Opgaven hoofdstuk 12 Enkelvoudige lineaire regressie

Transcriptie

1 Opgaven hoofdstuk 12 Enkelvoudige lineaire regressie 12.1 Teken voor elk van de volgende gevallen de lijn die door de gegeven punten gaat. a. (1,1) en (5,5). b. (0,3) en (3,0) c. ( 1,1) en (4,2) d. ( 6, 3) en (2,6) 12.2 De vergelijking voor een rechte lijn (deterministisch model) luidt y = ß 0 + ß 1 x Als deze lijn door het punt (-2, 4) gaat, dan moet x = 2, y = 4 aan de vergelijking voldoen; dat wil zeggen 4 = ß 0 + ß 1 (-2) Op dezelfde manier geldt dat als de lijn door het punt (4, 6) gaat, dan x = 4, y = 6 aan de vergelijking moet voldoen, dat wil zeggen 6= ß 0 + ß 1 (4) Gebruik deze twee vergelijkingen om ß 0 en ß 1 op te lossen; bepaal vervolgens de vergelijking van de lijn die door de punten ( 2,4) en (4,6) gaat Zie opgave Bepaal de vergelijking van de lijnen die door de punten gaan die in opgave 12.1 zijn genoemd Construeer een spreidingsdiagram voor de gegevens in de volgende tabel: x 0,5 1 1,5 y a. Teken de volgende lijnen in het spreidingsgram: y = 3 x en y = 1 + x b. Welke van deze lijnen zou je kiezen om het verband tussen x en y te karakteriseren? Licht je antwoord toe. c. Laat zien dat de som van de afwijkingen voor beide lijnen gelijk is aan 0. d. Welke van deze lijnen heeft de kleinste SSE? e. Bereken de kleinste-kwadratenlijn voor deze gegevens en vergelijk die met de twee lijnen die in a gegeven zijn.

2 12.5 Bereken de SSE en s 2 voor elk van de volgende gevallen: a. n = 20, SS yy = 95, SS xy = 50, 1 = 0,75. b. n = 40, Σ y 2 = 860, Σ y = 50, SS xy = 2700, 1= 0,2 c. n = 10, Σ(y i y ) 2 = 58, SS xy = 91, SS xx = Beschouw de volgende paren waarnemingen: x y a. Construeer een spreidingsdiagram voor de gegevens. b. Gebruik de methode van de kleinste kwadraten om een rechte lijn aan de zeven meetpunten in de tabel aan te passen. c. Teken de kleinste-kwadratenlijn in het spreidingsdiagram in a. d. Specificeer de nulhypothese en de alternatieve hypothese die je zou gebruiken om te toetsen of de gegevens voldoende aanwijzingen bevatten dat x informatie bijdraagt voor de (lineaire) voorspelling van y. e. Welke toetsingsgrootheid moet worden gebruikt om de hypothesetoets van d uit te voeren? Specificeer het aantal vrijheidsgraden dat bij de toetsingsgrootheid hoort. f. Voer de hypothesetoets van d uit voor α = 0, Zie opgave Construeer een 80% en een 90% betrouwbaarheidsinterval voor ß Verklaar wat elk van de volgende steekproefcorrelatiecoëfficiënten je vertelt over het verband tussen de x en de y waarden in de steekproef. a. r = 1 b. r = 1 c. r = 0 d. r = 0,90 e. r = 0,10 e. r = 0, Beschouw de paren meetwaarden in de tabel. x y Voor deze gegevens is SS xx = 38,9000, SS yy = 33,600, SS xy = 32,8, en y = -0, ,843 x.

3 a. Construeer een spreidingsdiagram voor deze gegevens. b. Teken de kleinste-kwadratenlijn in het spreidingsdiagram. c. Gebruik een 95% betrouwbaarheidsinterval om de verwachting te schatten van y als x p = 6. Teken de boven- en ondergrens van het interval in het spreidingsdiagram. d. Herhaal c, maar nu voor x p = 3,2 en x p = 0. e. Vergelijk de breedte van de drie betrouwbaarheidsintervallen die je in c en d hebt geconstrueerd en leg uit waarom deze verschillend zijn Zie opgave a. Schat en bereken een 95% betrouwbaarheidsinterval voor de verwachting van y zonder gebruik te maken van informatie over x. [Aanwijzing: Gebruik de t-methode voor één steekproef van paragraaf 7.3] b. Teken de geschatte verwachting van y en het betrouwbaarheidsinterval als horizontale lijnen in het spreidingsdiagram. c. Vergelijk de betrouwbaarheidsintervallen die je in c en d van opgave 12.9 hebt berekend met het interval dat je in a van deze opgave hebt berekend. Ziet het er naar uit dat x informatie bijdraagt voor de verwachting van y? d. Controleer je antwoord in c met een statistische toets van de nulhypothese: H 0 : ß 1 = 0 tegen H a : ß 1 0. Gebruik α = 0, Bij het aanpassen van een kleinste-kwadratenlijn aan n = 15 meetwaarden, werden de volgende grootheden berekend: SS xx = 55, SS yy = 198, SS xy = 88, = 1,3 en y = 35. a. Bepaal de lijn van de kleinste kwadraten. b. Teken de lijn van de kleinste kwadraten. c. Bereken SSE. d. Bereken s 2. e. Bepaal een 90% betrouwbaarheidsinterval voor ß 1. Interpreteer dit. f. Bepaal een 90% betrouwbaarheidsinterval voor de verwachting van y als x = 15. g. Bepaal een 90% voorspellingsinterval voor y als x = 15.

4 12.12 De kwaliteit van jus d'orange die door een fabriek (zoals Minute Maid, Tropicana) wordt geproduceerd, wordt voortdurend gecontroleerd. Er zijn vele smaakstoffen en chemische bestanddelen die gecombineerd worden om de best smakende jus d'orange te verkrijgen. Een fabrikant heeft bijvoorbeeld een kwantitatieve index voor de zoetheid van de jus d'orange ontwikkeld. (Hoe hoger de index, des te zoeter is het sap.) Bestaat er een verband tussen de zoetheidsindex en een chemische maat, zoals de hoeveelheid in water oplosbaar pectine (in parts per million) in de jus d'orange? In de tabel staan de gegevens voor deze twee variabelen voor 24 productieperioden van een jus d'orange-fabriek. Stel dat een fabrikant een enkelvoudige lineaire regressie wil gebruiken om de zoetheid (y) te voorspellen uit de hoeveelheid pectine (x). OJUICE.DAT Monster Zoetheid Pectine (ppm) 1 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9 241 a. Bepaal de lijn van de kleinste kwadraten voor deze gegevens. b. Interpreteer 0 en 1 in termen van de vraagstelling. c. Voorspel de zoetheidsindex als de hoeveelheid pectine in de jus d'orange 300 ppm bedraagt. [Opmerking: in paragraaf 8.1 wordt een betrouwbaarheidsmaat voor zo'n voorspelling behandeld]

5 12.13 De laatste jaren zijn banken in de V.S. gefuseerd tot megabanken die vele staten omvatten. In de tabel, overgenomen uit het Journal of Banking and Finance, staat een lijst van bankfusies in de V.S. voor veertien opeenvolgende jaren waarbij 50 miljoen dollar of meer van eigenaar verwisselde bij de transactie. Jaar Aantal fusies a. Construeer een spreidingsdiagram voor de gegevens, waarbij y = aantal fusies en x = jaar. Zijn er visuele aanwijzingen voor een lineair verband tussen x en y? Licht je antwoord toe. b. Gebruik de methode van de kleinste kwadraten om een rechte lijn aan de gegevens aan te passen. c. Teken de kleinste-kwadratenlijn in het spreidingsdiagram. d. Hoeveel fusies zullen er volgens de kleinste-kwadratenlijn in jaar 15 zijn? Vergelijk je antwoord met het werkelijk aantal fusies in jaar 15: Als de economieën over de hele wereld sterk met elkaar verbonden zouden zijn, zouden de aandelenmarkten van verschillende landen op gelijke wijze fluctueren. In dat geval zou er geen reden voor beleggers zijn om hun aandelenportefeuilles te spreiden over aandelen van een reeks verschillende landen. In de tabel staan de correlaties van het rendement op aandelen in elk van zes verschillende landen met het rendement van aandelen in de V.S. Land Correlatie tussen buitenlandse en Amerikaanse aandelen Australië 0,48 Canada 0,74 Frankrijk 0,50 Duitsland 0,43 Japan 0,41 Verenigd Koninkrijk 0,58

6 a. Interpreteer de correlatie Australië/VS. Wat suggereert dit over de lineaire samenhang tussen de aandelen van deze twee landen? b. Schets een spreidingsdiagram dat ruwweg overeenkomt met de grootte van de correlatie Frankrijk/VS. c. Waarom moeten we oppassen dat we niet uit de informatie van de tabel concluderen dat Canada het land is dat het meest met de V.S. is geïntegreerd? De bloeiende economie in de jaren negentig heeft veel miljardairs gecreëerd. Forbes 400 geeft een ranglijst van de 400 rijkste personen in de VS. De 15 rijkste miljardairs van deze lijst en hun leeftijd worden in de tabel gegeven. a. Construeer een spreidingsdiagram voor deze gegevens. Wat suggereert deze grafiek met betrekking tot het verband tussen leeftijd en netto waarde van de miljardairs? b. Bepaal de correlatiecoëfficiënt en leg uit wat deze je vertelt over het verband tussen leeftijd en netto waarde. c. Als de correlatiecoëfficiënt in b het tegengestelde teken had gehad, hoe zou dat je interpretatie van het verband tussen leeftijd en netto waarde hebben veranderd? FORBES400.DAT Naam Leeftijd Vermogen (in miljoenen dollars) Gates, W Allen, P Buffett, W Ballmer, S Dell, M Walton, J Walton, H Walton, A Walton, JT Walton, S Moore, G Ellison, L Anschutz, P Kluge, J Anthony, B Zie de enkelvoudige lineaire regressie van de zoetheidsindex y en de hoeveelheid pectine x voor n = 24 steekproeven in opgave In de SPSS-uitvoer wordt een 90% betrouwbaarheidsinterval gegeven voor de verwachte zoetheidsindex E(y) voor elke waarde van x. Kies een waarneming en interpreteer dit interval.

7 12.17 Managers zijn geïnteresseerd in modellen voor het gedrag van kosten in het verleden, om betere voorspellingen te kunnen doen van kosten in de toekomst. Modellen van kosten in het verleden worden kostfuncties genoemd. Factoren die de kosten beïnvloeden worden cost drivers genoemd. De kostengegevens in de tabel zijn afkomstig van een tapijtenfabrikant. Indirecte productiekosten bestaan uit kosten voor het onderhoud van de machines en setupproductiekosten. Machine-uren en directe productiekosten zijn cost drivers. Het is nu je taak om twee alternatieve kostenfuncties voor de indirecte productiekosten te schatten en te vergelijken. In de eerste is 'machine-uren' de onafhankelijke variabele; in de tweede is 'directe productiekosten' de onafhankelijke variabele. Stel een verslag op dat de twee kostenfuncties vergelijkt en waarin een aanbeveling wordt gedaan met betrekking tot de vraag welke van de twee gebruikt moet worden om indirecte productiekosten te verklaren en te voorspellen. Zorg ervoor dat je je keuze rechtvaardigt. RUG.DAT Week Indirecte productiekosten Machine-uren Directe productie-uren 1 $