Module 5 Uitwerkingen van de opdrachten

Transcriptie

1 Mdule 5 Uitwerkingen van de pdrachten Hfdstuk Therie van vervrming dr buiging Opdracht Deze pdracht heeft als del vertruwd te raken met het integreren van de diverse betrekkingen die er bestaan tussen de belasting en uiteindelijk de verplaatsing: dv qx ( ) dx = dm V ( x ) dx = d M( x) = dx dw = ( x) dx Met de gegeven belasting en de randvrwaarden zijn deze vier vergelijkingen p te lssen. Bepaling van de dwarskracht: dv dx = qx ( ) V = q ( x )d x π x ql πx V = q sin dx = cs + C l π l Bepaling van het mment: dm = V dx M = V( x)dx q l π πx l q l π πx l M = cs dx = sin + C x + C De randvrwaarden zijn dat het mment nul is vr x = 0 en x =. Invullen levert: C = C = 0. Bepaling van de hekverandering: d M M( x) = d π π = x dx sin d cs = q l x q l x x C π l = π l + Bepaling van de zakking: 4 dw ql πx ql πx = w = ( x)dx dx w = cs dx sin C x C 4 π l = π l + + 4

2 De randvrwaarden zijn dat de zakking nul is vr x = 0 en x =. Invullen levert: C = C 4 = 0. De zakkingslijn is nu bepaald. De maximumdrbuiging is daarmee k bekend: 4 ql πx w( x) = sin 4 π l en w ql l = vr x = π 4 max 4 Opdracht De enige cmplicatie in deze pdracht is dat de mmentenverdeling eerst met wrden bepaald met behulp van de belasting. Dit vrschrift is iets ingewikkelder waardr de integralen iets meilijker zijn dan die in paragraaf. (Tepassingen van de buigingstherie). Vraag : Bepaling van de mmentenlijn De mmentenlijn is te bepalen via de dwarskrachtenlijn: dv qx ( ) dx = q( l x) q x V = q( x)dx = dx = q x + C l l dm V dx = q x q x M = V dx = q x + C dx q x C x C = l l De integratiecnstanten vlgen uit het verwerken van de randvrwaarden. De dwarskracht en het mment zullen nul meten zijn aan het uiteinde. Hieruit vlgt: V(x = l) = 0 C = ql + ql = ql M(x = l) = 0 C = 6 ql + ql ql = 6 ql De mmentenverdeling is nu bekend: M(x) = qx l q 6 x + q lx q 6 l Het inklemmingsmment (plegreactie) klpt en is psitief! Kracht maal arm levert: T = ql l = 6 ql Het vervlg ziet eruit als in paragraaf.. Uitgaande van de nu bekende mmentenlijn is de hekverandering te bepalen en daaruit de zakking. Vraag : Bepaling van de hekverandering De hekverandering vlgt uit de vlgende betrekking: d M M( x) M( x) = d = dx = d x dx = + q x x lx l dx 6l 6

3 Uitwerken van deze frmule levert: 4 q x x lx l x ( x) = + + C 4l Bij de inklemming p x = 0 geldt dat de hekverandering nul met zijn. Hieruit vlgt dat de integratiecnstante C k nul met zijn. Vraag : Bepaling van de zakkingslijn De zakkingslijn vlgt uit de vlgende betrekking: dw = dw = φ(x) dx dx 4 q x x lx l x w = ( x)dx w = + dx 4l Gebruikmakend van het gegeven dat de zakking p x = 0 gelijk is aan nul vlgt hieruit: wx ( ) q x x lx l x 0l = ql en w max = w x = l = 0 Hfdstuk Methde van het gereduceerde mmentenvlak Opdracht Deze cnstructie is p de buigstijfheid na identiek aan het eerder behandelde vrbeeld 0 van paragraaf.4. (Liggers p twee steunpunten). De mmentenlijn vr statisch bepaalde cnstructies is niet afhankelijk van de buigstijfheid van de cnstructie en dus is de mmentenlijn gelijk aan die van het genemde vrbeeld. De gereduceerde M-lijn is nu eenvudig te bepalen aangezien de gehele ligger dezelfde buigstijfheid heeft. De gereduceerde M-lijn is in figuur 5. weergegeven. Het ppervlak dat dr de gereduceerde M-lijn wrdt ingeslten, is te splitsen in een aantal kleine ppervlakken waarvan eenvudig het ppervlak kan wrden bepaald. In figuur 5. is een mgelijke verdeling weergegeven. In tabel 5. zijn de gegevens van deze ppervlakken verzameld, waarbij het statisch mment is bepaald van elk ppervlak ten pzichte van de rechter plegging B.

4 4 Figuur 5. Figuur 5. Tabel 5. Bijdragen van de ppervlakken Nr. Breedte Hgte ( ) Opp ( ) z B S B a,0,5 6,5 5,, b,0,5 5,0 4,0 00 c,0 0,00 0,0,666 6,667 d,0,5,5 4,0 0 e,0,5,5,5 56,5 f,0 5,0 5,0,, g,0,50,5,,9 Ttaal 9,5 7,5 De hekverandering in vlgt uit het gegeven dat de zakking in B nul met zijn. Neem een psitieve hekverandering φ aan en bepaal deze met behulp van: w B 7,5 45,4 = 6,0 = 0 dus: =

5 5 Hiermee is de hekverandering in bepaald. De hekverandering in punt B kan nu bepaald wrden met: 45,4 9,5 47,08 B = + pp = + = De zakkingen kunnen p dezelfde manier als in het vrbeeld 0 van paragraaf.4. wrden bepaald. In tabel 5., 5. en 5.4 zijn de resultaten verzameld. Tabel 5. Zakking ter plaatse van F Nr. Breedte Hgte ( ) Opp ( ) z F S F a,0,5 6,5 0,,08 Ttaal 6,5,08 45,4,08 4,4 w =,0 SB = = Tabel 5. Zakking ter plaatse van F Nr. Breedte Hgte ( ) Opp ( ) z F S F a,0,5 6,5, 8, b,0,5,5 0,5 6,5 c*,0 7,5,75 0,,5 Ttaal,5 5,8 90,84 5,8 75,0 w =,0 SB = = Tabel 5.4 Zakking ter plaatse van F Nr. Breedte Hgte ( ) Opp ( ) z F S F f, ,666 6,667 Ttaal 5 6,667 94,6 6,667 77,49 w = B,0 SB = = Met deze gegevens kan de zakkingslijn wrden gecnstrueerd. Dit wrdt aan de lezer vergelaten.

6 6 Opdracht 4 De gereduceerde M-lijn is in figuur 5. weergegeven. Figuur 5. De hekverandering in is te bepalen als we ns realiseren dat de zakking in punt B nul met zijn. Uitgaande van een psitieve hekverandering in punt vlgt: 67,5 6 6 w B = l l = 0 6 = 0 5 = B = + B = 5 De hekverandering in punt B is dus qua grtte gelijk aan die in punt maar tegengesteld van teken. angezien de ligger symmetrisch wrdt belast, hadden we dit k verwacht. De maximumdrbuiging treedt, vanwege de symmetrische belasting, halverwege de ligger p. Vr het berekenen van deze drbuiging is figuur 5.4 van belang. Figuur 5.4 Met de gegevens van de twee ppervlakken kan de zakking in het midden wrden bepaald. Het ppervlak van de halve gereduceerde M-lijn is te splitsen in een driehek en een scheve blle parabl. Vr het bepalen van het statisch mment van de gereduceerde M-lijn ten pzichte van het midden van de ligger is de hrizntale ligging van het zwaartepunt van zwel de driehek als de scheve parabl ndig. Deze afstanden zijn in figuur 5.4 te vinden.

7 7 Er vlgt: 6,875,0,75 = = 67,5,0 0,5 4 = = Met de hekverandering in punt kan de zakking in het midden en p 4 l wrden bepaald: 5,5 w = midden l a 4a4 = 89,84 en w l = w 4 max = (parabl) 4 Merk p De zakking p en 4 4 van de verspanning is snel te bepalen, mdat bekend is dat de zakkingslijn een parabl is met het maximum p l. Daaruit vlgt dat de zakking p en 4 4 van de verspanning gelijk is aan 4 van de maximale zakking. Ga dit zelf na met een schetsje van de zakkingslijn. Dr in plaats van getallen parameters te gebruiken, kan wrden aangetnd dat vr de hekverandering bij de pleggingen en de zakking in het midden geldt: ql = 4 ql B = 4 w max 4 5ql = 84 In technische zakbekjes zijn deze frmules te vinden. Opdracht 5 De gereduceerde mmentenlijn van deze cnstructie is weergegeven in figuur 5.5. De hekverandering in punt is te bepalen uit het feit dat de zakking in B gelijk is aan nul: w B = l l = 0 = = B = + = + =

8 8 Dr in plaats van getallen parameters te gebruiken, kan wrden aangetnd dat vr de hekverandering bij de pleggingen geldt: M l = M l B = 6 De maximale drbuiging treedt p waar de raaklijn aan de zakkingsfunctie hrizntaal lpt. Dit betekent dat de afgeleide van de zakkingsfunctie nul met zijn. De hekverandering is de afgeleide van de zakkingsfunctie. Dus daar waar de hekverandering gelijk is aan nul, treedt de maximale drbuiging p. In figuur 5.5b is het rechterdeel van de ligger met een lengte x getekend. De hekverandering p een afstand x vanaf punt B is te bepalen met: φ x = φ B θ x De hekverandering p een afstand x vanaf B met nul zijn. Hieruit vlgt: θ x = φ B 00 x x 00 = x = =,46 m 6 Merk p De ppervlakte van het M/-vlak met even grt zijn als de hekverandering in B. Dr het rechterdeel te kiezen is de berekening eenvudiger dan wanneer het linkerdeel wrdt gekzen. Figuur 5.5

9 9 De maximale drbuiging is nu te bepalen met: w max = φ B,46 θ x,46 0,9 w max = φb,46 = met: θ x = φ B De zakking in het midden van de ligger is te bepalen met: 00,0,0 5 w midden = B,0 = De maximale zakking wijkt dus slechts,5% af van de maximale zakking en k de plaats van de maximale zakking ligt dicht bij het midden van de verspanning. Veelal kan daarm wrden vlstaan met het berekenen van de zakking halverwege de liggerverspanning. Dr in plaats van getallen parameters te gebruiken, kan wrden aangetnd dat vr de zakking in het midden geldt: M l w midden = 6 De zakkingslijn is in figuur 5.6 geschetst p basis van deze twee heken. Figuur 5.6 Opdracht 6 De gereduceerde M-lijn van dit prbleem is in figuur 5.7 weergegeven. De hekverandering in wrdt bepaald uitgaande van het feit dat de zakking in B nul is: w B = φ l θ 4,667 θ,667 = 0, φ =,, 66,67 77,78 φ B = φ + θ + θ = + + =

10 0 In figuur 5.7b is het rechterdeel van de ligger met een lengte x getekend. De hekverandering p een afstand x vanaf punt B is te bepalen met: φ x = φ B θ x De hekverandering p een afstand x vanaf B met nul zijn. Hieruit vlgt: θ x = φ B x x 77,78 = x =,7 m 4 De maximale drbuiging is nu te bepalen met: w max = φ B,7 θ x,7 87,6 w max = φb,7 = met: θ x = φ B De zakking in het midden van de ligger is te bepalen met: 00,0,0 8, w midden = B,0 = Ok nu valt p dat de verschillen gering zijn. Figuur 5.7

11 Opdracht 7 De gereduceerde M-lijn vr dit prbleem is in figuur 5.8 weergegeven. De hekverandering in punt wrdt bepaald uitgaande van het feit dat de zakking in B nul is: w B = φ l + θ l θ l = = = φ B = φ θ + θ = + = 50 φ midden = φ θ = Let p Zrg ervr dat de juiste richtingen wrden aangehuden vr de hekjes! De hekveranderingen bij de linker en rechter plegging zijn in dit geval gelijk aan elkaar. Met de beide hekveranderingen is de zakkingslijn te schetsen (zie figuur 5.8). De hekverandering in het midden is twee keer die bij de plegging. Met de drie raaklijnen kan snel een redelijke schets wrden gemaakt van de zakkingslijn. Figuur 5.8

12 Opdracht 8 De cnstructie met drie pleggingen heeft een scharnier waardr het systeem statisch bepaald is. De gereduceerde mmentenlijn van de cnstructie is in figuur 5.9a weergegeven. Figuur 5.9 Krachtsverdeling: analyse De drie nbekende plegreacties zijn uit het evenwicht te bepalen. Drie nbekenden betekent dat we drie vergelijkingen meten pstellen: Deel de cnstructie p en bepaal de mmentensm van het rechterdeel ten pzichte van het scharnier. Het mment in het scharnier is nul, dus hieruit vlgt de plegreactie in punt E. Bepaal de mmentensm van het linkerdeel ten pzichte van het scharnier. Ok hier geldt dat het mment in het scharnier nul is. Hierdr ntstaat een vergelijking met de twee nbekende plegreacties in en in B. Bepaal uit het verticale evenwicht de relatie tussen de drie plegreacties. Krachtsverdeling: plssing De eerste vergelijking levert de plegreactie in punt E: 00,0 E V = 0 E V = 50 kn () Deze plegreactie is negatief, dus naar bven gericht! De tweede vergelijking levert een relatie met de ng nbekende plegreacties in en B: V 8,0 + B V,0 = 0 () Hierin zitten nu dus ng twee nbekende reacties!

13 Met de derde vergelijking vr het verticale evenwicht kan de zaak wrden pgelst: V + B V + E V + 00 = 0 V + B V = 00 ( 50) = 50 () Dr vergelijking () en () met elkaar te cmbineren kunnen de twee nbekende plegreacties wrden gevnden. Uiteindelijk is het resultaat: (Ga dit zelf na!) V = 0 kn B V = 80 kn E V = 50 kn (mlaag) (mhg) (mhg) Nu de plegreacties bekend zijn, is direct de mmentenlijn te bepalen. De gereduceerde M-lijn is in figuur 5.9a weergegeven. De ppervlakken van de drie drieheken in figuur 5.9a zijn eenvudig te bepalen: 50 5,0 75 = = 50,0 5 = = 00 4,0 00 = = Vervrming: analyse Om de zakkingslijn te kunnen bepalen beginnen we eerst met het linkerdeel van de cnstructie, dus links van het scharnier. Daarmee kan de hekverandering in en B wrden bepaald. Daarna kmt het rechterdeel aan de beurt. Uit de figuur wrdt duidelijk dat in het scharnier de twee staven vrij ten pzichte van elkaar kunnen draaien. Dit is een eigenschap van een scharnier waarmee tevens duidelijk wrdt dat er een knik kan ntstaan in de elastische lijn ter plaatse van het scharnier. De staven zitten echter wel aan elkaar vast, dus de zakking in het scharnier is vr de linker en de rechter staaf gelijk. Dit gegeven zullen we meten gebruiken m de hekverdraaiing in E te kunnen bepalen. Vervrming: plssing De zakking in punt B is nul, dus hiermee kan de hekverandering in wrden bepaald: w B = φ 5,0 + θ 5,0 = 0 = 5 Met de nu bekende hekverandering in punt kan de hekverdraaiing in B wrden bepaald: φ B = φ θ = =

14 4 De zakking van het scharnier kan nu vanuit punt B wrden bepaald: 50,0 5,0 00 w C = φ B,0 + θ,0 = + = Het rechterdeel van de cnstructie geeft iets meer prblemen. Uitgaande van punt E met een ng nbekende (psitief aangenmen) hekverandering φ E met uiteraard dezelfde zakking wrden gevnden. Hieruit kan φ E wrden pgelst: w C = φ E 4,0 θ 4,0 = ,5 400 φ E = + = Knik in het scharnier: analyse Nu zijn de hekveranderingen bij de pleggingen bekend. Ok de zakking van het scharnier is bepaald. De knik in de zakkingslijn kan echter pas wrden bepaald als de hekverandering net links van het scharnier en net rechts van het scharnier bekend zijn. Vanuit punt B kan de hekverandering net links van het scharnier wrden bepaald terwijl vanuit punt E de hekverandering net rechts van het scharnier kan wrden bepaald. Het verschil tussen deze beide hekveranderingen is de gevraagde knik in de zakkingslijn. Knik in het scharnier: plssing Met de bekende hekverandering in punt B kan de hekverandering net links van het scharnier wrden bepaald: φ C links = φ B θ = = Met de bekende hekverandering in punt E kan de hekverandering net rechts van het scharnier wrden bepaald: φ C rechts = φ B θ = = Het minteken hier is ndzakelijk aangezien we nu de gereduceerde M-lijn van rechts naar links drlpen vr het deel rechts van het scharnier. In figuur 5.9b is dat verduidelijkt. De zakkingslijn is nu te tekenen en is weergegeven in figuur 5.9c. De knik in de zakkingslijn ter plaatse van het scharnier is duidelijk te zien.

15 5 Opdracht 9 De krachtsverdeling in de cnstructie is eenvudig te bepalen. Het resultaat is in figuur 5.0 weergegeven. Het bepalen van de M-lijn mag p dit mment geen enkel prbleem meer zijn, dus wrdt de uitwerking daarvan aan de lezer vergelaten! Figuur 5.0 nalyse Vr elk nderdeel kan nu de vervrming dr buiging wrden bepaald. Uiteraard beginnen we bij de inklemming waar de zakking en hekverandering bekend zijn (nul). Zdende kunnen eerst de hekverandering en de hrizntale verplaatsing in punt B wrden bepaald en daarmee k de hekverandering en de hrizntale verplaatsing van punt C. Met deze gegevens kunnen vervlgens de hekverandering en de verticale verplaatsing (zakking) in punt D wrden bepaald. Tt slt wrdt met behulp van de hekverandering in punt B de hekverdraaiing en de verticale verplaatsing in punt E bepaald. Oplssing llereerst wrden de ppervlakken van de nderdelen van de gereduceerde M-lijn bepaald: 5,0 45 = = 45,0 5 = = 45,0 45 = = 60, = = In de gereduceerde M-lijn zijn deze hekjes aangegeven waarbij tevens de richting is gekzen vereenkmstig het vervrmingsteken van de M-lijn. Cntrleer zelf dat dit p de juiste manier gebeurt! Let er daarbij p dat de cnstructie van -B-C-D en van B-E wrdt drlpen. Op het linker verstek is de richting van θ 4 dus aangegeven kmende van rechts!

16 6 Met deze gegevens kunnen nu de hekverandering en de hrizntale uitwijking van punt B wrden bepaald: φ B = θ = 45 u B = θ,5 = 67,5 Let p De psitieve hekverandering ten gevlge van het mment p staaf -B geeft een hrizntale verplaatsing naar links! Dit is dus in de negatieve x-richting. Knp B heeft daarm dus een negatieve hrizntale verplaatsing. Het vlgende punt dat wrdt bekeken, is punt C. Met de bekende hekverandering en hrizntale uitwijking in punt B ligt de verplaatsing van punt C vast en deze blijkt nul te zijn: φ C = φ B θ = = 67,5 45,0 5,5 u C = u B φ,0 + θ,5 = + = Dezelfde prcedure kan nu k wrden herhaald vr punt D. Echter, dit punt zal dezelfde hrizntale verplaatsing hebben als punt C (er kmt immers niets bij), maar zal ten gevlge van de hekverandering in punt C en de buiging in de hrizntale staaf C-D verticaal verplaatsen. De hekverandering en verplaatsing laten zich eenvudig bepalen: φ D = φ C θ = = 90,0 45,5 7,5 w D = φ C,0 + θ,0 = + = Het laatste punt dat ng met wrden bekeken, is punt E. Uitgaande van punt B is k in punt E nu de zakking te bepalen: φ E = φ B + θ 4 = + = w E = φ B,0 + θ 4,0 = + = De hrizntale verplaatsing van punt E is gelijk aan die van punt B. Hiermee zijn in alle punten de verplaatsingen bepaald en kan de cnstructie wrden getekend. Dit laatste wrdt aan de lezer vergelaten. 0

17 7 Opdracht 0 Van de in de figuur gegeven cnstructie met eerst de krachtsverdeling wrden bepaald. Daarbij met erp wrden gelet dat ten gevlge van de uitwendige kppels p de cnstructie er sprngen ntstaan ter plaatse van punt D en E in de mmentenlijn. De gereduceerde mmentenlijn is in figuur 5. weergegeven. Figuur 5. nalyse Hewel de cnstructie er anders uitziet dan een ligger p twee steunpunten, is dit tch gewn een ligger p twee steunpunten. Vanwege de belasting is het geheel k ng eens symmetrisch wat k uit de mmentenlijn blijkt. lleen de verplaatsingen van de linkerhelft van de ligger heven dus te wrden bepaald. Dr eerst de nbekende hekverandering bij de linker plegging te bepalen, kunnen p elk punt de hekverandering en verplaatsing wrden bepaald. Beginnend in knp C met een ng nbekende maar psitief aangenmen hekverandering met de eis wrden gesteld dat de zakking in punt F nul is. Hieruit vlgt de hekverandering bij de linker plegging. Daarna vlgt de rest min f meer vanzelf. Oplssing De zakking in punt F met nul zijn. Met een psitief aangenmen hekverandering in punt C vlgt: w F = φ C 8,0 θ 7,0 θ 4 4,0 θ 5,0 = φ C =

18 8 Nu deze hekverandering is bepaald, kunnen de hekverandering en de zakking in punt D wrden bepaald: φ D = φ C + θ = + = w D = φ C,0 θ,0 = = Vr knp B wrdt p dezelfde wijze kmend vanuit knp C gevnden: φ B = φ C θ = = w B = φ C,0 θ,0 = = Met behulp van deze resultaten kunnen de verplaatsingen in knp wrden gevnden. In deze knp zal zwel hrizntaal als verticaal verplaatsen. Met pmerkingen [IH]: Niet vlledig! φ = φ B + θ = = u = φ B,0 + θ,0 = 4 560, = 000 w = w B = Uiteraard zal het midden van de ligger de grtste zakking vertnen, terwijl de hekverandering daar vanwege symmetrie gelijk aan nul met zijn. Ga na dat vr de zakking in het midden geldt: 080 w midden = φ C 4,0 θ,0 θ4,0 = Daarmee zijn alle verplaatsingen bepaald en kan de vervrmde cnstructie wrden getekend. Dit laatste wrdt aan de lezer vergelaten.

19 9 Mdule 5 Uitwerkingen van de tetspgaven Opgave a De verplaatsingen zijn: hekverandering φ en de zakking w. b De vervrmingsgrtheid is de krmming κ. c Het gereduceerde mmentenvlak is de M-lijn gedeeld dr de buigstijfheid van elk deel van de cnstructie. Opgave a b c ( x) wx ( ) w M = x x l M x x 6l = M l l M l 6l max = w() l = = (uiteinde) d puntlast M l p het uiteinde Opgave Figuur 5.

20 0 a Zie figuur b φ = en φ B = 0 c w C = 400 Opgave 4 5 a φ B = b w B = 645