Uitwerkingen huiswerk week 6
|
|
- Alfred Willemsen
- 4 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Lineaire algebra 2 najaar 2008 Uitwerkingen huiswerk week 6 Opgave( 21. ) a b Zij A = F 2 2. (i) Laat zien dat deta noodzakelijk van de vorm deta = ad bc is (door A op bovendriehoeksvorm te transformeren). (ii) Ga na dat de functie det A = ad bc inderdaad aan de eisen voor de determinant voldoet. Oplossing: (i) Neem eerst aan dat a 0. Dan is det a(d c ab) = ad bc. Als wel a = 0 maar c 0, is det ( ) a b ( ) a b = det 0 d c a b ( ) ( ) 0 b = det = cb = ad bc 0 b (want a = 0). ( ) 0 b Als a = 0 en c = 0, is det = 0 d = 0 = ad bc (want a = c = 0). 0 d ( ) a1 + a (ii) Er geldt det 2 b 1 + b 2 = (a 1 + a 2 )d (b 1 + b 2 )c = a 1 d b 1 c + ( ) ( ) ( ) a1 b a 2 d b 2 c = det 1 a2 b + det 2 λa λb. Verder is det = ( ) a1 b (λa)d (λb)c = λ(ad bc) = λdet 1. Dus is deta lineair in de eerste rij van A. Analoog volgt de lineariteit in de tweede rij van A. Stel nu dat de rijen van A lineair afhankelijk zijn. Als (a,b) = (0,0), volgt rechtstreeks dat deta = 0. Stel dus dat (c,d) = λ(a,b). Dan is det A = a(λb) b(λa) = 0. Dat dete = 1 zal duidelijk zijn. = Opgave 22. Bepaal de determinanten van A = t 1 1 R4 4 en B = 1 t 1 R t waarbij t R een willekeurig getal is.
2 Oplossing: We brengen A met behulp van elementaire rijtransformaties op bovendriehoeksvorm: det A = det = det = det = det = det = det = Ook B kunnen we met behulp van elementaire rijtransformaties op bovendriehoeksvorm brengen: 1 1 t 1 1 t det B = det 1 t 1 = det 0 t 1 1 t t t 1 t t = det 0 t 1 1 t = (t 1)(t 2 + t 2) = (t 1) 2 (t + 2) t t 2 Opgave 23. Laten A F n n, B F m m en C F n m en zij ( ) A C M := F (n+m) (n+m). 0 B Toon aan dat detm = det A detb. Oplossing: Als A of B niet inverteerbaar zijn, is ook M niet inverteerbaar, in dit geval is dus detm = 0 = det A det B. Stel nu dat A en B inverteerbaar zijn. Met behulp van elementaire rijtransformaties laat zich A op bovendriehoeksvorm A brengen. Door hierbij met het verruilen van rijen en het vermenigvuldigen van rijen met getallen rekening te houden en dit in een factor λ F samen te vatten, geldt deta = λdeta. Maar dezelfde rijtransformaties ( op de bovenste n rijen van M toegepast geven een A matrix M C = ) met detm 0 B = λdet M, want de aanpassingen in de determinant zijn dezelfden als bij de transformatie van A naar A. Analoog kunnen we B door elementaire rijtransformaties op bovendriehoeksvorm B brengen, ook hier geven de aanpassingen van de determinant een factor µ F met detb = µ det B. Dezelfde rijtransformaties ( op de onderste m rijen A van M toegepast geven nu een matrix M C = ) 0 B met detm = µ detm.
3 Aan de ene kant is nu M een bovendriehoeksmatrix en dus det M = deta detb want det M is het product van de diagonaalelementen van A en van B. Dus geldt detm = λdet A µ detb. Aan de andere kant is detm = µ detm = λµ detm. Dus is λdet A µ det B = λµ detm en dus det M = deta det B, want de factoren λ en µ zijn niet 0. Opgave 24. We weten dat de elementaire rijtransformaties gerealiseerd kunnen worden door vermenigvuldiging van links met zekere inverteerbare matrices, verkregen door dezelfde transformatie op de eenheidsmatrix toe te passen: R1: verruilen van de i-de en j-de rij door de matrix P ij ; R2: vermenigvuldigen van de i-de rij met λ 0: M i (λ); R3: optellen van de µ keer de i-de rij bij de j-de rij (i j): O ij (µ). Iedere van de matrices P ij, M i (λ), O ij (µ) heet een elementaire matrix. (i) Laat zien dat det P ij = 1, det M i (λ) = λ en deto ij (µ) = 1. (ii) Zij B F n n en zij X een elementaire matrix. Laat zien dat det(xb) = det X detb. (iii) Geef voor het geval van een inverteerbare matrix A een alternatief bewijs van de stelling det(ab) = det A detb door gebruik ervan te maken dat A een product van elementaire matrices is en deel (ii) toe te passen. Oplossing: (i) Door de i-de en j-de rij van P ij te verruilen, zien we dat detp ij = det E = 1. Door de i-de rij van M i (λ) door λ te delen volgt detm i (λ) = λdete = λ. Optellen van µ keer de i-de rij bij de j-de maakt van O ij (µ) de eenheidsmatrix. Hierbij verandert de determinant niet, dus is deto ij (µ) = det E = 1. (ii) Verruilen van de i-de en de j-de rij van B maakt van B de matrix P ij B met det(p ij B) = detb. Maar dit is volgens deel (i) juist hetzelfde als det P ij det B. Vermenigvuldigen van de i-de rij van B met λ maakt van B de matrix M i (λ)b met det(m i (λ)b) = λdet B. Dit is hetzelfde als detm i (λ) det B. Optellen van µ keer de i-de rij van B bij de j-de maakt van B de matrix O ij (µ)b met det(o ij (µ)b) = detb. Dit is hetzelfde als det O ij (µ) det B. (iii) Bij het transformeren van A op de eenheidsmatrix m.b.h. van elementaire rijtransformaties zien we dat A een product van elementaire matrices is, want uit E r E r 1...E 2 E 1 A = E volgt A = E1 1 E Er 1 1 E 1 r. Voor het gemak schrijven we F i := Ei 1, dan is A = F 1 F 2...F r 1 F r met elementaire matrices F i.
4 Maar dan is deta = det(f 1 F 2... F r 1 F r ) = det F 1 det(f 2...F r 1 F r ) volgens deel (ii). Door dit te herhalen volgt det A = detf 1 detf 2 det(f 3...F r 1 F r ) =... = detf 1 detf 2 F 3... det(f r 1 F r ) = detf 1 detf 2 F 3... det F r 1 detf r. Hetzelfde argument (d.w.z. deel (ii)) toegepast op het product AB geeft det(ab) = det(f 1 F 2...F r 1 F r B) = det F 1 det F 2... detf r 1 det(f r B) = det F 1 det F 2... detf r 1 detf r det B = det A detb. Oefenopgaven week 6 Opgave XXVI Bepaal de determinanten van de volgende matrices: (i) in R 3 3 : A 1 = 0 2 3, A 2 = 5 6 0, A 3 = 4 5 6, A 4 = 4 8 1, A 5 = 1 2 5, A 6 = (ii) in C 3 3 : i i 3 B 1 = i 2, B 2 = 1 i i 1 2i 1 4 i 3i i (iii) in R 4 4 : C 1 = , C 2 = Opgave XXVII
5 (i) Voor welke factor λ geldt de vergelijking: 3a 1 3a 2 3a 3 a 1 a 2 a 3 det 3b 1 3b 2 3b 3 = λdet b 1 b 2 b 3? 3c 1 3c 2 3c 3 c 1 c 2 c 3 (ii) Voor welke factor λ geldt de vergelijking: 2a 1 2a 2 2a 3 a 1 a 2 a 3 det 3b 1 + 5c 1 3b 2 + 5c 2 3b 3 + 5c 3 = λdet b 1 b 2 b 3? 7c 1 7c 2 7c 3 c 1 c 2 c 3 (iii) Voor welke factor λ geldt de vergelijking: b 1 + c 1 b 2 + c 2 b 3 + c 3 a 1 a 2 a 3 det a 1 + c 1 a 2 + c 2 a 3 + c 3 = λdet b 1 b 2 b 3? a 1 + b 1 a 2 + b 2 a 3 + b 3 c 1 c 2 c 3 Opgave XXVIII a 1 2 (i) Voor welke a R is niet inverteerbaar? a b 0 (ii) Voor welke combinatie van getallen a, b R is wel inverteerbaar? Opgave XXIX (i) Zij A F n n en λ F. Laat zien dat det(λa) = λ n deta. (ii) Zij A F n n met rijen A 1,A 2,...,A n. Zij B F n n de matrix met de rijen van A in omgekeerde volgorde, d.w.z. B 1 = A n,b 2 = A (n 1),...,B n = A 1. Geef det B afhankelijk van deta aan. { (iii) Bepaal det A voor A F n n 1 als i + j = n + 1 gegeven door A ij =, 0 anders d.w.z. voor A =
6 Opgave XXX Zij A F n n van de vorm t a 0 1 t 0 0 a 1 A = 0 1 t 0 a t + a n 1 Laat zien dat deta = t n + a n 1 t n a 2 t 2 + a 1 t + a 0. Webpagina: souvi/la2 08/la2.html
Lineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieLineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten. Joost de Groot Les 5. Faculteit EWI, Toegepaste Wiskunde. Technische Universiteit Delft
Lineaire Algebra (wi2142tn) Les 5: Determinanten Joost de Groot Les 5 1 Technische Universiteit Delft Doel van deze les Determinanten ben je al tegengekomen bij de behandeling van het in en het uitwendig
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA dinsdag 22 november 2016 1. Zi (R, V, +) een eindigdimensionale vectorruimte en veronderstel dat U en W deelruimten van V zin. Toon aan dat 2. Waar of fout? Argumenteer e antwoord.
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 2
Lineaire algebra (NP010B) januari 013 Tentamen Lineaire Algebra Vermeld op ieder blad je naam en studentnummer. Lees eerst de opgaven voordat je aan de slag gaat. Schrijf leesbaar en geef uitleg over je
Nadere informatiePROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011
PROEFEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag 17 november 2011 Familienaam:....................................................................... Voornaam:.........................................................................
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieDeterminanten. Definities en eigenschappen
Determinanten Definities en eigenschappen Definities (korte herhaling) Determinant van een 2x2-matrix: a b ad bc c d S. Mettepenningen Determinanten 2 Definities (korte herhaling) Determinant van een 3x3-matrix:
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 7
Lieaire algebra ajaar 008 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 5 Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A 1 a 3 a 3 a 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1 a 1 heet ee Vadermode matrix Laat zie dat det A 1 i
Nadere informatieUitwerkingen huiswerk week 7
Lieaire algebra ajaar 009 Uitwerkige huiswerk week 7 Opgave 19. Ee -matrix va de vorm 1 a 1 a 1 a 1 a a a A = 1 a 3 a 3 a.... 1 a a a 1 a1 1 a 1 3 a3 1. a 1 heet ee Vadermode matrix. Laat zie dat det A
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieBekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatieVragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA
Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting
Nadere informatiete vermenigvuldigen, waarbij N het aantal geslagen Nederlandse munten en B het aantal geslagen buitenlandse munten zijn. Het resultaat is de vector
Les 3 Matrix product We hebben gezien hoe we matrices kunnen gebruiken om lineaire afbeeldingen te beschrijven. Om het beeld van een vector onder een afbeelding te bepalen hebben we al een soort product
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieMatrixalgebra (het rekenen met matrices)
Matrixalgebra (het rek met matrices Definitie A a a n a a n a m a mn is e (m n-matrix Hierbij is m het aantal rij van A n het aantal kolomm (m n noemt m de afmeting( van de matrix A We noter vaak kortweg
Nadere informatieDeterminanten. , dan is det A =
Determinanten We hebben al gezien : ( a b Definitie Als A c d, dan is det A a c b d ad bc Als A een ( -matrix is, dan geldt : A is inverteerbaar det A 0 Definitie Als A (a ij een (m n-matrix is, dan is
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieEigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid
Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit
Nadere informatieCollege WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie
College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatiex = b 1 x 1 , b = x n b m i,j=1,1 en een vector [x j] n j=1 m n a i,j x j j=1 i=1
WIS9 9 Matrixrekening 9 Vergelijkingen Stelsels lineaire vergelijkingen Een stelsel van m lineaire vergelijkingen in de n onbekenden x, x 2,, x n is een stelsel vergelijkingen van de vorm We kunnen dit
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieLineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen
Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: woensdag 28 juni 26. Tijd: 4: 7:. Plaats: HG. C. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatieOpgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002
Opgaven Getaltheorie en Cryptografie (deel 4) Inleverdatum: 13 mei 2002 19.a) Laat zien dat 5 een voortbrenger is van F 37. b) In het sleuteldistributiesysteem van Diffie en Hellman (met G = F 37, α =
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieLineaire Algebra WISB121. F.Beukers 2018 Departement Wiskunde
Lineaire Algebra WISB F.Beukers 8 Departement Wiskunde UU n n n R R 3 A v v A B v AB v C D v = CD AB CD B D A a a a b a b a + b C a b a a+b a+b b b a a b b a a a - b b a b a λ R λ > a λ a a λ λ < a
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieTentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)
Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 6
Aanvullingen bij Hoofdstuk 6 We veralgemenen eerst Stelling 6.4 tot een willekeurige lineaire transformatie tussen twee vectorruimten en de overgang naar twee nieuwe basissen. Stelling 6.4. Zij A : V W
Nadere informatieVincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith
Scoop februari 2003 Scoop vult de gaten Vincent van der Noort Scoop vult de gaten in onze kennis... Het gevoel van eigenwaarden van David J. Griffith De wiskundigen onder jullie zal de naam waarschijnlijk
Nadere informatieVectorruimten en deelruimten
Vectorruimten en deelruimten We hebben al uitgebreid kennis gemaakt met de vectorruimte R n We zullen nu zien dat R n slechts een speciaal geval vormt van het (veel algemenere begrip vectorruimte : Definitie
Nadere informatie15 Uitwerkingen Lineaire Algebra
5 Uitwerkingen Lineaire lgebra 5 Uitwerkingen hoofdstuk s Figuur 5: De som van twee vectoren b a d c Figuur 5: Het verschil van twee vectoren v d Figuur 5: De vector van naar c a + b b b c b + c a a a
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieDeterminanten. Hoofdstuk Inleiding
Hoofdstuk 3 Determinanten 3.1 Inleiding In deze paragraaf bekijken we het stelsel Ax = b waarbij A een n n matrix is. We zagen in voorgaande dat, als A inverteerbaar is er precies één oplossing van dit
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 5 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieKwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.
Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 7 J.Keijsper
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieLineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie
Lineaire Algebra en Vectorcalculus 2DN60 College 5.a Basis en dimensie Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 205-206 Definitie opspansel 2/35 Stel S = {v,..., v n } is een deelverzameling van de vectorruimte
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie1 Stelsels lineaire vergelijkingen.
Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking
Nadere informatie6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:
6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieHoofdstuk 3. Matrices en stelsels. 3.1 Matrices. [[1,7]],[[12,8] ] of [ 1, 7; 12,8 ] bepaalt de matrix
Hoofdstuk 3 Matrices en stelsels 3.1 Matrices Een matrix is in DERIVE gedefinieerd als een vector van vectoren. De rijen van de matrix zijn de elementen van de vector. Op de volgende manier kan je een
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 4 Lineaire afbeeldingen In de algebra spelen naast algebraïsche structuren zelf ook de afbeeldingen ertussen die (een deel van de structuur bewaren, een belangrijke rol Voor vectorruimten zijn
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
Hoofdstuk 3 : Determinanten Paragraaf 3.2 : Determinanten (Les ) Definitie determinant aa bb De determinant van de [2 x 2]-matrix AA = is een getal met waarde cc dd det(a) = ad bc. aa bb Notatie : dddddd(aa)
Nadere informatieM1 Wiskundig taalgebruik en notaties
M1 Wiskundig taalgebruik en notaties Verzamelingenleer Verzameling = aantal objecten samengebracht tot een geheel - Lege verzameling = verzameling die geen elementen bevat A = - Singleton verzameling =
Nadere informatieExamenvragen Hogere Wiskunde I
1 Examenvragen Hogere Wiskunde I Vraag 1. Zij a R willekeurig. Gegeven is dat voor alle r, s Q geldt dat a r+s = a r a s. Bewijs dat voor alle x, y R geldt dat a x+y = a x a y. Vraag 2. Gegeven 2 functies
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Hoofdstuk 2 Lineaire afbeeldingen 21 Inleiding Een afbeelding f van een verzameling V naar een verzameling W is een regel die aan ieder element v van V een element f(v) van W toevoegt maw een generalisatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatie8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde
8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige
Nadere informatie3.1 Haakjes wegwerken [1]
3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben
Nadere informatie(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.
Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieTussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieEXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde)
EXAMENVRAGEN RUIMTEMEETKUNDE I (niet-analytische meetkunde). (4 p) Geef drie verschillende mogelijkheden waardoor in de driedimensionale ruimte een rechte bepaald is? 2. (6 p) Wanneer zijn de snijlijnen
Nadere informatieHoofdstuk 9. Vectorruimten. 9.1 Scalairen
Hoofdstuk 9 Vectorruimten 9.1 Scalairen In de lineaire algebra tot nu toe, hebben we steeds met reële getallen als coëfficienten gewerkt. Niets houdt ons tegen om ook matrices, lineaire vergelijkingen
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines
Nadere informatie