Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur

Transcriptie

1 Tentamen Moleculaire Simulaties - 8C November uur Vier algemene opmerkingen: Het tentamen bestaat uit 6 opgaven verdeeld over 3 pagina's. Op pagina 3 staat voor iedere opgave het maximale aantal punten dat voor de opgave behaald kan worden. Het gebruik van boeken, aantekeningen, collegedictaten, notebooks of rekenmachines is bij dit tentamen niet toegestaan. Bij dit tentamen mag u gebruik maken van het bijgevoegd formuleblad. Alle antwoorden dienen duidelijk geformuleerd en gemotiveerd te worden. 1. (a) Geef de denitie van een conservatieve kracht. Gegeven is een kracht F in het tweedimensionale x-y vlak beschreven door F(x; y) = (b) Maak een schets waarin duidelijk te zien is hoe de kracht F zich gedraagt. (c) Is de kracht F een conservatieve kracht? Beargumenteer uw antwoord. (d) Stel we laten op t = 0 een deeltje met massa m = 1 los in het punt (3; 4). Het deeltje heeft geen beginsnelheid. Wat is de maximumsnelheid van dit deeltje? (e) Op welk punt staat het deeltje opnieuw stil? x y! : 2. Beschouw de potentiaal U(r) gegeven door U(r) = (r 1)2 r 3 : (a) Bepaal het punt r min waar U(r) minimaal is en de waarde van U(r) in dat punt. (b) Bepaal het punt r max waar U(r) maximaal is en de waarde van U(r) in dat punt. (c) Schets het verloop van deze potentiaal als functie van r. Geef expliciet aan voor welke waarden van r de potentiaal afstotend respectivelijk aantrekkend is. (d) Geef de expliciete uitdrukking voor de bij deze potentiaal behorende kracht als functie van r. (e) Stel een deeltje met massa m = 2 bevindt zich op tijdstip t = 0 op zeer grote afstand van 3 de oorsprong. Welke snelheid v in de richting van de oorsprong moeten we dit deeltje geven zodat het het punt r = 1 passeert? 1

2 3. Beschouw de dierentiaalvergelijking dy dt = y ; waarbij een positieve parameter is. Neem aan dat de waarde y(t) in een punt t bekend is. (a) Geef de exacte uitdrukking voor y(t + t), waarbij t een gegeven positieve stapgrootte is. (b) Bereken nu een benadering voor y(t + t) met behulp van de impliciete methode van Euler. Noem deze benadering by(t + t). (c) De lokale afbreekfout van de impliciete methode van Euler is het verschil tussen de benadering en de exacte oplossing, dat wil zeggen by(t + t) y(t + t) : Laat zien dat in dit geval de lokale afbreekfout van de impliciete Euler methode gelijk is aan O( t 2 ). 4. Beschouw twee vaten met elk een ideaal gas. Beide vaten hebben een constant volume V en bevatten N deeltjes. Vat 1 heeft temperatuur T 1 en vat 2 heeft temperatuur T 2. Neem aan dat T 1 < T 2. De beide vaten worden in contact gebracht zodat er warmteuitwisseling mogelijk is. Het totale systeem van beide vaten is gesoleerd: er wordt dus geen arbeid op verricht en geen warmte aan toegevoegd. (a) Bereken de eindtemperatuur T eind van de vaten in contact. U mag gebruiken dat de inwendige energie van N deeltjes van een ideaal gas met temperatuur T gelijk is aan E = 3 2 Nk BT. We gaan nu de entropieverandering S 1 van vat 1 berekenen. Omdat de entropie een toestandsfunctie is, kunnen we de entropieverandering van vat 1 berekenen door aan te nemen dat de overgang van begin naar eindtoestand heel langzaam verloopt doordat er heel langzaam warmte wordt toegevoerd totdat de eindtemperatuur bereikt is. (b) Bereken met behulp van de dierentiaal van de inwendige energie E het verband tussen de en ds. (c) Gebruik E = 3 2 Nk BT om het verband tussen dt en ds te vinden. (d) Bereken nu de totale entropieverandering van vat 1. (e) Bereken op dezelfde manier de totale entropieverandering S 2 van vat 2. (f) Bereken de totale entropieverandering S van het hele systeem. (g) Wat geldt er voor het teken van S en waarom? 2

3 5. (a) Geef de totale dierentiaal van de vrije energie F. (b) Bereken daaruit de afgeleiden van F naar de temperatuur T, het volume V en het aantal deeltjes N. Geef daarbij duidelijk aan welke variabelen bij het dierentieren constant worden gehouden. (c) Leid de Maxwellrelatie van de (d) Voor een ideaal gas met N deeltjes geldt P V = Nk B T. Bereken nu met de hiervoor afgeleide Maxwellrelatie hoe voor een ideaal gas de entropie afhangt van het volume. N;T =? 6. De kansdichtheid van de impulsen van N deeltjes met massa m wordt gegeven door (p 1 ; p 2 ; : : : ; p N ) = e p 2 1 2m (2mk B T ) 3=2 p2 2 2m p2 N 2m e (2mk B T ) : : : e 3=2 (2mk B T ) : 3=2 Hierbij is p i de impulsvector van deeltje i, met componenten p i;x, p i;y en p i;z en = 1 kbt. (a) Laat zien dat Z dp 1 dp 2 : : : dp N (p 1 ; p 2 ; : : : ; p N ) = 1 : R Hierbij staat voor 3N integraaltekens, allen met grenzen 1 en 1, en is dp i = voor a > 0. R p 1 dp i;x dp i;y dp i;x. U mag gebruiken dat 1 e ax2 = a (b) Bereken < p 2 1;x >, d.w.z. de verwachtingswaarde van R het kwadraat van de x component 1 van de impuls van deeltje 1. U mag gebruiken dat 1 x2 e ax2 = 2p 1 voor a 3 a > 0. (c) Wat is nu de < p 2 i >, d.w.z. de verwachtingswaarde van het kwadraat van de impulsvector van deeltje i? Honorering: (totaal 60 punten) Opgave 1a: 2 punten Opgave 2a: 2 punten Opgave 3a: 3 punten Opgave 1b: 2 punten Opgave 2b: 2 punten Opgave 3b: 3 punten Opgave 1c: 2 punten Opgave 2c: 2 punten Opgave 3c: 4 punten Opgave 1d: 2 punten Opgave 2d: 1 punt Opgave 1e: 2 punten Opgave 2e: 3 punten Opgave 4a: 1 punt Opgave 5a: 2 punten Opgave 6a: 3 punten Opgave 4b: 2 punten Opgave 5b: 2 punten Opgave 6b: 4 punten Opgave 4c: 2 punten Opgave 5c: 3 punten Opgave 6c: 3 punten Opgave 4d: 2 punten Opgave 5d: 3 punten Opgave 4e: 1 punt Opgave 4f: 1 punt Opgave 4g: 1 punt 3

4

5 Formuleblad / Moleculaire Simulaties - 8C030 De Hamiltoniaan in cartesische coordinaten is gedenieerd als H(p; q) = K + U = NX i=1 p 2 i 2 m i + U(q 1 ; : : : ; q N ) ; In termen van de Hamiltoniaan worden de bewegingsvergelijkingen gegeven door de zogeheten Hamiltoniaanse vergelijkingen en : Gegeven een dierentiaalvergelijking van de vorm dy dt = f(y(t)) ; dan zijn de volgende numerieke oplossingen voor een tijdstap t mogelijk: { Expliciet Euler: ^y(t + t) = y(t) + t f(y(t)) { Impliciet Euler: ^y(t + t) = y(t) + t f(^y(t + t)) { Crank-Nicholson: ^y(t + t) = y(t) + 1 t (f(y(t)) + f(^y(t + t))) 2 { Verbeterde Euler: y (t + t) = y(t) + t f(y(t)) ^y(t + t) = y(t) t (f(y(t)) + f(y (t + t))) { Runge-Kutta: k 1 = f(y(t)) k 2 = f(y(t) t k 1) k 3 = f(y(t) t k 2) k 4 = f(y(t) + t k 3 ) ^y(t + t) = y(t) t (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) Totale dierentiaal van inwendige energie E de = T ds P dv + dn : Helmholtz vrije energie Enthalpie Gibbs vrije energie F = E T S : H = E + P V : G = E T S + P V :

6 De ergodenstelling luidt waarbij O de observabele is. O 1 Z 0 O (t) dt = X P O hoi ; De microscopische denitie van temperatuur is gegeven door = ln k B T N;V ; met k B = 1: J K 1 de constante van Boltzmann. Voor het microkanonieke ensemble geldt voor de entropie de vergelijking van Boltzmann S = k B ln ; welke overgaat in de Gibbs vergelijking voor entropie voor elk willekeurig ensemble X S = k B P ln P : De kanonieke moleculaire partitiefunctie wordt gegeven door Q (N; V; T ) = X e E : De Boltzmanndistributie is P = e E P e E : De klassieke partitiefunctie wordt geschreven als het product Z Z Q = Q kin Z N = 1 1 N! h 3N e K(pN ) dp N e U(qN ) dq N : met h = 6: J s de constante van Planck. De isochore warmtecapaciteit wordt gegeven door door E E D( E) 2 = D(E hei) 2 = k B T 2 C V : De Taylorreeksbenadering van de functie f rond het punt x is gegeven door f(x + x) = f(x) + f 0 (x) x + f 00 (x) 2 ( x) f (n) (x) ( x) n + : n!