Vrije Universiteit Brussel Faculteit Toegepaste Wetenschappen T ENE BRA S. Lineaire algebra. S. Caenepeel

Transcriptie

1 VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSEL Vrije Uiversiteit Brussel Faculteit Toegepaste Weteschappe SCI EN T I A V INCERE T ENE BRA S Lieaire algebra S. Caeepeel Syllabus bij de cursus Algebra e meetkude Eerste Kadidatuur Burgerlijk Igeieur Eerste Jaar Brugprogramma Burgerlijk Igeieur

2 Ihoudsopgave 1 Vectorruimte Reële e complexe vectorruimte Deelruimte e directe som va vectorruimte Lieaire oafhakelijkheid Basis e dimesie De eerste dimesiestellig Lieaire Afbeeldige e Matrices Lieaire afbeeldige Ker e beeld va ee lieaire afbeeldig De vectorruimte va de lieaire afbeeldige Matrices Het product va matrices Veraderig va basis De rag va ee matrix Lieaire variëteite e stelsels lieaire vergelijkige Lieaire variëteite Stelsels lieaire vergelijkige Determiate Permutaties De determiat va ee vierkate matrix De otwikkelig va de determiat volges ee rij of ee kolom

3 5 Eigewaarde e eigevectore Eigewaarde e eigevectore Diagoalizatie va ee vierkate matrix De formule va Cayley-Hamilto Euclidische ruimte Iwedige produkte Orthoormale basisse Toegevoegde lieaire afbeeldige Orthogoale lieaire afbeeldige Volume e vectorieel produkt Prehilbertruimte Prehilbertruimte Hermitische e uitaire lieaire afbeeldige Diagoalizatie va hermitische e uitaire lieaire afbeeldige Baachruimte e Hilbertruimte Isometrieë Isometrieë Classificatie va de isometrieë Kwadratische vorme e kwadrieke Bilieaire afbeeldige e kwadratische vorme Toepassig: extreme waarde va scalaire fucties Toegevoegde e siguliere pute Kwadratische fucties e kwadrieke Affiee classificatie va de kwadrieke Kwadrieke e rechte Ileidig tot de groepetheorie Groepe Symmetriegroepe

4 A Verzamelige e fucties 186 A.1 Het begrip verzamelig A.2 Bewerkige met verzamelige A.3 Fucties A.4 Ijecties, surjecties e bijecties B De complexe getalle 194 3

5 Hoofdstuk 1 Vectorruimte 1.1 Reële e complexe vectorruimte I het middelbaar oderwijs hebbe we gezie dat ee hadige maier om vlakke meetkude te bedrijve de volgede is: we voere ee (evetueel rechthoekig) coördiatestelsel i. Elk put va het vlak stemt da overee met ee koppel reële getalle (x,y). Dit levert os ee maier om met pute i het vlak te rekee : ze worde weergegeve door getalle. Dit laat os toe om meetkudige begrippe te beschrijve op ee algebraische maier. Zo wordt ee rechte bijvoorbeeld beschreve door ee vergelijkig va het type ax + by + c = 0. Ee cocept dat hieri ee cetrale rol speelt is het cocept vector: voor twee pute A e B i het vlak, otere we AB voor de vector die de pute A e B verbidt. Hierbij wordt per defiitie de overeekomst gemaakt dat twee vectore AB e CD aa mekaar gelijk zij als A, B, D e C de hoekpute va ee parallellogram zij. Idie we ee put O (de oorsprog geaamd) i het vlak fixere, da is het gemakkelijk i te zie (dit volgt uit de axioma s va Euclides) dat elke vector AB op ee uieke maier ka geschreve worde oder de vorm OP voor ee zeker put P i het vlak. Het is daarom dat we soms P = OP otere. Op deze maier krijge we ee éé-ééduidige correspodetie tusse de pute va het vlak e de vectore i het vlak, e daardoor met de koppels reële getalle: de vektor AB = OP stemt overee met het put P i het vlak, e dit komt overee met de coördiate (x,y) va P i R 2. Ee belagrijk hulpmiddel blijkt te zij het feit dat we vectore (e a fortiori ook koppels reële getalle e pute i het vlak) met mekaar kue optelle. Dit gaat als volgt: voor vectore: AB + BC = AC; voor pute i het vlak: P + Q = R als O, P, R e Q de hoekpute va ee parallellogram zij; voor koppels reële getalle: (x,y) + (x,y ) = (x + x,y + y ) 4

6 Op aaloge maier ka me vectore (pute, koppels reële getalle) vermeigvuldige met reële getalle. Deze vermeigvuldigig wordt scalaire vermeigvuldigig geoemd. Voor koppels reële getalle gaat dit als volgt: α(x,y) = (αx,αy) Deze optellig e vermeigvuldigig voldoe aa ee aatal - voor de had liggede eigeschappe. Late we deze eve opsomme, we idetificere oze vectore (of pute) vaaf u met koppels reële getalle. De verzamelig der koppels reële getalle R 2 vormt ee commutatieve groep voor de optellig: de optellig va koppels reële getalle is commutatief e associatief, (0, 0) is ee eutraal elemet voor de optellig, e elke tweetal (a,b) heeft ee tegegestelde ( a, b). Verder geldt dat de scalaire vermeigvuldigig distributief is te opzichte va de optellig: α( a + b) = α a + α b (α + β) a = α a + β a voor α, β R, a, b R 2. De vermeigvuldigig is gemegd associatief: voor α, β R, a R 2. Teslotte is α(β a) = (αβ) a 1 a = a voor alle a R 2. Dezelfde redeerig kue we volge als we meetkude i de ruimte bedrijve. Het eige verschil is dat we u met drietalle i plaats va koppels reële getalle werke. Het ligt daarom voor de had om te oderstelle dat dit i og adere situaties ka werke. Dit is iderdaad het geval, zoals we i de volgede voorbeelde zulle zie. Daarom voere we het volgede abstracte begrip i : ee vectorruimte is ee verzamelig V, uitgerust met ee optellig e ee vermeigvuldigig met reële getalle, die voldoet aa de eigeschappe hierbove opgesomd. I sommige gevalle is het uttig om ook vectorruimte te bekijke waarop ee vermeigvuldigig met complexe getalle gedefiiëerd is. Om de defiitie gee twee keer te moete schrijve otere we daarom i het vervolg K voor de reële of de complexe getalle : K = R of K = C. Bij ee eerste lezig va deze ota s is het aabevole om ekel het geval K = R te beschouwe, e dus i gedachte overal K door R te vervage. Defiitie Ee verzamelig V uitgerust met twee bewerkige + : V V V : K V V is ee vectorruimte (Eg. vector space, Fr. espace vectoriel) over K idie volgede eigeschappe gelde: V is ee commutatieve groep, d.w.z is associatief: ( a + b) + c = a + ( b + c) (1.1) voor elke a, b, c V. 5

7 2. Er is ee eutraal elemet 0 : a + 0 = 0 + a = a (1.2) voor elke a V. 3. Elke elemet a V heeft ee tegegestelde a: a + ( a) = a + a = 0 (1.3) 4. + is commutatief: a + b = b + a (1.4) voor elke a, b V. De scalaire vermeigvuldigig K V V voldoet aa de volgede eigeschappe: 1. gemegde associativiteit: (αβ) a = α(β a) (1.5) voor elke α,β K e a V ; 2. distributiviteit: α( a + b) = α a + α b (1.6) (α + β) a = α a + β a (1.7) voor elke α,β K e a, b V ; 3. 1 is eutraal elemet: 1 a = a (1.8) voor elke a V. Opmerkige ) Idie K = R, da spreke we va ee reële vectorruimte. Als K = C, da spreke we va ee complexe vectorruimte. De elemete va V worde vectore geoemd, e meestal geoteerd door letters met ee pijltje erbove; i sommige werke worde deze aageduid door ee letter i vetjes gedrukt, of door ee hoofdletter. De elemete va K worde scalaire geoemd. Wij zulle deze meestal otere door Griekse letters. 2) De aftrekkig wordt gedefiieerd door volgede formule: a b = a + ( b) 3) De volgede eigeschappe gelde i elke vectorruimte: 0 a = 0 (1.9) α 0 = 0 (1.10) (α β) a = α a β a (1.11) α a = 0 α = 0 of a = 0 (1.12) 6

8 Bewijs deze zelf als oefeig. 4) I feite hoeve we os iet te beperke tot K = R of K = C. We kue voor K eeder welk lichaam eme. Herhaal dat ee (commutatief) lichaam (ook geaamd veld, Eg. field, Fr. corps) bestaat uit ee verzamelig K uitgerust met ee optellig + e ee vermeigvuldigig. zodat volgede eigeschappe gelde: 1. K is ee commutatieve groep voor de optellig; 2. K \ {0} is ee commutatieve groep voor de vermeigvuldigig; 3.. is distributief t.o.v. +. Zo ka me bijvoorbeeld K = Q eme. Ee ader belagrijk voorbeeld is dat waar me voor K ee eidig lichaam eemt. Me ka bewijze dat voor elk priemgetal p, e voor elk atuurlijk getal er juist ee lichaam met p elemete bestaat. Dit wordt geoteerd door F p. Eidige lichame spele ee cruciale rol i de algebraische codetheorie. 5) Ee vectorruimte is ooit leeg als verzamelig, aagezie steeds 0 V. Voorbeelde ) R is ee reële vectorruimte. Optellig e vermeigvuldigig worde gegeve door: (a 1,a 2,,a ) + (b 1,b 2,,b ) = (a 1 + b 1,a 2 + b 2,,a + b ) α(a 1,a 2,,a ) = (αa 1,αa 2,,αa ) Voor = 2 e = 3 krijge we opieuw de voorbeelde die aaleidig gave tot het ivoere va vectorruimte. Als we = 1 stelle, da bekome we dat R zelf ee reële vectorruimte is. 2) C is ee complexe vectorruimte. Defiitie va optellig e vermeigvuldigig zij dezelfde als hierbove. 3) Neem ee willekeurige verzamelig A, e schrijf R A voor de verzamelig va alle fucties va A aar R. R A = { f : A R f is ee fuctie} R A is ee vectorruimte, met volgede bewerkige: voor f,g : A R e α R defiiere we f + g e α f door ( f + g)(a) = f (a) + g(a) (α f )(a) = α f (a) voor elke a A. Op aaloge maier is C A ee complexe vectorruimte. 4) We otere R[X] = {P(X) P is ee veelterm met reële coëfficiëte} voor de verzamelig der reële veelterme. R[X] is ee reële vectorruimte. Schrijf zelf de defiitie va optellig e vermeigvuldigig op. Op dezelfde maier is C[X] ee complexe vectorruimte. 7

9 5) Voor elke N otere we R [X] = {P R[X] gr(p) } voor de verzamelig der veelterme va graad te hoogste. R [X] is ee vectorruimte. 6) { 0} is ee vectorruimte. 7) Elke complexe vectorruimte is teves ee reële vectorruimte. Iderdaad, idie ee scalaire vermeigvuldigig met complexe getalle gedefiieerd is, da is ook automatisch ee scalaire vermeigvuldigig met reële getalle gedefiieerd, e het is gemakkelijk te zie dat deze voldoet aa de voorwaarde ( ). Me oemt dit restrictie va scalaire. 1.2 Deelruimte e directe som va vectorruimte We hebbe hierbove gezie dat R [X] ee vectorruimte is, e dat bovedie R [X] R[X] De bewerkige op R [X] zij hier de restricties va de bewerkige op R[X]. We zegge dat R [X] ee deelruimte is va R[X]. Defiitie Oderstel dat V ee vectorruimte is. Da is ee deelverzamelig W V ee deelvectorruimte of deelruimte (Eg. subspace, Fr. sousespace) als W met de beperkig va de som e de scalaire vermeigvuldigig op V zelf ee vectorruimte is. I de hieravolgede stellig zulle we ee gemakkelijk criterium zie om a te gaa of ee deel W va V ee deelruimte is. Vooraf herhale we eve de Σ-otatie voor ee eidige som: i=1 a i = a 1 + a a voor a i K of voor de a i vectore i ee vectorruimte V. Stellig Zij W ee iet-lege deelverzamelig va de vectorruimte V. Da zij de volgede uitsprake equivalet: 1. W is ee deelruimte va V ; 2. a, b W, α K : a + b W e α a W; 3. a, b W, α,β K : α a + β b W; 4. voor a 1,, a W e α 1,,α K geldt dat i=1 α i a i W. 8

10 Ee uitdrukkig va de vorm i=1 α i a i = α 1 a α a oeme we ee lieaire combiatie va de vectore a 1,, a. Stellig vertelt os dus dat ee deelruimte iets aders is da ee deelverzamelig die geslote is oder het eme va lieaire combiaties. Bewijs. 1) 2) 3) 4) is triviaal. 2) 1). Het volgt direct uit 2) dat W geslote is oder het eme va som e scalaire vermeigvuldigig. Het volstaat dus de voorwaarde ( ) te cotrolere. (1.1,1.4, 1.5,1.6,1.7,1.8) zij automatisch voldaa, omdat deze gelde i V. Het volstaat dus om te cotrolere dat 0 W e dat a W idie a W. Voor (1.2) volstaat het ee a W te eme (W is bij oderstellig iet leeg), e α = 0 te stelle. Voor (1.3) eme we α = 1. Voorbeelde ) { 0} e V zij steeds deelruimte va V. We oeme deze de triviale deelruimte. 2) C[a,b] = { f : [a,b] R f cotiu} is ee deelruimte va de vectorruimte R [a,b]. Iderdaad, ee lieaire combiatie va cotiue fucties is steeds cotiu. 3) Beschouw C als ee reële vectorruimte. Da is R ee deelruimte va C. 4) Als W 1 e W 2 deelruimte zij va V, da is ook W 1 W 2 ee deelruimte va V. Iderdaad, als W 1 e W 2 geslote zij oder het eme va lieaire combiaties, da is W 1 W 2 het ook. 5) Neem weer twee deelruimte W 1 e W 2 va V. Per defiitie stelle we de som W 1 +W 2 gelijk aa W 1 +W 2 = { a + b a W 1, b W 2 } Bewijs zelf met behulp va bovestaade stellig dat W 1 +W 2 ee ieuwe deelruimte va V is. Voorbeeld 4) hierbove ka veralgemeed worde, tot de doorsede va ee willekeurig (evetueel oeidig) aatal deelruimte. Herhaal eerst dat de doorsede va ee verzamelig verzamelige {A i i I} geïdexeerd door ee idexverzamelig I gegeve wordt door met adere woorde Merk op dat dit impliceert dat voor elke j I: {A i i I} = i I A i = {x x A i, i I}, x i I A i x A i, i I. i I A i A j Stellig Idie {W i i I} ee verzamelig deelruimte va ee vectorruimte V is, da is W = i I W i ook ee deelruimte va V Bewijs. We cotrolere voorwaarde 3) i stellig Neem α,β K e a, b i I W i. Da geldt voor elke i I dat a, b W i, e dus vawege voorwaarde 3) i stellig 1.2.2: α a + β b W i 9

11 Maar da is e dus voldoet i I W i aa voorwaarde 3). α a + β b i I W i Neem u ee deelverzamelig A va V die zelf (iet oodzakelijk) ee vectorruimte is, e bekijk de verzamelig {W W deelruimte va V e A W} va alle deelruimte va V die A bevatte. Deze verzamelig is zeker iet leeg, wat V zelf zit eri. Uit stellig volgt dat X = {W W deelruimte va V e A W} ee deelruimte is va V. Aagezie A zelf ee deel is va alle W die A bevatte, geldt dat A X. Dus is X de (uieke) deelruimte va V met de volgede eigeschappe: 1. A X; 2. Als A W e W ee deelruimte, da is X W. Met adere woorde, X is de kleiste deelruimte va V die A bevat. We oeme X de vectorruimte voortgebracht door A, e we otere dit als X = vct(a) We zegge ook dat de verzamelig A de vectorruimte X voortbregt. I de volgede stellig zulle we ee expliciete beschrijvig va vct(a) geve. Stellig Oderstel dat /0 A V. Da is vct(a) = { i=1 α i a i N, α i K, a i A}, met adere woorde, vct(a) is de verzamelig va alle lieaire combiaties va elemete va A. Bewijs. Stel Y de verzamelig va alle lieaire combiaties va elemete va A. Het volstaat aa te toe dat Y ee deelruimte is e aa de twee hierbove vermelde voorwaarde voldoet: 1. A Y ; 2. Als A W e W ee deelruimte, da is Y W. het is duidelijk dat Y ee deelruimte is, omdat ee lieaire combiatie va lieaire combiaties va elemete va A opieuw ee lieaire combiatie is va elemete va A is. Het is ook duidelijk dat A Y, omdat de elemete va A zelf - op triviale wijze - lieaire combiaties zij va elemete va A. Teslotte, als W ee deelruimte is va V die A bevat, da bevat deze, vawege stellig ook alle lieaire combiaties va A e dus Y. 10

12 We hebbe hierbove gezie dat de doorsede va twee deelruimte opieuw ee deelruimte is. De lezer zal zich afvrage of dit ook geldt voor de uie va twee deelruimte. Dit is iet het geval. Wel hebbe we Stellig Idie W 1 e W 2 twee deelruimte va V zij, da geldt vct(w 1 W 2 ) = W 1 +W 2 waarbij W 1 +W 2 gedefiiëerd wordt zoals i voorbeeld 5 hierbove. Bewijs. We hebbe al gezie dat W 1 +W 2 ee deelruimte is. Het volstaat dus om te bewijze dat 1. W 1 W 2 W 1 +W 2 ; 2. Als W 1 W 2 W e W ee deelruimte, da is W 1 +W 2 W. De eerste voorwaarde is duidelijk. Voor voorwaarde 2) gaa we als volgt tewerk: Oderstel W ee deelruimte die W 1 e W 2 bevat. Vawege voorwaarde 3) i stellig geldt da dat, voor elke a W 1 W, b W 2 W e α,β K dat α a + β b W e dus W 1 +W 2 W. Defiitie Beschouw twee deelruimte W 1 e W 2 va de vectorruimte V. We oeme de vectorruimte W de directe som als voldaa is aa de twee volgede voorwaarde: 1. W = W 1 +W 2 ; 2. W 1 W 2 = { 0}. We otere dit als volgt : W = W 1 W 2. Stellig W is de directe som va twee deelruimte W 1 e W 2 va de vectorruimte V als e slechts als elke elemet va W op ee uieke maier ka geschreve worde als ee som va ee elemet va W 1 e ee elemet va W 2, m.a.w. als w W,! w 1 W 1,! w 2 W 2 : w = w 1 + w 2 Bewijs. Oderstel eerst dat W = W 1 W 2. We wete reeds dat elke vector i W de som is va ee vector i W 1 e ee i W 2. We moete ekel bewijze dat deze otbidig uiek is. Oderstel dat met w 1, w 1 W 1 e w 2, w 2 W 2. Da is w = w 1 + w 2 = w 1 + w 2 w 1 w 1 = w 2 w 2 W 1 W 2 = { 0} 11

13 zodat e dus w 1 w 1 = w 2 w 2 = o w 1 = w 1 w 2 = w 2 zodat de otbidig iderdaad uiek is. Omgekeerd, oderstel dat elke vector i W de uieke som is va ee vector i W 1 e ee i W 2. Da is uiteraard W = W 1 +W 2, zodat we ekel hoeve te bewijze dat W 1 W 2 = { 0}. Als w W 1 W 2, da zij w = w + 0 w = 0 + w twee maiere om w als ee som va elemete uit W 1 e W 2 te schrijve. Derhalve is, vawege de uiciteit, w = 0. Alvores ee eevoudig voorbeeld te geve voere we de volgede otatie i: voor a V otere we K a = {α a α K} Voorbeeld R 2 = R(1,0) R(0,1) 1.3 Lieaire oafhakelijkheid Alvores dit begrip formeel te defiiëre kere we eve terug aar de meetkude i de ruimte. Bekijk twee vectore a e b. Er zij twee mogelijkhede: 1) Het ka zij dat a e b dezelfde richtig hebbe. I dit geval geldt a = α b of b = β a (we moete deze laatste mogelijkheid ook beschouwe, omdat het zou kue dat a = 0). We kue dit herschrijve als volgt: α a + β b = 0 met α 0 of β 0. We zegge i dit geval dat a e b lieair afhakelijk zij. 2) α a + β b = 0 is ekel mogelijk idie zowel α = 0 als β = 0. I dit geval zij a e b gee evewijdige vectore, e we zegge dat a e b lieair oafhakelijk zij. Neem u drie vectore a, b e c. Er zij weer twee mogelijkhede: 1) Er bestaa α,β,γ R, iet alle drie ul, zodat α a + β b + γ c = 0 12

14 I dit geval is ee va de drie vectore ee lieaire combiatie va de twee adere. Iderdaad, als bijvoorbeeld α 0, da is a = β α b γ α c e dus ligge de drie vectore a, b e c i eezelfde vlak. 2) De eige mogelijkheid opdat α a + β b + γ c = 0 is dat α = β = γ = 0. I dit geval is het dus omogelijk om ee va de drie vectore als ee lieaire combiatie va de twee adere te schrijve. De drie vectore zij da iet coplaair. Late we deze beschouwige u veralgemee. Defiitie Oderstel dat V ee vectorruimte, e dat a 1,, a V. We oeme { a 1,, a } lieair afhakelijk als er α 1,α 2,,α K bestaa, iet alle ul, zodat de lieaire combiatie de ulvector is. We kue u gemakkelijk bewijze dat i=1 α i a i = 0 Stellig { a 1,, a } is lieair afhakelijk als e slechts als ee va de vectore a 1,, a ee lieaire combiatie is va de overige. Bewijs. Idie Da is a i = α 1 a α i 1 a i 1 + α i+1 a i α a α 1 a α i 1 a i 1 a i + α i+1 a i α a = 0 met temiste de i-de coëfficiët verschilled va 0, e dus is { a 1,, a } lieair afhakelijk. Omgekeerd, oderstel dat { a 1,, a } lieair afhakelijk is. Da is i=1 α i a i = 0 met temiste éé va de coëfficëte, bijvoorbeeld α j 0. Da hebbe we dat a j = α 1 α j a α j 1 α j a j 1 α j+1 α j a j 1 α α j a (1.13) ee lieaire combiatie is va de overige vectore. Me ka de voorgaade stellig og ee beetje verfije als volgt: Stellig { a 1,, a } is lieair afhakelijk als e slechts als ee va de vectore a 1,, a ee lieaire combiatie is va de voorgaade. 13

15 Bewijs. Neem i het voorgaade bewijs de maximale idex j waarvoor α j 0 (evetueel j = ). Da wordt (1.13): a j = α 1 a 1 + α j 1 a j 1 (1.14) α j α j e dit is juist wat we hebbe moete. Defiitie De verzamelig { a 1,, a } wordt lieair oafhakelijk geoemd als ze iet lieair afhakelijk is, dus als ee lieaire combiatie i=1 ekel ul ka zij als alle coëfficiëte α i ul zij. α i a i = 0 Gevolg De volgede eigeschappe zij equivalet: 1. { a 1,, a } is lieair oafhakelijk; 2. gee ekel va de vectore a 1,, a is ee lieaire combiatie va de overige; 3. gee ekel va de vectore a 1,, a is ee lieaire combiatie va de vorige. Bewijs. Dit volgt omiddellijk uit de stellig e 1.3.3, door cotrapositie. 1.4 Basis e dimesie Defiitie Beschouw ee vectorruimte V e ee eidig deel B = { e 1, e 2,, e }. B wordt ee basis geoemd idie 1. B ee voortbreged deel va V is: vct(b) = V ; 2. B lieair oafhakelijk is. Stellig B = { e 1, e 2,, e } V is ee basis va V als e slechts als elke vector v va V op ee uieke maier ka geschreve worde als ee lieaire combiatie va de vectore e i : v V,! α 1,,α K : v = Bewijs. Oderstel eerst dat B ee basis is. Omdat B de vectorruimte V voortbregt, kue we elke vector v als ee lieaire combiatie va de e i schrijve. Oderstel u dat v = i=1 α i e i = 14 i=1 α i e i i=1 α i e i

16 Da is zodat i=1 (α i α i) e i = 0, α i α i = 0 voor elke i, omdat B lieair oafhakelijk is. Dus α i = α i, e de uiciteit is beweze. Omgekeerd, oderstel dat elke v V op ee uieke maier ee lieaire combiatie is va de vectore i B. Da is B voortbreged. Als da hebbe we α 1 e α e = 0 α 1 e α e = 0 e e = 0 e dus α 1 = α 2 = = α = 0, omdat we aders 0 op meer da ee maier als ee lieaire combiatie va de vectore i B kue schrijve. B is dus ook lieair oafhakelijk. Voorbeeld B = {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} is ee basis va R 3. Immers, voor elke (a,b,c) R 3 hebbe we (a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) zodat B voortbreged is. Bovedie impliceert a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) = (0,0,0) dat a = b = c = 0, zodat B lieair oafhakelijk. We oeme B de stadaardbasis va R 3. Schrijf zelf de stadaardbasis voor R op. Stellig Oderstel dat ee eidig deel A = { a 1, a 2,, a m } de vectorruimte V voortbregt. Da bestaat er ee basis B va V die bevat is i A. Bewijs. Idie A lieair oafhakelijk is, da valt er iets te bewijze. Idie A lieair afhakelijk is, da is ee va de a j ee lieaire combiatie va de overige. Maar da is duidelijk vct(a \ { a j }) = vct(a) = V e dus is A \ { a j } voortbreged. Weer zij er twee mogelijkhede: idie A \ { a j } lieair oafhakelijk is, da is het ee basis e is de stellig beweze. Aders kue we weer ee vector schrappe e zodoede ee voortbregede verzamelig met m 2 elemete bekome. We zette dit verder tot we ee lieair oafhakelijk stel overhoude. Dit wordt bereikt a te hoogste m stappe, wat als we m vectore schrappe, da behoude we ee voortbregede verzamelig met 0 elemete (dus de lege verzamelig). Da is V = vct(/0), e /0 is da ee basis voor V. Ee vectorruimte V die ee eidig voortbreged stel bezit (e dus ee basis bezit) wordt eidigdimesioaal geoemd. Aders oeme we V oeidigdimesioaal. I het volgede voorbeeld zulle we aatoe dat oeidigdimesioale vectorruimte wel degelijk bestaa. I deze cursus bestudere we vooramelijk eidigdimesioale vectorruimte. 15

17 Voorbeeld R[X] is ee oeidigdimesioale vectorruimte. Immers, oderstel dat ee eidig deel va R[X] is, e stel Da bevat {P 1,P 2,,P } r = max{gr(p i ) i = 1,,} vct({p 1,P 2,,P }) = { i=1 α i P i α i R} ekel veelterme va graad te hoogste r. Dus bregt {P 1,P 2,,P } iet de volledige ruimte R[X] voort. Ee vectorruimte die ee basis heeft, heeft meer da éé basis (zelfs oeidig veel). Os volged doel is te bewijze dat alle basisse va eezelfde vectorruimte hetzelfde aatal elemete hebbe. Hiervoor hebbe we eerst ee lemma odig. Lemma Als B = { e 1,, e } ee basis is voor V, e S = { v 1,, v r } ee lieair oafhakelijke verzamelig, da is r. Bewijs. Stel S 1 = { v 1, e 1,, e }. Omdat B ee basis is, is v 1 ee lieaire combiatie va de e i s, e dus is S 1 ee lieair afhakelijke verzamelig. Maar da is ee va de vectore i S 1 ee lieaire combiatie va de vorige, cf. stellig Dit ka atuurlijk iet v 1 zij, e dus is het e j voor ee bepaalde idex j. We schrappe deze e j, e oeme de ieuw bekome verzamelig B 1 : Da is vct(b 1 ) = V. Bekijk u B 1 = { v 1, e 1,, e j 1, e j+1,, e } S 2 = B 1 { v 2 } = { v 1, v 2, e 1,, e j 1, e j+1,, e } Da is vct(s 2 ) = V ; e S 2 is lieair afhakelijk, omdat v 2 ee lieaire combiatie is va de overige. Dus is ee va de vectore i S 2 ee lieaire combiatie va de vorige. Dit ka iet v 1 of v 2 zij, omdat { v 1, v 2 } lieair oafhakelijk is. Dus is het ee va de overblijvede e i s. Schrap deze. We bekome da ee voortbregede verzamelig B 2 bestaade uit v 1, v 2 e 2 vectore uit B. Idie r >, da kue we dit procédé keer herhale. We krijge da dat B = { v 1, v 2,, v } voortbreged is. Maar da is v +1 ee lieaire combiatie va v 1, v 2,, v, e dus is S lieair afhakelijk. Dit is strijdig met de oderstellig, e dus moet r. Gevolg Als B 1 = { e 1, e 2,, e } e B 2 = { f 1, f 2,, f m } twee basisse zij va de vectorruimte V, da is = m. Alle basisse hebbe dus hetzelfde aatal elemete. Bewijs. B 1 is lieair oafhakelijk e B 2 is ee basis, dus m, door voorgaade stellig. Op dezelfde maier is m omdat B 2 lieair oafhakelijk is e B 1 ee basis. 16

18 Defiitie De dimesie va ee eidigdimesioale vectorruimte V is het aatal elemete i ee basis va V. We otere dit dim(v ) = dim K (V ) = De idex K wordt weggelate idie er gee verwarrig mogelijk is. Voorbeelde ) dim R (R ) =. Iderdaad, de stadaardbasis {(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)} bevat elemete. 2) dim K (K) = 1. Iderdaad, {1} is ee basis voor K. 3) dim R (C) = 2. Iderdaad, {1,i} is ee basis va C over R. Wat is dim R (C )? 4) dim R (R [X]) = + 1. Iderdaad, de verzamelig is ee basis (ga dit zelf a). {1,X,X 2,X 3,,X } Gevolg Oderstel dat dim(v ) =. Als B ee maximaal lieair oafhakelijk deel va V is, da is B ee basis, e da bevat B elemete. Bewijs. Oderstel B = { b 1,, b k }. Vawege lemma is k. We moete bewijze dat B voortbreged is. Idie B iet voortbreged is, da bestaat er ee vector v die gee lieaire combiatie is va de vectore i B. Da is i B = { b 1,, b k, v} gee ekele vector ee lieaire combiatie va de vorige, e dus is B lieair oafhakelijk. Maar dit is strijdig met het feit dat B ee maximaal stel lieair oafhakelijke vectore was. Derhalve moet B voortbreged zij, e dus is B ee basis, e da is het aatal elemete i B juist. Gevolg Als dim(v ) =, e vct(b) = V, da bevat B temiste vectore. Bewijs. Als B ee voortbreged stel voor V is, da bevat B ee basis voor V (cf. stellig 1.4.4), e deze basis bestaat uit elemete (gevolg 1.4.7). Dus bevat B temiste elemete. Gevolg Oderstel dim(v ) =, e B V bestaade uit m elemete. m < = B iet voortbreged m > = B lieair afhakelijk Bewijs. Door cotrapositie uit gevolg e lemma We zage reeds dat elk voortbreged stel vectore va V ka beperkt worde tot ee basis. I de volgede stellig zulle we bewijze dat elke lieair oafhakelijke verzamelig ka aagevuld worde tot ee basis va V. 17

19 Stellig Oderstel dat dim(v ) =, e S = { v 1,, v m } V lieair oafhakelijk. Da bestaat er ee basis B va V die S bevat. Bewijs. Neem ee basis { e 1,, e } va V. Uit lemma volgt dat m. Bekijk u S 1 = { v 1,, v m, e 1,, e } Da is vct(s 1 ) = V, e S 1 ka beperkt worde tot ee basis; de procedure hiervoor die geschetst werd i het bewijs va stellig is de volgede: me eemt de eerste vector i de rij die ee lieaire combiatie is va de vorige, e me laat deze weg. Da eemt me uit de overblijvede vectore weer de eerste die ee lieaire combiatie is va de vorige, e me laat deze weer weg. Aagezie S lieair oafhakelijk is, wordt bij gee ekele stap ee va de vectore v i weggelate. Me bekomt dus uiteidelijk ee basis B die S bevat. Stellig Oderstel dat dim(v ) =, e dat B V bestaat uit elemete. Da hebbe we 1. B lieair oafhakelijk = B basis voor V ; 2. vct(b) = V = B basis voor V ; met adere woorde, voor ee stel va vectore volstaat het ee va de twee voorwaarde uit de defiitie te cotrolere, om a te gaa of het stel ee basis vormt. Bewijs. Oderstel eerst dat B lieair oafhakelijk is. Idie B iet voortbreged is, da bestaat ee vector v die gee lieaire combiatie va de vectore uit B is. Da is B { v} ee lieair oafhakelijk stel va + 1 elemete, e dit is strijdig met gevolg Dus is B voortbreged e daardoor ook ee basis. Oderstel dat B voortbreged is. Als B iet lieair oafhakelijk is, da is ee va de vectore va B ee lieaire combiatie va de overige. Als we deze schrappe, da houde we ee voortbregede verzamelig met 1 elemete over. Dit is weerom strijdig met gevolg Dus B moet lieair oafhakelijk zij, e dus is B ee basis. Voorbeeld We werke i de vectorruimte V = R 3. Bekijk B = { a = (1,2,3), b = (1,0,1), c = (2,3,4)} Aagezie dim(r 3 ) = 3 volstaat het a te gaa dat B lieair oafhakelijk is, om te kue besluite dat B ee basis is. Oderstel dat α a + β b + γ c = 0 Da geldt α + β + 2γ = 0 2α + 3γ = 0 3α + β + 4γ = 0 Dit lieair stelsel i α,β,γ heeft ekel α = β = γ = 0 als oplossig. Dus is B lieair oafhakelijk e dus ee basis. 18

20 Stellig Oderstel V eidigdimesioaal e W ee deelruimte va V. Da is W ook eidigdimesioaal, e dim(w) dim(v ). Als dim(w) = dim(v ), da is oodzakelijkerwijze V = W. Bewijs. Oderstel dat dim(v ) =. Als W oeidigdimesioaal, da ka aa elk eidig stel lieair oafhakelijke vectore i W steeds ee vector toegevoegd worde, met behoud va lieaire oafhakelijkheid. Iderdaad, aders is dit stel ook voortbreged, e da is het ee basis. Op die maier kue we dus ee lieair oafhakelijk stel met ee willekeurig groot aatal vectore eri costruere. Maar het is omogelijk dat V, e dus ook W ee lieair oafhakelijk stel va meer da lieair oafhakelijke vectore bevat. Dus is oodzakelijkerwijze W eidigdimesioaal. Neem ee basis voor W. De vectore i die basis zij lieair oafhakelijk i W e dus ook i V. Hu aatal is dus maximaal = dim(v ), e dus dim(w) dim(v ). Idie dim(w) = dim(v ) =, da bevat ee basis B va W vectore. Deze zij lieair oafhakelijk, e vorme dus ook ee basis voor V, vawege stellig Dus is W = vct(b) = V. 1.5 De eerste dimesiestellig Oderstel dat W 1 e W 2 twee eidigdimesioale deelruimte zij va ee vectorruimte V. We hebbe gezie dat W 1 W 2 e W 1 + W 2 ook deelruimte zij. We wete ook (stellig ) dat W 1 W 2 eidigdimesioaal is. De bedoelig va deze paragraaf is om aa te toe dat ook W 1 +W 2 eidigdimesioaal is, e ee formule op te stelle die het verbad geeft dus de dimesies va W 1, W 2,W 1 W 2 e W 1 +W 2. Eerst hebbe we het volgede eevoudig resultaat odig: Stellig Oderstel dat W ee eidigdimesioale vectorruimte is met basis B = { e 1,, e }. Neem 1 k, e stel { W1 = vct{ e 1,, e k } Da is W = W 1 W 2. W 2 = vct{ e k+1,, e } Bewijs. Het is duidelijk dat W 1 +W 2 = vct{ e 1,, e } = W. We moete dus ekel aatoe dat W 1 W 2 = { 0}, e dit gaat als volgt : oderstel dat x W 1 W 2. Da is voor zekere coëfficiëte α i K. Da is x = α 1 e α k e k = α k+1 e k α e α 1 e α k e k α k+1 e k+1 α e = 0 e dus zij alle α i = 0, omdat de e i s lieair oafhakelijk zij. Dus is x = 0. I de situatie va stellig hebbe we dat dim(w 1 ) = k e dim(w 2 ) = k. Dus geldt dat dim(w 1 ) + dim(w 2 ) = dim(w). I de volgede stellig zulle we zie dat deze formule altijd geldt voor ee directe som va vectorruimte. 19

21 Stellig Oderstel dat W 1 e W 2 twee eidigdimesioale deelruimte va W zij e dat W 1 W 2 = { 0}. Da is dim(w 1 W 2 ) = dim(w 1 ) + dim(w 2 ) Bewijs. Oderstel dat ee basis is voor W 1, e dat B 1 = { e 1,, e } B 2 = { f 1,, f m } ee basis is voor W 2. Da is dim(w 1 ) =, dim(w 2 ) = m. Het volstaat u om aa te toe dat B 1 B 2 = { e 1,, e, f 1,, f m } ee basis is voor W 1 W 2. Het is duidelijk dat B 1 B 2 ee voortbreged stel is: vct(b 1 B 2 ) = vct(b 1 ) + vct(b 2 ) = W 1 +W 2 = W 1 W 2 Bovedie is B 1 B 2 lieair oafhakelijk: idie α 1 e α e + β 1 f β m f m = 0 da is gelege i W 1 W 2. Dus is α 1 e α e = β 1 f 1 β m f m α 1 e α e = β 1 f 1 β m f m = 0 Omdat B 1 e B 2 lieair oafhakelijke verzamelige zij, moete daarom alle coëfficiëte α i e β j ul zij. Dus is B 1 B 2 lieair oafhakelijk. Stellig (Eerste dimesiestellig) Oderstel dat W 1 e W 2 twee eidigdimesioale deelruimte va ee vectorruimte V zij. Da geldt volgede formule: dim(w 1 ) + dim(w 2 ) = dim(w 1 +W 2 ) + dim(w 1 W 2 ) Bewijs. We hebbe al opgemerkt dat W 1 W 2 eidigdimesioaal is. Neem ee basis B = { e 1,, e k } va W 1 W 2. Vul deze basis aa tot ee basis B = { e 1,, e k, f 1,, f m } va W 1 (gebruik stellig ). Stel u X = vct{ f 1,, f m } 20

22 We wete da uit stellig dat We bewere u dat Aagezie (W 1 W 2 W 2 ), volstaat het te bewijze dat W 1 = X (W 1 W 2 ) (1.15) W 1 +W 2 = X W 2 (1.16) W 1 +W 2 = X + (W 1 W 2 ) +W 2 = X +W 2 X W 2 = { 0} Dit gaat als volgt: eem x X W 2. Da is x X W 1 e x W 2, zodat e x W 1 W 2 x X (W 1 W 2 ) = { 0} Dit bewijst (1.16). We combiere u alle gegeves, gebruik makede va stellig 1.5.2: (1.15) vertelt os dat dim(w 1 ) = dim(x) + dim(w 1 W 2 ) e uit (1.16) volgt dat dim(w 1 +W 2 ) = dim(x) + dim(w 2 ) Elimiatie va dim(x) geeft omiddellijk de gevraagde formule. 21

23 Hoofdstuk 2 Lieaire Afbeeldige e Matrices 2.1 Lieaire afbeeldige Defiitie Neem twee vectorruimte V e W, e ee fuctie f : V W. We oeme f ee lieaire afbeeldig of homomorfisme idie voldaa is aa ee va de volgede equivalete eigeschappe: 1. f ( a + b) = f ( a) + f ( b) e f (α a) = α f ( a), voor elke a, b V e α K; 2. f (α a + β b) = α f ( a) + β f ( b), voor elke a, b V e α,β K; 3. f ( i=1 α i a i ) = i=1 α i f ( a i ) voor elke a i V, α i K. Ee lieaire afbeeldig is dus ee afbeeldig die lieaire combiaties omzet i lieaire combiaties. Voorbeelde ) f : R 3 R 2 gedefiieerd door f (a,b,c) = (a,b) 2) f : R R gedefiieerd door f (x) = mx, waarbij m ee vast gegeve getal is. Elke lieaire afbeeldig R R is va deze vorm. Iderdaad, oderstel f : R R lieair. Da is voor elke x R. 3) f : R [X] R 1 [X] gedefiieerd door f (x) = f (x.1) = f (1)x, f (P) = P 22

24 4) f : R 2 R 2 gedefiieerd door f (x,y) = (cos(θ)x si(θ)y,si(θ)x + cos(θ)y) waarbij θ R gegeve is. Meetkudig gezie is f ee rotatie over de hoek θ i het xy-vlak. 5) f : R[X] R gedefiieerd door f (P) = Z b voor elke veelterm P, waarbij a,b R gegeve zij. a P(x)dx 6) Oderstel dat V ee vectorruimte is, e oteer i V : V V voor de idetieke afbeeldig. Deze wordt gedefiieerd door i V ( v) = v, voor elke v V. i V is steeds ee lieaire afbeeldig. Stellig Oderstel dat f : V W lieair is. Da is f ( 0) = 0. Stellig Oderstel dat f : V W e g : W X lieaire afbeeldige zij. Da is g f : V X ook ee lieaire afbeeldig. Stellig Oderstel dat f, g : V W lieaire afbeeldige zij, e dat α K. Da zij de afbeeldige f + g e α f, gedefiieerd door voor elke a V ook lieaire afbeeldige. ( f + g)( a) = f ( a) + g( a) e (α f )( a) = α f ( a) Bewijs. Bewijs zelf als oefeig de drie bovestaade stellige. Stellig Oderstel dat V = V 1 V 2 de directe som va twee vectorruimte is. Da is de afbeeldig f : V V 1 gedefiieerd door f ( v) = v 1 idie v = v 1 + v 2, met v 1 V 1 e v 2 V 2 ee lieaire afbeeldig, die voldoet aa de eigeschap f f = f. We oeme f de projectie va V op V 1 evewijdig met V 2. Bewijs. Voor v V is de otbidig v = v 1 + v 2, met v 1 V 1 e v 2 V 2 uiek, zodat de afbeeldig f welgedefiieerd is. f is lieair: als v = v 1 + v 2 e w = w 1 + w 2, met v 1, w 1 V 1 e v 2, w 2 V 2, da is v + w = ( v 1 + w 1 ) + ( v 2 + w 2 ), zodat Teslotte is f ( v + w) = v 1 + w 1 = f ( v) + f ( w) f (α v) = f (α v 1 + α v 2 ) = α v 1 = α f ( v) 23

25 2.2 Ker e beeld va ee lieaire afbeeldig Defiitie Voor ee lieaire afbeeldig f : V W tusse twee vectorruimte V e W otere we Ker( f ) = f 1 { 0} = { x V f ( x) = 0} (2.1) Im( f ) = f (V ) = { f ( x) x V } (2.2) We oeme Ker( f ) de ker e Im( f ) het beeld va de lieaire afbeeldig f. Stellig Ker( f ) is ee deelruimte va V e Im( f ) is ee deelruimte va W. Bewijs. Als a, b Ker( f ) e α,β K, da is f (α a + β b) = α f ( a) + β f ( b) = 0 e hieruit volgt dat ook α a+β b Ker( f ). Op aaloge maier kue we aatoe dat ee lieaire combiatie va twee vectore i het beeld va f og steeds i het beeld va f ligt. I de volgede stellig zulle we ijectieve lieaire afbeeldige karakterisere aa de had va hu ker. Herhaal dat ee afbeeldig f : A B tusse twee verzamelige ijectief geoemd wordt als geldt dat gee twee verschillede elemete va A hetzelfde beeld kue hebbe a, a A : f (a) = f (a ) = a = a Stellig Voor ee lieaire afbeeldig f : V W zij de volgede uitsprake equivalet: 1. f is ijectief; 2. Ker( f ) = { 0}; 3. Het beeld oder f va ee stel lieair oafhakelijke vectore i V is lieair oafhakelijk i W. Bewijs is duidelijk, aagezie f ( x) = 0 = f ( 0) per defiitie impliceert dat x = Oderstel dat Ker( f ) = { 0}. Als f ( a) = f ( b), da is f ( a b) = 0, e dus a b Ker( f ), e a = b Oderstel dat { a 1,, a } lieair oafhakelijk is i V. Als u da geldt, vawege de lieariteit va f ; i=1 α i f ( a i ) = 0 f ( ) α i a i = 0 i=1 24

26 zodat wat Ker( f ) = { 0}. Maar da moet i=1 α i a i = 0 α 1 = = α = 0 omdat de a i lieair oafhakelijk zij. Dus is { f ( a 1 ),, f ( a )} lieair oafhakelijk i W Oderstel dat het beeld va ee lieair oafhakelijk stel vectore i V lieair oafhakelijk is i W. Neem a 0. Da is { a} lieair oafhakelijk i V, e dus { f ( a)} lieair oafhakelijk i W, e f ( a) 0. A fortiori Ker( f ) = { 0}. Ee afbeeldig f : A B wordt surjectief geoemd idie elk elemet va B het beeld is va ee elemet uit A: b B, a A : f (a) = b Voor surjectieve lieaire afbeeldige hebbe we ee eigeschap die aaloog is aa stellig 2.2.3: Stellig Voor ee lieaire afbeeldig f : V W zij de volgede uitsprake equivalet: 1. f is surjectief; 2. Im( f ) = W; 3. Als vct(a) = V, da is vct( f (A)) = W. Bewijs is triviaal volgt uit de volgede redeerig: voor A V geldt vct( f (A)) = { i=1 α i f ( a i ) α i K, a i A} = { f ( ) α i a i αi K, a i A} i=1 = f (vct(a)) zodat f surjectief e vct(a) = V implicere dat vct( f (A)) = f (V ) = W. Omgekeerd, als vct(a) = V impliceert dat vct( f (A)) = W, da volgt uit vct(v ) = V dat f (V ) = vct( f (V )) = W. Ee afbeeldig die tegelijkertijd ijectief e surjectief is wordt bijectief geoemd. Me ka aatoe dat f : A B ee bijectie is als e slechts als er ee afbeeldig g : B A bestaat zodaig dat g f = i A e f g = i B. We otere da g = f 1, e oeme g de iverse va f. Merk op dat voor a A, b B geldt: f 1 (b) = a f (a) = b (2.3) Defiitie Ee bijectieve lieaire afbeeldig oeme we ook ee isomorfisme. Als er ee isomorfisme bestaat tusse twee vectorruimte V e W da zegge we dat deze twee vectorruimte isomorf zij, e we otere dit door V = W. 25

27 Stellig Als f : V W ee isomorfisme is, da is het beeld va elke basis va V ee basis va W. Bijgevolg hebbe (eidigdimesioale) isomorfe vectorruimte dezelfde dimesie. Bewijs. Dit volgt omiddellijk uit de twee voorgaade stellige e Stellig Als f : V W ee isomorfisme, da is ook de iverse afbeeldig f 1 : W V ee isomorfisme. Bewijs. We hoeve ekel aa te toe dat f 1 lieair is: voor elke α, β K e w 1, w 2 W hebbe we f 1 (α w 1 + β w 2 ) = f 1( α f ( f 1 ( w 1 )) + β f ( f 1 ( w 2 )) ) = f 1( f ( α f 1 ( w 1 ) + β f 1 ( w 2 ) )) = α f 1 ( w 1 ) + β f 1 ( w 2 ) Stellig Als f : V W e g : W X isomorfisme zij, da is ook g f : V X ee isomorfisme. Bewijs. Oefeig Stellig Voor elke vectorruimte V is i V : V V ee isomorfisme. Bewijs. Oefeig Merk op dat de drie voorgaade eigeschappe os vertelle dat de relatie isomorf metëe equivaletierelatie is. Oderstel u dat V ee eidigdimesioale vectorruimte is, met basis E = { e 1, e 2,, e } We zulle vaaf u impliciet aaeme dat de volgorde va de elemete va E vastligt - i pricipe was dit tot u toe iet zo, aagezie E ee verzamelig is - e E ee geordede basis oeme. Bekijk u de volgede afbeeldig f : V R. Voor elke v V bestaat er ee uiek -tal (α 1,α 2,,α ) zodaig dat We stelle v = i=1 α i e i f ( v) = (α 1,α 2,,α ) e oeme (α 1,α 2,,α ) de coördiate va v te opzichte va de geordede basis E. Om redee die verderop duidelijk zulle worde otere we de elemete va het -tal (α 1,α 2,,α ) 26

28 soms liever i ee kolom: α 1 α (α 1,α 2,,α ) = 2. We zulle ook volgede otatie gebruike: α 1 α f ( v) = [ v] E = 2. Stellig Voor elke -dimesioale vectorruimte V met geordede basis E geldt dat [ ] E : V K : v [ v] E ee isomorfisme is. α α Bewijs. Oefeig Stellig heeft als belagrijk gevolg dat de eidigdimesioale vectorruimte op isomorfie a door hu dimesie geklasseerd worde: Gevolg Als dim(v ) = dim(w) =, da is V = W = R We hebbe gezie dat het bestaa va ee isomorfisme f : V W impliceert dat V e W dezelfde dimesie hebbe. Wat kue we zegge als er ee lieaire afbeeldig f : V W gegeve is. Het atwoord wordt gegeve door de volgede stellig, ook beked als de tweede dimesiestellig: Stellig (Tweede dimesiestellig) Oderstel dat V ee eidigdimesioale vectorruimte is, e f : V W lieair. Da is dim(ker( f )) + dim(im( f )) = dim(v ) Bewijs. Omdat V eidigdimesioaal is wete we dat ook Ker( f ) eidigdimesioaal is (cf. stellig ). Neem ee basis { v 1,, v k } va Ker( f ), e vul deze aa tot ee basis { v 1,, v k, v k+1,, v } va V (stellig ). Stel u X = vct{ v k+1,, v }, da geldt vawege stellig dat V = Ker( f ) X 27

29 Bekijk u de beperkig va de fuctie f tot X: We bewere dat g ee isomorfisme is: g is ijectief: voor elke x X geldt: g = f X : X Im( f ) g( x) = 0 = f ( x) = 0 = x Ker( f ) X = { 0} e dus is Ker(g) = { 0}. g is surjectief: eem y Im( f ). Da bestaat er ee x V zodaig dat f ( x) = y. Als we zoude wete dat x X, da is het gestelde beweze. I het algemee is x / X, maar wel hebbe we dat x = x 1 + x 2 met x 1 Ker( f ) e x 2 X. Hieruit volgt dat y = f ( x) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) = f ( x 2 ) = g( x 2 ) aagezie x 2 X. Dit toot aa dat g surjectief is. Uit het bovestaade volgt u dat dim(v ) = dim(ker( f )) + dim(x) = dim(ker( f )) + dim(im( f )) e dit bewijst oze stellig. Gevolg Oderstel dat V e W vectorruimte zij met dezelfde dimesie, e dat f : V W ee lieaire afbeeldig. Volgede eigeschappe zij equivalet: 1. f is ee isomorfisme; 2. f is ijectief; 3. f is surjectief. Bewijs e zij triviaal Als f ijectief is, da heeft Ker( f ) = { 0} dimesie 0, e da volgt uit voorgaade stellig dat dim(im( f )) = dim(v ) = dim(w) e dus moet Im( f ) =W, vawege stellig Dus f is surjectief, e daardoor ee isomorfisme Als f surjectief is, da is dim(im( f )) = dim(w) = dim(v ) e dus is dim(ker( f )) = 0 vawege de vorige stellig. Maar da is Ker( f ) = { 0}, e dus is f ook ijectief, e daardoor ee isomorfisme. We beëidige deze paragraaf met eige termiologie - die we verderop iet meer zulle gebruike. Zoals reeds vermeld wordt ee lieaire afbeeldig ook ee homomorfisme geoemd. Ee lieaire surjectie wordt ook epimorfisme geoemd, e ee lieaire ijectie ee moomorfisme. Ee edomorfisme is ee lieaire afbeeldig va ee vectorruimte aar zichzelf, e ee automorfisme ee isomorfisme va ee vectorruimte aar zichzelf. 28

30 2.3 De vectorruimte va de lieaire afbeeldige Oderstel dat V e W vectorruimte zij. De verzamelig va alle lieaire afbeeldige va V aar W zulle we otere door Hom K (V,W) = { f W V f is ee lieaire afbeeldig} De idex K wordt weggelate idie er gee verwarrig mogelijk is. Uit stellig e stellig volgt omiddellijk dat Stellig Hom K (V,W) is ee deelruimte va W V. I het vervolg zulle we ee beschrijvig geve va Hom K (V,W) idie V e W eidigdimesioaal zij. Uit stellig volgt dat de samestellig va fucties ee afbeeldig : Hom K (V,W) Hom K (W,X) Hom K (V,X) defiieert, voor elke drietal vectorruimte V, W e X. Idie V = W = X, da krijge we dus ee afbeeldig : Hom K (V,V ) Hom K (V,V ) Hom K (V,V ) Hom K (V,V ) voldoet aa de volgede eigeschappe: 1. Hom K (V,V ) is ee vectorruimte; 2. is associatief; 3. i V f = f i V = f, voor elke f Hom K (V,V ); 4. is distributief te opzichte va +: f (g + h) = ( f g) + ( f h) ( f + g) h = ( f h) + (g h) voor alle f, g, h Hom K (V,V ) We vatte deze eigeschappe same door te zegge dat Hom K (V,V ) ee K-algebra is. 2.4 Matrices De matrix va ee lieaire afbeeldig Oderstel dat V e W vectorruimte zij, e dat E = { e 1,, e } 29

31 ee basis voor V is. Neem u ee lieaire afbeeldig f : V W. We merke eerst op dat f volledig bepaald is door het geve va de beelde va de basisvectore. Iderdaad, als we f ( e 1 ),, f ( e ) kee, da kee we voor elke v = i=1 x i e i ook f ( v) = i=1 x i f ( e i ) Oderstel u bovedie dat W eidigdimesioaal is, met basis F = { f 1,, f m } Elk va de vectore f ( e i ) wordt gegeve door zij m coördiate te opzichte va de basis F. De lieaire afbeeldig f is dus volledig bepaald als we de m coördiate va de beelde va de basisvectore va V kee. We moete dus i het totaal m getalle kee om de lieaire afbeeldig f volledig te bepale. We otere deze m getalle i ee tabel met m rije e kolomme, waarbij we de volgede overeekomst make : i de i-de kolom va de tabel schrijve we de m coördiate va het beeld va de i-de basisvector e i. We oeme deze tabel de matrix va de lieaire afbeeldig f te opzichte va de basisse E e F, e we otere dit als volgt: a 11 a 12 a 1i a 1 a [ f ] E,F = 21 a 22 a 2i a (2.4) Formule (2.4) beteket dus dat, voor i = 1,, : e dus, voor v = i=1 x i e i a m1 a m2 a mi a m f ( e i ) = a 1i f 1 + a 2i f a mi f m (2.5) = m a ji f j j=1 f ( v) = = = x i f ( e i ) i=1 m i i=1x j=1 m ( j=1 i=1 a ji f j a ji x i ) f j (2.6) De coördiate va f ( v) zij dus a 11 x 1 + a 12 x a 1 x a 11 a 12 a 1 x 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2 x. = a 21 a 22 a 2 x (2.7) a m1 x 1 + a m2 x a m x 30 a m1 a m2 a m x

32 Met adere woorde als we de coördiate va v otere door X, e de matrix [ f ] E,F va de lieaire afbeeldig f door A da worde de coördiate va f ( v) gegeve door AX. We hebbe de coördiate va v hier geschreve als ee kolom, die we ook als ee matrix kue beschouwe (ee matrix met slechts éé kolom). Als we overeekome dat we matrices door hoofdletters zulle voorstelle, da rechtvaardigt dit de otatie X voor de coördiate va v. Het product va de matrices A e X wordt da per defiitie gegeve door (2.7). Verderop zulle we deze defiitie veralgemee. De matrix a 11 a 12 a 1 a A = 21 a 22 a 2... a m1 a m2 a m wordt ee m -matrix geoemd (m rije e kolomme). Het is de gewoote om als eerste idex de rijidex te eme, e als tweede idex de kolomidex. De verzamelig va alle m matrices wordt als volgt geoteerd: M m (K) = {A A is ee m matrix} De vermeldig (K) wordt soms weggelate, idie er gee verwarrig mogelijk is. Ee adere veelgebruikte otatie hiervoor is K m. Idie f e g twee lieaire afbeeldige zij, met matrices A e B, met elemete respectievelijk a i j e b i j, da is het gemakkelijk om aa te toe dat de matrix va de lieaire afbeeldig f + g a i j + b i j als elemete heeft. Op dezelfde maier zie we dat de matrix va α f αa i j als elemete heeft. Vadaar de volgede defiitie voor de som e de scalaire vermeigvuldigig va m - matrices: a 11 a 12 a 1 b 11 b 12 b 1 a 21 a 22 a b 21 b 22 b 2... = a m1 a m2 a m b m1 b m2 b m a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1 + b 1 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2 + b 2... e a m1 + b m1 a m2 + b m2 a m + b m a 11 a 12 a 1 αa 11 αa 12 αa 1 a α 21 a 22 a 2... = αa 21 αa 22 αa 2... a m1 a m2 a m αa m1 αa m2 αa m Met deze otaties hebbe we de volgede eigeschap: 31

33 Stellig M m, (K) is ee vectorruimte, e de afbeeldig [ ] E,F : Hom K (V,W) M m, (K) is ee isomorfisme. Bovedie geldt dat dim(m m, (K)) = dim(hom K (V,W)) = m Bewijs. Bewijs zelf als oefeig dat M m, (K) ee vectorruimte is. Hierbove toode we reeds aa dat [ ] E,F lieair e bijectief is. Late we teslotte ee basis zoeke voor M m, (K). Neem voor E i j de matrix die op plaats (i, j) ee 1 staa heeft, e ee 0 op alle adere plaatse: E i j = kolom j rij i Voor ee matrix A = (a i j ) hebbe we u dat A = m i=1 a i j E i j j=1 zodat {E i j i = 1,,m, j = 1,,} M m, (K) voortbregt. Het is gemakkelijk te bewijze dat de E i j ook lieair oafhakelijk zij. Voorbeelde ) Ee lieaire afbeeldig f : R R is volledig gegeve door het beeld va 1 R, aagezie f (α) = α f (1), voor elke α R. Als f (1) = (a 1,a 2,,a ), da is de matrix va f te opzichte va de basisse {1} e de stadaardbasis {(1,0,,0),(0,1,,0),,(0,0,,1)} de kolomvector a 1 a 2. M 1 a 2) Oderstel dat E = { e 1, e 2,, e } ee basis is va de vectorruimte V. De matrix va ee lieaire afbeeldig f : V R te opzichte va de basisse E e {1} wordt gegeve door de rijvector waarbij a i = f ( e i ). (a 1 a 2 a ) 32

34 3) Beschouw de vectorruimte R 2, e idetificeer deze met het vlak door middel va ee (orthoormaal) assestelsel. Wat is de matrix va de rotatie f va het vlak rod de oorsprog over ee hoek θ? Met behulp va ee tekeig zie we gemakkelijk i dat f ( e 1 ) = cos(θ) e 1 + si(θ) e 2 f ( e 2 ) = si(θ) e 1 + cos(θ) e Het product va matrices Oderstel dat V, W e X vectorruimte zij, e dat E = { e 1, e 2,, e }, F = { f 1, f 2,, f m } e G = { g 1, g 2,, g r } basisse zij voor respectievelijk V, W e X. Beschouw twee lieaire afbeeldige f : V W e g : W X. Oderstel verder dat a 11 a 12 a 1 a [ f ] E,F = A = 21 a 22 a 2... e a m1 a m2 a m b 11 b 12 b 1m b [g] F,G = B = 21 b 22 b 2m... b r1 b r2 b rm Zoals we reeds gezie hebbe is de samestellig g f : V X ee ieuwe lieaire afbeeldig. Wat is de matrix va deze ieuwe lieaire afbeeldig, m.a.w, wat is [g f ] E,G? Om deze vraag te beatwoorde moete we de coördiate kee va de beelde va de basisvectore va V. We wete dat (cf. (2.5)) e, aaloog, waaruit volgt dat f ( e i ) = g( f j ) = (g f )( e i ) = = m a ji f j j=1 r b k j g k k=1 m r j=1 k=1 a ji b k j g k r m b k j a ji ) g k k=1( j=1 33

35 Hiermee hebbe we aagetood dat [g f ] E,G de r matrix C is met compoete c ki = m b k j a ji j=1 voor k = 1,,r, i = 1,,. Vadaar de volgede defiitie: Defiitie Oderstel dat B M(K) rm e A M(K) m, met elemete b k j e a ji, zoals hierbove. Per defiitie is het product BA va de matrices B e A de r matrix met elemete voor k = 1,,r, i = 1,,. c ki = We hebbe da ook omiddellijk de eigeschap m b k j a ji j=1 Stellig Als V,W e X eidigdimesioale vectorruimte zij met basisse respectievelijk E, F e G, e f : V W, g : W X lieaire afbeeldige zij, da geldt dat de matrix va de samestellig g f gegeve wordt door het product va de matrices va g e va f : [g f ] E,G = [g] F,G [ f ] E,F Gevolg Het product va matrices is associatief Bewijs. Twee mogelijke bewijze zij mogelijk: ofwel past me stellig toe, e beroept me zich op de associativiteit va de samestellig va afbeeldige, ofwel bewijst me de eigeschap rechtstreeks uit de defiitie. Opmerkige ) Merk op dat ekel het product va ee m e ee r-matrix allee gedefiieerd is als = ; 2) Me ka defiitie ook als volgt bekijke: om het elemet met idices k e i va het product va de matrices B e A te berekee, eemt me de k-de rij va B, e me vermeigvuldigt deze met de i-de kolom va A. 3) Idie B e A beide -matrices zij, da is zowel BA als AB gedefiieerd. Beide producte zij echter meestal iet gelijk, met adere woorde het product va matrices is iet commutatief. Dit blijkt uit het volgede eevoudige voorbeeld: ( )( ) ( ) = ( )( ) ( ) =