y = 25 x y = 25 x y = 25 x 2 is het functievoorschrift dat bij de bovenste

Transcriptie

1 Hoofdstuk A: Integralen. I-. Hiernaast is een cirkel getekend met de oorsrong als middelunt en met een straal 5. Als je in de getekende driehoek de stelling van Pythagoras toeast, krijg je: + y = 5. Kwadrateren levert de vergelijking van de cirkel o: + y = 5. Als + y = 5 dan is y = 5 en is y = 5 y = 5 y = 5 is het functievoorschrift dat bij de bovenste helft van de cirkel hoort en y = 5 De totale oervlakte van de rode rechthoekjes is: hoort bij de onderste helft van de cirkel. 5 -(-) + 5 -(-) + 5 -() = + 5, De totale oervlakte van de blauwe rechthoekjes is: + 5 -(-) + 5 -(-) = + 5,8 d. Het gemiddelde is ongeveer 5,7. e. De totale oervlakte van de rode rechthoekjes is: ( 5 -(-) + 5 -(-) + 5 -(-) + 5 -(-) ), De totale oervlakte van de blauwe rechthoekjes is: ( 5 -(-5) + 5 -(-) + 5 -(-) + 5 -(-) + 5 -(-) ), Het gemiddelde is ongeveer 8,. f. De werkelijke oervlakte is 5 = 9,. De beste benadering wordt bereikt met het rechter laatje. I-. De oervlakte van het gekleurde gebied kun je verdelen in een rechthoek en een driehoek. F(5) = (5 -) = F() = 55 F(a) = a + a( a + ) = a + a F'(a) = f(a) d. Zie laatje hiernaast. e. De oervlakte van het witte stuk is 7. G(5) = 7 = G() = 55 7 = 8 f. De oervlakte van het witte stuk is F(). G(a) = F(a) 7 = F(a) F(). Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

2 I-. O het interval [,] is de snelheid ongeveer 8 km/uur. In die minuut werd ongeveer 8/=, km afgelegd. O het interval [,] is de gemiddelde snelheid ongeveer km/uur. In die minuut werd ongeveer /=,7 km afgelegd. O het interval [,] is de gemiddelde snelheid ongeveer 5 km/uur. In die minuut werd ongeveer 5/=,58 km afgelegd. d. De gemiddelde snelheid is ongeveer 55 km/uur (?) In 5 minuten wordt ongeveer,75 km afgelegd. I-. De gemiddelde snelheid gedurende de eerste seconde is:,9; dus wordt er,9 m afgelegd. De gem. snelheid gedurende de tweede seconde is: (9,8 + 9,)/ =,7 m/s. Er wordt dus,7 m afgelegd. Zo vind je ook:,5;, en, m. t in se 5 s(t) in m.,9 9,, 78,,5 c,d De grafiek is een arabool met vergelijking s =,9 t.. De totale oervlakte van de rechthoekjes in figuur is ongeveer: ( ) = 8, De totale oervlakte van de rechthoekjes in figuur is ongeveer,7. Het gemiddelde is ongeveer,. d. De totale oervlakte van de rechthoekjes in figuur is ongeveer: (,8 +, ,8 + + ) = 9, 75 e. -. De totale oervlakte van de rode rechthoekjes is ongeveer: + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + 5 ) + ( + ) + ( + 7 ) + ( + 8 ), De totale oervlakte van de blauwe rechthoekjes is ongeveer: ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + 5 ) + ( + ) + ( + 7 ) + ( + 8 ) + ( + 9 ) 7, Het gemiddelde is 5,8, dit is een erg grove benadering (de oervlakte is 7).. De ondersom is: De bovensom is: f() + f() = log + log = + log f() + f() = log + log = + log Een benadering voor de oervlakte is het gemiddelde + log, Bij lineaire functies is het gemiddelde recies de oervlakte. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

3 5 5. De bovensom is f() + f() + f() + f(). De ondersom is:, f() + f(, ) + f(,8) + f(, ) + f() =,, =,89 ( ) De bovensom is:, f(, ) + f(,8) + f() + f(,) + f(, ) =,, =, 8 ( ) Het gemiddelde is,88., f() + f(,) + f(, ) + f(, ) + f(,8) =, De ondersom wordt: ( ) De bovensom wordt: ( ), f(,) + f(, ) + f(, ) + f(,8) + f() =,5 Het gemiddelde is,., f(,) + f(,) + f(,5) + f(, 7) + f(, 9) + f(,) + f(,) + f(,5) + f(, 7) + f(, 9 =, ( ) d. Hoe meer rechthoekjes, des te minder het uitmaakt welke manier je kiest Het eerste interval loot van tot,5. Het midden is bij,5. f(,5) =,8 Het e interval loot van,5 tot. f(, 75) = =,75 d. - e. ( f(,5) f(,75)... f(9,5) f(9,75) ),7759, = f. De breedte van het interval wordt natuurlijk n. De,,..., n liggen natuurlijk in het e, e en n e - interval. Deze waarden hoeven niet erse in het midden van zo'n interval te liggen. Als de n erg groot wordt, dan worden de intervallen steeds kleiner, en gaat het totaal van de oervlaktes van de staafje steeds meer lijken o de 'echte' oervlakte.,9,8,7,,5,,,, f() = + 8. Het gaat om deelintervallen met = - d. (f(,5) + f(,75) + f(,5) + f(,75)),5 k= k f( ),5 als je voor de k steeds het midden van het interval kiest. e. De laatste benadering is het beste omdat je daar de meeste deelintervallen hebt. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

4 9. - k= k= k = = f( ),55 met k f( ) = 5,75 = 7,875 d. De grafiek ligt van = t/m = onder de - as f() = k k k= k= f( ) = f( ) = 5, met =,5 8 8 k k k= k= - f( ) = f( ) = 5,59 met =,5. O de TI-8 kun je integralen berekenen met CALCulate, otie 7.. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

5 . sin d, De laatje sreken voor zich: geel + roze = blauw sin d,59 sin d,9. d,7 5 d,78 Als de functiewaarden 5 keer zo groot worden, wordt de oervlakte ook 5 keer zo groot. 5. d = = d 8 ( + ) d = Als je twee functies otelt, dan wordt de oervlakte ook ogeteld (mits natuurlijk de grenzen hetzelfde zijn).. De oervlakte van het vooraanzicht is: ( ) d = 7. - In inhoud van de hal is = m f() =, bestaat alleen als, d = 9, 7 d. Een cirkel die van - tot loot, heeft een straal gelijk aan en een oervlakte gelijk aan / De factor is dus 5/9,7 =, De recieze factor is natuurlijk.,, Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 5 -

6 8. A() = A() = A() = = I II III A() = A() = A() = + = + A() = 8 A() = y = y = + y = + 8 A() = + = + d. Er geldt steeds dat A'() = y() 9. laatje hiernaast F() = f() d = d. F'() = f() g. De oervlakte ingesloten door de grafiek, de -as en de lijnen = en =, kun je berekenen door de oervlakte ingesloten de lijnen = en = te verminderen met de oervlakte ingesloten door lijnen = en =.. ( ) ( ) d = = = = cos() d = sin() 5 ( 5 ) ( 5 ) b 5 b 9 7 F(b) = f() d 5 d = = = = 99 d. ( ) d = 5 d = = 98, ' F () = + + ' F () = ( + ) = ( + + ) = + + De afgeleiden van F () en van F () zijn allebei f(). F () = ( + ) = ; het verschil is dus. ( ) ( ) f() d = + + = = 7 = 5 ( ) ( ) ( ) f() d = + = = 8 = 5 d. De constante (in dit geval ) verdwijnt bij het aftrekken. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -

7 . f() = sin () f'() = sin() cos() Denk aan de kettingregel! ( ) g() = cos () g'() = cos() sin() = sin() cos() sin () + cos () = sin () = cos () f() = cos () + f en g schelen dus de constante. Bijvoorbeeld: h() = sin () + 5, j() = cos (), k() = cos().. d = d = d = = cos() d = sin(). 7 7 F() = F'() = 5 d =, d = d = d = = 5. d =, maar dat bestaat niet. In A7 zien we dat d e = log() = ln() = + ( ) d ( ) d ( ) d + = + = = = d = = 5 d. ( + ) d ( == + + ) d = ( + ) d = + + = + + Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 7 -

8 7. ( ) ( ) ( 5) d = = = + = ( ) d = = + = = ( ) ( ) d. ( ) d = = + = = 8 sin() d = cos() = ( ) = e. cos() d sin() ( ) ( ) = = = f. ( ) ( ) ( ) ( ) d = d + d = + = + = ( ) 5 d = = = 8 ( ) ( ) A() = d = = = of ( ) A() = 7 = 7 = = 8, a, cos() d = sin(). laatje ( ) ( ) sin( ) d = cos( ) = =. f() = f() = en f( ) = = = De ingesloten oervlakte is: ( ) d = ( ) d = = ( ) ( ) = = = = Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 8 -

9 . ( ) ( ) sin() d = cos() = cos( ) cos( = + = sin() d cos() = = ( cos() ) ( cos( ) = + = sin() d cos() = = ( cos( ) ) ( cos( ) = + = ( ) ( ) sin() d = cos() = cos() cos() = + = 5. De sin(a) d = als de oervlakte boven de -as even groot is als de oervlakte onder de -as. Dat is het geval als de eriode van de functie een deler is van, dus als a =, 8, enz. G-. ( ) ( ) d = = = 9 d = ( ) ( ) = = A() = 9 = 9 = Als heel groot wordt, dan, de oervlakte kan nooit meer dan worden. G-. b c c ( ) ( ) f() d + f() d = F(b) F(a) + F(c) F(b) = F(c) F(a) = f() d a b a b ( ) a f() d = F(b) F(a) = (F(a) F(b) = f() d a b G-. f() = f'() = De helling van de raaklijn is: f'() = = ; De vergelijking van de raaklijn door (,) is: y = ( ) + = + b,c,d. De gearceerde oervlakte is: ( ) 8 ( ) ( ) ( + ) d d = + d = + = + = Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - 9 -

10 G-. In het snijunt hebben ze dezelfde snelheid. Voor Ton is de wegformule: ston = t Voor Elise is de wegformule: t ( ) t selise =,, d =,55, =,55 t, t Ton Elize s = s t =,55 t, t, t,55 t + t = t(, t,55 t + ) = t = t = 5 t = Na 5 sec wordt Ton door Elise ingehaald, dat is na 9 meter. Na sec is het andersom. G-5. ( cos() + sin ) d = sin() d. ( ) d = ( + 5) ( cos( ) ) d = sin( ) e. sin() ( cos() + ) d = ( cos() + ) d = + f. + d ( 5) = 5 G ,8 t d =,9 t =,5m. Na 5 s. is de snelheid 9 m/s en na s. nog maar m/s; de afname er sec is 9 = 9 m/s. 5 v(t) = 9 t + b ; (5, 9) invullen, levert: v(t) = 9 t + 9 met 5 t. d. ( ) t dt = 9 t,5 t = 9 57,5 =,5 meter. e. Er is totaal,5 +,5 =, 5 +, = 55 meter afgelegd. 5 G-7. De nulunten zijn = en =; de oervlakte is: ( ) f() = + b f'() = + b f'() = b De nulunten zijn = en =b; -coördinaat van de to is b. De helling in (,) is b; de hoogte van C wordt dus De oervlakte van de driehoek is: + d = + = + = b b = b basis hoogte = b b b =. Uitwerkingen vwo B deel, hoofdstuk A - -