5 Vectoren in de ruimte

Transcriptie

1 5 Vectren in de rimte Wisknde is een taal. Jsiah Willard Gibbs (89-90) In de eerste drie paragrafen geen we een inleiding in de meetknde, die dr de Griekse wiskndige Eclides in de derde eew r Christs werd beschreen in de Elementen, een dertiendelig erzamelwerk er meetknde en rekenknde. Deze meetknde wrdt daarm k wel Eclidische meetknde genemd. De Eclidische meetknde kan wrden ndererdeeld in lakke meetknde en rimtemeetknde. Wij zllen ns beperken tt de rimtemeetknde, mdat we die ral ndig zllen hebben. De meeste cncepten knnen echter znder enige meite ertaald wrden naar de lakke meetknde, p het mment dat de behefte er is. Onze insteek is de mderne manier met cördinaten. Dit heeft als rdeel dat de rimte direct p een cnstrctiee manier rhanden is, en bendien dat naast meetkndig redeneren de algebra een nttig en efficiënt gereedschap is. Het is abslt ndzakelijk m deze taal te leren spreken, wil je de wisknde achter de planeetbanen knnen begrijpen. We gaan er an it dat de getallenlijn, bestaande it de reële getallen, bekend is. Hier is een plaatje met = 0.5, =.4..., π =.4... etc. 4 4 π - 0 De cllectie an de reële getallen wrdt genteerd met het symbl. We knnen reële getallen bij elkaar ptellen en met elkaar ermenigldigen, en de regels daarr zijn bekend. In nalging an de Franse wiskndige René Descartes in zijn Gemetria it 67 eren we de Cartesische rimte in p algebraïsche wijze: bestaat it alle drietallen (,, ) waarbij,, reële getallen zijn. De Cartesische rimte kan wrden gebrikt m de rimte, waarin wij ns beinden, te beschrijen. Dit gaat als lgt. Kies achtereenlgens drie nderling ldrechte lijnen die dr één pnt gaan. Het snijpnt an de drie lijnen heet de rsprng en deze nteren we met (an rsprng). De drie lijnen zijn de eerste, tweede en derde as (f x-as, y-as en z-as). Vrzie de lijnen an een zelfde schaalerdeling, waarbij in de rsprng het getal nl

2 staat. Een willekerig pnt in de rimte heeft ldrechte prjecties p elk an de drie assen. Deze geen de respectieelijke cördinaten an het pnt. Het drietal (,, ) nteren we sms krt met en we zien als een pnt in de driedimensinale rimte. Omgekeerd hren bij elk pnt in de driedimensinale rimte drie getallen, en. Het getal heet de eerste cördinaat an, de tweede cördinaat an en de derde crdinaat an. In hebben we een iterkren pnt = ( 0, 0, 0). Hiernder is een plaatje getekend an een rechthekig blk met een hek- = 0, 0, 0 =,. De lengte an het blk is pnt ( ) en een hekpnt ( ),, de breedte is en de hgte is, waarbij we aannemen dat deze drie getallen psitief zijn. e as ( 0,0, ) (,,0) (,0, ) = (, ), (,0,0) ( 0,,0) (,,0) e as e as We definiëren in twee bewerkingen, een ptelling en een scalaire erme- =, en = nigldiging. De ptelling an twee pnten (, ) (, ) leert een niew pnt, (, +, + + ). De ermenigldiging an een pnt = (, ) + p ia de frmle + =, met een reëel getal λ wrdt scalaire ermenigldiging genemd (een scalair is een reëel getal) en leert een niew pnt λ = λ, λ λ. λ p ia de frmle ( ), Merk p dat we een Griekse letter gebrikt hebben r de scalair (het reële getal) en niet een gewne letter. Dit den we met een reden: p deze manier zijn scalairen (reële getallen) ng beter te nderscheiden an ectren (die

3 altijd et wrden gedrkt) en dat kmt de leesbaarheid ten gede. Er zijn k andere gangbare manieren m ectren te nteren. Bijrbeeld met een pijl erben: f met een streep ernder:. In handgeschreen stkken erdienen deze schrijfwijzen de rker. De ptelling en de scalaire ermenigldiging werken ds cördinaatsgewijs. Deze bewerkingen hebben een aantal mie eigenschappen, zals: + = + + = + = ( + ) + w = + ( + w) = λ ( µ ) = ( λµ ) λ ( + ) = λ + λ ( λ + µ ) = λ + µ We spreken daarm sms lieer an ectren dan an pnten. Bij een ectr denken we aan een pijl (erplaatsing) anit de rsprng naar het bijbehrende pnt. We zllen beide pattingen gebriken en ds de ene keer spreken er pnten en de andere keer er ectren. Bedenk wel dat ectren bij ns altijd aangrijpen (starten) in de rsprng, dit in tegenstelling tt de in andere cntexten gebrikte zgenaamde rije ectren, die in elk pnt knnen aangrijpen. In feite identificeren we een ectr met zijn eindpnt. In de praktijk leidt dit niet tt erwarring. De meetkndige betekenis an ptellen is z dat de eindpnten an de ectren,, + en (in die lgrde) de hekpnten rmen an een parallellgram. + Als, en p een lijn liggen, dan nemen we het parallellgram ntaard.

4 Opgae 5.. In de figr hiernder staan de pnten,, en w. Het pnt is de rsprng. Neem de figr er en bepaal met de parallellgramcnstrctie de pnten ( + ) + w en + ( + w) en ga na dat deze pnten samenallen. w Opgae 5.. Laat met een algebraïsche berekening zien dat r elk drietal pnten, en w ten pzichte an een gekzen rsprng geldt: ( + ) + w = + ( + w). Schrijf hierr, en w it in cördinaten: =, =, w = w, w w. ( ), ( ) en ( ),,, Bij de scalaire ermenigldiging an een ectr met een psitief getal λ ntstaat een ectr λ, die in dezelfde richting wijst als en λ keer z lang is. Bij ermenigldiging met een negatief getal λ is de ectr λ λ = λ keer z lang als, en is zijn richting tegengesteld aan die an. - 4

5 Opgae 5.. Laat met een algebraïsche berekening zien dat r elk getal λ en elk tweetal pnten en ten pzichte an een gekzen rsprng geldt: λ ( + ) = λ + λ. Schrijf hierr en weer it in cördinaten. We schrijen meestal in plaats an. En r + ( ) schrijen we krtweg. De bijbehrende rekenregels den ertrwd aan. Z is λ( ) = λ λ, ( ) = + = en ( + w) = w. Is, dan rmen alle eelden λ (waarbij λ lpt dr ) een lijn, genaamd de drager an. Tellen we bij ieder pnt an de lijn λ een aste ectr p, dan krijgen we de lijn + λ, die dr gaat en parallel is aan de drager an. + λ λ Opgae 5.4. Hiernder staan de pnten, en. Pnt is de rsprng. Neem de figr er en teken de pnten +, en erbij. 5

6 Opgae 5.5. Hiernder staan twee pnten a en b. b a a. Neem de figr er en kies zelf een plaats r de rsprng. Zet erlgens de pnten a b, a + b en b a erbij. b. Neem de figr ngmaals er en kies n een andere plaats r de rsprng. Zet erlgens weer de pnten a b, a + b en b a erbij. c. Vergelijk de figren die je bij a. en bij b. hebt gekregen. Valt je iets p? d. Teken in beide figren k het pnt a + b erbij? Krijg je weer hetzelfde pnt? e. Vr welke getallen λ en µ zal de plaats an het pnt λ a + µ b niet afhangen an de plaats an de rsprng? Frmleer een ermeden. f. Leg it dat elk pnt an de rm λa + ( λ) b p de lijn dr a en b ligt. g. Leg it dat de plaats an een pnt an de rm λa + ( λ) b niet afhangt an de plaats an de rsprng. Opgae 5.6. Gegeen is een driehek met hekpnten a, b en c. We kiezen een zekere rsprng in het Eclidische lak (alhewel alles wat we erder in deze pgae pschrijen nafhankelijk is an deze keze). Het pnt dat midden tssen a en b ligt is p, het pnt dat midden tssen b en c ligt is q en het pnt dat midden tssen a en c ligt is r. Hierna is deze driehek getekend. Of we in het Eclidische lak (-dimensinaal) f de Eclidische rimte (-dimensinaal) werken, det niet ter zake. 6

7 c q r b p a a. Drk de middens p, q en r it in de hekpnten a, b en c. b. Drk k de hekpnten a, b en c it in de middens p, q en r. Hint: Teken de drie middenparallellen. z = a + b + c ligt p de zwaartelijn dr a. c. Tn aan dat het pnt ( ) d. Tn aan dat de drie zwaartelijnen an de driehek dr één pnt gaan. (Dit pnt wrdt het zwaartepnt an de driehek genemd.) Een zwaartelijn in een driehek is de lijn dr een hekpnt en het midden an de erstaande zijde. 7