Toegepaste Statistiek, Week 3 1

Transcriptie

1 Toegepaste Statistiek, Week 3 1 In Week 2 hebben we toetsingstheorie besproken mbt een kwantitatieve (ordinale) variabele G, en met name over zijn populatiegemiddelde E(G). Er waren twee gevallen: Er is één aselecte steekproef, H 0 : E(G) = µ. Er zijn twee populaties (groepen/conditioneringen), H 0 : E(G 1) = E(G 2). We kwamen uit op toetsingsprocedures met een gegeven onbetrouwbaarheidsdrempel, de kans op het ten onrechte verwerpen van H 0. Een specifiekere alternatieve hypothese leidt tot een lagere kritieke waarde voor de toetsingsgrootheid, en dus tot een grotere kans op de keuze voor H 1 (indien H 1 waar is). De situatie van meerdere populaties, en/of verzwakkingen van de normaliteitseisen komt aan de orde in het tweede deel van de cursus.

2 Toegepaste Statistiek, Week 3 2 Deze week kijken we naar nominale variabelen. Iedere meting levert één waarde op Waarde is een indeling/klasse/categorie/groep/behandeling Statistische beschrijving: relatieve deel van iedere groep Overzicht van wat komen gaat: 1 nominale variabele met 2 categorieën, 1 steekproef 1 nominale variabele met meer groepen, 1 steekproef 2 nominale variabelen, 1 steekproef 1 nominale variabele, meerdere steekproeven De situatie van meerdere steekproeven kan worden gemodelleerd als de situatie met een extra nominale variabele die aangeeft in welke steekproef het proefobject zich bevindt. De onderzoeker kan dit opleggen, en dan neemt deze indelingsvariabele natuurlijk geen toevallige waarden aan. Dan geen statistiek van de indelingsvariabele. Maar nog wel onafhankelijkheid tussen de toevallige variabele en de indelingsvariabele. Onafhankelijkheid: De nominale variabelen T (categorieindeling) en S (groepsindeling) heten onafhankelijk als de relatieve groottes van de T -categorieën niet afhangen van de S-groep waarin je ze bekijkt. Een ordinale variabele G en een indelingsvariabele S noem je onafhankelijk als de verdelingsfunktie van G niet afhangt van de S-groep waarin je hem bekijkt. (Dus i.h.b. gelijke gemiddeldes en varianties)

3 Toegepaste Statistiek, Week 3 3 Geval: 1 nominale variabele T met 2 categorieën. Categorieën: succes en mislukking Volledige statistische beschrijving: succeskans p dat is het relatieve frequentie van succes in de populatie de relatieve frequentie van mislukking is dan 1 p Voorbeeld: Van een zekere kwaliteit maïs leidt 90% van het zaaigoed tot goed uitgegroeide planten. Succes van een maïskorrel is waarneembaar nadat hij gezaaid en uitgegroeid is. Als je herhaaldelijk een willekeurige korrel neemt, zal in 90% van de keren, de korrel succesvol zijn. De relatieve succesfrequentie is De relatieve mislukkingsfrequentie is 0.10= Schatting succeskans: Idee: succes=1, mislukking=0, nu T kwantitatief gemaakt E(T ) is 1 keer de kans op keer de kans op 0, samen p VAR(T ) = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p(1 p) Neem steekproef van omvang n Geef het aantal successen aan met a (verwachte aantal is np) Dan T n = a n Centrale Limiet Stelling zegt: Voor grote n is n( a n p) p(1 p) = standaard normaal verdeeld. a np

4 Toegepaste Statistiek, Week 3 4 T neemt slechts 2 waarden aan, 0 en 1. Histogram is dus knudde. In dit geval mogen we de grote steekproefbenadering toepassen mits het verwachte aantal successen en het verwachte aantal mislukkingen beiden groter dan 50 zijn, np 50 en n(1 p) 50. Bij het schatten van p ken je p niet, en zullen we eisen dat er minstens 50 successen en 50 mislukkingen in de steekproef opgetreden zijn. Zoniet, dan is het aan te bevelen exactere schattingsmethodes te gebruiken (zie Tweede deel). Grote steekproeven, dan geldt met kans α de bewering: d P =α a np d P =α Dit is om te bouwen tot een (1 α) 100%-betrouwbaarheidsinterval voor p, nl. p tussen a n + d2 2n ± d a n n (1 a n ) + d2 4n 1 + d2 n Vb. d = d P =0.05 = 1.960, n = 100, a = 50, ± ± (1 1 2 ) = = ( , )

5 Toegepaste Statistiek, Week 3 5 Toetsen met onbetrouwbaarheidsdrempel α: H 0 : E(T ) = succeskans = p Uitgangspunt: n( a n p) p(1 p) = a np standaard normaal verdeeld. Bespreking alternatief: H 1 : succeskans p Verwacht a np 0, wanneer onaannemelijk groot onder H 0? Als a np > d P =2α dan H 0 verwerpen. ( a np absolute waarde) Pas op! Niet toepassen! Bespreking alternatief: H 1 : succeskans > p Verwacht a np > 0, wanneer onaannemelijk groot onder H 0? Als a np > d P =2α dan H 0 verwerpen.

6 Toegepaste Statistiek, Week 3 6 Bespreking alternatief: H 1 : succeskans < p Verwacht a np < 0, wanneer onaannemelijk groot negatief onder H 0? Als a np < d P =2α dan H 0 verwerpen. We hadden bij het alternatief: H 1 : succeskans p Als a np > d P =α dan H 0 verwerpen. De onbetrouwbaarheidsdrempel van deze toets slingert rond de α, afhankelijk van n en p. Met de continuïteitscorrectie drukken we hem vrijwel onder de α. Maak het iets moeilijker om H 0 te verwerpen: Als a np 0.5 > d P =α dan H 0 verwerpen.

7 Toegepaste Statistiek, Week 3 7 Eén-weg-classificatie Nu nominale variabele T met meer dan 2 categorieën. Goodness-of-fit toets, aanpassingstoets Categorieën aanduiden met 1, 2,..., k Statistische beschrijving: De relatieve frequenties van de categorieën Voorbeeld: Genen A en a, ouders beiden hetrozygoot Aa Nakomelingen 3 categorieën, AA, Aa en aa kansen op AA en aa: 0.25, kans op Aa: 0.5 relatieve frequenties voor alle nakomelingen: AA: 0.25, aa: 0.25, Aa: 0.5 We gaan een gegeven beschrijving toetsen. H 0 : de relatieve frequenties zijn (p 1,..., p k ) Neem steekproef van omvang n, en tref geobserveerde frequenties aan: aantal a j in categorie j, dus a a k = n. onder H 0 verwachte aantallen zijn np 1,..., np k Dus de afwijkingen (a j np j ) zijn belangrijk. Als H 0 waar is, dan is voor grote n de chi-kwadraat grootheid χ 2 = (a 1 np 1 ) (a k np k ) 2 np 1 np k chi-kwadraat verdeeld met df = k 1. n groot genoeg als np j 5 voor iedere categorie. Grote afwijkingen van H 0 komen tot uitdrukking in grote waarden voor χ 2.

8 Toegepaste Statistiek, Week 3 8 Toetsen met onbetrouwbaarheidsdrempel α: Verwerp H 0 als χ 2 > χ 2 krit = χ2 df=k 1;p=α Opzoeken in de tabel I, pag.71. Voorbeeld: α = 0.05 H 0 : relatieve frequenties AA, aa, Aa zijn 0.25, 0.25 en 0.50 Waargenomen aantallen bij 32 nakomelingen: AA, aa, Aa: 9, 2, 21 Tabel: waargenomen: verwacht: O E: (O E) 2 /E: Dus χ 2 = = = 6 3 Kritieke waarde is χ 2 df=2;p= = = 5.99 (Opzoeken!) Conclusie: Je dient H 0 te verwerpen. (Klopt de theorie niet? Wat is er loos met genotype aa?) Eenvoudigere rekenformule: χ 2 = k j=1 (a j np j ) 2 np j = 1 n k j=1 a 2 j n p j Dit is een wiskundige gelijkheid. Voordeel: je hoeft meestal alleen maar eenvoudige getallen in te typen op je calculator.

9 Toegepaste Statistiek, Week 3 9 Twee-weg-classificatie Nominale variabele T, indeling in k categorieën Nominale variabele S, indeling in l groepen H 0 : De relatieve frequenties van de T -categorieën hangen niet van de S-groep af, de T -indeling is stochastisch onafhankelijk van de S-indeling. Neem een steekproef van omvang n. Waargenomen frequentie in S-groep j van T -categorie i is n ij. Waargenomen frequentie in S-groep j is n j dus n j = n 1j + n 2j + + n kj (kolomtotaal) Waargenomen frequentie in T -categorie i is n i dus n i = n i1 + n i2 + + n il (rijtotaal) en ook n = n 1 + n 2 + = n 1 + n 2 + Wat zijn de verwachte aantallen n ij. Moeilijk te zeggen. We kijken naar de verwachte aantallen bij de gegeven randtotalen! In iedere kolom verwachten we dezelfde verhouding als voor de rijtotalen, terwijl het totaal uit moet komen op de gegeven kolomsom, dus in categorie i en groep j verwacht: n j n n i We krijgen de chi-kwadraat grootheid: ij (n ij n i n j n )2 n i n j n

10 Toegepaste Statistiek, Week 3 10 Onder de hypothese van onafhankelijkheid is deze chi-kwadraat grootheid voor grote n chi-kwadraat verdeeld met als aantal vrijheidsgraden: (k 1)(l 1). n is groot genoeg als voor minstens 80% van het aantal combinaties ij geldt dat de verwachte frequentie groter of gelijk is aan 5. Verwerp H 0 (T en S zijn onafhankelijk), als χ 2 > χ 2 krit = χ2 df=(k 1)(l 1);p=α Opzoeken in de tabel I, pag.71. Dan is de onbetrouwbaarheidsdrempel α. Voorbeeld: Een zeker geneesmiddel wordt uitgeprobeerd op muizen. Muizen reageren al of niet positief. De reactie wordt bekeken bij mannetjes en bij vrouwtjes. Onderzoeksvraag: Reactie op geneesmiddel is afhankelijk van het geslacht bij muizen. Bekeken bij 20 mannetjes en 20 vrouwtjes: Reactie Pos. Neg. Rijtot. Mannetjes waargenomen: verwacht: 9 11 Vrouwtjes waargenomen: verwacht: 9 11 Kolomtot χ 2 = ( 2) ( 2)2 11 = 1.616; χ 2 df=1;p=0.05 = 3.841

11 Toegepaste Statistiek, Week 3 11 Er is weer een eenvoudigere formule, zodat je niet de verwachte aantallen eerst hoeft te berekenen, maar alleen de randtotalen: χ 2 = ij (n ij n i n j n )2 n i n j n = n ij n 2 ij n i n j n Dit is weer een wiskundige gelijkheid. Pas op: hier wordt de som tussen de grote haken niet gedeeld door n maar vermenigvuldigd! Er staat ook iets heel anders in de noemers als bij de eenvoudigere formule voor de Goodness-of-fit chikwadraatgrootheid. Voordeel: je hoeft alleen maar gehele getallen in te typen op je calculator. Twee steekproeven, toetsen gelijkheid van succeskansen: is geval van twee-weg classificatie.

12 Toegepaste Statistiek, Week 3 12 Opgave 4 5. In een F 2 generatie, waarbij de recessieve genen voor albinisme en voor aangeboren waterhoofd (congenitale hydrocephalus) in de muis betrokken zijn, vond Prof. Grüneberg de volgende aantallen: gekleurd, normaal: 47; gekleurd, waterhoofd: 13; albino, normaal: 18; albino, waterhoofd: 5. We willen nagaan of dit in overeenstemming is met de verhoudingen 9:3:3:1. Formuleer de nulhypothese, beschrijf het toetsingscriterium, voer hem uit en geef uw conclusie van de toets.