ICT - Cycloïden en andere bewegingen

Transcriptie

1 ICT - Ccloïden en andere bewegingen bladzijde 80 a ( 0, ) b Als de middelpuntshoek radiaal is, is de bijbehorende booglengte: omtrek π π = meter. er seconde wordt er over radiaal gedraaid en wordt er dus π meter afgelegd. Dus is de snelheid m/s. c sin = cos = geeft sin t geeft cost = en dus is = sin t = en dus is = cos t d Het wiel beweegt met m/s dus na t seconden is er horizontaal t meter afgelegd. De hoogte van het middelpunt is constant m. Dus ( t, ). e = + = t + sin t en = + = + cos t a Gebruik de resultaten van de vorige opdracht: = sin t = t sin t en = cos t = cos t. Dus voor geldt = t sin t = cos t O 0 0 b = + = t + sin t = t + sin t en = + = + cos t = + cos t 9 8 O

2 ICT - Ccloïden en andere bewegingen Bladzijde 8 a = t + sin t geeft d dt = + cos t = + cos t geeft d = sin t dt b v t ( ) = t t d t + d t = ( + cos ) + ( sin ) = cost d d c De grafiek van v moet in een assenstelsel met een horizontale t-as worden getekend en verticaal worden moet m/s worden uitgezet. Het assenstelsel van opdracht heeft een horizontale -as en een verticale as in meters. d Als cost minimaal is, is ook v(t) minimaal. Dit is het geval als cost = dus als t = π + k π (k = geheel getal). Als cost maimaal is, is ook v(t) maimaal. Dit is het geval als cost = en dus als t = k π (k = geheel getal). a In dat geval moet b kleiner zijn dan a. b Dan is b groter dan a. c Neem bijvoorbeeld a = en b =,. d e O Omdat de grafiek een lus heeft. d dt = +, sin t en d =, cos t dt ( ) + ( ) f v = +, sin t, cos t O Er kan niet aan de baansnelheid worden gezien dat het punt zich achterwaarts beweegt. De baansnelheid is altijd positief. 99

3 ICT - Ccloïden en andere bewegingen Bladzijde 8 a Nadat je het bestand hebt geopend zie je dat = 0, 8t + 0, sin t en = 0, + 0, cos t Dus moet gelden: = 0, 8, r = 0, en p =. De lengte van de trappers is 0, en de afstand van de trapas tot de grond is 0,. b De waarde van p heeft te maken met het aantal omwentelingen van de trappers per afgelegde afstand. Dus bij een lagere versnelling wordt p groter. c Alleen vooruit. d d dt want die geeft de snelheid in horizontale richting van een trapper. Als d dt < 0 is dan bewegen de trapper achterwaarts. e Als = t r cos pt dan is d = + r sin pt. Als + pr sin pt < 0 r bewegen de dr trappers enige tijd achterwaarts. Dit is het geval als sin pt <. pr Omdat < sin < heeft deze ongelijkheid een interval met oplossingen als < <. pr Omdat, r en p positieve constanten zijn geldt altijd <. pr Blijft over de ongelijkheid < pr dus > geeft pr pr >. a p = of p = b Dan is de snelheid van verandering in horizontale en in verticale richting 0. Als pr = voor een waarde van t dan is op dat moment de snelheid van verandering 0. a Na t seconden is er t meter langs een cirkel met straal 0 afgelegd. De lengte van een cirkelboog met middelpuntshoek α is α π 0 = 0α. π Dan moet 0α = t en is α = 0, t en dus is N na t seconden over 0, t radialen gedraaid. b De middelpuntshoek die bij booglengte t van een cirkel met straal hoort is t radialen. Dus als de cirkel met middelpunt N langs een rechte lijn rolt over t meter draait N over t radialen. Echter deze cirkel rolt langs de cirkel met middelpunt en dan draait N over 0, t. Dus draait N over t + 0, t =, t rad. c N beweegt zich ten opzichte van volgens = sin 0, t en = cos 0, t beweegt zich ten opzichte van N volgens = sin, t en = cos, t Dus beweegt ten opzichte van volgens d = sin 0, t + sin, t = cos 0, t + cos, t = sin 0, t + sin, t = cos 0, t + cos, t Bladzijde 8 8 Kies = 0, r = en c = 00

4 ICT - Ccloïden en andere bewegingen 9a = sin 0, π t + sin, π t = cos 0, π t + cos, π t 9 8 O 8 9 ( ) = ( + ) + ( ) b v t π cos πt π cos πt π sin πt π sin πt Dit kun je met behulp van onder andere de somformules van paragraaf. herleiden ( ) = + π tot v t 0 cos πt. c inimaal als cos πt = dus als t = + k (k geheel ). d De maimale baansnelheid is cos πt = dus als t = k (k geheel ). e = sin πt + sin πt = cos πt + cos πt ( ) = ( + ) + ( πt ) π ( ) = + cos πt. f v t π cos πt π cos πt π sin πt π sin Dit kun je herleiden tot v t O inimaal als cos πt = dus als t = + k (k geheel) aimaal als cos πt = dus als t = k (k geheel) 0

5 raktische opdracht - oolvoorstellingen Bladzijde 8 a O b = cos θ = sin θ c Voor de afstand van een punt (, ) op de cirkel tot O(0, 0) geldt: d - ( 0) + ( 0) =. Links en rechts kwadrateren geeft dan + =. C E O De kromme is de cirkel met middelpunt (0, ) en straal. Het punt C hoort bij θ = π en bij θ = π. Het punt E hoort bij θ = π. O De kromme is de cirkel met middelpunt (0, 0) en straal,. Het punt hoort bij θ = π en bij θ = π. Het punt hoort bij θ = π. 0

6 raktische opdracht - oolvoorstellingen O Het punt hoort bij θ = π en bij θ = π. Het punt (0, 0) hoort bij θ = π. Bladzijde 88 a O b θ is wel gelijk aan π, maar punt voldoet aan r = sin = sin θ π = 0,, dus is = r cos θ = 0, cos π = 0, en = r sin θ = 0, sin π = 0, 8. Dus ligt in het vierde kwadrant. = r cos θ c Invullen van r = sin θ in geeft de gevraagde parametervoorstelling. = r sin θ a 0, 0, O 0, 0, Geplot zijn de grafieken voor n =, en. Voor n = krijg je de cirkel met straat 0,; voor n = een kromme met vier bladen en voor n = een kromme met drie bladen. Ook is de eenheidscirkel getekend. Alle punten van deze krommen liggen op of binnen de eenheidscirkel want sin nθ dus geldt r. 0

7 raktische opdracht - oolvoorstellingen b c aak een tabel met de waarden van n en het aantal blaadjes. n Aantal blaadjes 8 Voor n even is het aantal n. Voor n oneven is het aantal n. aak weer een tabel met de waarden van n en het aantal smmetrie assen. n Aantal smmetrieassen 8 Voor n even is het aantal n. Voor n oneven is het aantal n. Bladzijde 89 a 0 8 A O 8 0 a b cos θ = OA OA = OA OA cos θ = a cos θ 0 8 O 8 0 en r = OA A = a p cosθ 0

8 raktische opdracht - oolvoorstellingen A O C B A O C B 0