De Stelling van Lamperti

Transcriptie

1 Y.A. Peeters De Stellig va Lamperti Bachelorscriptie, 24 jui 2015 Begeleider: Dr. M.F.E. de Jeu Mathematisch Istituut, Uiversiteit Leide

2

3 Ihoudsopgave 1 Voorwoord 2 2 Ileidig Hoofdstellig Voorbeelde Reguliere verzameligsisomorfisme Defiitie Eigeschappe Voorbeelde Geïduceerde trasformatie Voorbereidige Uitbreidig Voorbeelde Lamperti Clarkso lemma Eerste deel Tweede deel Bewijs stellig Rado Nikodym stellig Va rechts aar liks Va liks aar rechts Bibliografie 33 1

4 1 Voorwoord I deze scriptie wordt ee stellig behadeld va de wiskudige Joh W. Lamperti [1]. De stellig laat op ee verrassede maier zie hoe isometrieë tusse L p -ruimte zich late beschrijve. Hierbij spele bepaalde afbeeldige, de reguliere verzameligsisomorfisme, ee belagrijke rol. De stellig zegt dat isometrieë i de zogeaamde Lampertivorm te schrijve zij als 1 p < e p 2. Het zal blijke dat voor het geval p 2 isometrieë bestaa die zich iet zo makkelijk late beschrijve. Dit is ituïtief i te zie door isometrieë op R 2, p te beschouwe. Ee isometrie moet de eeheidscirkel voor de p-orm op zichzelf afbeelde. Voor p > 2 e 1 p < 2 is de eeheidscirkel vierkatvormig e bestaa beperkte mogelijkhede voor ee symmetrie e dus ook voor ee isometrie. Als p 2, da is de verzamelig symmetrieë overaftelbaar e zal ee isometrie dus iet altijd dezelfde eigeschappe hebbe als waeer p 2. Deze scriptie is bedoeld voor wiskudige die beked zij met maattheorie. De broe waarop deze scriptie gebaseerd is, zij vooramelijk [1] e [2]. Bija alle ideeë zij afkomstig va deze broe, echter iet alle uitwerkige. 2

5 2 Ileidig De isometrieë, geoteerd met U, die hier besproke zulle worde, zij lieaire, ormbewarede afbeeldige tusse L p 1 e Lp 2 waar geldt L p i Lp Ω i, Σ i, µ i, i 1, 2. Hier zij Ω i het uiversum, Σ i de σ-algebra e µ i de maat behored bij de i-de maatruimte. Voor i 1, 2 geldt da teves / L p i Lp i waar µi de equivaletierelatie µ i -bija overal gelijk is e L p i de verzamelig is va p-itegreerbare fucties, reëel- of complexwaardige, op Ω i. Als L p 1 e Lp 2 worde beschouwd als vectorruimte, wordt aageome dat ze over hetzelfde lichaam F zij. Alle mate die besproke zulle worde, zij σ-eidig. µi, 2.1 Hoofdstellig Om te begie volgt hier formeel de stellig [1, 2]. Stellig 2.1 Lamperti, Zij U ee lieaire isometrie va L p Ω 1, Σ 1, µ 1 aar L p Ω 2, Σ 2, µ 2 met 1 p < e p 2. Da bestaa ee regulier verzameligsisomorfisme T va Σ 1 aar Σ 2 e ee fuctie h gedefiieerd op Ω 2 zodaig dat Uf h T 1 f 1 waar T 1 de lieaire trasformatie geïduceerd door T is e h voldoet aa h p dµ 1 T 1 dµ 2 dµ 2 µ 1 A 2 dµ 2 voor alle A Σ 1. Omgekeerd, als h zoals i 2 is e T ee regulier verzameligsisomorfisme is, da is U zoals i 1 ee lieaire isometrie. De vorm va U i 1 heet de Lampertivorm. Het zal i het volgede hoofdstuk duidelijk worde wat ee regulier verzameligsisomorfisme precies is. Eerst volge drie voorbeelde, waarbij i de eerste twee de hoofdstellig wordt toegepast. Het derde is ee tegevoorbeeld voor p2. I dat laatste voorbeeld wordt ee propositie gebruikt die pas verderop beweze wordt. 2.2 Voorbeelde Voorbeeld 2.2. De stellig geeft aa dat voor bepaalde lieaire trasformaties T 1 ee fuctie h bestaat zodaig dat Uf h T 1 f ormbewared is. De lieariteit va U volgt uit de lieariteit va T 1. De trasformaties T 1 waarvoor dit geldt, zij de trasformaties die geïduceerd worde door ee regulier verzameligsisomorfisme. Laat L p 1 Lp 2 met p 1. Zij da Ω i R >0 het uiversum, 3

6 Σ i BR >0 de bijbehorede Borel σ-algebra [3, Defiitio 6.1] e µ i λ de Lebesgue-Borel maat [3, Defiitio 6.3]. Da zal blijke dat T 1 ft f t ee lieaire trasformatie va BR >0 -meetbare fucties is die geïduceerd wordt door ee regulier verzameligsisomorfisme. Er bestaat ee fuctie h zodaig dat Uf h T 1 formbewared is. Daarvoor ka het volgede geprobeerd worde: ht ct α. Aagezie de maattheoretische itegraal overeekomt met de Riemaitegraal [3, Corollary 16.5], moete α e c zodaig zij dat geldt 0 ct α f t p dt Als s t, da dt 2sds e dus volgt 0 Hieruit volgt dat c t α f t p dt voldoe e dat bijvoorbeeld de fuctie zodaig is dat U ormbewared is. 0 0 c ± 1 p 2 e α 1 2p ht 1 2p 4t Voorbeeld 2.3. Zij wederom p 1 e stel dat 0 ft p dt. 2s c s 2α fs p ds 2 c p s 2αp+1 fs p ds. L p 1 : Lp N, PN, µ e L p 2 : Lp M, PM, µ de maatruimte zij met µ de telmaat e N e M eidige verzamelige va e m elemete, respectievelijk, met m. Da geldt L p 1 F, p e L p 2 Fm, p waar p de eidige p-orm. Da is ee lieaire trasformatie T 1 te schrijve als ee matrixvermeigvuldigig. Zoals i Voorbeeld 2.2 werd geoemd, moet ee regulier verzameligsisomorfisme T bestaa zodaig dat T 1 geïduceerd wordt door T. Stel dat T 1 a ij i,j zodaig is dat geldt a ij {0, 1}, j : m a ij 1 e i : i1 a ij 1. Met adere woorde, T 1 bestaat uit ee e ulle e iedere kolom heeft mistes éé iet-ul elemet e iedere rij hoogstes éé. Later zal duidelijk worde j1 4

7 dat T 1 ee zo trasformatie is die geïduceerd wordt door ee regulier verzameligsisomorfisme. Da wordt de j-de kolomsom als volgt geoteerd: kj m a ij. i1 Verder is li de volgede idexfuctie: { q als aiq 1, li 0 als j : a ij 0. Da bestaa er precies kj i s zodaig dat li j > 0. Met de afspraak dat x 0 0 geldt,volgt j1 a 1jx j x l1 T 1 x... j1 a mjx j x lm De vermeigvuldigig i 1 is i dit geval compoetsgewijs. Laat k0 1, als da geldt 1/p 1 ± kl1 h., 1/p 1 ± klm da blijkt Ux h T 1 x ormbewared te zij vawege het volgede argumet: h T 1 x p p m i1 x li p kli j1 kj x j p kj x j p x p p. j1 Voorbeeld 2.4. Laat p 2 e L 2 1 L 2 2 L 2 [0, 1], B[0, 1], λ, met B e λ zoals i Voorbeeld 2.2. Defiieer da U als volgt: f2t + f1 2t als 0 t < 1/2, 2 Uft f2t 1 + f2 2t als 1/2 t 1. 2 Stel verder dat de spiegelig va f, geoteerd met f, als volgt is: f t : f1 t. Neem s 1 t, da dt dt e f f1 t 2 dt 0 fs 2 ds fs 2 ds f 2 2.

8

9 Defiitie 3.1. Ee afbeeldig T va Σ 1 aar Σ 2 die voldoet aa i T Ω 1 \A T Ω 1 \ voor alle A Σ 1, ii T 1 A 1 T A voor alle oderlig disjucte rije {A } i Σ 1, e iii µ 2 0 da e slechts da als µ 1 A 0, heet ee regulier verzameligsisomorfisme. De relaties worde modulo ulverzamelige beschouwd. Met beschouwd modulo ulverzamelige wordt bedoeld dat voor A, B Σ i geldt A B modulo ulverzamelige µ i A\B µ i B\A 0. Dit zal i het vervolg altijd zo worde beschouwd. Op gelijke wijze zal met A B impliciet µ i A\B 0 bedoeld worde, met A impliciet µ i A 0, ezovoort. 3.2 Eigeschappe Uit Defiitie 3.1.iii volgt direct dat T. Daardoor volgt dat Defiitie 3.1.ii ook geldt voor eidige rije {A } N 1, eem amelijk A voor alle > N. Verder laat het volgede lemma zie dat T deelverzamelige behoudt. Lemma 3.2. Zij A, B Σ 1. Als A B, da T B. Bewijs. Er geldt B B\A A e weges Defiitie 3.1 volgt e dus T B. T B T B\A, Defiitie 3.1.ii geldt ook voor iet-disjucte vereigige. Om tot dit resultaat te kome, moet eerst ee aatal lemma s worde beweze. N Lemma 3.3. Zij {A } N 1 ee eidige rij i Σ 1, da geldt T 1 A N 1 T A. Bewijs. Voor A, B Σ 1 geldt A, B A B e weges Lemma 3.2 geldt ook, T B T A B, e volgt daaruit T B T A B. Weges B\A B e wederom Lemma 3.2 geldt T B\A T B e dus T B\A T B, 7

10 waar liks vawege Defiitie 3.1 iets aders staat da T A B. Dus moet T B T A B gelde als gevolg va de wederzijdse iclusie. Dit argumet ka herhaald worde e dat levert het geweste resultaat. Ee gelijksoortig resultaat bestaat voor doorsedes. Lemma 3.4. Voor iedere eidige rij {A } N 1 i Σ 1 geldt T N 1 T A. N 1 A Bewijs. Laat A, B Σ 1, da geldt T A B T Ω 1 \A c B c T Ω 1 \T A c B c T Ω 1 T A c T B c T Ω 1 T Ω 1 \ T Ω 1 \T B T B, waar bij Defiitie 3.1.i wordt toegepast, bij Lemma 3.3 e bij, T B T Ω 1 wordt gebruikt, wat volgt vawege Lemma 3.2. Uit voorgaade volgt dat ee regulier verzameligsisomorfisme relatieve complemete ook behoudt. Lemma 3.5. Voor alle A, B Σ 1 geldt T A\B \T B. Bewijs. Er geldt T A\B T A B c T Ω 1 \B T Ω 1 \T B \T B. Hier wordt bij Lemma 3.4 toegepast, volgt uit Defiitie 3.1.i e bij T Ω 1 wordt gebruikt, wat volgt vawege Lemma 3.2. Nu is geoeg voorhade om het aaloge va Defiitie 3.1.ii voor iet oodzakelijk disjucte vereigige aa te toe. Propositie 3.6. Zij {A } ee willekeurige rij i Σ 1, da geldt T 1 A 1 T A. 8

11 Bewijs. Defiieer de rij {B } als volgt: Da geldt amelijk Daaruit volgt T A 1 B : A \A 1 A 1. B A. 1 1 T B 1 T B 1 T A \ A 1... A 1 1 T A \ T A 1 T A 1 1 T A, 1 waar bij Defiitie 3.1.ii wordt toegepast e bij Lemma 3.5 e Lemma 3.3. Wederom bestaat ee gelijksoortig resultaat voor doorsedes. Gevolg 3.7. Zij {A } ee willekeurige rij i Σ 1, da geldt T 1 A 1 T A. Bewijs. Zij {A } ee rij i Σ 1, da geldt c A A e daardoor: T A 1 1 T 1 1 A c c T Ω 1 T A c 1 T A, 1 1 T Ω 1 \T A c waar bij Defiitie 3.1.i e Propositie 3.6 worde gebruikt e bij ogees Defiitie 3.1.i wordt gebruikt. 9

12 Ee ader eigeschap va T is dat T disjucte verzamelige afbeeldt op disjucte verzamelige. Om dit resultaat te bereike moet eerst de ijectiviteit va T worde aagetood. Lemma 3.8. Ieder regulier verzameligsisomorfisme T is modulo ulverzamelige ijectief. Bewijs. Stel dat A, B Σ 1 met T B. Da geldt \T B T A\B vawege Lemma 3.5. Weges Defiitie 3.1.iii volgt da dat A\B ee µ 1 -ulverzamelig is. Met adere woorde, A\B. Op gelijke wijze volgt B\A e is T modulo ulverzamelige iderdaad ijectief. Dit wordt vervolges toegepast i de laatste eigeschap va T die behadeld wordt. Propositie 3.9. Zij A, B Σ 1, da geldt T B da e slechts da als A B. Bewijs. : Als T B, da geldt vawege Lemma 3.4 T B T A B e als gevolg va de ijectiviteit va T geldt A B. : Dit volgt direct uit het Lemma 3.4 e T. 3.3 Voorbeelde Voordat de trasformatie wordt besproke die T iduceert, wordt eerst ee aatal voorbeelde bekeke. Voorbeeld Stel dat de maatruimte zij zoals i Voorbeeld 2.2. Da ka ee regulier verzameligsisomorfisme putsgewijs worde gedefiieerd, bijvoorbeeld als volgt: {t 2 : t A}. Defiitie 3.1.i e 3.1.ii volge vrij direct vawege de putsgewijze defiitie e het bijectief zij va t t 2. Defiitie 3.1.iii is af te leide met behulp va de Rado Nikodym stellig [3, Theorem 17.10]. De dichtheidsfucties zij amelijk dλ T 1 dλ 1 2 t e dλ dλ T 1 2t. De formele formulerig va de Rado Nikodym stellig, Stellig 6.3, zal verderop volge. 10

13 Voorbeeld Stel dat de maatruimte zij zoals i Voorbeeld Stel teves dat Φ ee homeomorfisme va R >0 aar zichzelf is zodaig dat Φ e Φ 1 differetieerbaar zij, da is T va de vorm {Φ 1 t : t A} ee regulier verzameligsisomorfisme. Op gelijke wijze als i Voorbeeld 3.10 wordt aa Defiitie 3.1 voldaa. Er geldt amelijk dat dλ T 1 dλ de dichtheidsfucties zij. dφ dt e dλ dλ T 1 dφ 1 dt Voorbeeld Laat de maatruimte zij zoals i Voorbeeld 2.3. Voor de telmaat geldt dat de lege verzamelig de eige ulverzamelig is. Daarom zij i dit geval alle eigeschappe va ee regulier verzameligsisomorfisme strikt. Zoder de algemeeheid te schade, ka worde aageome dat N {1,..., }. Vawege het behoud va vereigigsstructure va ee regulier verzameligsisomorfisme T, wordt T precies bepaald door zij werkig op de sigletos. Dit komt eer op de volgede vorm: T {j} B j voor 1 j. Weges Propositie 3.9 moet gelde dat de B j s oderlig disjuct zij. Daaraast moete de B j s iet leeg zij vawege Defiitie 3.1.iii. 4 Geïduceerde trasformatie I dit hoofdstuk wordt de trasformatie T 1 behadeld die geïduceerd wordt door ee regulier verzameligsisomorfisme. De trasformatie ka iet direct gedefiieerd worde, eerst moet amelijk aagetood worde dat de uiteidelijke formulerig welgedefiieerd is. Deze opbouw doet deke aa de opbouw va maattheoretische itegrale [3, Chapter II]. Op soortgelijke wijze wordt T 1 eerst gedefiieerd op ee verzamelig va elemetaire fucties. Elemetaire fucties zij meetbare fucties die slechts eidig veel verschillede, reële waarde aaeme. De verzamelig va elemetaire fucties over de i-de maatruimte wordt geoteerd met E i, de verzamelig va meetbare reële fucties met Ei. Weges [3, Theorem 9.8] is iedere f Ei op te splitse i twee iet-egatieve, meetbare, uieke fucties f + e f zodaig dat f f + f e f + f 0. Verder bestaat vawege [3, Theorem 11.6] voor iedere iet-egatieve, meetbare fuctie F ee mootoo stijgede rij va iet-egatieve, elemetaire fucties {u } zodaig dat F sup u. Aagezie L p i techisch gezie ee verzamelig va equivaletieklasse is, wordt met ee bewerig als f g impliciet bedoeld dat f µi g. Verder wordt met 1 A de karakteristieke fuctie, of idicatorfuctie, va A bedoeld e is T telkes ee regulier verzameligsisomorfisme. 11

14 4.1 Voorbereidige Iedere u E 1 heeft ee ormale represetatie va de vorm α 1 A, 1 met α R, A Σ 1 voor iedere, alle α oderlig ogelijk, alle A oderlig disjuct e iet-leeg e N 1 A Ω 1. Ee ormale represetatie is modulo ulverzamelige e op verwisselige va de sommatievolgorde a uiek e dus ka T 1 als volgt op E 1 worde gedefiieerd. Defiitie 4.1. Zij u E 1 e N 1 α 1 A de ormale represetatie va u, da heet de afbeeldig T 1 u : α 1 T A de trasformatie geïduceerd door T. 1 Het is uttig op te merke dat direct uit de defiitie volgt dat T 1 α f α T 1 f geldt voor alle α R e dat T 1 ut 0 geldt als t / T Ω 1. Stel u dat α 1 A u, 1 waar N 1 α 1 A iet oodzakelijk de ormale represetatie is va u. Uit het volgede zal blijke dat T 1 u ook aa de had va deze som te bepale is. Lemma 4.2. Zij u E 1 e stel dat α 1 A u. 1 Da geldt Bewijs. Stel dat T 1 u α 1 T A. 1 M m1 β m 1 Bm de ormale represetatie is va u. Neem m vast, da geldt N β m 1 Bm u 1 Bm α 1 A 1 Bm α 1 A B m. 3 1 Defiieer da de familie va K klasse als volgt. Iedere klasse is ee deelverzamelig va {1,..., N}, waar de k-de klasse gelijk is aa Q k { k 1,..., k l k }. 1 12

15 Laat da geldt verder C k : i Q k A i B m i C k voor k 1,..., K, ii C k C k als k k, iii B m K C k. k1 Stel β m 0, da bestaat er vawege 3 ee dusdaige, iet-lege familie va klasse e is deze teves uiek. Da geldt, ook vawege 3, voor iedere k i Q k α i β m. 4 Verder geldt vawege ii, Defiitie 3.1 e Propositie 3.9 ook Voor iedere k geldt A i C k T B m K T C k. 5 k1 { Ck als i Q k, als i / Q k, e vawege Lemma 3.4 e T geldt da ook voor alle k T A i T C k { T Ck als i Q k, als i / Q k. 6 Het voorgaade combiere, levert het volgede resultaat: K β m 1 T Bm β m 1 T Ck k1 K k1 i Q k α i 1 T Ck K α i 1 T Ck i Q k k1 K α i 1 T Ai T C k k1 i Q k K α 1 T A T C k k1 1 N α 1 T A T B m, 1 13

16 waar 5 wordt toegepast bij, 4 bij e 6 bij. Stel u dat β m 0. Als er ee i bestaat zodaig dat A i B m, da bestaat er ee iet-lege familie die voldoet aa i, ii e iii e is het voorgaade argumet te herhale. Als A i B m voor iedere i, da geldt vawege Propositie 3.9 T A i T B m voor iedere i. Da volgt β m 1 T Bm 0 α 1 T A T B m. 1 Aagezie N 1 T B T Ω 1 geldt vawege Defiitie 3.1 e Propositie 3.9, volgt het geweste resultaat: T 1 u M β m 1 T Bm m1 M m1 1 α 1 T A T B m M N α 1 T A m1 1 N α 1 T A 1 α 1 T A. 1 1 T Ω1 1 T Bm Lemma 4.3. Zij u, v E 1 e zij T 1 geïduceerd door T, da i T 1 u + v T 1 u + T 1 v, ii T 1 u v T 1 u T 1 v, iii als u v, da T 1 u T 1 v, iv {T 1 u > 0} T {u > 0} e {T 1 u < 0} T {u < 0}. Bewijs. i: Zij N 1 α 1 A e M m1 β m1 Bm de ormale represetaties va u e v, respectievelijk. Aagezie u, v E 1, is u + v ook ee elemetaire fuctie e geldt M u + v α + β m 1 A B m. 1 m1 14

17 Da volgt i door het volgede te beschouwe: T 1 u + v N N 1 m1 1 m1 1 m1 M α + β m 1 T A B m M α + β m 1 T A T B m M α 1 T A 1 T Bm + α 1 T A 1 T Ω1 + 1 α 1 T A + 1 T 1 u + T 1 v, M m1 1 β 1 T A 1 T Bm M β 1 T Ω1 1 T Bm m1 M β m 1 T Bm m1 waar bij Lemma 4.2 wordt gebruikt e bij Lemma 3.4. ii: Het aatoe va ii gaat op soortgelijke wijze aagezie geldt u v 1 m1 M α β m 1 A B m. Wederom met behulp va Lemma 4.2 e 3.4 volgt: T 1 u v 1 m1 1 m1 M α β m 1 T A T B m M α 1 T A βm 1 T Bm N M α 1 T A β m 1 T Bm 1 T 1 u T 1 v. iii: Als u v geldt, volgt dat v u ee iet-egatieve, elemetaire fuctie is. Stel dat L l1 γ l1 Cl de ormale represetatie is va v u. Da zij alle γ l s iet-egatief e volgt per defiitie dat T 1 v u iet-egatief is. Da volgt uit i dat geldt T 1 v u T 1 v + T 1 u T 1 v T 1 u, e hieruit volgt iii. iv: Eerst wordt het eerste deel va de uitspraak aagetood. Laat A {u > 0}, da geldt u A α 1 A A 1 e α > 0 als A A. Vawege de ijectiviteit va T e Lemma 3.4 volgt: m1 T A T, : α > 0. 15

18 Dat beteket dat T 1 u precies iet-egatief is op het domei α 1 T A 1 N T A. 1 Het tweede deel va iv volgt op gelijke wijze. Gevolg 4.4. Als u E 1, da T 1 u + T 1 u + e T 1 u T 1 u. Bewijs. Aagezie u + t e u t ooit beide strikt positief zij voor dezelfde t, geldt u + u 0 e vawege Lemma 4.3.ii volgt T 1 u + T 1 u T 1 u + u T Vawege Lemma 4.3.iii, u +, u 0 e T 0 0 zij T 1 u + e T 1 u ietegatief e het geweste resultaat volgt da met behulp va Lemma 4.3.i: T 1 u + T 1 u T 1 u T 1 u + u T 1 u + T 1 u. 4.2 Uitbreidig Aagezie voor ee f L p 1 geldt ft ± voor µ 1-bija alle t [3, Theorem 13.6], zal het geval ft ± buite beschouwig worde gelate. Voordat de defiitie va de uitbreidig va T 1 gegeve ka worde, moet worde aagetood dat de defiitie geldig is. Dit wordt gedaa met behulp va de volgede drie lemma s. Lemma 4.5. Zij {u } ee mootoo stijgede rij elemetaire fucties e v E 1. Als v sup u, da T 1 v sup T 1 u. Bewijs. Laat ɛ > 0 e D {v ɛ1 Ω1 > u }, N. Da geldt D, of met adere woorde : D D +1 e D. 1 Vawege Lemma 3.2 e Gevolg 3.7 volgt hieruit ook : T D T D +1 e T D T, 1 16

19 oftewel T D. Aagezie {u } mootoo stijgt, geldt weges Lemma 4.3.iii dat {T 1 u } ook mootoo stijgt. Verder geldt T D T {v ɛ1 Ω1 u > 0} {T 1 v ɛ1 Ω1 u > 0} {T 1 v ɛ1 Ω1 > T 1 u }, waar bij Lemma 4.3.iv wordt gebruikt e bij Lemma 4.3.i. Dus geldt {T 1 v ɛ1 Ω1 > T 1 u } e volgt hieruit met behulp va Lemma 4.3.i de volgede ogelijkheid: T 1 v ɛ1 Ω1 T 1 v ɛ1 T Ω sup T 1 u. Laat u ɛ 0, da volgt T 1 v sup T 1 u. Lemma 4.6. Laat {u } e {v } twee mootoo stijgede rije elemetaire fucties zij. Als sup u sup v, da sup T 1 u sup T 1 v. Bewijs. Voor iedere i geldt v i sup u e weges Lemma 4.5 geldt voor iedere i ook T 1 v i sup T 1 u e volgt sup T 1 v sup T 1 u. Op gelijke wijze volgt de omgekeerde ogelijkheid e dus geldt sup T 1 u sup T 1 v. Lemma 4.7. Zij {u } ee mootoo stijgede rij elemetaire fucties. Als sup u µ 1 -bija overal, da sup T 1 u µ 2 -bija overal. Bewijs. Er geldt { } t : sup T 1 u t { } t : sup T 1 u t > k1 Ω2 k1 T k1 1 k1 1 k1 1 {t : T 1 u t > k1 Ω2 } { t : T1 u t > k1 T Ω1} T {t : u t > k1 Ω1 } { T k1 1 {t : u t > k1 Ω1 } t : sup u t }, 17

20 waar bij wordt gebruikt dat {T 1 u } ook mootoo stijgt vawege Lemma 4.3.iii, bij wordt gebruikt dat T 1 u t 0 als t / T Ω 1, bij Lemma 4.3.i e 4.3.iv e bij Propositie 3.6 e Gevolg 3.7. Aagezie {t : sup u t } vawege de aaame ee µ 1 -ulverzamelig is, volgt het geweste resultaat met behulp va Defiitie 3.1.iii. Vervolges ka T 1 worde uitgebreid aar E 1. Defiitie 4.8. Zij f E1 e T ee regulier verzameligsisomorfisme. Laat verder {u } e {v } twee mootoo stijgede rije elemetaire fucties zij zodaig dat f + sup u e f sup v. Da heet T 1 f : sup T 1 u sup T 1 v de trasformatie geïduceerd door T, waar T 1 u e T 1 v zij zoals i Defiitie 4.1. Vawege Lemma 4.6 e 4.7 is T 1 welgedefiieerd. Direct uit de defiitie volgt T 1 α f α T 1 f voor alle α R e f E 1. Verder zal uit het Propositie 4.12 volge dat de uitbreidig va T 1 dezelfde soort eigeschappe heeft als T 1 E1. Om dit aa te kue toe, moete eerst de eigeschappe va T 1 voor iet-egatieve fucties i E 1 worde beweze. Lemma 4.9. Zij f, g E 1 met f, g 0 e zij T 1 geïduceerd door T, da i T 1 f + g T 1 f + T 1 g, ii T 1 f g T 1 f T 1 g, iii als f g, da T 1 f T 1 g, iv {T 1 f > 0} T {f > 0}. Bewijs. i: Stel dat {u } e {v } twee mootoo stijgede rije zij zodaig dat ze covergere aar f e g, respectievelijk. Da is {u +v } ee mootoo stijgede rij die covergeert aar f + g 0 e volgt met behulp va T 0 0: T 1 f + g supt 1 u + v supt 1 u + T 1 v sup T 1 f + T 1 g, T 1 u + sup T 1 v waar bij Lemma 4.3.i wordt toegepast e bij het feit dat de suprema bestaa vawege Lemma 4.7. ii: Uitspraak ii volgt op aaloge wijze door de mootoo stijgede rij {u v } te beschouwe. iii: Als f g, da u i g voor iedere i e dus T 1 u i sup T 1 v, i N 18

21 weges Lemma 4.5. Da volgt sup T 1 u sup T 1 v, oftewel uitspraak iii. iv: Vawege het mootoo stijge va {u }, geldt {f > 0} {u > 0}. 1 Aagezie de rij {T 1 u } ook mootoo stijgt vawege Lemma 4.3.iii volgt op gelijke wijze {T 1 f > 0} {T 1 u > 0}. 1 Uitspraak iv volgt da weges Propositie 3.6 e Lemma 4.3.iv. Gevolg Als f, g 1, g 2 E 1 met g 1, g 2 0 e f g 1 g 2, da T 1 f T 1 g 1 T 1 g 2. Bewijs. Neem A {f > 0}, da zij f + + g 2 1 A g 1 1 A e f + g 1 1 A c g 2 1 A c iet-egatieve, meetbare fucties e geldt T 1 g 1 1 T 1 g 1 1 A T 1 f + + g 2 1 A T 1 f + + T 1 g 2 1 A 7 T 1 f + + T 1 g 2 1, waar bij Lemma 4.9.ii wordt toegepast e bij Lemma 4.9.i. Op gelijke wijze geldt T 1 g 2 1 T A c T 1 f + T 1 g 1 1 T A c, oftewel T 1 g 1 1 T A c T 1 g 2 1 T A c T 1 f. 8 Als vergelijkig 7 e 8 bij elkaar worde opgeteld, volgt met behulp va Defiitie 3.1: T 1 g T A c T 1 g T A c + T 1 f + T 1 f T 1 g 1 1 T Ω1 T 1 g 2 1 T Ω1 + T 1 f T 1 g 1 T 1 g 2 + T 1 f. Gevolg Als f E 1, da T 1 f + T 1 f + e T 1 f T 1 f. 19

22 Bewijs. Aagezie f + t e f t ooit beide strikt positief zij voor dezelfde t, geldt f + f 0 e vawege Lemma 4.9.ii volgt T 1 f + T 1 f T 1 f + f T Vawege Lemma 4.9.iii, u +, u 0 e T 0 0 zij T 1 f + e T 1 f ietegatief e het geweste resultaat volgt: T 1 f + T 1 f T 1 f T 1 f + T 1 f. De eigeschappe va de uitbreidig va T 1 kue u met behulp va de voorgaade gevolge worde aagetood. Propositie Zij f, g twee reële, meetbare fucties e zij T 1 geïduceerd door T. Da geldt i T 1 f + g T 1 f + T 1 g, ii T 1 f g T 1 f T 1 g, iii als f g, da T 1 f T 1 g, iv {T 1 f > 0} T {f > 0} e {T 1 f < 0} T {f < 0}. Bewijs. i: Uitspraak i ka als volgt worde aagetood: T 1 f + g T 1 f + f + g + g T 1 f + + g + f + g T 1 f + + g + T 1 f + g T 1 f + + T 1 g + T 1 f T 1 g T 1 f + T 1 g. Hier geldt vawege Gevolg 4.10 e door Lemma 4.9.i. ii: Voor het product va f e g geldt f g f g + f g Dit wordt als volgt toegepast: f + g + + f g f + g f g +. T 1 f g T 1 f + g + + T 1 f g T 1 f + g T 1 f g + T 1 f + T 1 g + + T 1 f T 1 g T 1 f + T 1 g T 1 f T 1 g + T 1 f + T 1 g + + T 1 f T 1 g T 1 f + T 1 g T 1 f T 1 g + T 1 f T 1 g + T 1 f T 1 g T 1 f T 1 g. 20

23 Waar bij uitspraak i wordt gebruikt, bij Lemma 4.9.ii e bij Gevolg iii: Er geldt f g da e slechts da als f + g + e f g. Vawege Lemma 4.9.iii geldt e vawege Gevolg 4.11 geldt ook T 1 f + T 1 g + e T 1 f T 1 g T 1 f + T 1 g + e T 1 f T 1 g. Hieruit volgt uitspraak iii. iv: Het eerste deel va de uitspraak is als volgt te beargumetere: {T 1 f > 0} {T 1 f + > 0} {T 1 f + > 0} T {f + > 0} T {f > 0}. Hier geldt vawege Lemma 4.4 e vawege Lemma 4.3.iv. Het tweede deel va uitspraak iv volgt op gelijke wijze. Ee adere eigeschap va T 1 die later ook gebruikt wordt, is de volgede. Lemma Zij f ee reële, meetbare fuctie e q > 0, da geldt T 1 f q T 1 f q. Bewijs. Zij u E 1 met u 0 e ormale represetatie N 1 α 1 A. Aagezie de A s oderlig disjuct zij, zij de T A s dat ook vawege Propositie 3.9 e volgt T 1 u q α1 q T A T 1 u q. 1 Als f E1 met f 0 e {u } is ee mootoo stijgede rij va iet-egatieve, elemetaire fucties die covergeert aar f, da is {u q } ee mootoo stijgede rij die covergeert aar f q e geldt T 1 f q sup T 1 u q supt 1 u q q sup T 1 u T 1 f q. Als f ee reële, meetbare fuctie is, geldt dat f E 1 e dus T 1 f q T 1 f q T1 f + + f q T1 f + + T 1 f q T1 f + + T 1 f q T 1 f q, waar bij Lemma 4.9.iii wordt gebruikt e bij Gevolg

24 Voor complexe, meetbare fucties f diet T 1 ogmaals uitgebreid te worde aa de had va de defiitie T 1 f T 1 Rf + i T 1 If. Da heeft T 1 soortgelijke eigeschappe. De uitwerkige daarva zulle verder iet worde behadeld, aagezie die vrij eevoudig volge. 4.3 Voorbeelde Voorbeeld Stel dat de maatruimte e T zij als i Voorbeeld Da is de lieaire trasformatie die geïduceerd wordt door T de T 1 i Voorbeeld 2.2: T 1 ft f t. Dit is als volgt i te zie. Laat A [a, b] met 0 < a < b, da geldt [a 2, b 2 ] e T 1 1 A t 1 {t : a 2 t b 2 }t 1 { t : a t b} t 1 A t. Voorbeeld Stel dat de maatruimte zij zoals i Voorbeeld Zoals i Voorbeeld 3.11 is late zie, geldt dat {Φ 1 t : t A} ee regulier verzameligsisomorfisme is als Φ ee homeomorfisme is va Ω 2 aar Ω 1 e Φ e Φ 1 differetieerbaar zij. Da iduceert T de volgede lieaire trasformatie. T 1 ft fφt Voorbeeld Stel dat de maatruimte zij zoals i Voorbeeld 2.2 e Da komt {1 {j} } j1 overee met de stadaard basis B {e 1,..., e } va F. Da geldt voor T 1 T 1 1 {j} 1 Bj e, als T 1 voorgesteld wordt als ee matrix a ij i,j, geldt { 1 als i Bj, a ij 0 aders. Dus volgt dat de trasformaties va ee vorm zoals i Voorbeeld 2.2, voor deze maatruimte, de eige zij die geïduceerd worde door ee regulier verzameligsisomorfisme. I het geval m, is T 1 ee permutatiematrix. Stel da dat U ee isometrie va L p 1 aar zichzelf met 1 p < e p 2. Da zegt de hoofdstellig dat U ekel e allee de vorm ka hebbe va ee permutatiematrix met de variatie va plus of mi voor elk iet-ul elemet va de matrix. 5 Lamperti Clarkso lemma Dit hoofdstuk bestaat uit twee dele die bij elkaar ee belagrijk lemma, beschreve i [1, 2], oplevere dat i het uiteidelijke bewijs gebruikt zal worde. 22

25 5.1 Eerste deel Merk op dat ee reële fuctie ψ covex is da e slechts da als t + s ψt + ψs ψ. 2 2 Lemma 5.1. Zij ϕ ee cotiue, strikt stijgede fuctie gedefiieerd op [0, met ϕ0 0. Stel verder dat ϕ t covex is. Als z, w C, da geldt ϕ z + w + ϕ z w 2ϕ z + 2ϕ w. 9 Als ϕ t cocaaf is, geldt ogelijkheid 9 omgekeerd e als de covexiteit of cocaviteit strikt is, geldt gelijkheid i 9 da e slechts da als z w 0. Bewijs. Zij ϕ t covex, da geldt voor t, s 0 t + s ϕ ϕ t + ϕ s. 2 2 Zij t z + w 2 e s z w 2, da geldt z + w 2 + z w 2 1/2 ϕ 2 ϕ z + w + ϕ z w. 2 Aagezie ϕ strikt stijged is, is ϕ ijectief e is de fuctie ϕ 1 : raϕ R >0 goed gedefiieerd e strikt stijged, wat de volgede implicatie oplevert. x, y raϕ x y ϕ 1 x ϕ 1 y Daaraast geldt voor z, w C vawege [4, Theorem 3.15] e volgt hieruit z + w 2 + z w 2 2 z 2 + w 2 z 2 + w 2 1/2 1/2 z + w 2 + z w 2 2 z + w ϕ [ϕ z w 2 1/2 ] 2 ϕ z + w + ϕ z w ϕ Zij u ψ : [0, [0, ee willekeurige, strikt stijgede, covexe fuctie met ψ0 0. Da geldt ψs ψr ψt ψr s r t r als r < s < t. Voor r 0 leidt dit tot de ogelijkheid ψs s ψt, 0 < s < t. 11 t 23

26 Aagezie ψ strikt stijged is e ψ0 0, geldt ψs > 0 voor iedere s > 0 e dus is de fuctie s ψs met s > 0 goed gedefiieerd e daled i s. Zij u ψs ϕ s e s t 2, da volgt dat de fuctie t 2 ϕt met t > 0 daled is i t, aagezie t t 2 stijged is. Als ϕt x geldt, da geldt t 2 ϕt ϕ 1 x 2 ϕϕ 1 x ϕ 1 x 2. x Verder, als t toeeemt, eemt ϕ 1 x ook toe, aagezie ϕ 1 x strikt stijged is, dus is de fuctie ϕ 1 x 2 /x daled i x. Stel dat fx ee fuctie is zodaig dat fx/x ee dalede fuctie is, da geldt met x, y > 0 e op gelijke wijze fx + y x + y fx + y x + y Gecombieerd levert dit het volgede op: x + y fx + y x + y fx x fy y. x fx x + y fy y fx + y fx + fy, x, y > Neem u f ϕ 1 2, da volgt ϕ 1 x + y 2 ϕ 1 x 2 + ϕ 1 y 2, 0 < x, y raϕ. Aagezie ϕ e ϕ 1 ee iet-egatieve fuctie is, volgt ook ϕ 1 x + y 2 ϕ 1 x 2 + ϕ 1 y 2, 0 x, y raϕ. Laat x ϕ z e y ϕ w, da geldt ϕ 1 ϕ z + ϕ w 2 ϕ 1 ϕ z 2 + ϕ 1 ϕ w 2 z 2 + w 2. Dit, same met ogelijkheid 10, resulteert i de volgede ogelijkheid: ϕ z + w + ϕ z w ϕ 1 ϕ 1 ϕ z + ϕ w. 2 Weges het strikt stijge va ϕ volgt ogelijkheid 9 als liks e rechts ϕ ogmaals wordt toegepast. Stel u dat ϕ t strikt covex is. Da geldt met ψt ϕ t i 11 ee strikte ogelijkheid, oftwel: ϕs s 2 < ϕt t 2, 0 < s < t. 24

27 Dit zorgt ervoor dat de fuctie ϕ 1 x 2 x strikt daled is i x. Verder geldt ee strikte ogelijkheid i 12 als fx/x strikt daled is. Stel wederom dat fx ϕ 1 x 2, da volgt dat ee strikte ogelijkheid i 9 ekel e allee mogelijk is als x ϕ z > 0 e y ϕ w > 0. Ee gelijkheid i 9 ka dus allee voorkome als ϕ z 0 of ϕ w 0. Vawege het strikt stijge va ϕ, volgt uit ϕt 0, t 0. Dus geldt ee gelijkheid i 9 als z 0 of w 0, oftewel z w 0. Stel u dat z 0 of w 0, da volgt met behulp va ϕ0 0 direct ee gelijkheid i 9. Het bewijs i geval va cocaviteit va ϕ t gaat op gelijke wijze met de ogelijkhede omgekeerd. De fucties ϕ die gebruikt worde voor het bewijs va de hoofdstellig, zij de fucties ϕt t p. Merk op dat t p/2 strikt covex is voor p > 2 e strikt cocaaf is als 1 p < 2 geldt. I het geval p 2 is t p/2 zowel covex als cocaaf, e is 9 altijd ee gelijkheid. 5.2 Tweede deel I dit tweede deel worde meetbare fucties beschouwd over de maatruimte Ω, Σ, µ. Zij I : L ϕ R + zodaig dat If ϕ f dµ met L ϕ de verzamelig va alle meetbaar fucties f waarvoor bovestaade itegraal eidig is. Lemma 5.2 Lamperti, Clarkso. Zij ϕ ee cotiue, strikt stijgede fuctie gedefiieerd op [0, met ϕ0 0 e ϕ t covex. Als f + g, f g L ϕ, da If + g + If g 2If + 2Ig. 13 Als ϕ t cocaaf is, geldt ogelijkheid 13 omgekeerd. Als de covexiteit of cocaviteit va ϕ t strikt is, geldt gelijkheid i 13 da e slechts da als f g µ 0. Bewijs. Stel dat ϕ t covex is e M ee fuctie is als volgt: M ϕ f + g + ϕ f g 2ϕ f 2ϕ g. Deze fuctie is weges Lemma 5.1 overal positief e dus geldt Mdµ 0, 25

28 waar, vawege de lieariteit va itegrale, 13 uit volgt. Stel u dat de covexiteit va ϕ t strikt is e 13 ee gelijkheid is. Weges de lieariteit va itegrale geldt da Mdµ 0. Weges M 0 e [3, Theorem 13.2] geldt da M µ 0 e volgt dus ϕ f + g + ϕ f g µ 2ϕ f + 2ϕ g. Hieruit volgt weges Lemma 5.1 dat voor µ-bija alle t geldt ft gt 0. Stel u dat f g µ 0, da is N : {f g 0} ee ulverzamelig. Verder geldt N c {f 0} {g 0} {f 0} {g 0} {f 0} {g 0} {f 0} {g 0}. 14 Defiieer N 1, N 2 e N 3 zodaig dat N N 1 N 2 N 3 i dezelfde volgorde als i 14. Da geldt het volgede: Mdµ Mdµ + Mdµ + Mdµ + Mdµ N N 1 N 2 N Mdµ + Mdµ + 0 dµ N 1 N 2 N 3 [ ] [ ] 2ϕ g 2ϕ g dµ + 2ϕ f 2ϕ f dµ N 1 N 2 0. Wederom weges de lieariteit va itegrale volgt ee gelijkheid i 13. Het bewijs i het geval va cocaviteit va ϕ t gaat op gelijke wijze. 6 Bewijs stellig Eerst bewijze we de omgekeerde kat op, aagezie die seller volgt. 6.1 Rado Nikodym stellig Hieri wordt de Rado Nikodym stellig [3, Theorem 17.10] gebruikt. Deze stellig zal gegeve worde zoder bewijs, aagezie dit ee welbeked resultaat is bie de maattheorie. I de stellig wordt ee tweetal begrippe gebruikt, die hieroder gegeve worde ter herhalig. Defiitie 6.1. Laat µ e ν twee mate op dezelfde σ-algebra zij. De maat ν heet µ-cotiu, als iedere µ-ulverzamelig ook ee ν-ulverzamelig is. 26

29 Defiitie 6.2. Laat µ ee maat op Σ e f ee reële, meetbare, iet-egatieve fuctie zij. Da heet νa : fdµ de maat met dichtheid f te opzichte va µ. Aagezie f µ-bija overal uiek bepaald is vawege [3, Theorem 17.5], heet f de dichtheidsfuctie e wordt geoteerd met f dν dµ. Stellig 6.3 Rado, Nikodym. Laat µ, ν twee mate zij op Σ. Als µ e ν σ-eidig zij, da zij de volgede twee uitsprake equivalet. i ν heeft ee dichtheid te opzichte va µ. ii ν is µ-cotiu. Zij T ee regulier verzameligsisomorfisme, da is T [Σ] vawege de eigeschappe va T ee σ-algebra i T Ω 1. Twee mate waarvoor de stellig zal worde toegepast, zij da µ 2 e µ 1 T 1 op T [Σ 1 ]. Nu is geoeg voorhade om het bewijs te geve va de hoofdstellig. Eerst volgt ogmaals de hoofdstellig. Stellig 6.4 Lamperti, Zij U ee lieaire isometrie va L p Ω 1, Σ 1, µ 1 aar L p Ω 2, Σ 2, µ 2 met 1 p < e p 2. Da bestaa ee regulier verzameligsisomorfisme T va Σ 1 aar Σ 2 e ee fuctie h gedefiieerd op Ω 2 zodaig dat Uf h T 1 f 15 waar T 1 de lieaire trasformatie geïduceerd door T is e h voldoet aa h p dµ 1 T 1 dµ 2 dµ 2 µ 1 A 16 dµ 2 voor alle A Σ 1. Omgekeerd, als h zoals i 16 is e T ee regulier verzameligsisomorfisme is, da is U zoals i 15 ee lieaire isometrie. A 6.2 Va rechts aar liks Bewijs. : Vawege Defiitie 3.1.iii is µ 1 T 1 µ 2 -cotiu. Da geldt met behulp va Stellig 6.3 µ 1 T 1 dµ 1 T 1 B dµ 2, dµ 2 voor alle B T [Σ 1 ], oftewel µ 1 A B dµ 1 T 1 dµ 2 dµ 2 geldt voor alle A Σ 1. Stel dat g als volgt is: dµ 1 T 1 t als t T Ω 1, gt : dµ 2 0 aders. 27

30 Da is g ook Σ 2 meetbaar e geldt voor alle A Σ 1 h p dµ 2 g dµ 2. Voor ieder F E2 met F 0 geldt da ook F h p dµ 2 I het bijzoder, als F T 1 f p, geldt da h T 1 f p dµ 2 F g dµ 2. T 1 f p g dµ 2. Zij U zoals i 15. Om te bewijze dat U ee isometrie is, hoeft allee worde aagetood dat U ormbewared is. De lieariteit va U volgt amelijk uit die va T 1. Er geldt Uf p dµ 2 Ω 2 T 1 f p g dµ 2 Ω 2 Ω 2 T 1 f p dµ 1 T 1 Ω 2 T 1 f p dµ 1 T 1, waar bij [3, Theorem 17.3] wordt gebruikt e bij Lemma Als u aagetood ka worde dat T 1 G dµ 1 T 1 G dµ 1 Ω 2 Ω 1 geldt voor alle G E 1 met G 0, da volgt het geweste resultaat aagezie f p E 1. Stel dat u ee iet-egatieve, elemetaire fuctie is met ormale represetatie N 1 α 1 A. Da geldt Ω 2 T 1 u dµ 1 T 1 α µ 1 T 1 T A 1 α µ 1 A u dµ 1 Ω 1 e ka dit worde uitgebreid aar G. Stel amelijk dat {u } ee mootoo stijgede rij iet-egatieve, elemetaire fucties is die covergeert aar G, da 1 28

31 geldt Ω 2 T 1 G dµ 1 T 1 Ω 2 sup sup Ω 1 sup T 1 u dµ 1 T 1 T 1 u dµ 1 T 1 Ω 2 u dµ 1 Ω 1 sup u dµ 1 Ω 1 G dµ 1, waar bij de eigeschap wordt toegepast dat supremum e itegratie kue worde omgewisseld, [3, Theorem 11.4]. 6.3 Va liks aar rechts Bewijs. : Stel dat µ 1 eidig is. Het zal blijke dat : suppu1 A {U1 A 0} ee regulier verzameligsisomorfisme is. Hiera zal worde aagetood dat U i Lampertivorm te schrijve is e dat ht : U1 Ω1 t voldoet aa 16. Vawege de eidigheid va µ 1 geldt 1 A, 1 B L p 1 voor iedere A, B Σ 1. Neem u A, B Σ 1 met A B, da geldt 1 A 1 B 0 e met behulp va Lemma 5.2: 1 A + 1 B p p + 1 A 1 B p p 2 1 A p p B p p e aagezie U ormbewared e lieair is, geldt ook U1 A + U1 B p p + U1 A U1 B p p 2 U1 A p p + 2 U1 B p p. Wederom vawege Lemma 5.2 geldt teves U1 A U1 B 0. Hier wordt met og steeds impliciet µi bedoeld. Zij f, g L p i, da geldt suppf + g suppf suppg. da e slechts da als f g 0. Hieruit e uit het voorgaade volgt da dat T B. Da volgt ook T A B suppu1 A B suppu1 A + 1 B suppu1 A + U1 B suppu1 A suppu1 B T B. 29

32 Stel u dat B Ω 1 \A, da geldt T Ω 1 T Ω 1 \A, oftewel Defiitie 3.1.i. Zij {A } ee oderlig disjucte rij i Σ 1. Aagezie U ee isometrie is, is U cotiu [4, Lemma 4.1] e volgt U1 U 1 A A U1 A. 1 Da volgt Defiitie 3.1.ii door het support va bovestaade te beschouwe. Om Defiitie 3.1.iii aa te toe, kue de volgede relaties worde beschouwd: µ 1 A 0 1 A p 0 U1 A p 0 µ 2 {U1 A 0} µ 2 0. Dit zorgt ervoor dat T ee regulier verzameligsisomorfisme is e dus de bekede lieaire trasformatie T 1 iduceert. Om door te gaa wordt de fuctie h beschouwd. Voor iedere A Σ 1 geldt amelijk 1 ht U1 A t + U1 A ct. Aagezie A e A c disjuct zij, volgt et als voorhee dat de fucties U1 A e U1 A c µ 2 -bija erges beide ogelijk aa ul zij. Dus geldt voor µ 2 -bija alle t dat als U1 A t 0 geldt, da geldt ht U1 A t. Dit is hetzelfde als te stelle dat geldt U1 A t ht 1 {U1A 0}t ht 1 t ht T 1 1 A t. Vawege de lieariteit va U e die va T 1, volgt dat U beperkt tot de elemetaire fucties i Lampertivorm te schrijve is. Laat f E1 met f 0, e stel dat {u } ee mootoo stijgede rij elemetaire fucties die covergeert aar f. Da volgt vawege de cotiuïteit va U Uf U lim u lim Uu lim h T 1u h lim T 1u h T 1 f Stel u dat f L p 1, da volgt vawege de lieariteit va U Uf Uf + Uf h T 1 f + h T 1 f h T 1 f + T 1 f h T 1 f. 30

33 Dat h voldoet aa 16 geldt vawege het volgede. Voor ieder A Σ 1 geldt h p dµ 2 h p 1 dµ 2 Ω 2 h 1 p dµ 2 Ω 2 U1 A p dµ 2 Ω 2 1 A p dµ 2 Ω 2 1 A dµ 2 Ω 2 µ 1 A dµ 1 T 1 dµ 2 dµ 2, waar bij Stellig 6.3 is toegepast. Dit bewijst het geval dat µ 1 eidig is. Stel u dat µ 1 σ-eidig is. Da bestaat er per defiitie ee rij {Ω } zodaig dat Ω Ω 1 e µ 1 Ω <. Defiieer da het volgede: f : f Ω, f L p 1, U f : Uf, h : U1 Ω, T A : suppu 1 A, e Da geldt voor de eidige gevalle: T is de trasformatie geiduceerd door T. U f h T f, N. Neem : 1 T A Ω, da zal blijke dat T ee regulier verzameligsisomorfisme is. Voor T volgt Defiitie 3.1.i, omdat die eigeschap voor alle T geldt: T Ω 1 \A T Ω1 \A Ω 1 T Ω \A 1 T Ω \T A Ω 1 T Ω 1 \. Zij {A k } k ee oderlig disjucte rij i Σ 1, da is {A k Ω } k ee oderlig disjucte rij i Σ Ω Σ 1. Omdat Defiitie 3.1.ii voor iedere geldt voor 31

34 T, geldt T A k k1 T A k Ω 1 k1 T A k Ω 1 1 k1 k1 T A k Ω T A k, k1 oftewel Defiitie 3.1.ii voor T. Vawege de cotiuïteit va mate, [3, Theorem 3.2, Defiitio 3.3], e vawege µ 1 C µ 1 D als C D, volgt aagezie A Ω A: µ 1 A 0 : µ 1 A Ω 0, A Σ Omdat alle T reguliere verzameligsisomorfisme zij, geldt voor iedere e A Σ 1 µ 1 A Ω 0 µ 2 T A Ω Verder geldt dat 1 B met B Σ 2 ee µ 2 -ulverzamelig is da e slechts da als B voor iedere ee µ 2 -ulverzamelig is, oftewel µ 2 B 0 : µ 2 B Defiitie 3.1.iii voor T volgt door 17, 18 e 19 same te voege. Uit de defiitie va T volgt voor ieder f L p 1 T 1 f lim T f, waar T 1 geïduceerd wordt door T. Neem verder ht h t als t T Ω e ht 0 als t / T Ω 1, da geldt h lim h e ook Uf U lim f lim Uf lim U f lim h T f h T 1 f, 32

35 waar bij ogees de cotiuïteit va U wordt gebruikt. Da moet allee og worde aagetood dat h voldoet aa 16. Beked is dat voor iedere e A Σ geldt T A Ω h p dµ 2 µ 1 A Ω. Aagezie h t 0 geldt voor t / T Ω, geldt voor iedere A Σ 1 ook h p dµ 2 µ 1 A Ω. Uit de defiitie va h volgt e levert dit als volgt 16 op: h p dµ 2 h p sup h p sup sup h p dµ 2 h p dµ 2 sup µ 1 A Ω µ 1 A dµ 1 T 1 dµ 2 dµ 2, waar bij de eigeschap wordt toegepast dat supremum e itegratie kue worde omgewisseld [3, Theorem 11.4], bij het feit dat A Ω A geldt e de cotiuïteit va mate [3, Theorem 3.2, Defiitio 3.3] e bij Stellig Bibliografie [1] Lamperti J.W., O the isometries of certai fuctio-spaces, Pacific J. of Math , [2] Flemig R.J. e Jamiso J.E., Isometries o Baach spaces, Chapma & Hall/CRC, Lode, [3] Bauer H., Measure ad itegratio theory, Walter de Gruyter, New York, [4] Rye B.P. e Yougso M.A., Liear fuctioal aalysis, Spriger, Lode,