Wiskunde B - Tentamen 1

Transcriptie

1 Wiskunde B - Tentamen Tentamen 57 Wiskunde B voor CiT vrijdag januari 5 van 9. tot. uur Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven, formulebladen en tabellen. Vermeld ook uw studentnummer op uw werk en tentamenbriefje. Opgave Beschouw de volgende tabel van kansen P ( X = x, Y = y) van twee (discrete) stochastische variabelen X en Y. x \ y a. Bereken E(X ). b. Bereken de voorwaardelijke kans P ( Y = 3 X = ). c. We definiёren Z = X Y. Bepaal de kansverdeling van Z. Opgave Een fabrikant van magnetrons probeert te bepalen welke garantieperiode hij moet geven voor de magnetronbuis, het meest kritische onderdeel. Voorlopige tests hebben uitgewezen dat de levensduur (in jaren) van de magnetronbuis een exponentiёle kansverdeling heeft met λ =. 5. a. Stel dat er op de magnetronbuis een garantie van vijf jaar wordt gegeven. Toon aan dat de fabrikant ongeveer % van de magnetronbuizen moet vervangen in de garantieperiode. b. Stel een (grote) familie koopt magnetrons. Wat is de kans dat tenminste 9 van de magnetronbuizen niet vervangen hoeven te worden in de garantieperiode van 5 jaar? Opgave 3 Voor een gepland benzinestation gaat men er vanuit dat de dagelijkse vraag naar superbenzine N (6,9) -verdeeld is. Verder neemt men aan dat de vraag voor verschillende dagen onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn. Het benzinestation zal eens per week bevoorraad moeten worden. Hoe groot moet de capaciteit van de tank voor superbenzine zijn opdat de kans dat de voorraad opraakt (in één week tijd) % is?

2 Opgave 4 Een fabrikant van autoaccu s claimt dat de verdeling van de levensduur van zijn beste type accu een verwachting heeft van (tenminste) 54 maanden. Een consumentenorganisatie besluit deze claim te testen door een steekproef van 5 van dit type accu s te kopen en deze te onderwerpen aan een reeks tests die de levensduur van de accu bepalen. Voor de geteste accu s vond men een gemiddelde levensduur van 5.5 maand, de steekproefstandaardafwijking van de 5 levensduren is 6.. Voer een geschikte statistische toets uit om te onderzoeken of de claim van de fabrikant onterecht is. Volg het schema van acht stappen, vermeld aan het eind van dit tentamen. Opgave 5 De tabel op deze bladzijde toont de resultaten van een experiment gericht op het calibreren van een instrument voor het bepalen van het proteїnegehalte (percentage) van tarwe. De metingen L t/m L6 zijn metingen van de reflectie van licht voor zes golflengtes in het gebied 68-3 ( near infrared ). We willen hiermee het proteїnegehalte zo goed mogelijk voorspellen. We zullen in deze opgave alleen de metingen L3 en L4 gebruiken voor het voorspellen van het proteїne gehalte. monster Proteine L L L3 L4 L5 L

3 We passen regressie toe met het proteїnegehalte als afhankelijke variabele en met L3 en L4 als verklarende variabelen. Met het programma SPSS zijn we aan de volgende output gekomen. ANOVA df SS MS F Regression Residual.89.6 Total Coeffients B SE B T (Constant) L L a. Geef de voorspelling van het proteїnegehalte als 9 de waarde is van L3 en 4 de waarde van L4. b. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor β, de regressiecoёfficiёnt van L3. c. Bereken. R a d. Is de waarde van R a van onderdeel c een goede waarde of een slechte waarde? Motiveer je antwoord. (Als je c niet hebt opgelost gebruik dan de waarde.965 als antwoord van c.) e. De residuen uitgezet naar respectievelijk L3 en L4 hebben we ook geplot. Geef de definitie van de residuen en beoordeel aan de hand van de residuen-plots of het model goed past. residu versus L

4 residu versus L Opgave 6 Een onderwijzeres gelooft dat nieuwe, gerichte leesactiviteiten in groep 5 van de basisschool zullen helpen de leesvaardigheid van de leerlingen te verbeteren. Ze zorgt ervoor dat een groep van leerlingen gedurende een periode van 8 weken aan deze activiteiten deelneemt. Een controlegroep van 3 vergelijkbare leerlingen volgt hetzelfde lesprogramma (van dezelfde onderwijzeres), maar zonder deze activiteiten. Na afloop van de 8 weken maken alle leerlingen een leesvaardigheidstoets, de resultaten zijn als volgt. Groep Behandelingsgroep controlegroep Scores steekproefgrootte 3 steekproefgemiddelde steekproefstandaardafwijking. 7.5 a. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval van het verschil in verwachtingen van de scores. Ga uit van normale verdelingen met gelijke varianties. b. Om te onderzoeken of de twee varianties van (de verdelingen van) de steekproeven gelijk zijn, hebben we de tweezijdige overschrijdingskans van de gebruikelijke toetsingsgrootheid berekend. Deze overschrijdingskans blijkt 5.% te zijn. Moeten we op grond van deze overschrijdingskans de nulhypothese van gelijke varianties verwerpen? Neem onbetrouwbaarheidsdrempel %. Motiveer uw antwoord. 4

5 Normering: a b c a b 3 4 5a 5b 5c 5d 5e 6a 6b Totaal Schema van acht stappen.. Formuleer het kansmodel.. Formuleer nulhypothese en alternatieve hypothese H in termen van de H parameters van het kansmodel. 3. Formuleer een geschikte toetsingsgrootheid in termen van de voorkomende s.v.-en. 4. Geef de kansverdeling van de toetsingsgrootheid onder (het randpunt van) H 5. Bereken of geef de waarde van de toetsingsgrootheid. 6. Bepaal de kritieke waarde(n) en geef het kritieke gebied. of * 6. Bereken de overschrijdingskans. 7. Formuleer de conclusie omtrent het al dan niet verwerpen van H bij de gegeven onbetrouwbaarheid(sdrempel). 8. Vermeld de conclusie in gewone woorden. 5