Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38

2 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen 2 / 38

3 3 / 38

4 Normale verdeling Def. Een continue stochast X heeft een normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ als de dichtheidsfunctie deze vorm heeft: f (x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2. 4 / 38

5 Normale verdeling Def. Een continue stochast X heeft een normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ als de dichtheidsfunctie deze vorm heeft: f (x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2. Def. De standaard normale verdeling is de normale verdeling met gemiddelde 0 en standaardafwijking 1. De dichtheidsfunctie is: f (x) = 1 2π e x2 2. De verdeling wordt vaak aangeduid met P s. 4 / 38

6 Normale en binomiale verdeling Met de toename van n gaat de binomiale verdeling ( ) n p k (1 p) n k k steeds meer lijken op de normale verdeling met gemiddelde p en standaardafwijking p(1 p): P(a X b) steeds dichter bij b a 1 e (x p) p(1 p) 2π 2 2p(1 p) dx. 5 / 38

7 Het belang van de normale verdeling Veel verdelingen lijken op de normale verdeling. 6 / 38

8 Het belang van de normale verdeling Veel verdelingen lijken op de normale verdeling. De Centrale Limietstelling. 6 / 38

9 Normaliseren St. Als X een normale verdeling heeft met gemiddelde µ en standaardafwijking σ, dan heeft de stochast de standaard normale verdeling. X µ σ 7 / 38

10 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. 8 / 38

11 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 8 is P(X 8) = P( X ) = P(X ). 8 / 38

12 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 8 is P(X 8) = P( X ) = P(X ). Uit tabel C.1 blijkt dat (afrondend op 2 decimalen) Dus P(X 8) = P s (z 1 3 ) = / 38

13 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. 9 / 38

14 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 5 is P(X 5) = P( X ) = P(X ). 9 / 38

15 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 5 is P(X 5) = P( X ) = P(X ). Uit tabel C.1 blijkt dat P s (z 2 3 ) = Dus P s (z 2 3 ) = , en daarmee P s (z 2 ) = = / 38

16 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 7 en standaardafwijking 3. De kans dat X 5 is P(X 5) = P( X ) = P(X ). Uit tabel C.1 blijkt dat P s (z 2 3 ) = Dus P s (z 2 3 ) = , en daarmee P s (z 2 ) = = Dus P(X 5) = / 38

17 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 3 en standaardafwijking / 38

18 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 3 en standaardafwijking 2. Het 40 e percentiel is de waarde x waarvoor P(X x) = 0.4. Dat wil zeggen, de x waarvoor P( X +3 2 x+3 2 ) = / 38

19 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 3 en standaardafwijking 2. Het 40 e percentiel is de waarde x waarvoor P(X x) = 0.4. Dat wil zeggen, de x waarvoor P( X +3 2 x+3 2 ) = 0.4. Uit tabel C.1 blijkt dat (afrondend op 1 decimaal) P s (z 0.26) = 0.4, dus P s (z 0.26) = / 38

20 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 3 en standaardafwijking 2. Het 40 e percentiel is de waarde x waarvoor P(X x) = 0.4. Dat wil zeggen, de x waarvoor P( X +3 2 x+3 2 ) = 0.4. Uit tabel C.1 blijkt dat (afrondend op 1 decimaal) P s (z 0.26) = 0.4, dus P s (z 0.26) = 0.4. Daarmee P( X ) = / 38

21 Normaliseren: toepassing Vb. Zij X een stochast met een normale verdeling met gemiddelde 3 en standaardafwijking 2. Het 40 e percentiel is de waarde x waarvoor P(X x) = 0.4. Dat wil zeggen, de x waarvoor P( X +3 2 x+3 2 ) = 0.4. Uit tabel C.1 blijkt dat (afrondend op 1 decimaal) P s (z 0.26) = 0.4, dus P s (z 0.26) = 0.4. Daarmee P( X ) = 0.4. Het 40 e percentiel is dus x = 2 ( 0.26) 3 = / 38

22 Convergentie van het steekproefgemiddelde We zagen St. Als X een stochast is met E(X ) = µ en Var(X ) = σ 2 en het bijbehorende experiment wordt n maal herhaald, dan geldt E( X ) = µ Var( X ) = σ2 n. 11 / 38

23 Convergentie van het steekproefgemiddelde We zagen St. Als X een stochast is met E(X ) = µ en Var(X ) = σ 2 en het bijbehorende experiment wordt n maal herhaald, dan geldt E( X ) = µ Var( X ) = σ2 n. De volgende stellingen preciseren en versterken deze stelling. 11 / 38

24 De Markov ongelijkheid St. Zij X een stochast met P(X 0) = 1. Dan voor elk getal t > 0: P(X t) E(X ). t 12 / 38

25 De Markov ongelijkheid St. Zij X een stochast met P(X 0) = 1. Dan voor elk getal t > 0: P(X t) E(X ). t Bew. We bewijzen de stelling voor een discrete stochast met waarden x 1,..., x n. 12 / 38

26 De Markov ongelijkheid St. Zij X een stochast met P(X 0) = 1. Dan voor elk getal t > 0: P(X t) E(X ). t Bew. We bewijzen de stelling voor een discrete stochast met waarden x 1,..., x n. Dan E(X ) = n x i P(X = x i ) = x i P(X = x i ) + x i P(X = x i ). x i <t x i t i=1 12 / 38

27 De Markov ongelijkheid St. Zij X een stochast met P(X 0) = 1. Dan voor elk getal t > 0: P(X t) E(X ). t Bew. We bewijzen de stelling voor een discrete stochast met waarden x 1,..., x n. Dan E(X ) = n x i P(X = x i ) = x i P(X = x i ) + x i P(X = x i ). x i <t x i t i=1 Omdat alle waarden van X positief zijn volgt hieruit E(X ) x i P(X = x i ) tp(x = x i ) = tp(x t). x i t x i t 12 / 38

28 St. Voor elk getal t > 0: De Chebyshev ongelijkheid P( X E(X ) t) Var(X ) t / 38

29 St. Voor elk getal t > 0: De Chebyshev ongelijkheid P( X E(X ) t) Var(X ) t 2. Bew. Laat Y de stochast (X E(X )) 2 zijn. Dan P(Y 0) = 1 en E(Y ) = Var(X ). 13 / 38

30 St. Voor elk getal t > 0: De Chebyshev ongelijkheid P( X E(X ) t) Var(X ) t 2. Bew. Laat Y de stochast (X E(X )) 2 zijn. Dan P(Y 0) = 1 en E(Y ) = Var(X ). Uit de Markov ongelijkheid volgt: P( X E(X ) t) = P(Y t 2 ) E(Y ) t 2 = Var(X ) t / 38

31 St. Voor elk getal t > 0: De Chebyshev ongelijkheid P( X E(X ) t) Var(X ) t 2. Bew. Laat Y de stochast (X E(X )) 2 zijn. Dan P(Y 0) = 1 en E(Y ) = Var(X ). Uit de Markov ongelijkheid volgt: P( X E(X ) t) = P(Y t 2 ) E(Y ) t 2 = Var(X ) t 2. St. Voor elk getal t > 0: P( X E(X ) < t) 1 Var(X ) t / 38

32 De Wet van de Grote Getallen St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X µ < ɛ) = 1. n 14 / 38

33 De Wet van de Grote Getallen St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X µ < ɛ) = 1. n Bij toenemende n neemt de kans dat X dicht bij µ ligt toe. 14 / 38

34 De Wet van de Grote Getallen St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X µ < ɛ) = 1. n Bij toenemende n neemt de kans dat X dicht bij µ ligt toe. 14 / 38

35 De Wet van de Grote Getallen St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X µ < ɛ) = 1. n Bij toenemende n neemt de kans dat X dicht bij µ ligt toe. Bew. Laat σ 2 de variantie van X zijn. We zagen dat dan Dus volgt met Chebyshev: E( X ) = µ Var( X ) = σ2 n. 14 / 38

36 De Wet van de Grote Getallen St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X µ < ɛ) = 1. n Bij toenemende n neemt de kans dat X dicht bij µ ligt toe. Bew. Laat σ 2 de variantie van X zijn. We zagen dat dan Dus volgt met Chebyshev: E( X ) = µ Var( X ) = σ2 n. P( X µ < ɛ) 1 σ2 nɛ / 38

37 De Wet van de Grote Getallen St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ geldt voor elke ɛ > 0: lim P( X µ < ɛ) = 1. n Bij toenemende n neemt de kans dat X dicht bij µ ligt toe. Bew. Laat σ 2 de variantie van X zijn. We zagen dat dan Dus volgt met Chebyshev: E( X ) = µ Var( X ) = σ2 n. P( X µ < ɛ) 1 σ2 nɛ 2. Omdat lim n σ 2 nɛ 2 = 0 is de stelling bewezen. 14 / 38

38 De frequentistische interpretatie Bevestigt de Wet van de Grote Getallen de frequentistische interpretatie van het begrip kans? 15 / 38

39 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan door vaak een munt te gooien de kans dat het gemiddelde aantal keren dat kop gegooid wordt meer dan 0.3 afwijkt van 0.5, kleiner dan 0.01 worden? 16 / 38

40 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan door vaak een munt te gooien de kans dat het gemiddelde aantal keren dat kop gegooid wordt meer dan 0.3 afwijkt van 0.5, kleiner dan 0.01 worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X ) / 38

41 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan door vaak een munt te gooien de kans dat het gemiddelde aantal keren dat kop gegooid wordt meer dan 0.3 afwijkt van 0.5, kleiner dan 0.01 worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X ) Met Chebyshev: P( X ) 0.25 n(0.3) / 38

42 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan door vaak een munt te gooien de kans dat het gemiddelde aantal keren dat kop gegooid wordt meer dan 0.3 afwijkt van 0.5, kleiner dan 0.01 worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X ) Met Chebyshev: P( X ) 0.25 n(0.3) 2. Dus P( X ) 0.01 voor n (0.3) 2 = / 38

43 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan voor elk willekeurig getal 0 < δ < 1 door vaak te gooien de kans dat het gemiddelde minder dan 0.01 afwijkt van 0.5, groter dan δ worden? 17 / 38

44 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan voor elk willekeurig getal 0 < δ < 1 door vaak te gooien de kans dat het gemiddelde minder dan 0.01 afwijkt van 0.5, groter dan δ worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X 0.5 < 0.01) δ. 17 / 38

45 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan voor elk willekeurig getal 0 < δ < 1 door vaak te gooien de kans dat het gemiddelde minder dan 0.01 afwijkt van 0.5, groter dan δ worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X 0.5 < 0.01) δ. Met Chebyshev: P( X 0.5 < 0.01) n(0.01) / 38

46 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan voor elk willekeurig getal 0 < δ < 1 door vaak te gooien de kans dat het gemiddelde minder dan 0.01 afwijkt van 0.5, groter dan δ worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X 0.5 < 0.01) δ. Met Chebyshev: P( X 0.5 < 0.01) n(0.01) 2. Daarmee P( X 0.5 < 0.01) δ voor n waarvoor n(0.01) 2 δ. 17 / 38

47 De Chebyshev ongelijkheid: voorbeelden Vb. Kan voor elk willekeurig getal 0 < δ < 1 door vaak te gooien de kans dat het gemiddelde minder dan 0.01 afwijkt van 0.5, groter dan δ worden? X is het steekproefgemiddelde bij het n maal gooien van de munt. Gevraagd wordt naar n waarvoor P( X 0.5 < 0.01) δ. Met Chebyshev: P( X 0.5 < 0.01) n(0.01) 2. Daarmee P( X 0.5 < 0.01) δ voor n waarvoor n(0.01) 2 δ. Dus n δ. 17 / 38

48 De Centrale Limietstelling St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ en standaardafwijking σ geldt voor elke a dat lim P( X µ a) = P s (z a). n σ n 18 / 38

49 De Centrale Limietstelling St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ en standaardafwijking σ geldt voor elke a dat lim P( X µ a) = P s (z a). n σ n Bij toenemende n benadert X de normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ n. 18 / 38

50 De Centrale Limietstelling St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ en standaardafwijking σ geldt voor elke a dat lim P( X µ a) = P s (z a). n σ n Bij toenemende n benadert X de normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ n. De Centrale Limietstelling is een versterking en precisering van de Wet van de Grote Getallen. 18 / 38

51 De Centrale Limietstelling St. Voor een stochast X met verwachtingswaarde (gemiddelde) µ en standaardafwijking σ geldt voor elke a dat lim P( X µ a) = P s (z a). n σ n Bij toenemende n benadert X de normale verdeling met gemiddelde µ en standaardafwijking σ n. De Centrale Limietstelling is een versterking en precisering van de Wet van de Grote Getallen. Def. σ X = σ n is de standaardfout van het gemiddelde. 18 / 38

52 De Centrale Limietstelling: toepassing Vb. Zij X een stochast met E(X ) = 3 en Var(X ) = 4 waarvoor de verdeling onbekend is of moeilijk te berekenen. Er wordt gevraagd naar de kans dat het steekproef gemiddelde van een willekeurige steekproef ter grootte n = kleiner is dan / 38

53 De Centrale Limietstelling: toepassing Vb. Zij X een stochast met E(X ) = 3 en Var(X ) = 4 waarvoor de verdeling onbekend is of moeilijk te berekenen. Er wordt gevraagd naar de kans dat het steekproef gemiddelde van een willekeurige steekproef ter grootte n = kleiner is dan Aangenomen wordt dat n groot genoeg is om de verdeling van X als een normale verdeling met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking = 0.02 te beschouwen. 4 n = / 38

54 De Centrale Limietstelling: toepassing Vb. Zij X een stochast met E(X ) = 3 en Var(X ) = 4 waarvoor de verdeling onbekend is of moeilijk te berekenen. Er wordt gevraagd naar de kans dat het steekproef gemiddelde van een willekeurige steekproef ter grootte n = kleiner is dan Aangenomen wordt dat n groot genoeg is om de verdeling van X als een normale verdeling met verwachtingswaarde µ en standaardafwijking = 0.02 te beschouwen. Daarmee: 4 n = P( X 2.95) = P( X ) = P s(z 2.25) = P s (z 0.25). Met tabel C.1: P( X 2.95) = / 38

55 Deductieve statistiek Op grond van data verkregen uit een steekproef conclusies trekken over de populatie. 20 / 38

56 Deductieve statistiek Benjamin Disreali en Mark Twain: There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics. 21 / 38

57 Statistische toetsen Hypothese toetsen 22 / 38

58 Statistische toetsen Hypothese toetsen Schatten 22 / 38

59 Statistische toetsen Hypothese toetsen Schatten Maximum likelihood 22 / 38

60 Hypothese toetsen W.W. Rozeboom (1997) Null-hypothesis significance testing is surely the most bone-headedlly misguided procedure ever institutionalized in the rote training of science students. 23 / 38

61 Hypothese toetsen Typische toepassingen: Een medicijn wordt aan een groep patiënten toegediend en aan een controlegroep niet. Er moet besloten worden of het medicijn werkt of niet. 24 / 38

62 Hypothese toetsen Typische toepassingen: Een medicijn wordt aan een groep patiënten toegediend en aan een controlegroep niet. Er moet besloten worden of het medicijn werkt of niet. Een fabriek laat een gedeelte van een lading geproduceerde auto s testen op een defect. Er moet besloten worden of de lading goed genoeg is om bij de leverancier af te leveren. 24 / 38

63 Hypothese toetsen Typische toepassingen: Een medicijn wordt aan een groep patiënten toegediend en aan een controlegroep niet. Er moet besloten worden of het medicijn werkt of niet. Een fabriek laat een gedeelte van een lading geproduceerde auto s testen op een defect. Er moet besloten worden of de lading goed genoeg is om bij de leverancier af te leveren. De grootte van de schedels van enkele Egyptenaren uit de oudheid is bekend. Op grond van deze data wil men vaststellen of de gemiddelde grootte van de schedels van mensen in het oude Egypte gelijk is aan die van de huidige mens. 24 / 38

64 Hypothese toetsen Er zijn twee hypotheses waartussen besloten moet worden en er kunnen niet zoveel data verzameld worden dat de Wet van de Grote Getallen uitkomst biedt. 25 / 38

65 Hypothese toetsen: de hypotheses Def. Een hypothese H 0 wordt getest tegen een hypothese H a. 26 / 38

66 Hypothese toetsen: de hypotheses Def. Een hypothese H 0 wordt getest tegen een hypothese H a. H 0 is de nulhypothese en H a is de alternatieve hypothese. H a wordt ook wel H 1 genoemd. 26 / 38

67 Hypothese toetsen: de hypotheses Def. Een hypothese H 0 wordt getest tegen een hypothese H a. H 0 is de nulhypothese en H a is de alternatieve hypothese. H a wordt ook wel H 1 genoemd. De alternatieve hypothese is meestal de onderzoekshypothese, die alleen aangenomen (ondersteund) kan worden door de nulhypothese te verwerpen. 26 / 38

68 Hypothese toetsen: de hypotheses Def. Een hypothese H 0 wordt getest tegen een hypothese H a. H 0 is de nulhypothese en H a is de alternatieve hypothese. H a wordt ook wel H 1 genoemd. De alternatieve hypothese is meestal de onderzoekshypothese, die alleen aangenomen (ondersteund) kan worden door de nulhypothese te verwerpen. Over het algemeen is de nulhypothese de hypothese van geen verschil of geen onderscheid of geen relatie, en de test dient om aan te tonen dat er wel een verschil, onderscheid of relatie is. 26 / 38

69 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. Een medicijn wordt aan een groep patiënten toegediend en aan een controlegroep niet. 27 / 38

70 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. Een medicijn wordt aan een groep patiënten toegediend en aan een controlegroep niet. De nulhypothese is dat het gemiddelde aantal patiënten dat beter wordt in beide groepen gelijk is. De alternatieve hypothese is dat dat aantal in de controlegroep kleiner is. 27 / 38

71 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. De grootte van de schedels van enkele Egyptenaren uit de oudheid is bekend. 28 / 38

72 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. De grootte van de schedels van enkele Egyptenaren uit de oudheid is bekend. De nulhypothese is dat de gemiddelde grootte van de schedels van Egyptenaren in de oudheid gelijk is aan de gemiddelde grootte van de schedels van de huidige mens. De alternatieve hypothese is dat die lager is dan de huidige. 28 / 38

73 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. Een fabriek laat een gedeelte van een lading geproduceerde auto s testen op een defect. De lading mag alleen bij de leverancier afgeleverd worden als niet meer dan 0.01% defect is. 29 / 38

74 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. Een fabriek laat een gedeelte van een lading geproduceerde auto s testen op een defect. De lading mag alleen bij de leverancier afgeleverd worden als niet meer dan 0.01% defect is. De nulhypothese is dat niet meer dan 0.01% defect is. De alternatieve hypothese is dat dat meer is. 29 / 38

75 Hypothese toetsen: de hypotheses - voorbeeld Vb. Een fabriek laat een gedeelte van een lading geproduceerde auto s testen op een defect. De lading mag alleen bij de leverancier afgeleverd worden als niet meer dan 0.01% defect is. De nulhypothese is dat niet meer dan 0.01% defect is. De alternatieve hypothese is dat dat meer is. Hier gaan de hypotheses dus niet over wel/geen onderscheid, maar over het wel dan niet overschreiden van een numerieke grens. 29 / 38

76 Hypothese toetsen: de hypotheses De hypotheses die we gaan beschouwen zijn meestal van de vorm: 30 / 38

77 Hypothese toetsen: de hypotheses De hypotheses die we gaan beschouwen zijn meestal van de vorm: tweezijdig H 0 : µ = a H a : µ a 30 / 38

78 Hypothese toetsen: de hypotheses De hypotheses die we gaan beschouwen zijn meestal van de vorm: tweezijdig H 0 : µ = a H a : µ a linkszijdig H 0 : µ = a H a : µ < a 30 / 38

79 Hypothese toetsen: de hypotheses De hypotheses die we gaan beschouwen zijn meestal van de vorm: tweezijdig H 0 : µ = a H a : µ a linkszijdig H 0 : µ = a H a : µ < a rechtszijdig H 0 : µ = a H a : µ > a 30 / 38

80 Hypothese toetsen: de hypotheses - werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. Op grond van deze data wil men de volgende hypotheses over het gemiddelde cijfer µ voor genetica van de hele populatie (alle biologie studenten van de Universiteit Utrecht) toetsen: 31 / 38

81 Hypothese toetsen: de hypotheses - werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. Op grond van deze data wil men de volgende hypotheses over het gemiddelde cijfer µ voor genetica van de hele populatie (alle biologie studenten van de Universiteit Utrecht) toetsen: H 0 : µ = 7 H a : µ / 38

82 Hypothese toetsen: de hypotheses - werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. Op grond van deze data wil men de volgende hypotheses over het gemiddelde cijfer µ voor genetica van de hele populatie (alle biologie studenten van de Universiteit Utrecht) toetsen: H 0 : µ = 7 H a : µ 7. Dit is een tweezijdige toets. 31 / 38

83 Hypothese toetsen: criterium voor verwerpen H 0 Def. H 0 wordt verworpen of aangenomen (niet verworpen). 32 / 38

84 Hypothese toetsen: criterium voor verwerpen H 0 Def. H 0 wordt verworpen of aangenomen (niet verworpen). Als H 0 aangenomen wordt, wordt H a verworpen. 32 / 38

85 Hypothese toetsen: criterium voor verwerpen H 0 Def. H 0 wordt verworpen of aangenomen (niet verworpen). Als H 0 aangenomen wordt, wordt H a verworpen. Als H 0 verworpen wordt, wordt H a aangenomen. 32 / 38

86 Hypothese toetsen: criterium voor verwerpen H 0 Def. H 0 wordt verworpen of aangenomen (niet verworpen). Als H 0 aangenomen wordt, wordt H a verworpen. Als H 0 verworpen wordt, wordt H a aangenomen. Def. H 0 is waar en wordt aangenomen: correcte beslissing. H 0 is waar en wordt verworpen: fout van de 1 e soort. H a is waar en wordt aangenomen: correcte beslissing. H a is waar en wordt verworpen: fout van de 2 e soort. 32 / 38

87 Hypothese toetsen: criterium voor verwerpen H 0 Def. H 0 wordt verworpen of aangenomen (niet verworpen). Als H 0 aangenomen wordt, wordt H a verworpen. Als H 0 verworpen wordt, wordt H a aangenomen. Def. H 0 is waar en wordt aangenomen: correcte beslissing. H 0 is waar en wordt verworpen: fout van de 1 e soort. H a is waar en wordt aangenomen: correcte beslissing. H a is waar en wordt verworpen: fout van de 2 e soort. Def. Het significantieniveau is de kans op een fout van de 1 e soort en wordt aangeduid met α. 32 / 38

88 Hypothese toetsen: werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. µ is het gemiddelde cijfer voor genetica van alle studenten biologie van de UU. 33 / 38

89 Hypothese toetsen: werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. µ is het gemiddelde cijfer voor genetica van alle studenten biologie van de UU. H 0 : µ = 7 H a : µ / 38

90 Hypothese toetsen: werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. µ is het gemiddelde cijfer voor genetica van alle studenten biologie van de UU. H 0 : µ = 7 H a : µ 7. Fout van de 1 e soort: µ = 7, maar H 0 wordt verworpen. 33 / 38

91 Hypothese toetsen: werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. µ is het gemiddelde cijfer voor genetica van alle studenten biologie van de UU. H 0 : µ = 7 H a : µ 7. Fout van de 1 e soort: µ = 7, maar H 0 wordt verworpen. Fout van de 2 e soort: µ 7, maar H 1 wordt verworpen. 33 / 38

92 Hypothese toetsen: werkvoorbeeld Vb. Het gemiddelde cijfer voor genetica van 25 studenten biologie is bekend. µ is het gemiddelde cijfer voor genetica van alle studenten biologie van de UU. H 0 : µ = 7 H a : µ 7. Fout van de 1 e soort: µ = 7, maar H 0 wordt verworpen. Fout van de 2 e soort: µ 7, maar H 1 wordt verworpen. Als significantieniveau wordt 0.05 genomen. 33 / 38

93 Finis 34 / 38