Kansrekening en Statistiek
|
|
|
- Lodewijk Goossens
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Kansrekening en Statistiek College 8 Vrijdag 2 Oktober 1 / 17
2 1 Kansrekening Geschiedenis en filosofie 2 / 17
3 De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 3 / 17
4 De Kolmogorov Axioma s De kansrekening kan uit deze axioma s worden opgebouwd: 0 P(A) 1 en P(S) = 1 (S is de uitkomstenruimte) Als A 1, A 2,... disjunct, dan P( A i ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... i=1 Voor E met P(E) 0: P(A E) = P(A E) P(E) 3 / 17
5 Wat is een kans? 4 / 17
6 Wat is een kans? Wat betekent de uitspraak de kans op gebeurtenis A is p? 4 / 17
7 Vier theorieën { logische theorie epistemologisch subjectieve theorie { frequentie theorie objectief propensity (geneigdheid tot) theorie 5 / 17
8 17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): 6 / 17
9 17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): bij het verkrijgen van een 6 bij het 4 maal gooien van een dobbelsteen is men in het voordeel: 671 staat tot 625, maar bij het verkrijgen van 2 6-en bij het 24 maal gooien van een dobbelsteen is men in het nadeel. 6 / 17
10 17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): bij het verkrijgen van een 6 bij het 4 maal gooien van een dobbelsteen is men in het voordeel: 671 staat tot 625, maar bij het verkrijgen van 2 6-en bij het 24 maal gooien van een dobbelsteen is men in het nadeel. Correspondentie tussen Blaise Pascal (wiskundige en filosoof) en Pierre de Fermat (jurist en wiskundige) over kansvraagstukken in de context van gokspelen. 6 / 17
11 17e eeuw Le Chevalier de Méré (edelman en gokker): bij het verkrijgen van een 6 bij het 4 maal gooien van een dobbelsteen is men in het voordeel: 671 staat tot 625, maar bij het verkrijgen van 2 6-en bij het 24 maal gooien van een dobbelsteen is men in het nadeel. Correspondentie tussen Blaise Pascal (wiskundige en filosoof) en Pierre de Fermat (jurist en wiskundige) over kansvraagstukken in de context van gokspelen. (Ik zie dat waarheid hetzelfde is in Toulouse als in Parijs.) 6 / 17
12 18e en 19e eeuw Jakob Bernouilli: de Wet van de grote Getallen (1713). 7 / 17
13 18e en 19e eeuw Jakob Bernouilli: de Wet van de grote Getallen (1713). Bayes: de Stelling van Bayes (1763). 7 / 17
14 18e en 19e eeuw Jakob Bernouilli: de Wet van de grote Getallen (1713). Bayes: de Stelling van Bayes (1763). Laplace: Philosophical Essay on Probabilities (1812). Determinisme: kansen drukken onwetendheid uit. 7 / 17
15 Principle of Indifference Principe van Onverschilligheid: Als er geen reden is om een gebeurtenis meer waarschijnlijk te achten dan een ander dan hebben zij gelijke kansen. 8 / 17
16 De logische theorie Keynes: Treatise on Probability (1921). Een theorie van inductief redeneren (gedeeltelijk impliceren) als uitbreiding van een theorie van deductief redeneren (met zekerheid impliceren). 9 / 17
17 De logische theorie Keynes: Treatise on Probability (1921). Een theorie van inductief redeneren (gedeeltelijk impliceren) als uitbreiding van een theorie van deductief redeneren (met zekerheid impliceren). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid die een rationeel (Platonisch?) mens aan gebeurtenissen toekent. 9 / 17
18 De logische theorie Keynes: Treatise on Probability (1921). Een theorie van inductief redeneren (gedeeltelijk impliceren) als uitbreiding van een theorie van deductief redeneren (met zekerheid impliceren). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid die een rationeel (Platonisch?) mens aan gebeurtenissen toekent. Kansen zijn voorwaardelijk. Het Principe van Onverschilligheid wordt aangenomen. 9 / 17
19 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: 10 / 17
20 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Boek paradox: er is een boek in een bibliotheek waarvan we niets weten. Een boek heeft een blauwe kaft of geen blauwe kaft. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 2. Het boek heeft een blauwe kaft of een rode kaft of geen van beide. Dus de kans dat de kaft blauw is, is / 17
21 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Boek paradox: er is een boek in een bibliotheek waarvan we niets weten. Een boek heeft een blauwe kaft of geen blauwe kaft. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 2. Het boek heeft een blauwe kaft of een rode kaft of geen van beide. Dus de kans dat de kaft blauw is, is 1 3. Mogelijke oplossing: het principe kan alleen worden toegepast op ondeelbare gebeurtenissen die even waarschijnlijk geacht worden. 10 / 17
22 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: 11 / 17
23 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. 11 / 17
24 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. 11 / 17
25 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = = / 17
26 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = = Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. 11 / 17
27 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = = Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = = / 17
28 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = = Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = = Maar P(wijn/water 2) = P(water/wijn 1 2 ). 11 / 17
29 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = = Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = = Maar P(wijn/water 2) = P(water/wijn 1 2 ). Dus 5 8 = / 17
30 De logische theorie Het probleem met het Principe van Onverschilligheid: Water/wijn paradox: gegeven is een glas met wijn en water, waarvan bekend is dat het van de ene vloeistof ten hoogtse drie maal zoveel bevat als van de andere vloeistof. Uit het principe volgt dat de verhouding wijn/water uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Dus P(wijn/water 2) = = Uit het principe volgt dat de verhouding water/wijn ook uniform verdeeld is over het interval [ 1 3, 3]. Daarom P(water/wijn 1 2 ) = = Maar P(wijn/water 2) = P(water/wijn 1 2 ). Dus 5 8 = Tegenspraak. 11 / 17
31 De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). 12 / 17
32 De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid (geloof) die een mens aan gebeurtenissen toekent. 12 / 17
33 De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid (geloof) die een mens aan gebeurtenissen toekent. Het Principe van Onverschilligheid wordt niet aangenomen. 12 / 17
34 De subjectieve theorie Bruno de Finetti en Frank Ramsey (rond 1925). Kansen staan voor de mate van waarschijnlijkheid (geloof) die een mens aan gebeurtenissen toekent. Het Principe van Onverschilligheid wordt niet aangenomen. Bezitten kansen dan nog universele eigenschappen? 12 / 17
35 De subjectieve theorie De weddenschapsinterpretatie: 13 / 17
36 De subjectieve theorie De weddenschapsinterpretatie: Def. A en B wedden om gebeurtenis E: A kiest een weddenschapsquotïent p(e) en dan kiest B een inzet S. A betaalt p(e)s aan B. Als E plaatsvindt betaalt B S aan A. p(e) wordt geïnterpreteerd als A s geloof in E. Als B de inzet zo kan kiezen dat B altijd wint, dan maakt B een Dutch book tegen A. 13 / 17
37 De subjectieve theorie De weddenschapsinterpretatie: Def. A en B wedden om gebeurtenis E: A kiest een weddenschapsquotïent p(e) en dan kiest B een inzet S. A betaalt p(e)s aan B. Als E plaatsvindt betaalt B S aan A. p(e) wordt geïnterpreteerd als A s geloof in E. Als B de inzet zo kan kiezen dat B altijd wint, dan maakt B een Dutch book tegen A. Def. Als A wedt om gebeurtenissen E 1,..., E n dan zijn de weddenschapsquotïenten p 1 (E 1 ),..., p n (E n ) coherent als B geen Dutch book tegen A kan maken. 13 / 17
38 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. 14 / 17
39 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: 14 / 17
40 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) / 17
41 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. 14 / 17
42 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. 14 / 17
43 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = / 17
44 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S p(e n )S n S i. 14 / 17
45 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S p(e n )S n S i. Dus als B S 1 = = S n = S kiest dan wint B S(p(E 1 ) + + p(e n ) 1). 14 / 17
46 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S p(e n )S n S i. Dus als B S 1 = = S n = S kiest dan wint B S(p(E 1 ) + + p(e n ) 1). Als A p(e 1 ) + + p(e n ) > 1 zou hebben gekozen, dan wint B door S > 0 te kiezen. 14 / 17
47 De subjectieve theorie St. Een verzameling weddenschapsquotïenten is coherent dan en slechts dan als zij aan de (eindige versie van de) Kolmogorov Axioma s voldoet. Bew. Bewijs van speciale instanties: Axioma: 0 P(E) 1. Als A p(e) > 1 kiest, dan wint B altijd door S > 0 te kiezen. Als A p(e) < 0 kiest, dan wint B altijd door S < 0 te kiezen. Om coherent te zijn moet A dus 0 p(e) 1 kiezen. Axioma: Als E 1,..., E n een partitie van de uitkomstenruimte is, dan P(E 1 E n ) = 1. Stel dat p(e 1 ),..., p(e n ) de weddenschapsquotïenten van A zijn en S 1,..., S n de inzetten van B. Als E i plaatsvindt wint B p(e 1 )S p(e n )S n S i. Dus als B S 1 = = S n = S kiest dan wint B S(p(E 1 ) + + p(e n ) 1). Als A p(e 1 ) + + p(e n ) > 1 zou hebben gekozen, dan wint B door S > 0 te kiezen. Als A p(e 1 ) + + p(e n ) < 1 zou hebben gekozen, dan wint B door S < 0 te kiezen. 14 / 17
48 De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: 15 / 17
49 De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: convergeren de waarschijnlijkheden die mensen toekennen bij het toenemen van informatie naar eenzelfde waarde? 15 / 17
50 De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: convergeren de waarschijnlijkheden die mensen toekennen bij het toenemen van informatie naar eenzelfde waarde? Bij onafhankelijke gebeurtenissen blijven de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden, zoals in dit voorbeeld: 15 / 17
51 De subjectieve theorie Het probleem met de a-priori kansen wanneer waarschijnlijkheden op Bayesiaanse wijze worden aangepast: convergeren de waarschijnlijkheden die mensen toekennen bij het toenemen van informatie naar eenzelfde waarde? Bij onafhankelijke gebeurtenissen blijven de a-posteriori waarschijnlijkheden gelijk aan de a-priori waarschijnlijkheden, zoals in dit voorbeeld: Vb. Een munt wordt herhaaldelijk geworpen. De kans op de n-de worp is onafhankelijk van de voorgaande worpen. K n is de gebeurtenis: de n-de worp is K. E staat voor een willekeurige uitkomst na n worpen. P(K n+1 E) = P(K n+1 E) P(E) = P(K n+1 ). 15 / 17
52 De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). 16 / 17
53 De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). 16 / 17
54 De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. 16 / 17
55 De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. Convergentie Axioma: Voor elk willekeurig attribuut A van een collectief C convergeert de relatieve frequentie van A in C. Dit getal is de kans van A gegeven C. 16 / 17
56 De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. Convergentie Axioma: Voor elk willekeurig attribuut A van een collectief C convergeert de relatieve frequentie van A in C. Dit getal is de kans van A gegeven C. Net als in de logische theorie zijn alle kansen voorwaardelijk. 16 / 17
57 De frequentie theorie von Mises: Probability, Statistics, and Truth (1928). Kansen zijn meetbare grootheden (zoals kracht in de mechanica). A collective denotes a sequence of uniform events or processes which differ by certain observable attributes, say colours, numbers, or anything else. Convergentie Axioma: Voor elk willekeurig attribuut A van een collectief C convergeert de relatieve frequentie van A in C. Dit getal is de kans van A gegeven C. Net als in de logische theorie zijn alle kansen voorwaardelijk. St. In de frequentie theorie gelden de Kolmogorov Axioma s. 16 / 17
58 Finis Kansrekening 17 / 17
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 5 Oktober 1 / 20 1 Kansrekening Indeling: Binomiaalcoëfficiënten Monty Hall Geschiedenis Filosofie 2 / 20 Binomiaalcoëfficiënten 3 / 20 Binomiaalcoëfficiënten
Statistiek voor A.I. College 10. Dinsdag 16 Oktober
Statistiek voor A.I. College 10 Dinsdag 16 Oktober 1 / 30 Jullie - onderzoek Geert-Jan, Joris, Brechje Horizontaal: lengte Verticaal: lengte tussen topjes middelvingers met gestrekte armen. DIII 170 175
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 1 November 1 / 26 2 Statistiek Vandaag: Power Grootte steekproef Filosofie 2 / 26 Power 3 / 26 Power Def. De power (kracht) van een hypothese toets is (1 β),
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 13 Dinsdag 26 Oktober 1 / 24 2 Statistiek Indeling: Hypothese toetsen Filosofie 2 / 24 Hypothese toetsen 3 / 24 Hypothese toetsen: toepassingen Vb. Een medicijn wordt
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 16 September 1 / 31 1 Kansrekening Indeling: Eigenschappen van kansen Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten 2 / 31 Vragen: cirkels Een computer genereert
Kansrekening en Statistiek. Overzicht Kansrekening
Kansrekening en Statistiek Overzicht Kansrekening 1 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten X - distributiefuncties f P(X A) = i A f (x) = i A P(X = i). 2 / 30 Overzicht: stochasten Discrete stochasten
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 1 Woensdag 9 September 1 / 39 Site: http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Literatuur: Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 2 Donderdag 15 September 1 / 42 1 Kansrekening Vandaag: Vragen Eigenschappen van kansen Oneindige discrete uitkomstenruimtes Continue uitkomstenruimtes Continue stochasten
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 27 September 1 / 30 1 Kansrekening Vandaag: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 30 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar:
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 14 September 1 / 34 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 1 Dinsdag 13 September 1 / 47 Literatuur http://www.phil.uu.nl/ iemhoff Applied Statistics for the Behavioral Sciences - 5th edition, Dennis E. Hinkle, William Wiersma,
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 12 Oktober 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 21 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft
Statistiek voor A.I. College 4. Donderdag 20 September 2012
Statistiek voor A.I. College 4 Donderdag 20 September 2012 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Cycle 3 / 30 Context 4 / 30 2 Deductieve statistiek Vandaag: Eigenschappen kansen Oneindige
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 30 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Voorwaardelijke kansen Onafhankelijkheid Stelling van Bayes 2 / 25 Vraag: Afghanistan Vb. In het leger wordt
Statistiek voor A.I. College 3. Dinsdag 18 September 2012
Statistiek voor A.I. College 3 Dinsdag 18 September 2012 1 / 45 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 45 Uitkomstenruimte 3 / 45 Vragen: voorspellen Een charlatan zegt te kunnen voorspellen of een ongeboren
Logisch denken over kansen
Logisch denken over kansen In zee met wiskunde D TU Eindhoven, 29 januari 2007 Mirte Dekkers en Klaas Landsman mdekkers@math.ru.nl landsman@math.ru.nl Radboud Universiteit Nijmegen Genootschap voor Meetkunde
Statistiek voor A.I. College 6. Donderdag 27 September
Statistiek voor A.I. College 6 Donderdag 27 September 1 / 1 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 1 Vraag: Afghanistan In het leger wordt uit een groep van 6 vrouwelijke en 14 mannelijke soldaten een
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 15 Dinsdag 2 November 1 / 16 2 Statistiek Indeling: Filosofie Schatten Centraal Bureau voor Statistiek 2 / 16 Schatten Vb. Het aantal tenen plus vingers in jullie huishoudens:
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 8 Donderdag 13 Oktober 1 / 23 2 Statistiek Vandaag: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 23 Stochast en populatie
Laplace Experimenteel Intuïtie Axiomatisch. Het kansbegrip. W. Oele. 27 januari 2014. W. Oele Het kansbegrip
27 januari 2014 Deze les Kanstheorie volgens Laplace Experimentele kanstheorie Axiomatische kanstheorie Intuïtie Kanstheorie volgens Laplace (1749-1827) De kans op een gebeurtenis wordt verkregen door
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 10 Donderdag 14 Oktober 1 / 71 1 Kansrekening Indeling: Bayesiaans leren 2 / 71 Bayesiaans leren 3 / 71 Bayesiaans leren: spelletje Vb. Twee enveloppen met kralen, waarvan
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 22 September 1 / 31 1 Kansrekening Vandaag : Vragen Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen 2 / 31 Vragen: multiple choice Bij
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 20 September 1 / 29 1 Kansrekening Indeling: Cumulatieve distributiefuncties Permutaties en combinaties 2 / 29 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens
De Dutch Book Stelling
De Dutch Book Stelling Een bachelorscriptie van Mirte Dekkers Onder begeleiding van Klaas Landsman Nijmegen, juli 2006 Inhoudsopgave Voorwoord 5 Samenvatting 7 1 Verschillende interpetaties van kansen
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 5 Dinsdag 28 September 1 / 25 1 Kansrekening Indeling: Bernouilli verdelingen Binomiale verdelingen Voorwaardelijke kansen Voor software R: van http://sourceforge.net
Statistiek voor A.I. College 7. Dinsdag 2 Oktober
Statistiek voor A.I. College 7 Dinsdag 2 Oktober 1 / 30 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 30 Vraag: test Een test op HIV is 90% betrouwbaar: als een persoon HIV heeft is de kans op een positieve
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 3 Dinsdag 21 September 1 / 21 1 Kansrekening Indeling: Uniforme verdelingen Cumulatieve distributiefuncties 2 / 21 Vragen: lengte Een lineaal wordt op een willekeurig
Interpretaties van kansen, de Dutch Book stelling en het driedeurenprobleem
Interpretaties van kansen, de Dutch Book stelling en het driedeurenprobleem Mirte Dekkers en Klaas Landsman mdekkers@math.ru.nl landsman@math.ru.nl Institute for Mathematics, Astrophysics, and Particle
Overzicht. Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen. Voorwaardelijke kans. Voorbeeld: Probabilistisch redeneren
Overzicht Statistiek voor Informatica Hoofdstuk 2: Voorwaardelijke kansen Cursusjaar 2009 Peter de Waal Departement Informatica Voorwaardelijke kans Rekenregels Onafhankelijkheid Voorwaardelijke Onafhankelijkheid
Forensische Statistiek
Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Forensische Statistiek Dit jaar is forensische statistiek het thema van de middagwedstrijd Sum of Us van het Wiskundetoernooi. In dit boekje vind je het voorbereidend
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 4 Donderdag 23 September 1 / 22 1 Kansrekening Indeling: Permutaties en combinaties 2 / 22 Vragen: verjaardag Wat is de kans dat minstens twee van jullie op dezelfde
Statistiek voor A.I. College 5. Dinsdag 25 September 2012
Statistiek voor A.I. College 5 Dinsdag 25 September 2012 1 / 34 2 Deductieve statistiek Kansrekening 2 / 34 Percentages 3 / 34 Vragen: blikkie Kinderen worden slanker als ze anderhalf jaar lang limonade
4,9. Als wiskundige. Als natuurkundige. Als theoloog. Werkstuk door een scholier 2279 woorden 2 december keer beoordeeld
Werkstuk door een scholier 2279 woorden 2 december 2006 4,9 20 keer beoordeeld Vak Wiskunde Blaise Pascal Onze opdracht was dat we een verslag over Blaise Pascal maken. Daarin laten we zijn leven als wiskundige,
Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS04), dinsdag 17 juni 2008, van uur.
Technische Universiteit Eindhoven Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening en Statistiek (2WS4, dinsdag 17 juni 28, van 9. 12. uur. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen
Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 2010: Antwoorden op de opgaven
Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200: Antwoorden op de opgaven Forensische Statistiek Voorbereidend materiaal Wiskundetoernooi 200 Antwoorden op de opgaven Als we bij een vergelijking een formule
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek Henk Broer Instituut voor Wiskunde en Informatica Rijksuniversiteit Groningen Kansrekening en Statistiek p.1 Overzicht Kansrekening en Statistiek - Geschiedenis - Loterij - Toetsen
Combinatoriek en rekenregels
Combinatoriek en rekenregels Les 4: Rekenregels (deze les sluit aan bij de paragraaf 8 van Hoofdstuk 1 Combinatoriek en Rekenregels van de Wageningse Methode, http://www.wageningsemethode.nl/methode/het-lesmateriaal/?s=y456v-d)
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Donderdag 21 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling: Stochast en populatie Experimenten herhalen Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling 2 / 38 Deductieve
Statistiek I Samenvatting. Prof. dr. Carette
Statistiek I Samenvatting Prof. dr. Carette Opleiding: bachelor of science in de Handelswetenschappen Academiejaar 2016 2017 Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Statistiek, gegevens en statistisch denken... 3 De
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 12 Vrijdag 16 Oktober 1 / 38 2 Statistiek Indeling vandaag: Normale verdeling Wet van de Grote Getallen Centrale Limietstelling Deductieve statistiek Hypothese toetsen
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 7 Dinsdag 11 Oktober 1 / 33 2 Statistiek Vandaag: Populatie en steekproef Maten Standaardscores Normale verdeling Stochast en populatie Experimenten herhalen 2 / 33 3
les 2 toeval en waarschijnlijkheid
systemen ams blok 1 les 2 toeval en waarschijnlijkheid bestaat toeval? toevallig stond er deze week een artikel over toeval in de volkskrant maar was dit wel toeval? was het voorbestemd? wat is
Kansen en Risico s in het Leven. Jelle Ritzerveld Sterrewacht Leiden
Kansen en Risico s in het Leven Jelle Ritzerveld Sterrewacht Leiden God does not play dice. A. Einstein Overzicht Introductie Deel 1: Geschiedenis Deel 2: Elementaire Kansrekening Deel 3: Toeval in de
college 4: Kansrekening
college 4: Kansrekening Deelgebied van de statistiek Doel: Kansen berekenen voor het waarnemen van bepaalde uitkomsten Kansrekening 1. Volgordeproblemen Permutaties Variaties Combinaties 2. Kans 3. Voorwaardelijke
Samenvatting Wiskunde A kansen
Samenvatting Wiskunde A kansen Samenvatting door een scholier 857 woorden 19 juni 2016 1 1 keer beoordeeld Vak Methode Wiskunde A Moderne wiskunde H1 Machtsboom Mogelijkheden tellen Aantal takken is gelijk
Wiskunde. Verzamelingen, functies en relaties. College 6. Donderdag 7 Januari
Wiskunde Verzamelingen, functies en relaties College 6 Donderdag 7 Januari 1 / 14 Kardinaliteit Def. A is de kardinaliteit van A. A = B : er is een bijectie van A naar B. A B : er is een injectie van A
introductie populatie- steekproef- steekproevenverdeling pauze parameters aannames ten slotte
toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen week 2: de steekproevenverdeling Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 5: Sampling Distributions 5.1: The
(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Opgaven voor Kansrekening
Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Je hebt 4 verschillende wiskunde boeken, 6 psychologie boeken en 2 letterkundige boeken. Hoeveel manieren zijn er om deze twaalf boeken op een boord te plaatsen als:
1 Beginselen kansrekening
1 Beginselen kansrekening Drs. J.M. Buhrman Inhoudsopgave 1.1 Experimenten en uitkomstenruimtes 1.2 Gebeurtenissen als verzamelingen 1.3 Kansregels 1.4 Voorwaardelijke kansen, onafhankelijkheid, nog meer
Wiskundige beweringen en hun bewijzen
Wiskundige beweringen en hun bewijzen Analyse (en feitelijk de gehele wiskunde) gaat over het bewijzen van beweringen (proposities), d.w.z. uitspraken waaraan de karakterisering waar of onwaar toegekend
Populaties beschrijven met kansmodellen
Populaties beschrijven met kansmodellen Prof. dr. Herman Callaert Deze tekst probeert, met voorbeelden, inzicht te geven in de manier waarop je in de statistiek populaties bestudeert. Dat doe je met kansmodellen.
Hoofdstuk 4 Kansen. 4.1 Randomheid
Hoofdstuk 4 Kansen 4.1 Randomheid Herhalingen en kansen Als je een munt opgooit (of zelfs als je een SRS trekt) kunnen de resultaten van tevoren voorspeld worden, omdat de uitkomsten zullen variëren wanneer
Kansrekening en statistiek WI2105IN deel I 4 november 2011, uur
Kansrekening en statistiek WI05IN deel I 4 november 0, 4.00 7.00 uur Bij dit examen is het gebruik van een (evt. grafische) rekenmachine toegestaan. Een formuleblad wordt uitgereikt. Meerkeuzevragen Toelichting:
Kansrekenen. Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen
Kansrekenen Lesbrief kansexperimenten Havo 4 wiskunde A Maart 2012 Versie 3: Dobbelstenen Inhoud Inleiding...3 Doel van het experiment...3 Organisatie van het experiment...3 Voorkennis...4 Uitvoeren van
Inleiding. Kansrekening. & Statistiek I. Voorjaar Richard Gill. -> teaching -> this course...
Inleiding Kansrekening & Statistiek I Voorjaar 2007 Richard Gill http://www.math.leidenuniv.nl/~gill -> teaching -> this course... 1 Bonuspunt regeling Wie bij nagenoeg alle werkcolleges (serieus) aanwezig
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 6 Donderdag 6 Oktober 1 / 1 1 Kansrekening Vandaag: Poisson verdeling Hypergeometrische verdeling Stelling van Bayes Bayesiaans leren 2 / 1 Poisson verdeling 3 / 1 Poisson
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen
Opgaven voor Kansrekening
Wiskunde 1 voor kunstmatige intelligentie Opgaven voor Kansrekening Opgave 1. Een oneerlijke dobbelsteen is zo gemaakt dat 3 drie keer zo vaak valt als 4 en 2 twee keer zo vaak als 5. Verder vallen 1,
Hoofdstuk 4 Kansrekening
Hoofdstuk 4 Kansrekening Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Kansrekening p 1/29 Gebeurtenissen experiment : gooien met een dobbelsteen
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 16 Donderdag 4 November 1 / 25 2 Statistiek Indeling: Schatten Correlatie 2 / 25 Schatten 3 / 25 Schatters: maximum likelihood schatters Def. Zij Ω de verzameling van
Bij het oplossen van een telprobleem zijn de volgende 2 dingen belangrijk: Is de volgorde van de gekozen dingen van belang?
4. tellen & kansen 4.1 Tellen Herkennen Je kunt een vraag over telproblemen herkennen aan signaalwoorden: - hoeveel mogelijkheden, manieren, routes, volgordes etc. zijn er?, - bereken het aantal mogelijkheden/manieren
2 Kansen optellen en aftrekken
2 Kansen optellen en aftrekken Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/ VWO wi-a Kansrekening Optellen/aftrekken Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl
De enveloppenparadox
De enveloppenparadox Mats Vermeeren Berlin Mathematical School) 6 april 013 1 Inleiding Een spel gaat als volgt. Je krijgt twee identiek uitziende enveloppen aangeboden, waarvan je er één moet kiezen.
Statistiek. Beschrijvend statistiek
Statistiek Beschrijvend statistiek Verzameling van gegevens en beschrijvingen Populatie, steekproef Populatie = o de gehele groep ondervragen o parameter is een kerngetal Steekproef = o een onderdeel van
Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal
Faculteit, Binomium van Newton en Driehoek van Pascal 1 Faculteit Definitie van de faculteit Wisnet-hbo update aug. 2007 (spreek uit k-faculteit) is: k Dit geldt voor elk geheel getal k groter dan 0 en
Gokautomaten (voor iedereen)
Gokautomaten (voor iedereen) In een fruitautomaat draaien de schijven I, II en III onafhankelijk van elkaar. Door een hendel kan elke schijf tot stilstand worden gebracht. In de tabel zie je wat op elke
Wet van de waterkans: vaak is het zeker dat er iets onwaarschijnlijks zal gebeuren. Waarschijnlijkheid in verschillende contexten
Wet van de waterkans: vaak is het zeker dat er iets onwaarschijnlijks zal gebeuren 2011 2015 DAT KAN GEEN TOEVAL ZIJN! WAARSCHIJNLIJKHEID VAN OBJECTIEVE KANSEN TOT SUBJECTIEVE GRADEN VAN OVERTUIGING Dit
Statistiek voor fysici
Statistiek voor fysici Prof. Jorgen D Hondt Interuniversitair Instituut voor Hoge Energieën Vrije Universiteit Brussel Vakgroep Natuurkunde Faculteit van de Wetenschappen Vrije Universiteit Brussel Inhoud
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2), Vrijdag 24 januari 24, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven
Voorbereiding Kansrekening
Voorbereiding Kansrekening 1. Kansruimte 1.1 Verzamelingenleer Voor het begrip kansruimte moeten we iets van de verzamelingentheorie weten. De moderne wiskunde is gebaseerd op de verzamelingentheorie.
TAALFILOSOFIE WAT IS BETEKENIS?
TAALFILOSOFIE WAT IS BETEKENIS? MENTALISME John Locke (1632 1704) An Essay concerning Human Understanding (1689) MENTALISME Words in their primary or immediate Signification, stand for nothing, but the
Medische Statistiek Kansrekening
Medische Statistiek Kansrekening Medisch statistiek- kansrekening Hoorcollege 1 Uitkomstenruimte vaststellen Ook wel S of E. Bij dobbelsteen: E= {1,2,3,4,5,6} Een eindige uitkomstenreeks Bij het gooien
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 9 Woensdag 7 Oktober 1 / 51 Kansrekening en Statistiek? Bevordert luieren de fantasie? Psychologie 2 / 51 Kansrekening en Statistiek? Bevordert luieren de fantasie? Psychologie
introductie kansen pauze meer kansen random variabelen transformaties ten slotte
toetsende statistiek week 1: kansen en random variabelen Moore, McCabe, and Craig. Introduction to the Practice of Statistics Chapter 4: Probability: The Study of Randomness 4.1: Randomness 4.2: Probability
Samenvatting Statistiek
Samenvatting Statistiek De hoofdstukken 1 t/m 3 gaan over kansrekening: het uitrekenen van kansen in een volledig gespecifeerd model, waarin de parameters bekend zijn en de kans op een gebeurtenis gevraagd
In de Theorie worden de begrippen toevalsvariabele, kansverdeling en verwachtingswaarde toegelicht.
Toevalsvariabelen Verkennen www.mathall.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO /5/6 VWO wi-a Kansrekening Toevalsvariabelen Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. Uitleg www.mathall.nl MAThADORE-basic
Examenprogramma wiskunde D vwo
Examenprogramma wiskunde D vwo Het eindexamen Het eindexamen bestaat uit het schoolexamen. Het examenprogramma bestaat uit de volgende domeinen: Domein A Vaardigheden Domein B Kansrekening en statistiek
Kansrekening en Statistiek
Kansrekening en Statistiek College 9 Dinsdag 18 Oktober 1 / 1 2 Statistiek Vandaag: Centrale Limietstelling Correlatie Regressie 2 / 1 Centrale Limietstelling 3 / 1 Centrale Limietstelling St. (Centrale
Paradoxen in de kansrekening aan de hand van. Dutch Books
Veerle Hisken Paradoxen in de kansrekening aan de hand van Dutch Books Bachelorscriptie, 28 september 2009 Scriptiebegeleider: prof.dr. P.D. Grünwald Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave
Kansrekening en stochastische processen 2DE18
Kansrekening en stochastische processen 2DE18 Docent : Jacques Resing E-mail: resing@win.tue.nl 1/28 The delta functie Zij De eenheids impulsfunctie is: d ε (x) = { 1ε als ε 2 x ε 2 0 anders δ(x) = lim
Toeval in de greep. De echte kans om te winnen bij het gokspel op korte en lange termijn onderzocht met simulaties(apps)
Toeval in de greep De echte kans om te winnen bij het gokspel op korte en lange termijn onderzocht met simulaties(apps) Piet van Blokland Raymond Aronds 1 Overzicht 3 avonden 1. Toeval. 2. Fruitmachine.
Keuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde
Keuze-Axioma en filosofische vragen over de Wiskunde Jaap van Oosten Department of Mathematics, Utrecht University Caleidsocoop 1, 3 april 2012 In de wiskunde bewijzen we stellingen (uitspraken). In het
Inleiding Kansrekening
Inleiding Kansrekening voor het 1e jaar wiskunde, 2e jaar natuurkunde en informatica docent: Hans Maassen November 2007 Onderwijsinstituut voor Wiskunde, Natuurkunde en Sterrenkunde Radboud Universiteit
Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst.
Statistiek I Werkcollege 1 Populatie: De gehele groep elementen waarover informatie wordt gewenst. Steekproef: Gedeelte van de populatie dat feitelijk wordt onderzocht om informatie te vergaren. Eenheden:
Statistische paradoxen in de rechtszaal - theorie, voorbeelden en antwoorden
Statistische paradoxen in de rechtszaal - theorie, voorbeelden en antwoorden Charlotte Vlek www.charlottevlek.nl c.s.vlek@rug.nl 1 februari, 2014 1 Theorie 1.1 Bayesiaanse statistiek Met Bayesiaanse statistiek
Vertaling van enkele termen uit de kansrekening en statistiek alternative hypothesis alternatieve hypothese approximate methods benaderende methoden asymptotic variance asymptotische variantie asymptotically
Toetsende Statistiek 2011
Toetsende Statistiek 011 NB Volgt op Inleiding M&T. 7 weken college, werkgroep en practicum. In week 8 (eind december) SPSS toets + Tentamen. Week topic geen stof 1 Kansen Steekproevenverdeling Weibull
TAALFILOSOFIE. Overkoepelende vraag: WAT IS BETEKENIS?
TAALFILOSOFIE Overkoepelende vraag: WAT IS BETEKENIS? GOTTLOB FREGE (1848 1925) Logische Untersuchungen Der Gedanke Die Verneinung Gedankengefüge DER GEDANKE Logica waarheid Logica kunst van het geldig
Inleiding Kansrekening en Statistiek
Inleiding Kansrekening en Statistiek Inleiding Kansrekening en Statistiek S.J. de Lange VSSD 4 VSSD Eerste druk 1989 Tweede druk 1991-2007 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The
Ter Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Gödels Onvolledigheidsstellingen
Gödels Onvolledigheidsstellingen Jaap van Oosten Department Wiskunde, Universiteit Utrecht Symposium A-eskwadraat, 11 december 2014 De Onvolledigheidsstellingen van Gödel zijn verreweg de beroemdste resultaten
Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen
Praktische opdracht Wiskunde som van de ogen van drie dobbelstenen Praktische-opdracht door een scholier 918 woorden 17 maart 2002 4,9 60 keer beoordeeld Vak Wiskunde Inleiding Wij hebben gekozen voor
Een paradox bij kansrekenen
Een paradox bij kansrekenen 1 Inleiding Sinds Zeno aantoonde dat de snelvoetige Achilles de schildpad nooit zou inhalen, hebben vele paradoxen de wiskundige gemeenschap bezig gehouden. Ook de kanstheorie
Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N of I). Het is toegestaan een (grafische) rekenmachine te gebruiken.
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135 Faculteit FNWI 655 AJ Nijmegen Examen NWI-NBB Inleiding Kansrekening 1 januari 1 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting W, N of
VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN
I VERZAMELINGEN EN AFBEELDINGEN Het begrip verzameling kennen we uit het dagelijks leven: een bibliotheek bevat een verzameling van boeken, een museum een verzameling van kunstvoorwerpen. We kennen verzamelingen
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 135
Radboud Universiteit Nijmegen Heyendaalse weg 35 Faculteit FNWI 6525 AJ Nijmegen Examen NWI-NB00B Inleiding Kansrekening 2 juni 206 Schrijf boven elk vel je naam, studentnummer en studierichting (W, N
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Eindtentamen Kansrekening en Statistiek (WS), Tussentoets Kansrekening en Statistiek (WS), Vrijdag 8 april, om 9:-:. Dit is een tentamen
foundationalist: Er zijn zelf-evidente, en dus zelfrechtvaardigende, overtuigingen. Er zijn zelf-evidente, waarheidsbehoudende inferentieregels.
Foundationalisme en a priori overtuigingen foundationalist: Er zijn zelf-evidente, en dus zelfrechtvaardigende, a priori overtuigingen. Er zijn zelf-evidente, waarheidsbehoudende inferentieregels. Terreinen