 4v + 3 v = v v = v Als v = dan is v = een eigenvector bij eigenwaarde τ = Een andere eigenvector bij τ = worden gegeven door v = 4 Algemeen geldt dat de eigenvectoren bij τ = worden gegeven door = λ, waarbij λ 0 een nader te iezen scalar is De eigenwaarde τ = 5 Laat w 0 een eigenvector zijn bij τ = 5 Om de bereening te vereenvoudigen unnen we de waarde voor het ental in de -richting iezen Door deze euze geldt w = en is er slechts één onbeende, te weten w Er is dus w de vergelijing L = 5 w w Dus 3 3+ w w = 5 w = = 5 = 4 3 w w 4 + 3w 5w 4 + 3w = 5 w w = De vector w = is dus een eigenvector bij eigenwaarde τ = 5 De andere eigenvectoren bij τ = 5 worden gegeven door = µ, waarbij µ 0 een nader te iezen scalar is

13 Opmering Bij de bereening van de tweede eigenvector hebben we het ental in de -richting gelij geozen om de bereening te vereenvoudigen We hadden uiteraard oo de entallen in de -richting gelij unnen iezen om de bereening te vereenvoudigen(zie opgave V) Aanhangsel: Het begrip determinant van een lineaire transformatie in het ort We geven definitie van de determinant, die al eerder in de paragrafen I8, I9 en III6 aan de orde is geomen Zoals hierboven gesteld an het onderstaande an onafhanelij van deze paragrafen worden gelezen We leiden derhalve nogmaals een stelling af over de meetundige beteenis van de determinant als oppervlate opgespannen door de beelden van de vectoren van de standaard basis Definitie Stel een lineaire transformatie L in R wordt vastgelegd door de matri p r L = q s De determinant van deze matri L is een getal dat genoteerd wordt als p q p r geldt ps qr q s = r s, waarvoor Opmering Er is hier sprae van ruiselings vermenigvuldigen: Van linsboven naar rechtsonder, dus van p naar s, met een + teen; van rechtsonder naar linsboven, dus van q naar r, met een teen Vervolgens wordt er opgeteld Definitie De determinant van de lineaire transformatie, notatie L of L, is de determinant van de matri die de transformatie vastlegt Dus p r L = q s De volgende stelling geeft, misschien nogmaals, de meetundige beteenis van de determinant Stelling De determinant L van de lineaire transformatie L in R is, op het teen na, gelij aan de oppervlate opgespannen door p de beeldvectoren L ( e ) = en q r L ( e ) = van de standaardbasis e en e s 3

14 Bij positieve oriëntatie van de vector L ( e ) naar de vector L ( e ), dus als ( L ( e ) L ( e )) > 0, geldt p r O( L ( e ), L ( e )) = q s Bij negatieve oriëntatie van de vector L ( e ) naar de vector L ( e ), dus als ( L ( e ) L ( e )) < 0, geldt p O( L ( e ), L ( e )) = q Bewijs We beijen de vectoren L ( e ) en L ( e ) in het eerste wadrant Eerst het geval van positieve oriëntatie van de vector L ( e ) naar de vector L ( e ), dus als ( L ( e ) L ( e )) > 0 In de volgende figuur lins is de oppervlate O( L ( e ), L ( e )) van het parallellogram opgespannen door de vectoren L ( e ) en L ( e ) wit aangegeven Verschuiving van de oppervlaten O en O 3 levert de figuur rechts r s Uit de figuur rechts volgt dat voor O( L ( e ), L ( e )) geldt p r O( L ( e ), L ( e )) = ps O = ps qr = q s Vervolgens het geval ( L ( e ) L ( e )) < 0 We verwisselen we in de figuur de vectoren L ( e ) en L ( e ) met als resultaat p r O( L ( e ), L ( e )) = rq sp = ( ps qr) = q s Opgaven IV Verdergaand bij het laatste voorbeeld a) Toon aan dat (3 τ ) 4 = 0 als oplossingen heeft τ = of τ = 5 b) Bereen in het laatste voorbeeld de eigenvectoren bij euze voor het ental in de -richting gelij 4

15 IV De lineaire transformatie L in R uit opgave IV04 die wordt vastgelegd door de matri L 0 = 4 heeft slechts één eigenwaarde a) Bewijs dit met behulp van de arateristiee vergelijing b) Bereen enele eigenvectoren bij deze eigenwaarde IV4 Een lineaire transformatie L in R wordt vastgelegd door de matri 5 L = 3 3 a) Bereen de eigenwaarde(n) b) Bereen de bijbehorende eigenvectoren c) Geef de vergelijingen van de delijnen van deze lineaire transformatie IV5 De lineaire transformatie L in R uit opgave IV05 wordt vastgelegd door de matri 0 4 L = 0 a) Bereen de eigenwaarden van L met behulp van de arateristiee vergelijing b) Bereen bij ieder van de eigenwaarden twee eigenvectoren IV6 Een lineaire transformatie L in R wordt vastgelegd door de matri 0 L = a) De vector e is een eigenvector met eigenwaarde τ = Hoe volgt direct dit uit de matri L, dus zonder bereening met de arateristiee vergelijing? b) Bereen de tweede eigenwaarden van L met behulp van de arateristiee vergelijing c) Bereen bij ieder van de eigenwaarden twee eigenvectoren IV7 De rotatie in R over 0 60 vastgelegd door de matri = 3 R a) Toon dit aan b) Deze rotatie heeft geen eigenvectoren Bewijs dit met behulp van de arateristiee vergelijing IV8 De glijschuiving G in R in de richting van de, µ -as met een factor µ wordt vastgelegd door de matri µ G, µ = 0 5

16 Bereen met behulp van de arateristiee vergelijing de eigenwaarde(n) en bereen de bijbehorende eigenvectoren IV9 Een lineaire transformatie L in R wordt vastgelegd door de matri 3 = L a) Bereen de eigenwaarde(n) b) Bereen de bijbehorende eigenvectoren c) Toon aan dat eigenvectoren van verschillende eigenwaarden onderling loodrecht staan d) Leg dat L een projectie moet zijn e) Op wele lijn is deze projectie? (Geef de formule en de hoe met de -as vanuit het antwoord in b) IV0 Verlaar meetundig dat de determinant van een projectie in IV De spiegeling als matri S in R in een lijn die een hoe van R gelij is aan maat met de -as heeft = 3 S 3 a) Toon dit aan met de Gauss-Jordan methode b) Bereen de eigenwaarden met behulp van de arateristiee vergelijing c) Geef de formules voor de delijnen IV De eigenvectoren van een lineaire transformatie L in bereend met behulp van de volgende Stelling De arateristiee vergelijing L τi = 0, R unnen oo worden van een lineaire transformatie L in R heeft dan en slechts een oplossing τ als de vectoren L ( e ) τ e enl ( e ) τe afhanelij zijn Verder geldt dat als deze vectoren afhanelij zijn dan zijn er scalars v en v, niet beide gelij 0, zodanig dat v ( L ( e ) τe ) + v( L ( e ) τe ) = 0 en is de vector v = v e + v e een eigenvector van L behorend bij de eigenwaarde τ a) Bewijs deze stelling b) Bereen de eigenvectoren bij het laatste voorbeeld met behulp van deze stelling Opmering De bestudering van IV3, die onafhanelij is van de volgende paragraaf IV, geeft meer inzicht in deze stelling en wel in het bijzonder het aanhangsel ervan 6

17 IV Smmetrische transformaties Een belangrije lasse van lineaire transformaties wordt gevormd door de zogenoemde smmetrische transformaties In R blijen deze transformaties altijd twee onafhanelije eigenvectoren te bezitten die bovendien altijd onderling loodrecht staan Het grote belang van de smmetrische transformaties omt vooral naar voren in het volgende hoofdstu over egelsneden Definitie Een lineaire transformatie A in het inproduct geldt A ( v), w = v, A ( w) Opmering Voor een herhaling van het inproduct zie aanhangsel R heet smmetrisch als bij alle vectoren v en w in R voor Definitie Een matri is p r A = q s heet smmetrisch als q p q A = q s = r, dus als de matri A van de vorm Stelling Een lineaire transformatie A in R is smmetrisch dan en slechts dan als de matri A die de lineaire transformatie vastlegt smmetrisch is Bewijs - Stel de lineaire transformatiea is smmetrisch p r Om de bijbehorende matri A = te onderzoeen beijen we het effect van A op de q s basisvectoren e en e Uit de definitie van de smmetrie vana volgt A ( e ), e = e, A ( e ) Nu geldt p r p A = = 0 q s 0 q 0 p 0 Dus A ( e ), e = A i = i = q 0 q Verder geldt 0 p r 0 r A = = q s s 0 r Dus e, A ( e ) = ia = i = r 0 0 s Resultaat q = r 7

18 De matri A is dus smmetrisch p q - Stel de matri A is smmetrisch, dus A = We onderzoeen nu het effect op q s v w twee willeeurige vectoren v = en w = v w v p q v pv + qv Er geldt A = = v q s v qv + sv Gevolg v w pv + qv w A ( v), w = A i = i = ( pv + qv) w + ( qv + sv) w v w qv + sv w = pvw + q( vw + vw ) + svw Verder geldt w p q w pw + qw A = = w q s w qw + sw Gevolg v w v pw + qw v, A ( w) = ia = i = v ( pw + qw ) + v( qw + sw ) v w v qw + sw = pv w + q( v w + v w ) + sv w Voor ieder tweetal vectoren v en w geldt dus A ( v ), w = v, A ( w ) en daarom is de lineaire transformatie A smmetrisch We bewijzen vervolgens twee stellingen over resp de eigenwaarden en de eigenvectoren van een smmetrische transformatie er vervolgens een omgeeerde stelling Stelling Een smmetrische transformatie A in R heeft altijd twee verschillende eigenwaarden, behalve als de smmetrische transformatie de schaaltransformatie is Bewijs p q Laat A = de matri zijn die de transformatie A vastlegt q s Er geldt dan p τ q A τ I = q s τ Dit levert als arateristiee vergelijing p τ q = 0 q s τ Gevolg (opgave III) Voor de discriminant geldt τ ( p + s) τ + ps q = 0 8

19 D = ( ( p + s)) 4 ( ps q ) = p ps + s + 4q = ( p s) + 4q Deze discriminant is altijd groter of gelij nul, dus D 0 De discriminant is alleen dan nul, D = 0, als p = s en q = 0 In alle andere gevallen geldt D > 0 De eigenwaarden p + s + ( p s) + 4q τ + = p + s ( p s) + 4q en τ = bestaan dus altijd Deze eigenwaarden zijn altijd verschillend, behalve als p = s en q = 0 Bij twee dezelfde eigenwaarden geldt dus voor de matri die de transformatie A vastlegt p 0 A = 0 p Dit is de schaaltransformatie V met een scalar p p Stelling Als A een smmetrische transformatie is in R en v en w zijn eigenvectoren van A bij twee verschillende eigenwaarden τ + en τ dan zijn deze eigenvectoren orthogonaal (loodrecht) Bewijs Er geldt A ( v ), w = v, A ( w ) waarbij A ( v), w = τ + v, w = τ + v, w en v, A ( w) = v, τ w = τ v, w Gevolg τ + v, w = τ v, w ( τ + τ ) v, w = 0 Omdat τ + τ volgt hieruit v, w = 0 en dus zijn de vectoren v en w onderling loodrecht In verband met de toepassing van smmetrische transformaties op wadratische vormen en egelsneden (zie V) de volgende Definitie De delijnen van een smmetrische transformatie in van het standaard assenstelsel heten haase assen R voorzien van dezelfde schaal als die Opmeringen ) De haase assen van een smmetrische transformatie geven we met en aan De reden is dat deze eigenassen een orthonormaal assenstelsel vormen (Zie oo aanhangsel ) 9

20 Stel v en w zijn orthogonale eigenvectoren van een smmetrische transformatie in R, dus met v, w = 0 Definieer hieruit eigenvectoren met lengte één door e = v v en e = w w Deze vectoren vormen een orthonormaal stelsel basisvectoren in R, want en e, e = v, v v v = v, v v = v, v = v, v e, e = v, w v w = v, w v w behoud schaling inproduct definitie norm behoud schaling inproduct = 0 = 0 v w Analoog e, e = De schaal die door deze vectoren langs de delijnen van de smmetrische transformatie ontstaat is gelij aan de schaal bij het standaard assen stelsel Het orthonormale stel basisvectoren e, e is daarom de basis behorend bij de haase orthogonaliteit assen ) We zullen de eigenwaarde bij de eigenvector e = v in het vervolg aangeven met τ v en de eigenwaarde bij de eigenvector e = w in het vervolg aangeven met τ w Voorbeeld Gegeven: De smmetrische transformatie A in R vastgelegd door de matri 5 A = 8 Gevraagd a) De eigenwaarden van deze smmetrische transformatie b) Een orthormale basis behorend bij de haase assen vana c) Een figuur met het standaard assenstelsel en met de eigenassen vana Oplossing a) Er geldt τ A τ I = τ = τ 0

21 Dit levert als arateristiee vergelijing 5 τ = 0 8 τ Dus (5 τ )(8 τ ) ( )( ) = 0 τ 3τ + 36 = 0 ( τ 4)( τ 9) = 0 De eigenwaarden van deze smmetrische transformatie zijn τ = 4 en τ = 9 (We zijn vrij in de euze van wat is en wat is We hadden dus oo unnen iezen τ = 9 en τ = 4 ) b) Laat v = een eigenvector zijn bij τ = 4 v A = 4 v v Dus 5 v 5v v 5v = 4 v v = = 4 = 4 8 v v + 8 v + 8 = 4 v = De vector v = is dus een eigenvector bij eigenwaarde τ = 4 De eigenvector met lengte één hierbij is e = v = v 5 Vanwege de orthogonaliteit van de eigenvectoren vinden we een eigenvector met lengte één bijτ = 9 met de nevenvector van e * e = e = 5 c) De eigenvector v = is voldoende om de haase assen te teenen De richting van de -as in het standaard assenstel (, ) ligt hiermee vast Teen met de geodriehoe loodrecht hierop de -as Teen verder met behulp van de geodriehoe langs de -as en langs de -as dezelfde schaal als langs de standaard assen en Omgeeerd is het de vraag of er bij ieder orthonormaal assenstelsel (, ) en ieder tweetal scalars τ en τ er een lineaire transformatie A bestaat waarvan de scalars de eigenwaarden zijn en waarvan de haase assen het gegeven assenstelsel (, ) zijn Het anwoord is ja vanwege de volgende

22 Stelling Als v en w vectoren zijn in R, onderling orthogonaal en beide 0, en er zijn twee willeeurige scalars τ en τ, dan bestaat er een smmetrische transformatiea in R waarvan v en w eigenvectoren zijn behorend bij de resp eigenwaardenτ en τ Bewijs Laat τ v het beeld zijn van de vector v en τ w het beeld van de vector w [ v, w] Toepassing van de Gauss-Jordan methode op de 4 matri levert de matri τ v, τ w van de transformatie A Van deze transformatie zijn v en w de eigenvectoren behorend bij de resp eigenwaardenτ en τ Rest ons de smmetrie van de transformatie te bewijzen Kies als orthonormale basis e = v, e = w Voor een willeeurige vector a geldt v w a = a e + a e met a = e, a en a = e, a (zie aanhangsel en I5) Voor willeeurige vectoren a en b geldt A ( a), b = A ( ae + ae ), b = aa ( e ) + aa ( e ), b lineariteit operator = aτ e + aτ e, b eigenwaarden = a τ e, b + a τ e, b lineariteit inproduct en analoog = τ a b + τ a b orthormaliteit a, A ( b) = A ( b), a smmetrie inproduct = τ b a + τ b a Gevolg A ( a), b = a, A ( b) Aanhangsel : Spectraalstelling De twee eigenwaarden τ en τ van een smmetrische transformatie A in zogenoemde spectrum van de smmetrische transformatiea Verder geldt volgens het voorgaande dat iedere smmetrische transformatie in R vormen het R twee eigenvectoren 0 heeft die orthogonaal zijn Volgens de laatste stelling geldt omgeeerd in R dat bij ieder tweetal vectoren 0 die onderling loodrecht staan en bij ieder tweetal scalars er een smmetrische transformatie bestaat waarvan het tweetal vectoren eigenvectoren zijn en de twee scalars de eigenwaarden Dit is hierboven bewezen met de Gauss-Jordan methode, maar wordt op een meer meetundige manier bewezen via de volgende stelling

23 Spectraalstelling Als en twee willeeurige lijnen zijn in R door de oorsprong die orthogonaal staan en τ en τ zijn twee scalars dan ) De lineaire transformatie in R A = τ P + τ P, met P de projectie op de lijn en P de projectie op de lijn, heeft τ en τ als eigenwaarden en verder zijn de positievectoren 0 langs de lijn eigenvectoren bij τ en zijn de positievectoren 0 langs de lijn eigenvectoren bij τ ) De lineaire transformatie A is smmetrisch Meetundige toelichting op de stelling In de figuur heeft de vector a de projectie P ( a ) op de lijn en de projectie P ( a ) op de lijn Er geldt hierbij a = P ( a ) + P ( a ) De projectie op de lijn wordt vermenigvuldigd met de scalar τ waardoor de vector τ P ( ) ontstaat De projectie op de lijn a wordt vermenigvuldigd met de scalar τ waardoor de vector τ ( a P ) ontstaat De som van deze vectoren levert het beeld A ( a ) van de origineelvector a bij de transformatie A (In de figuur geldt τ > 0 en τ < 0 ) A ( a ) = τ P ( a ) + τ P ( a ) Bewijs van de stelling ) Laat v 0 een positievector zijn gericht langs de lijn Dan geldt ( v ) = v P en ( v P ) = 0 Gevolg A ( v) = τ P ( v) + τ P ( v) = τ v + τ 0 = τ v Dus v 0 langs de lijn is eigenvector bij eigenwaarde τ Laat w 0 een positievector zijn gericht langs de lijn Dan geldt ( w P ) = 0 en ( w ) = w P Gevolg A ( w) = τ P ( w) + τ P ( w) = τ 0 + τ w = τ w Dus w 0 langs de lijn is eigenvector bij eigenwaarde τ ) Volgens III3 wordt in lijn vastgelegd door de matri R wordt de projectie P van vectoren ten opzichte van de 3

24 P = hierbij is = een vector gericht langs de lijn De matri P is smmetrisch dus is de projectie P smmetrisch (Voor een meetundig argument van de smmetrie van P zie opgave IV35) Omdat de projecties P en P smmetrische transformaties zijn is oo de lineaire transformatie A = τ P + τ P smmetrisch Want de bilineariteit van het inproduct levert voor alle vectoren v en w in R A ( v), w = ( τ P + τ P )( v), w = τ P ( v), w + τ P ( v), w lineariteit inproduct = τ v, P ( w) + τ v, P ( w) smmetrie projectie = v,( τ P + τ P )( w) lineariteit inproduct = v, A ( w) Aanhangsel : Herhaling inproduct Hieronder volgen op een iets ander manier de definities en stellingen van I5, maar zonder toelichting met getallenvoorbeelden Definitie a b Aan ieder tweetal vectoren a = en b = in R is een reëel getal toegevoegd, a b genaamd het inproduct van deze vectoren en genoteerd als a, b, gegeven door a, b = a b + a b Opmering a Uitgedrut in alleen de entallen van de vectoren a = a inproduct met een punt a b i = ab + ab a b en b b = b noteert men het De volgende stelling geeft de algemene algebraïsche eigenschappen van het inproduct Stelling Voor alle vectoren a, b en c in R en voor iedere scalar λ geldt voor het inproduct 4

25 Verder geldt Bewijs a, b = b, a a, b + c = a, b + a, c a, λb = λ a, b a, a 0 met a = 0 a, a = 0 commutativiteit behoud optelling behoud schaling nuleigenschap Commutativiteit a b Voor a = en b = in R geldt a b a, b = ab + ab = ba + ba = b, a Behoud vectoroptelling c b + c Als verder geldt c = dan b + c = en dus c b + c a, b + c = a ( b + c ) + a( b + c) = ab + ac + ab + ac = ab + ab + ac + ac = a, b + a, c Behoud schaling a, λb = a ( λb ) + a ( λb ) = λ( ab + ab ) = λ a, b Nuleigenschap a, a = aa + aa = a + a Dit is altijd positief behalve als zowel a = 0 als a = 0, dus behalve als a = 0 Opmeringen ) Voor alle vectoren a, b en c in R en voor iedere scalar λ geldt verder a + b, c = a, b + b, c behoud optelling λa, b = λ a, b behoud schaling Dit an net als hierboven worden bewezen, maar volgt oo direct uit de stelling vanwege de commutativiteit a + b, c = c, a + b = c, a + c, b = a, c + b, c en λa, b = b, λa = λ b, a = λ a, b ) Als een bewering op vectoren zowel optelling behoud als schaling dan noemt men een dergelije bewering lineair Omdat behoud optelling en behoud schaling tussen de haen zowel lins als rechts van de omma geldt, dus dubbel, noemt men het inproduct van twee vectoren oo wel een bilineaire vorm Definitie De lengte of norm van een vector a in = a a R, notatie a, is per definitie a, Definitie Twee vectoren in R heten orthogonaal als hun inproduct gelij nul is Dus twee vectoren a en b in R zijn orthogonaal als geldt a, b = 0 5

26 Definitie Twee vectoren in R heten orthonormaal als zij orthogonaal zijn en als zij beide norm hebben (beide van lengte zijn) Opmering over notatie van orthonormale assenstelsels in R Het assenstelsel behorend bij een orthonormale basis wordt een orthonormaal assenstelsel genoemd Als we spreen over een -as en een bijbehorende -as in R dan zullen we altijd een orthonormaal assenstelsel bedoelen De bijbehorende basisvectoren noteren we dan als e resp e Dit beteent dat in deze notatie altijd moet gelden e, e = e, e = e, e = 0 Stelling Als in R e de eenheidsvector is in de richting van een vector en e = e * is de nevenvector van e dan vormen de vectoren e, e vormen een orthonormale basis in Bewijs We moeten aantonen dat voor de vectoren e en e geldt e, e =, e, e = en e, e = 0, Er geldt e = dus e, e =, = behoud schaling, = = definitie norm, Als e en oo u = u dan u u e, e = i = u + u = Dit beteent voor de nevenvector u u u u e, e = i = ( u) + u = u u u u e, e = i = u( u) + u u = 0 u u R Stelling Als in R de vector a ten opzichte van de orthonormale basis e, e de resp entallen a en a heeft en de vector b de resp entallen b en b, dus als geldt a = a e + a e en b = b e + b e, dan geldt voor het inproduct van deze vectoren a b = a b + a b, 6

27 Bewijs a, b = a e + a e, b e + b e = a e, b e + a e, b e + a e, b e + a e, b e behoud optelling = a b e, e + a b e, e + a b e, e + a b e, e behoud schaling = a b + a b 0 + a b 0 + a b orthonormaliteit = a b + a b Opmering: De algemene beteenis van de stelling Wel orthonormaal assenstelsel (, ) er oo wordt geozen, altijd is er dezelfde formule voor het inproduct Ten opzichte van de bijbehorende orthonormale basis e, e geldt immers altijd a = a e + a e en b = b e + b e met a, b = ab + ab Bij het standaard-assenstelsel (, ) levert dit nogmaals de definitie van het inproduct a = a e + a e en b = b e + b e a, b = a b + a b met Een direct gevolg van deze stelling is de volgende Stelling Als in R de vectoren e, e een orthonormale basis vormen in entallen van een vector b = b e + b e, b = e b b = e b, R dan geldt voor de Bewijs Kies in a, b = ab + ab voor de eerste vector a = e, dus 0 a = e + e Dit beteent e, b = b + 0 b = b Analoog volgt uit de euze a = e dat b = e, b 7

28 Opgaven IV a) Toon aan dat uit de arateristiee vergelijing p τ q = 0 q s τ volgt b) Toon aan dat geldt c) Toon aan dat geldt τ ( p + s) τ + ps q = 0 D = ( ( p + s)) 4 ( ps q ) = p ps + s + 4q D = + ( p s) 4q IV Een smmetrische transformatie A in R wordt vastgelegd door de matri A = a) Bereen de eigenwaarden van deze transformatie b) Bereen de eigenvectoren behorend bij deze transformatie c) Toon door bereening aan dat het inproduct van eigenvectoren met verschillende eigenwaarden gelij is aan 0 d) Teen een figuur met het standaard assenstelsel en met de eigenassen vana IV3 Gegeven in R de lijn : = 3 a) Geef de vergelijing van een lijn door de oorsprong die orthogonaal is op de lijn b) Bereen de matri van de smmetrische transformatie A waarvan de eigenvectoren in de -richting eigenwaarde 4 hebben en de eigenvectoren in de -richting eigenwaarde IV4 De matri van de projectie P in R op een lijn door de oorsprong die een hoe van 0 45 maat met de -as wordt gegeven door P = a) Toon dit aan b) Bereen oo de matri van de projectie in R op een lijn door de oorsprong 0 die een hoe van 45 maat met de -as c) Stel de matri op van de smmetrische transformatie A waarvan de eigenvectoren in de -richting eigenwaarde 4 hebben en de eigenvectoren in de -richting eigenwaarde IV5 Met behulp van de projectiestelling ( I6) inproduct van lengte van de ental projectie van de tweede = twee vectoren eerste vector vector langs de eerste vector is de smmetrie van de projectie meetundig te bewijzen Toon aan dat in de figuur rechts geldt P ( w), v = OW ' OV en oo w, ( v P ) = P ( v), w = OV OW (In feite geldt hierbij w, P ( v ) = P ( w ), v ) = P ( w ), P ( v ) ) Met als gevolg P ( w), v = w, P ( v) = OW OV 8

29 IV3 Determinant, omeerbaarheid en niet-omeerbaarheid van een lineaire transformatie In IV is bij de stellingen over lineaire transformaties in R de nadru gelegd op het verband tussen eigenwaarde 0 en determinant 0, omdat dat direct leidt tot de arateristiee vergelijing die bepaalt of een lineaire transformatie in R al of niet eigenwaarden heeft In deze paragraaf wordt de beteenis uitgewert van de volgende variant op deze stellingen Stelling Bij een lineaire transformatie L in R geldt: De beelden L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis zijn afhanelij dan en slechts dan als voor de determinant van de lineaire transformatie gelij is aan 0,, dus als L = 0 Bewijs Zie opgave IV3 In deze paragraaf wordt besproen hoe deze stelling samenhangt met de zogenoemde omeerbaarheid van een lineaire transformatie in R en in het aanhangsel wordt de meetundige beteenis van deze stelling belicht voor het geval L = 0 Nu eerste de definitie van omeerbaarheid Definitie Een lineaire transformatie L in R heet omeerbaar, of oo wel inverteerbaar, als geldt ) De transformatie is surjectief: Dit beteent dat iedere vector in R is beeld van een origineelvector Dus voor iedere vector p uit R bestaat er een vector a uit R zodanig dat a = L ( p ) ) De transformatie is injectief: Dit beteent dat verschillende vectoren in R altijd een verschillend beeld hebben Dus als a en b uit R verschillend zijn, dwz a b, dan zijn oo de beelden in R verschillende vectoren, dwz L ( a) L ( b) Voorbeeld van een niet-omeerbare lineaire transformatie Bij de projectie P in R op een lijn door de oorsprong hebben die positievectoren beeld 0 die langs de lijn door de oorsprong liggen loodrecht op de lijn De lijn wordt loodrecht wordt genoteerd als Ker( P ) (zie oo het aanhangsel) Deze projectie is niet omeerbaar omdat ) Niet iedere vector in R is beeld van de projectie op Alleen de vectoren langs zijn beeld bij de projectie Dus P is niet surjectief ) In de figuur staat de lijn door de oppen van de vectoren a en b loodrecht op de lijn Beide vectoren hebben dezelfde beeldvector p Dus P is oo niet injectief 9

30 Opmering Het criterium voor injectiviteit van een lineaire transformatiel in R is volgens de definitie Voor alle vectoren a en b in R geldt: a b L ( a) L ( b) Een logisch gelijwaardig criterium voor injectiviteit is Voor alle vectoren a en b in R geldt: L ( a) = L ( b) a = b Stelling Een lineaire transformatie L in geldt L 0 Bewijs R is omeerbaar dan en slechts dan als voor de determinant - Stel de L is omeerbaar De beelden L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis moeten dan onafhanelij zijn Want stel het tegendeel: L ( e ) enl ( e ) zijn wel afhanelij Dit zou dan beteenen dat er een scalar κ bestaat zodanig dat L ( e ) = κl ( e ) (en/of een scalar µ bestaat zodanig dat L ( e ) = µ L ( e ) ) Vanwege het behoud van schaling bij L geldt dan L ( e ) = L ( κe ), terwijl oo geldt e κe Dit is strijdig met de injectiviteit van L Omdat L ( e ) enl ( e ) dus onafhanelij zijn is volgens de voorgaande stelling L 0 - Stel L 0 De beelden L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis zijn dan onafhanelij volgens de voorgaande stelling en deze beelden vormen een nieuwe basis voor R ) L is dan surjectief omdat: Een willeeurige vector p in R heeft entallen µ en ν ten opzichte van deze basis, dus p = µ L ( e ) + νl ( e ) Deze willeeurige vector p is beeld van de origineelvector µ a =, dwz p = L ( a ), omdat ν L ( a ) = µ L ( e ) + νl ( e ) ) L is dan injectief omdat: a b Stel a = en b = zijn a b vectoren in R met gelije beelden, dus met L ( a) = L ( b) Omdat L ( e ) en ( e L ) een basis vormen voor R zijn daarom bij de beeldvectoren ( a ) = a ( e ) + a ( e L L L ) en L ( b) = bl ( e ) + bl ( e ) de entallen gelij, dwz a = b en a = b Dus geldt voor de originelen gelden a = b 30

31 Definitie Bij een omeerbare lineaire transformatie L in R bestaat een zogenoemde inverse - transformatie, notatie L, gegeven door: Als de vector p in R het L -beeld is van een vector a, dus als p = L ( a ), dan is a het L -beeld van p, dus dan a = L ( p) Opmeringen ) Bij een inverse transformatie is de rol van origineel en beeld omgeeerd Voor de omeerbare lineaire transformatie L is in de definitie de vector a het origineel en de vector p het beeld - Voor de inverse transformatie L is p het origineel en a het beeld ) Deze rolomering van origineel en beeld is alleen mogelij als iedere vector van R beeld is van een origineel (surjectiviteit van L ) en als ieder beeld afomstig van slechts één origineel (injectiviteit van L ) In de definitie is de omeerbaarheid van L dus een noodzaa Vanwege de volgende stelling over de inverse van een omeerbare lineaire transformatie in R bestaat oo de matri die deze inverse transformatie vastlegt Stelling De inverse - L van een omeerbare lineaire transformatie L in R is oo lineair Bewijs Laat p en q vectoren zijn in R met resp L -beelden a en b, dus met a = L ( p) en b = L ( q) Laat λ een scalar zijn - Er geldt behoud optelling want: Omdat p = ( a L ) en q = L ( b) geldt vanwege het behoud van optelling bij L dat p + q = L ( a) + L ( b) = L ( a + b) met als gevolg L ( p + q ) = a + b, terwijl oo geldt a = L ( p) en b = L ( q) Resultaat: L ( p + q) = L ( p) + L ( q) - Er geldt behoud schaling omdat: Uit p = ( a L ) volgt uit het behoud van schaling bij L dat λ p = λl ( a) = L ( λa) met als gevolg L ( λ p ) = λa, terwijl oo geldt a = L ( p) Resultaat: L ( λ p) = λl ( p) Opmering Uitgaande van bovengenoemde omering van origineel en beeld bij de inverse an met de Gauss-Jordan methode de matri L van de inverse transformatie L worden bepaald als de matri L van een omeerbare lineaire transformatie L inr beend is Schematisch wert dit als volgt: [ e, e ] I '' λ I λii ( e ), ( e ) = + L L [ L ( e ), L ( e ) ] II '' = µ I + µ II [ e, e ] I II I '' II '' Door geschite lineaire combinaties van de olommen I en II wordt bij de beelden van L de L = ( e ), ( e ) I = e, e matri [ L L ] omgezet in de eenheidsmatri [ ] 3

32 Dit heeft tot gevolg dat bij de originelen van L de eenheidsmatri I [ e, e ] = wordt omgezet in de matri L = L ( e ), L ( e ) Vanwege de genoemde verwisseling van de rollen staan - bij de inverse L de beelden immers boven en de originelen onder Voorbeeld Gegeven: Een lineaire transformatie L in R wordt vastgelegd door de matri 3 L = 4 Gevraagd: a) Waarom is L omeerbaar? b) De matri L - van de inverse transformatie L met behulp van de Gauss-Jordan methode c) - Het L -beeld van de vector v = met behulp van de matri L Geef een verlaring van het resultaat d) Geef zonder bereening met de matri L - het L -beeld van de vector 3 w = 4 Oplossing a) Er geldt 3 L = = 4 3 = 4 Dus L 0 en volgens bovenstaand criterium is L omeerbaar b) '' ' I ' = I II I = I '' 3 II ' = 3I II 0 II = II ' I II I ' II ' I '' II '' Resultaat L = = c) L = = = + ( ) 0 Dit resultaat is een voorbeeld van het algemene beginsel dat bij de inverse transformatie de rol van origineel en beeld zijn omgeeerd - In b) is bij olom I voor de inverse transformatie L het origineel onder de vector v = en het beeld boven de vector e = 0 3 d) In olom II bij b) is w = - 0 het origineel voor L en e = het beeld 4 Dus ( w ) = e - L 3

33 Opmering Er is bestaat nog een veel gebruite manier om het nemen van een inverse te bezien: De - inverse L van een omeerbare lineaire transformatie L in R heft de wering van L op Dit valt het beste in te zien met behulp van de pijlnotatie voor een lineaire transformatie: a p a L L De transformatie L voert een vector a over in een vector p Past men vervolgens de - inverse transformatie L toe dan wordt de vector p weer overgevoerd in de vector a Dus - het na elaar toepassen van de transformaties L en L levert weer de oorspronelije vector a Iets anders genoteerd geldt In termen van de haajesnotatie geldt p = L ( a) a ( ( a) ) = L L a = L ( p) Aanhangsel: Meetundige aspecten van het geval L = 0 Volgens de eerste stelling van deze paragraaf beteent dit geval dat voor een dergelije lineaire transformatie L in R de beelden L ( e ) enl ( e ) van de standaardbasis afhanelij zijn We gaan in dit aanhangsel verder uit van het geval dat L ( e ) 0 en dan beteent de genoemde afhanelijheid dat er een scalar κ bestaat zodanig dat L ( e ) = κl ( e ) Door enele meetundige consequenties van dit verband uit te weren zullen we langs een andere weg als hierboven in gaan zien dat in dit geval de lineaire transformatie nietomeerbaar is Dit zal gebeuren door dit verband tussen de beelden van de standaardbasis te combineren met de formule L ( a ) = al ( e ) + al ( e ) die geldt voor iedere vector a = ae + ae in R vanwege de lineariteit van L Aldus: Voor het L -beeld van iedere vector a = ae + ae in R geldt in dit aanhangsel L ( a) = ( κa + a ) L ( e ) Het eerste meetundige gevolg van deze formule betreft het beeld van L Definitie Het beeld van een lineaire transformatie L in in R die L -beeld zijn van een andere vector in R, notatie Beeld( L ), bestaat uit alle vectoren Vanwege de laatste formule zijn alle vectoren uit Beeld( L ) van de lineaire transformatie L in dit aanhangsel volgens één lijn door de oorsprong gericht, en wel die lijn die in de richting staat van de vector L ( e ) De lineaire transformatie L in dit aanhangsel is daarom nietsurjectief, want er zijn vectoren in R die geen L -beeld van een vector in R zijn Immers de vectoren in R die niet gericht zijn volgens de lijn van Beeld( L ) zijn geen L -beeld van een vector in R R 33