Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen

Transcriptie

1 Les 7-8: Parameter- en Vergelijkingstoetsen I Theorie : A. Algemeen :. Hypothese formuleren. H 0 : nul-hypothese H : alternatieve hypothese 2. teekproef nemen. x en 2 zijn te berekenen uit de steekproefresultaten. 3. Toetsgrootheid berekenen. 4. Aanvaardingsinterval construeren. 5. Besluit trekken. A.d.h.v. de toetsgrootheid en het aanvaardingsinterval of de p-waarde gaan we H 0 aanvaarden of verwerpen. B. pecifiek : Door gebruik te maken van de bijgevoegde schema's kunnen we uitmaken welke verdeling en toetsgrootheid men moet gebruiken. C. pecifiek voor vergelijkingstoetsen : Gepaarde waarnemingen : Met elke X i is een Y i geassocieerd. In het bijzonder is n = n 2 = n, Niet-gepaarde waarnemingen : Er zijn twee steekproeven uit verschillende populaties.

2 PARAMETERTOETEN Gemiddelde Populatie N(µ, ) 2 onbekend T = 2 bekend Z = X µ n t(n-) X µ n N(0, ) Populatie verdeling onbekend 2 X µ onbekend Z = n N(0, ) 2 bekend X µ Z = n N(0, ) Variantie - Voorwaarde : Populatie N(µ, ) n < 30 n 30 ( n ) 2 χ 2 (n-) 2 2 ( n ) N(0, )

3 VERGELIJKINGTOETEN Gemiddelde Gepaarde Waarneming 2 bekend, N of n 0 d Z = n N(0, ) 2 d onbekend, N of n 30 T = d n t(n-) Onafhankelijke Waarneming n,n 2 > 30 Z = n,n 2 < 30, N en 2 = 2 2 T = X X + n n X X2 + n n 2 N(0, ) t(n + n 2-2) Variantie - Voorwaarde : Populatie N(µ, ) F = F(n -, n 2 -) Met: di = xi yi d = n ( di d) n i= 2 d = n n d i i= ( n ) + ( n ) = n + n

4 AANVAARDINGINTERVALLEN H 0 is altijd van de vorm : H 0 : =. Voor T : 2-zijdig H : X µ verwerpen als T [-t -α/2 ; t -α/2 ] -zijdig H : X > µ verwerpen als T ]- ; t -α ] -zijdig H : X < µ verwerpen als T [-t -α ; + [ 2. Voor Z : 2-zijdig H : X µ verwerpen als Z [-µ -α/2 ; µ -α/2 ] -zijdig H : X > µ verwerpen als Z ]- ; µ -α ] -zijdig H : X < µ verwerpen als Z [-µ -α ; + [ 3. Voor χ 2 : 2-zijdig H : 2 2 verwerpen als χ 2 [χ 2 α/2 ; χ 2 -α/2] -zijdig H : 2 > 2 verwerpen als χ 2 [0 ; χ 2 -α] -zijdig H : 2 < 2 verwerpen als χ 2 [χ 2 α ; + [ 4. Voor F : 2-zijdig H : verwerpen als F [Fα/2 ; F -α/2 ] -zijdig H : 2 > 2 2 verwerpen als F [0 ; F-α ] -zijdig H : 2 < 2 2 verwerpen als F [Fα ; + [

5 II Oefeningen :. Een fabrikant van medische flesjes geeft voor zijn flesjes een gemiddelde inhoud van 600 ml op en is een standaarddeviatie van 20 ml. Om het gemiddelde te toetsen, nemen we een steekproef van 00 stuks. Deze steekproef levert een gemiddelde waarde van 550 ml. We toetsen of de fabrikant gelijk heeft. (α = 5%) 2. De resultaten van het tentamen statistiek plegen een normale verdeling te volgen waarbij het gemiddelde van de behaalde punten per student 52 en de standaardafwijking 5 is. Een groep van 25 studenten krijgt elke avond voor zij gaan studeren een tablet ETUDON te slikken. Op het tentamen blijkt hun gemiddelde score 57 punten te bedragen. Toets met α = 0,05 of het ETUDON -resultaat verschilt van dat van de andere studenten. 3. De standaardafwijking op het gewicht (dat N(µ, )) van tubes zalf, die gemiddeld 400 gram wegen, is steeds gelijk geweest aan 25 gram. Een steekproef van 20 tubes levert ons nu een van 32 gram. Is de verandering in variabiliteit significant bij α = 0,? En bij α = 0,05? 4. Volgens een farmaceutisch bedrijf zouden er van een bepaald geneesmiddel gemiddeld 200 pillen per flesje moeten zitten. Een steekproef uitgevoerd door een verbruikersorganisatie toont dat de gemiddelde inhoud van 50 flesjes slechts 9 is, met = 7. Toets (2-zijdig en met α = 5%) of de fabrikant gelijk heeft en bereken de p-waarde. 5. Het gemiddelde IQ van 6 studenten afkomstig uit Antwerpen bedraagt 07 met A = 0. Voor 3 studenten uit Brussel bedraagt het gemiddelde IQ 2 met B = 8. Is er een significant verschil tussen de gemiddelde IQ's van de studenten uit de beide steden? (IQ N(µ, )) a. Voor α = 5% b. Voor α = %

6 6. Het oliegehalte in 0 verschillende stalen zeewater uit de buurt van de geteisterde hetland-eilanden werd bepaald door middel van 2 referentiemethodes. De gemeten waarden zijn : taal Meth. A Meth. B Mag men aannemen dat beide methoden hetzelfde gemiddelde resultaat geven? (Veronderstel α = 5% en N(µ, )) 7. Gegeven : n = 00 x = 25 = n 2 = 400 x 2 = 25,3 2 = 5 Komen deze steekproeven uit 2 populaties met verschillende gemiddelden (Bij α = 5%)? 8. De firmas JF en Q verkopen beide flesjes ontsmettingsmiddel. Uit een steekproef van 50 flesjes van JF en 50 flesjes van Q, vindt men de volgende resultaten : x JF = 97 ml JF = 3 ml x Q = 93 ml Q = 2 ml Mag men aannemen dat µ JF µ Q? (Gebruik α = 2%)