Kansrekening en Statistiek

Transcriptie

1 Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 1 November 1 / 26

2 2 Statistiek Vandaag: Power Grootte steekproef Filosofie 2 / 26

3 Power 3 / 26

4 Power Def. De power (kracht) van een hypothese toets is (1 β), waarbij β de kans op een fout van de tweede soort is. Over het algemeen wil de onderzoeker dat de power van een toets groot is. De grootte van het effect (ES) is het verschil tussen de waarde van de nulhypothese en die waarmee gewerkt wordt voor de alternatieve hypothese. 4 / 26

5 Power Vb. Van een medicijn dat de lichaamstemperatuur verhoogd wil men toetsen of de gemiddelde verhoging meer dan 1.2 graden is. µ is de gemiddelde temperatuur van mensen die het medicijn slikken. α = 0.05, σ = 1.5 en de grootte van de steekproef is 25. H 0 : µ 38 H a : µ > 38. x kw = = = Men is bezorgd over een fout van de tweede soort als het gemiddelde 38.3 of meer is. Daarmee worden de hypotheses: De fout van de eerste soort is De fout van de tweede soort is H 0 : µ 38 H a : µ = P(X x kw µ = 38) = P(X < x kw µ = 38.3) = P s( X Dus de power van de toets is = < ) = / 26

6 Power: factoren die de power van een toets beïnlvoeden Wanneer alle andere factoren onveranderd blijven geldt: Het vergroten van het significantieniveau maakt een toets krachtiger. Het vergroten van de steekproef maakt een toets krachtiger. Het vergroten van het effect maakt een toets krachtiger. Eenzijdige toetsen zijn krachtiger dan tweezijdige toetsen. 6 / 26

7 Grootte van een steekproef 7 / 26

8 Grootte van een steekproef Vb. Van een medicijn dat de lichaamstemperatuur verhoogd wil men toetsen of de gemiddelde verhoging meer dan 1.2 graden is. µ is de gemiddelde temperatuur van mensen die het medicijn slikken. α = 0.05, σ = 1.5 en de grootte van de steekproef is 25. Men is bezorgd over een fout van de tweede soort als het gemiddelde 38.3 of meer is. Daarmee worden de hypotheses: H 0 : µ 38 H a : µ = ES = = 0.3. De standaard kritische waarde z α in de standaardnormale verdeling bij significantieniveau α is De kritische waarde in de verdeling van H 0 is x kw = = = z β is de genormaliseerde waarde van x kw in de verdeling van H a: z β = x kw = / 26

9 Grootte van een steekproef St. Gegeven een hypothese toets met significantieniveau α, power (1 β), grootte van het effect ES en variantie σ 2, is de juiste steekproefgrootte: n = σ2 (z β z α) 2 (ES) 2. Hierbij is z α de standaard kritische waarde bij significantieniveau α, en z β de corresponderende standaard kritische waarde in de verdeling van H a bij de gegeven grootte van het effect. Bew. Stel dat H 0 vande vorm µ a, µ a of µ = a is, en H a : µ = b. Dan ES = (b a) en er geldt z α = x kw a σ n z β = x kw b σ n z β z α = a b (a b) n σ = n σ n = σ(z β z α) (b a). 9 / 26

10 Grootte van een steekproef Vb. Het aantal uren dat jullie per week studeren: Histogram of studieuren Frequency studieuren Gemiddelde / 26

11 Grootte van een steekproef Vb. Er wordt een hypothese toets gedaan om te zien of het aantal uren dat jullie studeren per week significant minder is dan 25. Als grootte van het effect wordt 2 genomen en de standaardafwijking van de populatie is Stel dat als significantieniveau α = 0.1 wordt genomen en als power (1 β) = 0.7, hoe groot moet de grootte van de steekproef dan zijn? Omdat P s(z 1.28) = α en P s(z 0.52) = β geldt Daaruit volgt dat z α = 1.28 z β = n = (6.73)2 (1.8) 2 = De eigenlijke steekproef had grootte 36 en was dus aan de kleine kant. De power van de toets bij effectgrootte 2 is P(X x kw µ = 23) = P X 23 s( x kw 23 ) = P s( X ) = / 26

12 Filosofie van de kansrekening 12 / 26

13 Filosofie Vraag: Wat is een kans? Wat betekent de uitspraak: de kans op A is p? Wat is de rechtvaardiging voor de axioma s van de kansrekening? 13 / 26

14 Filosofie: drie van de vele theorieën Logische theorie Subjectieve theorie Frequentietheorie 14 / 26

15 Filosofie: Logische theorie John Maynard Keynes ( ) Henry Moore: Principia Ethica. Regels voor ethisch handelen. Bertrand Russell en Alfred Whitehead: Principia Mathematica. Deductie (logica). Keynes: Treatise on Probability. Inductie (waarschijnlijkheid/kansrekening). 15 / 26

16 Filosofie: Logische theorie Waarschijnlijkheid is de mate van rationeel geloof. Het is objectief (in de Platonistische zin van het woord). Het is mogelijk dat er aan de waarschijnlijkheid van zekere gebeurtenissen geen numerieke waarde toe te kennen is. 16 / 26

17 Filosofie: Principe van Onvoldoende Reden Principe van Onvoldoende Reden (Principle of Indifference) Als er geen reden bekend is om een mogelijkheid over een andere te verkiezen, dan is, gegeven deze kennis, de waarschijnlijkheid van elk van de mogelijkheden gelijk. 17 / 26

18 Filosofie: Subjectieve theorie Frank Plumpton Ramsey ( ) Bruno de Finetti ( ) 18 / 26

19 Filosofie: Subjectieve theorie Waarschijnlijkheid is de mate van persoonlijk geloof. Het is subjectief. De kans die een persoon aan een gebeurtenis toekent wordt vastgesteld door middel van een denkbeeldige weddenschap (volgende slide). 19 / 26

20 Filosofie: kansen toekennen in de Subjectieve theorie Def. De kans die een persoon aan een gebeurtenis A toekent is dat wat de persoon als weddenschapsquotiënt kiest in de volgende zetting: Persoon I kiest een getal q, de weddenschapsquotiënt, en een andere persoon, II, kiest vervolgens de inzet z. I betaalt qz aan II, en als A plaatsvindt betaalt II z aan I. De weddenschapquotiënt q wordt beschouwd als de kans die persoon I aan gebeurtenis A toekent: P I (A) def q. Def. De weddenschapsquotiënten van I voor de gebeurtenissen A 1,..., A m zijn coherent als persoon II geen inzetten kan kiezen die hem altijd winst opleveren. Probleem: Hoe komt men tot overeenstemming aangaande de objectieve kansen? Bijvoorbeeld de kans op K bij een (on)zuivere munt? 20 / 26

21 Filosofie: Subjectieve theorie St. Onder aanname van coherentie zijn in de subjectieve interpretatie de axioma s van de kansrekening waar. Bew. Alleen het bewijs van het axioma 0 P(A) 1 wordt hier gegeven. Als de weddenschapsquotiënt P I (A) > 1, dan zal II door z > 0 te kiezen altijd winst maken. En als P I (A) < 0, dan zal II door z < 0 te kiezen altijd winst maken. Omdat aangenomen is dat de weddenschapsquotiënten coherent zijn volgt hieruit dat noch P I (A) < 0 noch P I (A) > 1. Dus geldt 0 P(A) / 26

22 Filosofie: Frequentietheorie Richard Edler von Mises ( ) 22 / 26

23 Filosofie: Frequentietheorie Waarschijnlijkheidsrekening is een empirische wetenschap, zoals de natuurkunde, en houdt zich bezig met problemen waarbij ofwel dezelfde gebeurtenis zich herhaalt en herhaalt, ofwel een groot aantal uniforme elementen betrokken zijn op hetzelfde moment. Axioma van Convergentie: #A Voor elk willekeurig atribuut A van een collectief C bestaat lim n, en dat getal n is P(A C). Merk op: Een kans is altijd relatief een collectief. Probleem: Er kunnen alleen kansen toegekend worden aan fenomenen die herhaald kunnen worden. Hoe moet het collectief gekozen worden? 23 / 26

24 Filosofie: frequentietheorie versus subjectieve theorie Frequentietheorie Hypothese toetsen, zuivere schatters, betrouwbaarheidsintervallen. Subjectieve theorie Bayesiaans leren, maximum likelihood schatters. 24 / 26

25 Misschien 25 / 26

26 Finis 26 / 26