4 Vectormeetkunde. Domein Meetkunde havo B

Transcriptie

1 Dmein Meetkunde hav B 4 Vectrmeetkunde Inhud 4. Vectren en kentallen 4. De vectrvrstelling van een lijn 4.3 Het inprduct 4.4 Heken en lijnen 4.5 Overzicht Bijlage: de GeGebra-applets bij deze mdule In pdracht van: Cmmissie Tekmst Wiskunde Onderwijs

2 ctwo Utrecht 009 Dit lesmateriaal is ntwikkeld in het kader van de nieuwe examenprgramma s zals vrgesteld dr de Cmmissie Tekmst Wiskunde Onderwijs. De gebruiker mag het werk kpiëren, verspreiden en drgeven en remixen (afgeleide werken maken) nder de vlgende vrwaarden: Naamsvermelding. De gebruiker dient bij het werk de dr de maker f de licentiegever aangegeven naam te vermelden (maar niet zdanig dat de indruk gewekt wrdt dat zij daarmee instemmen met uw werk f uw gebruik van het werk). Niet-cmmercieel. De gebruiker mag het werk niet vr cmmerciële deleinden gebruiken. Gelijk delen. Indien de gebruiker het werk bewerkt kan het daaruit ntstane werk uitsluitend krachtens dezelfde licentie als de nderhavige licentie f een gelijksrtige licentie wrden verspreid. Testversie: jun 009 Overzicht lesmateriaal in het dmein Meetkunde Analytische meetkunde. Cördinaten in het vlak. Vergelijkingen van lijnen.3 Vergelijkingen van cirkels.4 Snijden.5 Heken.6 Overzicht Vectren en gnimetrie. Vectren. Sinus, csinus en tangens.3 De sinusregel.4 De csinusregel.5 Overzicht 3 Heken en afstanden 3. Cirkels en hun middelpunt 3. Snijden en raken 3.3 Raaklijnen en heken 3.4 Afstanden berekenen 3.5 Overzicht 4 Vectrmeetkunde 4. Vectren en kentallen 4. De vectrvrstelling van een lijn 4.3 Het inprduct 4.4 Heken en lijnen 4.5 Overzicht 5 Meetkundige berekeningen 5. Van 3D naar D 5. Heken en afstanden in 3D 5.3 Tepassingen 5.4 Overzicht CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde

3 Vectren en kentallen Verkennen Een vliegtuig verplaatst zich eerst 0 minuten met een snelheid van 300 km/h en een kershek van 30 t..v. het Osten en vervlgens 50 minuten met een snelheid van 40 km/h en een kershek van 35 t..v. het Osten. Opgave Heveel km heeft het zich naar het Osten en het Zuiden verplaatst? Uitleg Ga na dat het vliegtuig zich eerst 00 km met een hek van 30 t..v. het Osten verplaatst en daarna 00 km met een hek van 35 t..v. het Osten. Nem je de twee snelheden v " en v ", dan zijn de bijbehrende verplaatsingen s " = v " 3 en s " = 5 v " 6. Die ver je na elkaar uit. Daarbij drlp je de bijbehrende vectren na elkaar. Je legt ze staart aan kp. Het resultaat is dan een nieuwe vectr r van startpunt naar eindpunt. Je hebt beide vectren v " 3 en 5 v " 6 pgeteld. De resultante is r = v " v " 6. Hier heeft v " 3 een lengte van 00 en een richtingshek van 30. Verder heeft 5 v " 6 een lengte van 00 en een richtingshek van 35. Je kunt van beide vectren de x-cmpnent en de y-cmpnent bepalen. Deze cmpnenten nem je de kentallen van de vectr. Je gaat daarbij uit van een xy-assenstelsel met de x-as van West naar Ost. Dan is v " 3 = 00 cs(30 )" % 00 sin(30 = 50 3 " ) # & 50 $ % & De kentallen van 5 v " 6 en de resultante r kun je nu k gemakkelijk vinden. Opgave Bekijk de Uitleg ng eens. a) Laat zien he je aan de lengtes van de verplaatsingen kmt. Bepaal de kentallen van v ". c) Bepaal hieruit de kentallen van r. d) Welke lengte en welke richtingshek heeft r? CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 3

4 Opgave 3 Bereken heveel km hetzelfde vliegtuig zich naar het Westen en het Zuiden heeft verplaatst als het eerst 30 minuten met 40 km/h nder 330 t..v. het Osten en vervlgens 40 minuten met een snelheid van 0 km/h en een kershek van 60 t..v. het Osten vliegt. Therie *************************************** Een vectr v " maak je langer (f krter) dr hem met een factr k te vermenigvuldigen. Je nemt dit het scalair prduct van de vectr met k. Als v " vx " " " k vx # = # v $, dan is k v = $ % y & k v %. & y ' Als k = " dan krijg je "v ", het tegengestelde van v ". Twee vectren a " en b " kun je ptellen dr ze staart aan kp te leggen f met behulp van een parallellgramcnstructie. Je ziet dat in de figuur. Het resultaat heet de smvectr van a " en b ". Sms wrdt k het wrd resultante gebruikt: r = a " + b ". De kentallen van smvectr r ntstaan dr de vereenkmstige kentallen van a " en b " p te tellen. Twee vectren a " en b " kun je aftrekken dr gebruik te maken van " " " " " " a b = a + (. Je telt dan bij a het tegengestelde van b p. Als je a " en " a " ptelt krijg je de nulvectr 0 ". Deze nulvectr heeft geen richting en lengte 0. ********************************************* Vrbeeld Gegeven zijn de vectren a " = " % & en b" 3 " = & % '. Je kunt nu p twee manieren de vectr r = 0,5 a " " b " tekenen. Je ziet dat in de figuur. Ga na, dat r = 0,5 " % & " " & % 3 ' = # 0,5 " 3 $ # ",5 $ % & = % & ' 0,5 " " ( ' ( CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 4

5 Opgave 4 " " # Hier zie je de vectren u = $ % en & ' " " v =. % 3& " " a) Teken de vectr u + v. Gebruik de staart aan kp methde. " " Teken de vectr u + v. Gebruik een parallellgramcnstructie. c) Teken de vectr u ". " " d) Teken de vectr u +,5v. Gebruik k nu beide manieren van tekenen van een smvectr. e) Teken de vectr v ". f) Teken de vectr " " " " u v = u + ( v). Opgave 5 Bepaal van alle vectren uit pgave 4 de kentallen en bereken hun lengtes. Opgave 6 In een cartesisch assenstelsel Oxy zijn gegeven de punten A, B en C. Deze drie punten liggen niet p één lijn. " " " a) Leg uit waarm AB = OB " OA. " " Leg uit waarm AB = " BA. " " " c) Leg uit waarm AB = AC " BC. " " d) Leg uit waarm de afstand tussen A en B gelijk is aan OB " OA. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 5

6 Neem nu aan dat A(0,), B(5,3) en C(3,6). e) Laat k zien dat de uitspraken in a),, c) en d) klppen dr met de kentallen van de vectren te werken. Opgave 7 Vectren wrden in de natuurkunde gebruikt m krachten weer te geven. Gegeven zijn twee krachten die p een lichaam werken. F " heeft een grtte van 0 N en F " heeft een grtte van 8 N. De hek tussen beide krachten is 30. a) Waarm is het vr het berekenen van de resultante van deze krachten van belang dat ze hetzelfde aangrijpingspunt hebben? Teken de resultante R " van deze beide krachten. c) Bereken de lengte van R " met behulp van de csinusregel. Je kunt die lengte k berekenen met behulp van kentallen als je een assenstelsel invert. Neem het aangrijpingspunt van beide vectren als rsprng en leg de x-as langs vectr F ". d) Welke kentallen hebben beide vectren nu? e) Bereken nu de kentallen van de smvectr en de lengte van de smvectr. Ga na, dat je hetzelfde vindt als bij c). Opgave 8 Vectr a " heeft een lengte van 5 en een richtingshek van 35. Vectr b " heeft een lengte van 4 en een richtingshek van 0. a) Teken in een assenstelsel de vectren a ", b " en a " + b ". Bereken de kentallen van a " + b ". c) Bereken de lengte en de richtingshek van a " + b ". Verwerken Opgave 9 Gegeven zijn de vectren: " " " " 5# " 5# " 0 " " 3" 3 " a =, b = $ %, c = $ %, d =, e = en f = % 5 & & 7 ' & 8 ' & % 5' % 0 & & % 5' Bereken nu de kentallen en de lengtes van de vectren: a) a " + b " b " " c c) 5 d " + e " " f d) 0,5 b " +,5 f Opgave 0 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten A(0,0), B(5,0), C(6,) en D(4,3). Bewijs met behulp van vectren dat vierhek ABCD een vlieger is. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 6

7 Opgave Laurel en Hardy Een bekende stmme film is die waarin Stan Laurel en Oliver Hardy een pian ververen. Ze staan daarin ieder aan een kant tegen de pian te duwen. Oliver merkt dat er geen beweging in kmt, dus hij gaat van pzij duwen. Ze duwen beiden met een kracht van 6 N. Hier zie je in de linkerfiguur een bvenaanzicht van de situatie. a) Teken p het werkblad de richting waarin de pian vlgens ju gaat bewegen, aangenmen dat de wrijving met de vler in alle richtingen even grt is. Beiden gaan daarna de pian duwen vlgens het bvenaanzicht dat je in de rechter figuur ziet. Oliver duwt nu twee keer z hard als Stan. Maak zelf een bvenaanzicht van deze situatie. Neem vr de hek tussen beide krachten 30. Teken k nu weer de richting waarin de pian gaat bewegen. Opgave Rute in fjrd Een vrachtbt S ligt vr de ingang van een fjrd. Hij met naar de haven H m te lssen. Eén hkje is 500 m bij 500 m. a) Teken een rute met z weinig mgelijk kerswijzigingen. Meet de richtingshek van de vectr van S naar H en vergelijk die met de sm van de richtingsheken van de rutevectren. Welke cnclusies kun je trekken? He zit dat met de lengtes van de betrkken vectren? c) Leg uit waarm in dit vrbeeld de smvectr aan de éne kant wel en aan de andere kant tch k weer niet als resultante van de delen gezien kan wrden. Opgave 3 Hellend vlak Een blk hut ligt p een hellend vlak. Het ndervindt een zwaartekracht van 500 N (newtn). Bij welke hellingshek van dit hellend vlak begint het blk naar beneden te glijden als de maximale wrijvingskracht van 00 N is? (In de figuur zijn alle krachten in hnderdtallen N gegeven.) CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 7

8 Vectrvrstelling van een lijn Verkennen Punt A beweegt in de richting van vectr r = " % &. Op t = 0 zit punt A in B(0,). Op t =,5 zit punt A in (3;3,5). " " Vectr OB wrdt vrgesteld dr p. Opgave 4 a) Teken zelf de situatie vr t =, t = 3, t = 0,5 en t = ". He kmt het dat de eindpunten A van de vectren v " = " p + t r allemaal p dezelfde rechte lijn liggen? Uitleg Als je de vectr r langer maakt zie je punt A ver een rechte lijn bewegen. Bij elk punt A hrt een plaatsvectr v " = " p + t r die vereen kmt met de cördinaten van het punt. Elk punt A(x,y) van de lijn uit de figuur is het eindpunt van de vectr % y & = 0 " % & + t " % & Dit nem je een vectrvrstelling van de lijn waar A p ligt. r is een richtingsvectr en " p is een plaatsvectr van de lijn. Elke rechte lijn is z te beschrijven met behulp van een vectrvrstelling. Je zult in de vlgende pgaven zien dat er vr elke lijn verschillende vectrvrstellingen mgelijk zijn. Opgave 5 Bekijk de Uitleg. a) Geef de cördinaten van de punten van de getekende lijn waarvr t = 4, t = ", t = 0 en t =,5. Welke waarde heeft t in het punt (,3)? Opgave 6 Ga ng steeds uit van de lijn dr ("4,0) en (0,). Punt A beweegt ver die lijn. a) Op t = 0 zit het punt A in (",) en p t = zit A in (0,). Welke vectrvrstelling kun je nu maken vr deze rechte lijn? Op p = 0 zit A in ("4,0) en p p = zit A in (0,). Welke vectrvrstelling kun je maken vr deze lijn? c) En welke vectrvrstelling hrt er bij q = 0 in (,3) en q = in (0,)? CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 8

9 Opgave 7 Gegeven is de lijn l dr de punten ("3,5) en (7,0). Punt P beweegt ver lijn l. Op t = 0 zit P in ("3,5) en p t = 5 zit P in (7,0). a) Teken l in een cartesisch assenstelsel. Wat is de richtingsvectr van deze lijn? c) Welke vectrvrstelling past bij de beschreven situatie? Een ander punt Q beweegt k ver lijn l. Op t = 0 zit dit punt in (",4) en p t = 5 zit Q in (4;,5). d) Bewegen beide punten even snel? e) Op welk tijdstip vallen beide punten samen? Opgave 8 Gegeven is de lijn l dr de vectrvrstelling % y & = 0 " % 4& + t 3 " & % '. a) Wat is de richtingsvectr van deze lijn? Teken l in een cartesisch assenstelsel. c) Waarm is % y & = 3 " % 3& + t 6 " k een gede vectrvrstelling vr & % ' deze lijn? d) Je weet dat elke rechte lijn kan wrden beschreven dr een vergelijking. Welke vergelijking hrt bij deze rechte lijn? e) He kun je de richtingscëfficiënt van de lijn uit de richtingsvectr afleiden? Uitleg Bekijk ng eens de lijn l met vectrvrstelling % y & = 0 " % & + t " % & Elke rechte lijn kan wrden beschreven dr middel van een vergelijking. Je kunt een bij l passende vergelijking vinden dr uit de kentallen van de richtingsvectr af te leiden dat de richtingscëfficiënt van de lijn is. Immers naar rechts en mhg geeft dezelfde richting aan als naar rechts en mhg. Omdat l k dr het punt (0,) gaat is de bijbehrende vergelijking y = x +. Elk punt A p de lijn heeft cördinaten (0 + t, + t). Je kunt gemakkelijk nagaan dat deze cördinaten vr elke waarde van t k aan de vergelijking vlden. Vergelijking en vectrvrstelling zijn beide geschikte manieren m een lijn te beschrijven. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 9

10 Opgave 9 Bekijk Uitleg. a) Leg uit he je de vergelijking van de lijn kunt maakt. Cntrleer dat de punten die hren bij t = 0, t =, t =,5 en t = " k inderdaad aan de vergelijking van de lijn vlden. c) Laat zien dat A(t, + t) vr elke t aan de vergelijking vldet. Opgave 0 Gegeven is de lijn l dr de vectrvrstelling % y & = " " # + t $ %. % 4& & 5 ' a) Stel bij deze lijn een vergelijking p. Stel bij deze lijn een andere vectrvrstelling p en laat zien dat k uit deze vectrvrstelling dezelfde vergelijking vr de lijn vlgt. Therie*************************************** Je ziet hier he je de plaats een willekeurig punt A dat ver een rechte lijn beweegt dr t te variëren kunt beschrijven met twee vectren: een plaatsvectr p " een richtingsvectr r (bij t = ) Neem lijn l dr B(",) met r = ". % & Naar elk punt A(x,y) van l wijst een vectr % y & = " # $ % & ' + t " % & Dit nem je een vectrvrstelling van de lijn l. De plaatsvectr is een vectr vanuit O(0,0) naar een punt B p de lijn, de richtingsvectr ligt p de lijn. Uit een vectrvrstelling kun je een vergelijking van lijn l afleiden. Dr de kentallen van de richtingsvectr p elkaar te delen vind je dat de richtingscëfficiënt van de lijn is. De bijbehrende vergelijking is y = x +. ********************************************* CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 0

11 Vrbeeld Stel een vectrvrstelling p van de lijn dr P(",3) en Q(4,0). Maak vervlgens vanuit de vectrvrstelling een vergelijking van lijn PQ. Uitwerking: Kies bijvrbeeld: " " # als plaatsvectr OP = $ % & 3 ' als richtingsvectr PQ " 6 " = & % 3' Eventueel kun je de richtingsvectr ng krter maken dr beide kentallen dr 3 te delen. De vectrvrstelling wrdt dan: % y & = " # " $ % + t & 3 ' & % ' Bij deze richtingsvectr hrt een richtingscëfficiënt van = "0,5. De vergelijking van de lijn wrdt dan y = "0,5x + b. Omdat de lijn dr P(",3) gaat, geldt 3 = "0,5 " + b en dus b =. De vergelijking van lijn PQ wrdt: y = "0,5x +. Opgave Stel een vectrvrstelling p van de lijn dr P("3,0) en Q(,5). Opgave Gegeven is de lijn l dr A(",5) en B(,"). a) Stel een vectrvrstelling van l p. Bereken de richtingscëfficiënt van l. c) Stel een vergelijking p van l. Opgave 3 Gegeven is de lijn l met vergelijking 4x + 3y = 6. a) Bepaal twee punten p deze lijn en stel met behulp daarvan een bijpassende vectrvrstelling p. Bepaal vanuit de gegeven vergelijking de richtingscëfficiënt en laat zien dat die past bij de in a) gevnden richtingsvectr. Opgave 4 Teken de lijn l met vectrvrstelling % y & = " # $ % + t " en de lijn m dr & 3 ' % & (0,6) die ldrecht staat p l. Welke richtingsvectr heeft m? Stel een bijpassende vectrvrstelling vr m p. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde

12 Vrbeeld Gegeven zijn de lijnen l: % y & = " # $ % + p " en m: & 3 ' % & Bereken het snijpunt van beide lijnen. % y & = 0 " % 4& + q 3 " & % '. Uitwerking: Elk punt van l heeft de cördinaten (" + p,3 + p). Elk punt van m heeft de cördinaten (3q,4 " q). Vr het snijpunt geldt daarm " + p = 3q en 3 + p = 4 " q. Dit is een stelsel van twee vergelijkingen met twee nbekenden. Z n stelsel kun je plssen. Ga na, dat je vindt: p = en q = 0. Het snijpunt is daarm (0,4). Opgave 5 Bekijk Vrbeeld. a) Ls zelf het stelsel vergelijkingen p. Wat de je met de gevnden waarden van p en q m het snijpunt te vinden? Opgave 6 Bereken de snijpunten van de lijnen l en m als: a) l: % y & = " # " $ % + p en m: & 5 ' &% 3' % y & = 0 " &% ' l: x + y = 6 en m: % y & = 4" " # + q $ % % & & 4 ' c) l: % y & = " # " $ % + p en m is de x-as & 5 ' &% 3' + q 3 " % & Vrbeeld 3 Bereken de snijpunten van de lijn dr P(,3) en Q(4,0) en de cirkel met middelpunt M(5,) en straal 0. Uitwerking: Een mgelijke vectrvrstelling van lijn PQ is: % y & = " # " $ % + t & 3 ' & % ' Zie Vrbeeld. De cirkel heeft vergelijking (x " 5) + (y " ) = 0. Vr een punt (x,y) p lijn PQ geldt: (x,y)=(" + t,3 " t). Vul je dit vr x en y in de cirkelvergelijking in, dan krijg je (t " 7) + ( " t) = 0 en dus t " 6 t + 8 = 0. Dit geeft t = f t = 4. De twee punten zijn (,) en (6,"). CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde

13 Opgave 7 Schrijf de berekening in Vrbeeld zelf uitgebreid uit. Opgave 8 Bereken de snijpunten van de lijn l met vectrvrstelling en de cirkel c met middelpunt M(,0) dr P(9,6). % y & = " % 7& + t 0 " % 3 & Opgave 9 Lijn l gaat dr A(",7) en B(5,0) en lijn m gaat dr C("3,5) en D(9,). a) Bereken het snijpunt van l en m dr vectrvrstellingen van beide lijnen te gebruiken. Bereken het snijpunt van l en m dr vergelijkingen van beide lijnen te gebruiken. c) Bereken het snijpunt van l en m dr van l een vergelijking en van m een vectrvrstelling te gebruiken. Verwerken Opgave 30 Maak bij de vlgende lijnen een passende vectrvrstelling: a) de lijn l dr P("0,45) en Q(30,5); de lijn m met vergelijking x " 5y = 0; c) de lijn n dr P("0,45) en ldrecht p m; d) de x-as; e) de lijn p met vergelijking x =. Opgave 3 Bereken de snijpunten van a) de lijn l dr P("0,45) en Q(30,5) en de lijn m: x " 5y = 0 de lijn n die bestaat uit alle punten A(4 " t,3t) en de lijn m c) de lijn n en de x-as d) de lijn l en de cirkel c met als middelpunt het midden van PQ en straal 5 3. Opgave 3 De punten O(0,0), A(8,) en B(4,0) zijn de hekpunten van #OAB. a) Stel een vectrvrstelling p van de zwaartelijn dr O. Stel een vectrvrstelling p van de middelldlijn van OA. c) Bereken het snijpunt van deze twee lijnen. d) Tn aan dat de zwaartelijnen in deze driehek dr één punt gaan. Opgave 33 Raaklijn aan een cirkel () Gegeven is de cirkel c: x + y = 3 met daarp het punt P(,3). De raaklijn in P aan deze cirkel staat ldrecht p de staal OP. a) Welke vectr hrt bij deze straal? De richtingsvectr van de lijn staat ldrecht p die vectr. Welke richtingsvectr heeft de raaklijn in P dus? c) Stel een vectrvrstelling van de raaklijn in P aan c p. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 3

14 Opgave 34 Raaklijn aan een cirkel () Gegeven zijn de lijn l p met vectrvrstelling x " % y & = 0 " + t " % 3& % p & met vergelijking x + y = 8. De lijn l p raakt cirkel c. Bereken de mgelijke waarden van p. en de cirkel c Opgave 35 Btsing? Twee punten A en B bewegen in een cartesisch assenstelsel vlgens een rechte lijn. Op t = 0 zit punt A in (0,4) en punt B in (6,0). Op t = 5 zit punt A in (0,6) en punt B in (,4). a) Bereken het snijpunt S van de banen die deze punten drlpen. Btsen deze punten in S? CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 4

15 3 Inprduct Verkennen Hier zie je in een bvenaanzicht he iemand een lrrie van A naar B trekt met een trekkracht van 0 N. Als de vectr F " die de trekkracht vrstelt dezelfde richting heeft als de afgelegde weg s, dan is de arbeid W die wrdt verricht gelijk aan W = F " s. De afgelegde weg is 0 m. Dit betekent dat de kracht een arbeid van W = 0 0 = 00 Nm verricht. Maar he zit dit als de trekkracht niet dezelfde richting heeft als de afgelegde weg, m.a.w. als degene die de lrrie trekt naast het spr lpt? Ga er van uit dat de trekkracht en de afgelegde weg gelijk blijven. Alleen maakt de kracht nu een hek met de bewegingsrichting. Opgave 36 Bekijk de figuur. Kies de richting van de afgelegde weg als psitieve x-richting. a) Waarm verricht nu alleen F " x, dus de x-cmpnent van F ", arbeid? Laat zien dat de grtte van F " x inderdaad ngeveer 9,6 N en dat de verrichte arbeid ngeveer 9,4 Nm is. c) Is deze arbeid W zelf k een vectr? d) Leg uit waarm W = F " s cs() als de hek is die F " met s maakt. Uitleg F " s cs() heet het inprduct van de vectren F " en s als beide een hek met elkaar maken. De bijbehrende schrijfwijze is: F " s. Het inprduct van deze vectren is zelf geen vectr, maar een getal. Als F " en s dezelfde richting hebben is F " s = F " s want cs(0 ) =. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 5

16 In het algemeen geldt vr het inprduct van twee vectren a " en b " die een hek " met elkaar maken: a " b " = a " b " cs(") Kies je een geschikt cartesisch assenstelsel, dan kun je twee vectren a " en b " met kentallen beschrijven. En daarmee kun je eenvudig een manier afleiden m het inprduct van twee vectren vanuit de kentallen te berekenen. Neem a " a " = en b " = x # a $ % y & b ". x # b $ % y & In de figuur zie je a ", b " en a " " b " getekend. De eindpunten van a " en b " zijn A en B, het beginpunt van beide vectren is P. In #PAB geldt de csinusregel: AB = PA + PB " PA PB cs(") Nu is: AB = a " " b " = (a x " b x ) + (a y " b y ) PA = a x + a y PB = b x + b y Als je dit in de csinusregel invult en wat rekenwerk det, krijg je: a x b x + a y b y = a + a b + b cs(") Delen dr en bedenken dat a " b " cs(") = a x b x + a y b y x y x a y + a = a " en x y b + b = b " levert p: x y Kennelijk is het inprduct van twee vectren a " a " = en b " = x # a $ % y & b " k gelijk x # b $ % y & aan a x b x + a y b y. Je heft alleen maar de vereenkmstige kentallen te vermenigvuldigen en de twee uitkmsten p te tellen m het inprduct van beide vectren te krijgen. Opgave 37 Bekijk de Uitleg. Neem nu de vectren a " " = # $ % en b " = ". & 3 ' % & a) Bereken de lengtes en de richtingsheken van beide vectren. Bepaal nu de hek " tussen beide vectren en bereken het inprduct met behulp van a " b " = a " b " cs("). c) Bereken het inprduct beide vectren k dr de vereenkmstige kentallen te vermenigvuldigen en p te tellen. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 6

17 Opgave 38 Je hebt in de vrgaande pgave het inprduct a " b " berekend van de vectren a " " # = $ % en b " = ". & 3 ' % & Nu weet je k dat a " b " = a " b " cs(") waarin " de hek tussen a " en b " is. Bereken daarmee de hek " tussen beide vectren en laat zien dat je hetzelfde vindt dan in pgave 37b. Opgave 39 Neem a " " = & % 5' en b" " 3# = $ % & '. a) Bereken het inprduct van beide vectren. Gebruik dit inprduct m de hek " tussen a " en b " te berekenen. Opgave 40 Neem a " ax " = # a $ en b " = % y & bx " # b $ % y & dat a " b " = a x b x + a y b y. en laat zelf met behulp van de csinusregel zien Therie ************************************** Onder het inprduct f inwendig prduct van de vectren a " en b " versta je a " b " = a " b " cs(") waarin " de hek tussen a " en b " is. Als beide vectren in een cartesisch assenstelsel zitten, dan kun je ze met hun kentallen beschrijven: a " ax " = # a $ en b " bx " = # % y & b $. % y & In dat geval is het inprduct te berekenen dr de vereenkmstige kentallen te vermenigvuldigen en het resultaat p te tellen: a " b " = a x b x + a y b y Dit betekent dat a " b " cs(") = a x b x + a y b y. Hiervan kun je ged gebruik maken bij het berekenen van de hek " tussen a " en b ". Belangrijk is ng dat van twee nderling ldrechte vectren het inprduct altijd 0 is mdat de hek tussen beide 90 is. ********************************************* CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 7

18 Vrbeeld Bereken de hek tussen de vectren a " " = & % 4' en b" = Uitwerking: Natuurlijk kan dit met de csinusregel. Maar het inprduct is k een handig hulpmiddel. Ga na, dat a " b " = "3 + "4 " = 5 " 3# $ % & '. Verder is a " b " = a " b " cs("), dus 5 = 7 3 cs("). 5 Vr de hek " tussen beide vectren geldt: cs(") =. 7 3 En dus is " $ 70,3. Opgave 4 Bereken de hek tussen a " = " # $ % & 4 ' en b" = 3 " & % ' in één decimaal nauwkeurig. Opgave 4 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten A(0,0), B(5,0), C(6,) en D(4,3). Bereken met behulp van vectren de heken van vierhek ABCD. Opgave 43 " " " " 5# 6 " " 0 " " 3" 0 " Gegeven: a =, b = $ %, c =, d =, e = en f =. % 5 & & 36 ' %,5& & % 5' % 0 & &% 4' Van welke van deze vectren is het inprduct gelijk aan het prduct van hun lengtes? He kun je dat aan hun kentallen zien? Opgave 44 " " " " 5# 6 " " 0 " " 3" 0 " Gegeven: a =, b = $ %, c =, d =, e = en f =. % 5 & & 36 ' %,5& & % 5' % 0 & &% 4' Van welk van deze vectren is het inprduct 0? He kun je dat aan hun kentallen zien? Opgave 45 Gegeven zijn in een cartesisch assenstelsel de punten A(0,0), B(5,0), C(6,) en D(4,3). Tn aan dat vierhek ABCD een vlieger is dr te laten zien dat beide diagnalen ldrecht p elkaar staan en dat diagnaal AC de andere diagnaal drmidden deelt. Verwerken Opgave 46 Bereken in graden nauwkeurig de hek tussen a " = " # $ % & 5 ' en b " = 3 " % & CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 8

19 Opgave 47 Bereken in graden nauwkeurig de heken van #PQR als P("5,0), Q(7,7) en R(0,). Opgave 48 Btje in slt Een btje wrdt dr een jngen en een twee keer z sterke man dr het midden van een slt getrkken. De jngen en de man lpen ieder aan een andere kant van de slt. De bt blijft in het midden van de slt varen. De man trekt met een kracht van 0 N en nder een hek van 0 met de vaarrichting. a) Laat in een bvenaanzicht de vectren zien die de twee trekkrachten vrstellen. Welke arbeid verrichten beiden samen als ze het btje km vrttrekken? c) Verrichten ze beiden evenveel arbeid? Opgave 49 Gelijkbenige driehek Elke gelijkbenige driehek kan dr een gede keuze van het assenstelsel de hekpunten A("a,0), B(a,0) en C(0,c) hebben (a en c beide psitief). Tn met behulp van het inprduct aan dat de zwaartelijn uit C bissectrice is van %C. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 9

20 4 Heken en lijnen Verkennen Je hebt leren werken met het inprduct m heken tussen vectren te berekenen. Opgave 50 Teken de lijnen l: % y & = " # $ % + p " en m: & 3 ' % & % y & = 0 " % 4& + q 3 " in een & % ' cartesisch assenstelsel. a) Welke vectren bepalen de richting van deze lijnen? Bereken de hek tussen de in a) bedelde vectren. c) Is de hek die beide lijnen met elkaar maken autmatisch gelijk aan deze hek? Uitleg De hek tussen twee lijnen bereken je dr de hek tussen hun richtingsvectren te berekenen. Dat de je met het inprduct van beide richtingsvectren. Afhankelijk van je keuze van de richtingsvectren krijg je meteen de gewenste scherpe hek f juist een stmpe hek. In dat laatste geval met je die stmpe hek ng mrekenen naar de bijpassende scherpe hek. Als die hek 90 is, dan staat de richtingsvectr van de éne lijn ldrecht p die van de andere. Je zegt dan dat de éne richtingsvectr een nrmaalvectr van de andere lijn is. Cntrleer met het inprduct dat een lijn met richtingsvectr a " % b& als nrmaalvectr b " (f veelvud hiervan) heeft. & % a' Met behulp van een nrmaalvectr bepaal je snel een vectrvrstelling van een ldlijn dr een bepaald punt p een gegeven lijn. Opgave 5 " # Gegeven zijn de lijnen l: = $ % % y & & ' + p 3 " % & en m: 0 " = % y & & % ' + q " &% 3' a) Bereken met behulp van het inprduct de hek tussen beide richtingsvectren. Is deze hek gelijk aan de hek tussen l en m? Licht je antwrd te. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 0

21 Opgave 5 " # Gegeven zijn de lijnen k: = $ % % y & & ' + p " 3# $ % & ' en m: 0 " = % y & & % ' + q " &% ' a) Bereken met behulp van het inprduct de hek tussen beide richtingsvectren. Is deze hek gelijk aan de hek tussen l en m? Leg uit waarm. Opgave 53 " # Gegeven is de lijn k: = $ % % y & & ' + t " 3# $ % & '. a) Welke nrmaalvectr heeft k? Stel een vectrvrstelling p van de lijn dr O en ldrecht p k. Uitleg Bijznder handig is het dat de nrmaalvectr van een lijn gemakkelijk uit de vergelijking ervan is af te lezen. In de figuur zie je de lijn l: "x + 3y = 5. Een nrmaalvectr is n " " # = $ %. & 3 ' Merk p dat de kentallen van deze nrmaalvectr precies de cëfficiënten van x en y in de gegeven vergelijking zijn. Je heft daarvr niet eerst de richtingscëfficiënt en de richtingsvectr van de lijn te bepalen, maar kunt de nrmaalvectr rechtstreeks uit de vergelijking van de lijn aflezen. Opgave 54 Neem de lijn l: "x + 3y = 5. a) Bepaal de richtingscëfficiënt van de lijn. Bepaal een bijpassende richtingsvectr. c) Stel een cmplete vectrvrstelling van l p. d) Bepaal de nrmaalvectr vanuit de richtingsvectr van l. Kmt je antwrd vereen met dat in Uitleg? Opgave 55 0 " Gegeven lijn m: = % y & & % ' + t ". &% ' a) Bepaal de richtingsvectr en de nrmaalvectr van m. Leg uit he je nu gemakkelijk de vergelijking van m kunt maken. c) Maak nu k z handig mgelijk de vergelijking van de ldlijn p dr (,3) p m. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde

22 Therie************************************* Onder de hek tussen twee lijnen versta je de scherpe hek die beide lijnen met elkaar maken. Je kunt die hek berekenen dr de hek tussen beide richtingsvectren te berekenen. Als die hek is, is de hek tussen beide lijnen de kleinste van de heken en 80 ". Een nrmaalvectr is een vectr die ldrecht staat p een gegeven lijn. Een lijn met richtingsvectr r rx " = heeft nrmaalvectr n " = # r $ veelvud ervan. % y & " ry # f een $ r % & x ' Een lijn met vergelijking ax + by = c heeft a" een nrmaalvectr % b& " b# een richtingsvectr $ % & a ' Hiermee kun je gemakkelijk van vergelijkingen naar vectrvrstellingen verschakelen en mgekeerd. ********************************************* Vrbeeld Bereken de hek die de lijn l: 4x + 3y = maakt met de lijn m dr de punten A(,) en B(4,3). Uitwerking De snelste manier m een richtingsvectr van l te vinden is het aflezen van een nrmaalvectr uit de vergelijking. Die nrmaalvectr is 4 " " 3#, dus een richtingsvectr van l is $ %. % 3& & 4 ' Van lijn m vind je een richtingsvectr vanuit de twee punten waar hij dr gaat. " Een richtingsvectr van m is 4 # $ % = 6 ". & 3 ' % & Met behulp van het inprduct van beide richtingsvectren vind je de hek ertussen. Het wrdt een stmpe hek van ngeveer 08,4. Ga dit zelf na. En ga k na, dat de hek tussen beide lijnen dus ngeveer 7,6 is. Opgave 56 Bereken de hek die de lijnen p: x " y = 8 en q: 5x + 3y = 0 in graden nauwkeurig. Opgave 57 Bereken de hek die de lijn dr A(0,4) en B(5,0) maakt met de lijn dr C(0,") en D("0,0). CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde

23 Opgave 58 Gegeven is de lijn PQ dr P("5,3) en Q(,) en punt A(4,8). a) Stel een vectrvrstelling p van de lijn l dr A en ldrecht p PQ. Bereken de cördinaten van het snijpunt S van de lijnen PQ en l. c) Bereken nu de afstand van A tt lijn l. Vrbeeld Stel een vergelijking p van de raaklijn r in het punt P(3,5) aan de cirkel c: (x ) + (y ) = 3. Uitwerking Ga na, dat de vectr van het middelpunt M(,) naar punt P een nrmaalvectr van de raaklijn is. " " 3 # Dus is de nrmaalvectr van de raaklijn MP = $ % = ". & 5 ' % 3& De vergelijking van de raaklijn is daarm van de vrm x + 3y = c. Omdat hij dr P(3,5) gaat is = c, dus c =. Dus r heeft vergelijking x + 3y =. Opgave 59 Stel een vergelijking p van de raaklijn r in het punt P(4,3) aan de cirkel c met vergelijking x + y = 5. Opgave 60 Stel een vergelijking p van de raaklijn r in het punt P(4,3) p de cirkel c met middelpunt M(,). Verwerken Opgave 6 De drie lijnen l: x + 3y = 6, m: 4x " y + = 0 en n: x + y = 6 sluiten een driehek ABC in. Bereken de heken van deze driehek in graden nauwkeurig. Opgave 6 Driehek PQR is gegeven dr P("5,0), Q(7,7) en R(0,). a) Bereken de cördinaten van het zwaartepunt (het snijpunt van de drie zwaartelijnen) van deze driehek. Bereken in graden nauwkeurig de hek tussen de hgtelijn dr P en de zwaartelijn dr P. Driehek KLR is gegeven dr K("3,5) en L(6,4). c) Het snijpunt van de drie middelldlijnen van #KLR is het middelpunt van de mgeschreven cirkel. Stel een vergelijking van die cirkel p. d) Bereken de hek waarnder die cirkel de y-as snijdt. Opgave 63 Bereken de afstand tussen de lijnen p: x + 3y = 6 en q: x + 3y = 8. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 3

24 Opgave 64 Cirkel aan gegeven raaklijn () Een cirkel c met het middelpunt p de y-as raakt de lijn l: x + 3y = 6 in het punt P(3,). Bereken het middelpunt en de straal van die cirkel. Opgave 65 Lijnen die gegeven lijn nder bepaalde hek snijden Stel vergelijkingen p van de twee lijnen dr (0,) die de lijn l: x + 3y = 6 snijden nder een hek van 60. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 4

25 Overzicht Je hebt nu alle therie van het nderwerp Vectrmeetkunde drgewerkt. Het is nu tijd m een verzicht ver het geheel te krijgen. Begrippenlijst 4: smvectr, resultante scalair prduct nulvectr 4: richtingsvectr, plaatsvectr, vectrvrstelling van een lijn 43: inprduct van twee vectren 44: nrmaal en nrmaalvectr van een lijn hek tussen twee lijnen Activiteitenlijst 4: vectren meetkundig ptellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen vectren ptellen, aftrekken, scalair vermenigvuldigen vanuit kentallen 4: vectrvrstelling van een lijn pstellen vectrvrstellingen mzetten in vergelijkingen en mgekeerd 43: het inprduct van twee vectren berekenen, k vanuit de kentallen het inprduct gebruiken m heken tussen twee vectren te berekenen het inprduct gebruiken m ldrechte stand aan te tnen 44: het werken met vectren en hun inprduct tepassen p het berekenen van heken in de vlakke meetkunde werken met nrmaalvectren m het rekenwerk te vereenvudigen Opgave 66 Samenvatten Maak een samenvatting van dit nderwerp dr bij elk van de genemde begrippen een mschrijving f een vrbeeld te geven en bij elk van de genemde activiteiten een vrbeeldberekening te geven. Tetsen Opgave 67 " # " " 3# Gegeven zijn de lijnen l: = p $ % en m: = + q $ %. % y & & ' % y & % 4& & ' a) Bereken de hek tussen beide lijnen. Bereken de cördinaten van het snijpunt S van beide lijnen. c) Bereken de afstand van punt P(0,0) tt lijn m. Opgave 68 De lijn l met vergelijking x + y = 4 snijdt de cirkel c: (x " 4) + (y " ) = 0 in de punten A en B. Punt A heeft psitieve cördinaten. De raaklijn in A en de raaklijn in B aan cirkel c snijden elkaar in punt S. a) Bereken de cördinaten van S. Bereken de grtte van de heken van vierhek ASBM, waarin M het middelpunt van cirkel c is. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 5

26 c) Een krdenvierhek is een vierhek waarvan de hekpunten p één cirkel liggen. Tn aan dat vierhek ASBM een krdenvierhek is. Opgave 69 Gegeven zijn de punten O(0,0), A(5,) en C(,5). Vlieger OABC heeft een ppervlakte van 64 rstereenheden. Bereken de cördinaten van punt B. Opgave 70 De lijn m raakt de cirkel c: x + y = 8 in het punt (,). De csinus van de hek die de lijn l p : % y & = 0 " + t " % 3& % p & Bereken p. (Brn: HAVO examen wiskunde in 980, eerste tijdvak) maakt met m is 5. Opgave 7 Ten pzichte van een cartesisch assenstelsel Oxy zijn gegeven de lijn k met vergelijking x + y = 0 en vr elke reële waarde van p de lijn l p met vectrvrstelling % y & = " + t &% 5 3 ". ' % p & a) Bereken de hek die k en l met elkaar maken. De lijn l 4 raakt een cirkel c met middelpunt (,"3). Stel een vergelijking van c p. c) De lijn m is het beeld van k bij draaiing m O ver 90. Vr welke p geldt dat het snijpunt van k en m p l p ligt? (Brn: HAVO examen wiskunde in 98, eerste tijdvak) Opgave 7 De punten A(7,0) en B(4,3) liggen in een cartesisch assenstelsel Oxy. a) Stel een vergelijking p van de cirkel c met middelpunt O die lijn AB raakt. De cirkel c gaat dr O, A en B. Stel een vectrvrstelling p van de raaklijn in O aan c. c) Op het lijnstuk AB ligt het punt P z, dat %AOP = %POB. Bereken de cördinaten van P. (Brn: HAVO examen wiskunde in 98, eerste tijdvak) Opgave 73 Gegeven zijn ten pzichte van een cartesisch assenstelsel de punten A(,"3) en vr elke waarde van p de lijn l p met vectrvrstelling % y & = 3 " " + t. % p & &% ' a) De punten A en A zijn elkaars spiegelbeeld ten pzicht van l. Bereken de cördinaten van A. Lijn l p snijdt de x-as in een punt B en de y-as in een punt C z, dat de ppervlakte van driehek BCO gelijk is aan 5. Bereken p. c) Vr welke waarden van p ligt het snijpunt van l p en de lijn met vergelijking x + 3y = 9 in het vierde kwadrant? (Brn: HAVO examen wiskunde in 986, eerste tijdvak) CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 6

27 Tepassen Opgave 74 De rechte van Euler De beremde wiskundige Lenhard Euler ( ) tnde aan dat in elke driehek het snijpunt H van de hgtelijnen, het snijpunt Z van de zwaartelijnen en het snijpunt M van de middelldlijnen p één lijn liggen. Die lijn heet de rechte van Euler. Neem de driehek ABC met A(",0), B(4,0) en C(0,6). Tn aan dat de drie genemde punten inderdaad p één lijn liggen in deze driehek en stel een vergelijking van die lijn p. * Je bewijst dit vr elke driehek als je A(a,0), B(b,0) en C(0,c) neemt. Durf je die uitdaging aan? Opgave 75 Schuurdeur In een grte schuur wrdt een schuurdeur gemaakt. De deur wrdt 3 m breed en aan de zijkanten m hg. De bvenkant is een cirkelbg. In vraanzicht van de schuur kun je nder andere zien, dat hij in het midden 5 m hg is en aan de zijkanten m hg. De schuur is 0 m breed en de schuurdeur kmt precies in het midden. Vr het gemak is een assenstelsel aangebracht. Op de twee plaatsen waar de cirkelbg p de rechtp staande balken links en rechts van de deur kmt te rusten, zijn de raaklijnen (stippellijnen) aan de cirkelbg evenwijdig met de dakhelling. a) Bereken de cördinaten van het middelpunt van de cirkel waar de cirkelbg een deel van is. Bereken de lengte van de cirkelbg. c) Bereken de ttale ppervlakte van deze deur. CTWO hav wiskunde B Meetkunde 4 Vectrmeetkunde 7

28 Dmein Meetkunde Hav B H.4: Vectrmeetkunde. Osten: 8,0 km Zuiden: 9,4 km a) - & 0 # c) = $ 0 " & # r = $ % 50 ' 00 " v d) r = 45, 7, hek=338, 3. westen: Zuiden: a) & # $, lengte = % 5" 6 idem c) & ' # $, lengte = % 4 " 5 d) & # $, lengte = 73 % 8 4 " e) & ' 4 # $, lengte = % ' 6" 3 f) & ' 5 # $, lengte = % ' 4" 4 6e) & 5# & 3# &' # AB = $, AC = $, BC = $ % " % 4 " % 3 " AB = 6 7a) - - c) R = d) & 0# & 4 3# F = $, F $ = % 0 " % 4 " e) & # R = $, R = % 4 " a) - & 5cs(35 ) + 4cs(0 )# a + b = $ % 5sin(35 ) + 4sin(0 ) " c) a + b = 7,, richtingshek=67,6 9a) c) d) ,6 &' 3# $ % " &' 5# $ % " & 0# $ % 0" & # $ 9" & 6# AC = $, % " &' # BD = $, AC BD % 3 " AD = AB = 5, DC = BC = 5 4a) (4,3), (6,5), (,), (-,) - 5a) (8,6), (-4,0), (0,), (,) t= 6a) & x # &( # & # $ = $ + t ' $ % " % " & x # &( 4# & 4# $ = $ + p ' $ % 0 " % " c) & x # & # &' # $ = $ + q ( $ % 3" % ' " 7a) - & 0# $ % 5 " c) & x# &' 3# & 0 # $ = $ + t ( $ % 5 " 5" d) nee e) t = 9

29 8a) & 3 # r. v. l = $ " (3,3) ligt p l, & 6 # & 3 # $ en $ hebben dezelfde % ' " " richting c) y = 3 x + 4 d) & 3 # & 6 # r. v. l = $ f r. v. l = $ " " r. c. l = 3 = 6 = 3 9a) & # r. v. = $, l r. c. l = % " - c) (0,), (,3), (5,4) en (-4,0) Deze punten vlden aan de vergelijking. d) A ( t, + t) invullen in y = x + Zdat : + t = t +.Dit klpt 0a) y = 3 x + 4 & x # & 9# &' 6# vb : $ = $ + p ( $ % " % ". & x # &( 3# & # $ = $ + t ' $ % 0 " % " a) & x # & # & # $ = $ + t ( $ " " r. c. = c) y = x + 3a) (0,-) en (3,-) & x # & 0# & 3 # l : $ = $ + t ( $ % " 4" 4 r. c. l =, 3 y = 4 3 x + 4. &' # r. v. m = $ % " & x # & 0# &' # m : $ = $ + t ( $ % 6" % " 5a) - Waarden van p en q invullen in vectrvrstelling van l resp. m 6a) p =, q =, snijpunt ( 3, ) q =, snijpunt ( 5, 5) c) p = 5, snijpunt 3,0) ( c :( x ) + ( y 0) = 5 t 0,5.. geeft (7, ; 8,6) t,478.. geeft (6,8 ;,4) 9. & x # & 5# & # AB : $ = $ + t ( $ % 0" " y = x + 5 & x # &( 3# & # CD : $ = $ + p ' $ % 5 " % " y = x + 6 Snijpunt (,6) 30a) & x # & 0 # & 5 # l : $ = $ + t ( $ % 33" 3" & x # & 0 # & 5# m : $ = $ + p ' $ %( " % " c) & x # & 0 # & # n : $ = $ + q ( $ 5" 5" d) & x # & # x ( as : $ = t ' $ % 0" e) & x # & # & 0# x = : $ = $ + p ' $ % 0" % " 3a) Snijpunt ( 35,) t = 8, snijpunt 7 ( 5, ) c) Snijpunt (,0) d) (-0,6 ; 39,3) en (0,5, 0,7) 3a) & x # & # $ = t ' $ % " & x # & 4# & # l : $ = $ + t ( $ % " 4" c) Snijpunt 3,3 ) d) ( 5 5 & x # & 4# & 0# $ = $ + p ' $ % 0" % " & x # & # & # $ = $ + q ( $ % 5" " Snijpunt ( 4,4)

30 33a) & # $ % 3" & 3 # $ % ' " c) & x # & # & 3 # $ = $ + t ( $ % 3" " 34. p = =, p = = 8 4 ( 4 4 3,6 5 35a) Snijpunt S ) Nee, A en B niet gelijktijdig in S 3 36a) Fx heeft dezelfde richting als de afgelegde weg. Fx = 0 " cs(60 ) = 9,6.. 9, 6N c) a "b = # = 3 " 5 " cs( ) = 97, 39a) b = 3 e x ey a b = 7 c) = 67, a "b = =37,7 4. A = 36, 9, C = 90 B = D =6, a en c, deze vectren zijn gelijkgericht, kentallen zijn hetzelfde psitieve veelvud van elkaar. 44. a en b, a en f 45. c en b, c en f & p # & q # p = $ en q = $ % p " % q " & q # p q als $ een veelvud is % q " & p # van $ p " & 6# &' # AC = $, BD = $ % " % 3 " Inprduct = 0, dus ldrecht 8 4 & x # & 0 # & 3# AC : $ = $ + t ' $ % 0" % " S( 4, ) ligt halverwege BD S ligt k p AC : t = 46. a "b = # = 9 " 0 " cs( ) = P = 36, Q =, R = 3 48a) Jngen trekt nder een hek van 43,60.. met de vaarrichting R = 0cs(0 ) + 5cs(43,60.. ) zdat : R =3, Arbeid = Nm c) nee 49. & 0 # Zwaartelijn heeft r.v. = $ " &' a# CA heeft r. v. = $ % ' c " & a # CB heeft r. v. = $ c" & 0 # &' a# & 0 # & a # $ ( $ = $ ( $ = c " % ' c " " c" Inprduct gelijk, dus heken gelijk, zdat bissectrice. 4 50a) & # & 3 # $ en $ % " " 45 c) Nee, hek tussen lijnen met scherp zijn en niet stmp 5a) 45 Ja, hek is scherp 5a) 7,9 nee, ( l, m) = 8, 53a) & # $ % 3" & x# & # $ = t ' $ % 3"

31 54a) r. c. l = 3 & 3# r. v. l = $ % " c) & x # & # & 3# $ = $ + t ' $ % " % " d) &' # n = $, ja % 3 " 55a) & # & # r. v. m = $, n = $ " % " x + y = c) p : x y = 56. ( p, q) = 85, ,3 58a) & x # & 4# & # l : $ = $ + t ' $ % 8" % 3" 4 S, ) ( 5 5 ( A, l) = AS = 5 c) d r : 4x + 3y = r : x + y = 7 6. A = 94, 6a) Z ( 3,9 3) 58 B = 7, C = 59 c : ( x ) + ( y 4 ) = c) d) 63. "( c, y as) = 585, M ( 0, 8), r = ( ) x + 3y = a) 9,4 ( 6 5 3) x + 3y = 6 S 3,7) ( c) 3 d ( P, m) = a) A (,3 ), B ( 5, ) Raaklijnen : y = 3x, y = 3 x 3 S (, 3) S = 53,, A = B = 90 M =6, 9 c) Middelpunt: (, ) halverwege MS A, S, B en M liggen p cirkel c : ( x ) + ( y + ) = 69. B ( 3, 3) (pijlpuntvlieger) B (3,3) 70. p = 3, p = 3 7a) 45 c :( x ) + ( y + 3) = 4 c) m : x y = 0 snijpunt (,6) p = 3 7a) c : x + y = 4 M 3, ) ( & x # & # $ = t ' $ % 7" c) 3 P ( 5 4, 4) 73a) A '(5 5,4 5) B ( 3+ p,0), C ( 0, p + ) pp = 3+ p p + 5 p = 6, p = 3 c) snijpunt ( 9 6 p,4 p 3) 3 x>0, y<0, dus p < Z ( 3,), H ( 0, 3), M (, 3) Rechte van Euler: y = x * Z a b c, ), H ab 0, ) ( 3 3 a+ b ab+ c M (, c ) ( c & ac + bc # HZ ' HM ' $ % c + 3ab" Dus H, Z en M p één lijn 75a) M 0, ) r = ( 8,3 m c) 6,38 m