Hoofdstuk 8 Het toetsen van nonparametrische variabelen

Transcriptie

1 Hoofdstuk 8 Het toetsen van nonparametrische variabelen 8.1 Non-parametrische toetsen: deze toetsen zijn toetsen waarbij de aannamen van normaliteit en intervalniveau niet nodig zijn. De aannamen zijn minder streng dan bij parametrische toetsen en verschillen van toets tot toets. De verdeling in de populatie hoeft niet normaal te zijn verdeeld, daarom heten ze ook wel verdelingsvrij. Nonparametrische toetsen zijn veel ruimer inzetbaar dan bijvoorbeeld een t-toets. 8.2 Chikwadraattoets (X²-toets) voor frequenties van een nominale variabele: De X² toets wordt gebruikt wanneer we van de frequentieverdeling in de steekproef willen nagaan of deze afkomstig is uit een gespecificeerde verdeling in de populatie. Je gaat dus na of de geobserveerde frequenties (f0) verschillen van de verwachte frequenties (fe). Uit H0 leidt je de verwachte frequenties af. De verwachte frequenties zijn de frequenties die verwacht worden als er geen verband zou zijn en de geobserveerde frequenties zijn de waargenomen frequenties. Chi kwadraat is altijd positief. De onder H0 gespecificeerde verdeling kan elke mogelijke verdeling zijn, maar twee typen komen het vaakst voor: 1. De eerste mogelijke verdeling is dat de frequenties gelijk over de categorieën zijn verdeeld. Bijv: je hebt drie schilders, de nulhypothese is dat kinderen geen voorkeur hebben voor een van de drie schilders. Als je 300 kinderen laat stemmen, is de verwachting dat elke schilder ongeveer 100 stemmen krijgt. 2. De tweede mogelijke verdeling is dat de frequenties per categorie dezelfde verdeling hebben als die in de populatie. Bijv: als in de populatie schilder 1 30%, schilder 2 20% en schilder 3 50% de voorkeur krijgt, verwachten we in de steekproef ongeveer dezelfde verdeling. Voorwaarden: 1. De k categorieën van de nominale variabele waarop de frequentieverdeling is gebaseerd, moeten elkaar uitsluiten. Ze mogen dus geen gemeenschappelijke waarden hebben. Een ordinale variabele wordt in de X²-toets als een nominale variabele behandeld. 2. Mag alleen wanneer 20% of minder van het aantal categorieën (k) een verwachte frequentie(fe) heeft kleiner dan 5. Dit zie je in SPSS onder de Chi Square tabel (dat zinnetje eronder). 3. En mag alleen wanneer geen van de categorieën(k) een verwachte frequentie(fe) heeft kleiner dan 1. Dit controleer je in SPSS door te kijken naar het laatste getalletje van de zin onder de Chi Square tabel, deze mag niet onder de 1 zijn. Hypothesen: H0: H0: met = = 1(j =1,, k ) : H0 is onjuist

2 In de eerste nulhypothese komen alle categorieën even vaak voor, ze zijn aan elkaar gelijk. Bij de tweede nulhypothese zijn de kansen op waarnemingen binnen de k categorieën gelijk aan specifieke kansen in de populatie.(neem als voorbeeld toets op representativiteit van de steekproef). Toetsingsgrootheid Je moet het verschil tussen de verwachte en geobserveerde frequenties berekenen. De verwachte frequenties zijn de frequenties die je in de steekproef verwacht op grond van je nulhypothese en de geobserveerde frequenties zijn de waargenomen frequenties uit je steekproef. X² is Chi-kwadraat. Voorbeeld: Stel dat we willen nagaan of een bepaalde dobbelsteen zuiver is. We gooien n= 60 maal met de dobbelsteen. De resultaten van een zestigtal worpen staan achter de geobserveerde frequentie. Als de dobbelsteel zuiver is (dus 1/6 kans op elke waarde) verwachten de dat elke waarde ongeveer 1/6 x 60 = 10 keer voorkomt. De verwachte frequentie is dus 10. We moeten hierbij wel de verschillen tussen fo en fe relativeren aan de verwachte frequenties van fe, de toetsingsgrootheid X² maakt hier gebruik van. De formule is als volgt: met df= k -1 X² is slechts 0 wanneer & gelijk zijn aan elkaar. Dit betekent dat er geen verschil is tussen de frequentieverdeling in de steekproef en de onder H0 genoemde verdeling. Echter hoe groter de verschillen tussen & hoe groter X² wordt. Hoe kleiner X² dus is, hoe meer H0 juist is. Echter is de vraag vanaf wanneer je H0 moet verwerpen. Hiervoor moet je eerst een steekproevenverdeling van X² maken. Deze ziet er als volgt uit: Ook hier is de totale oppervlakte onder de curve 1, omdat de X² verdeling gewoon een kansverdeling is. De steekproeven verdeling van X² wordt bepaald door het aantal vrijheidsgraden. Wanneer het aantal vrijheidsgraden veranderd verandert de curve van de verdeling ook mee. Het aantal vrijheidsgraden is gewoon het aantal categorieën (k) 1. De term vrijheidsgraden verwijst in dit geval naar het aantal onafhankelijke categorieën waarvoor verwachte frequenties kunnen worden ingevuld. Beslissingsregel: Of de nulhypothese verworpen moet worden kan je met behulp van overschrijdingskansen en kritieke waarden berekenen.

3 Overschrijdingskansen Eerst moet je de rechter overschrijdingskans berekenen onder aanname dat H0 juist is. (X²) α. De nulhypothese wordt verworpen wanneer de p-waarde kleiner is dan of gelijk is aan het gekozen significantieniveau. Je moet het aantal vrijheidsgraden weten en het X² getal. Vervolgens kan je dan met behulp van een computerprogramma de bijbehorende waarde berekenen. Als die waarde onder de 0,05 is, dan wordt H ₒ verworpen. Kritieke waarden Eerst moet je bepalen welke X² hoort bij α en het aantal vrijheidsgraden (df). De nulhypothese wordt verworpen indien de geobserveerde waarde groter of gelijk aan de kritieke waarde is. Vervolgens kijk je met deze getallen in de bijlage achter in je boek. Als het gevonden getal hoger is dan je X², dan wordt H0 verworpen want: X² met df = k -1 Hou er wel rekening mee dat het hier om een tweezijdige toetsing gaat, ondanks dat je rechtseenzijdig toetst. Opmerkingen: 1. De beide nulhypothesen zoals hiervoor opgesteld, leiden tot een X² waarvoor dezelfde beslissingsregel geldt. Ondanks het feit dat we bij de toetsing slechts gebruikmaken van de rechterstaart, betreft het hier een tweezijdige toetsing. We toetsen of de frequenties overeenkomen met die van de nulhypothese, of juist niet. Hiermee kunnen we niet zien of bepaalde frequenties significant hoger of lager zijn dan die uit de nulhypothese. 8.3 De X²-toets voor het verband tussen variabelen in kruistabellen: Tot nu toe hebben we de X² toets toegepast wanneer we van een frequentieverdeling in de steekproef willen nagaan of deze overeenkomt met de frequentieverdeling in de populatie. Je kan de X²-toets echter ook toepassen voor kruistabellen met twee nominale variabelen. Je zoekt met deze toets naar het verband tussen twee nominale variabelen. De vraag is dan vaak: zijn de twee variabelen onafhankelijk van elkaar? Voorwaarden: 1. We gaan ervan uit dat we te maken hebben met twee nominale variabelen. 2. De categorieën van elke variabele moeten elkaar uitsluiten. 3. Alle waarden moeten kunnen worden ondergebracht in de kruistabel % van de verwachte waarden van de cellen moet minstens 5 zijn, en geen enkele verwachte waarde mag kleiner zijn dan Je moet minstens 2 categorieën hebben bij minstens één variabele. Hypothesen: Als er afhankelijkheid tussen beide variabelen bestaat, dan hangen de variabelen samen. Wanneer de variabelen niet samenhangen, zijn ze onafhankelijk van elkaar. H0: er is geen verband, de variabelen zijn statistisch onafhankelijk van elkaar. : H0 is onjuist, dus er is wel een verband en de variabelen zijn statistisch afhankelijk van elkaar.

4 H0 impliceert dus dat er geen verband is tussen de twee variabelen en H1 impliceert dat er wel een verband is tussen de variabelen. Hierbij wordt, omdat het om nominale variabelen gaat, niet uitgegaan van een richting van de verschillen. Toetsingsgrootheid: Als we van variabelen met discrete categorieën het onderlinge verband bestuderen, plaatsen we de gegevens eerst in een kruistabel. Wanneer er sprake is van onafhankelijkheid, hoef je de frequenties in de cellen van de tabel niet te weten te komen. Je kan ze bepalen door de randtotalen: we kunnen dus de frequentie fe te weten komen die we in cel (A, B) verwachten als H0 juist is. Op het moment dat H0 juist is dan kan je de verwachte waardes te weten komen. Er geld namelijk: P (A) = P (A B). Dit staat gelijk aan P (A B) = = = P (A) De formule voor de verwachte frequentie is als volgt: = Let op: dit geldt alleen bij H0. Als twee variabelen onafhankelijk zijn van elkaar, dan zullen de verwachte frequenties, berekend op basis van de aanname van onafhankelijkheid, ongeveer gelijk zijn aan de werkelijk geobserveerde frequenties. Als er wel een verband is tussen de variabelen, zullen de verschillen tussen fe en fo groot zijn. Als er wel een verband is, moet je de X²-toets toepassen op een kruistabel. De volgende formule geldt hiervoor: X² = met df= (k-1) (r-1) k: aantal kolommen in de kruistabel r: aantal rijen in de kruistabel Beperkingen: Wanneer df > 1, kan de X²-toets gebruikt worden mits minder dan 20% van de cellen een verwachte frequentie kleiner heeft dan 5 en als geen van de cellen een verwachte frequentie < 1 heeft. Soms kunnen we twee of meer categorieën samenvoegen, zodat de verwachte frequentie in die nieuwe cel wel aan de eis voldoet. Kruistabel 2 x 2 (df=1): Hiervoor gelden andere regels dan een normale kruistabel; 1. Als n 20, dan gebruik je de toets van Fisher. 2. Wanneer n tussen de 20 en de 40 ligt mag je alleen de X²-toets gebruiken als alle verwachte frequenties groter of gelijk aan 5 zijn en de X² gecorrigeerd wordt op continuïteit. Ook trek je van elke cel 0,5 af. Dus je krijgt dit: X² = 3. Wanneer n 40, gebruik je de X²-toets die gecorrigeerd is op continuïteit (zoals bij stap 2).

5 Beslissingsregel: Je kan met zowel overschrijdingskansen als kritieke waarden bepalen of je H0 wel of niet moet verwerpen. Overschrijdingskansen Je zoekt aan de hand van de berekende X²-waarde en de df (= (k-1)(r-1)) de Pr-waarde op in de tabel. Als deze kleiner of gelijk is aan α (=0,05), dan verwerp je H0. Pr(X²) α. Kritieke waarden Eerst moet je bepalen welke X²-waarde hoort bij het betreffende aantal vrijheidsgraden en bij α. H0 wordt verworpen als X² met df = (k -1)(r -1). H0 wordt dus verworpen als je gevonden kritieke waarde kleiner is dan je berekende X²-waarde. Opmerkingen: 1. Beide nulhypothesen leiden tot een X² waarvoor dezelfde beslissingsregel geldt. 2. We maken gebruik van een tweezijdige toets, ondanks dat we slechts gebruik maken van de rechterstaart. 3. Verwachte frequenties moet je NIET afronden. Het hoeven geen mooie ronde getallen te zijn. 4. De verwachte frequenties van de randtotalen zullen altijd gelijk zijn aan de geobserveerde frequenties, reken deze dus niet uit. Rapporteren: Bij de X² toets geef je eerst de waarde van toetsingsgrootheid X². Tussen haakjes vermeld je de vrijheidsgraden en de steekproefgrootte. Je eindigt met de p-waarde. Gestandaardiseerde residuen: Als de toets van X² significant is, kan je onderzoeken waar de grootste verschillen tussen de geobserveerde en de verwachte frequenties zich bevinden. Absolute verschillen zijn geen directe indicatie, omdat dat afhankelijk is van de steekproef. Daarom gebruiken we gestandaardiseerde verschillen, ofwel gestandaardiseerde residuen. Deze geven aan of de verschillen tussen de geobserveerde en de verwachte frequenties groot of klein zijn. Een gestandaardiseerde celresidu wordt opgevat als een variabele die de standaardnormale verdeling volgt. Komen de geobserveerde frequenties overeen met de verwachte frequenties, zijn alle residuen gelijk aan 0. De significantie van de afwijking kan zo per cel onderzocht worden door het gestandaardiseerde celresidu te vergelijken met de z-waarden van de standaard normale verdeling. SPSS: 1. Analyze Descriptive Statistics Crosstabs voer de onafhankelijke variabele bij kolommen in en de afhankelijke variabelen bij rijen in. Klik op de knop Statistics en vink observed en expected aan. Druk op Continue en Cells. Dan krijg je een tabel uitgedraaid.

6 2. Je krijgt een Case Processing Summary-tabel, een Crosstabulation-tabel en een Chi-Square Tests-tabel. De eerste tabel geeft alleen maar het totale aantal aan dat meedoet in de berekening van X². De tweede tabel geeft aan wat de randtotalen van de verwacht frequenties zijn. Deze zijn gelijk aan de totalen van de geobserveerde frequenties. De derde tabel geeft de Pearson Chi-Square aan. 3. Dan ga je kijken of de Pearson Chi-Square (getal rechtsboven onder Asymp. Sig.), als deze kleiner is dan je α (0,05) dan wordt de nulhypothese verworpen. Dit betekent dat er significant verschil is. 4. Je volgende stap is om te kijken naar de juiste centrummaat om te kijken hoe sterk het verband is wat je hierboven hebt gevonden (alleen als er sprake is van significant verschil). Per cel van de kruistabel het gestandaardiseerde residu bereken met SPSS: Een gestandaardiseerde cel residu is een standaardnormaal verdeelde variabele. Dit is vooral handig bij grote kruistabellen, om de resultaten goed te kunnen interpreteren. Dit doe je alleen als er een significant verschil is gevonden bij je X²-toets. Je klikte eerder bij Statistics onder Residuals observed en expected en Cells aan. Nu klik je Standardized aan. Dan kijk je naar alle waardes die je vindt onder het kopje Std. Residual. Omdat het om tweezijdige toetsing gaat moet je alles verwerpen wat boven de +1,96 is of onder de -1,96 is. 8.4 Toetsingssituatie: Bij Spearman wordt er gekeken naar twee variabelen die gemeten zijn op ordinaal meetniveau, er wordt nagegaan of er een verband is in de populatie. Het kan gebruikt worden voor beantwoording van dezelfde soort vragen over samenhang als die je met de gewone correlatie gebruikt. Het kan ook zijn dat het gaat om twee variabelen die waargenomen zijn bij dezelfde personen, of een verband tussen dezelfde variabelen op verschillende tijdstippen. Voorwaarden rangcorrelatie van Spearman: 1. Wanneer je het verband tussen twee ordinale variabelen wil toetsen. 2. Wanneer we een variabele hebben op ordinaal meetniveau en een variabele op interval/ratio niveau. 3. Wanneer je het verband tussen twee interval/ratio-niveau gemeten variabelen wil toetsen die duidelijk niet normaal verdeeld zijn of geen lineair verband hebben. 4. Wanneer de variabelen duidelijk niet normaal verdeeld zijn. Hypothesen: Met de Spearman correlatie kunnen we niet alleen de relatie tussen twee ordinale variabelen beschrijven, we kunnen ook toetsen of deze relatie significant is. Linkseenzijdige toetsen: H0: 0 en : < 0 Tweezijdig toetsen: H0: = 0 en : = 0 Rechtseenzijdig toetsen: H0: 0 en : > 0 : de rangcorrelatie van Spearman in de populatie. De nulhypothese stelt dat er geen verband is tussen variabele X en Y in de populatie, de alternatieve hypothese stelt dat er wel een verband is.

7 Toetsingsgrootheid: Wanneer de variabelen niet op ordinaal meetniveau gemeten zijn, maar we toch de randcorrelatie willen toepassen, moeten we gebruik maken van rangscores. De waarden van X en Y worden afzonderlijk gerangordend. Vervolgens wordt de correlatie tussen deze rangscores vergeleken. Voorbeeld: Bij een bepaalde X bij 9 personen zijn deze scores bepaald: Dan rangschik je deze van groot naar klein: Dan geef je ze een score: Score X: Rangscore: 1 2,5 2, De gelijke waarden die voorkopen zijn knopen (ties). Deze deel je. De formule van de rangcorrelatie van Spearman is onderstaande: Rangcorrelatie van Spearman in de steekproef (tussen -1 en +1) n: aantal paren: de steekproefgrootte d: verschil per paar in rangorde nummer Als = 0, dan is er geen verband tussen de variabelen. Bij +1 is er een sterk positief verband en bij -1 is er een sterk negatief verband. Beslissingsregel: Wanneer N kleiner of gelijk is aan 30, dan moet je kijken naar de overschrijdingskansen in de tabel achter in je boek. - Linkseenzijdig: H0 verwerpen als de gevonden kritieke waarde - Rechtseenzijdig: H0 verwerpen als de gevonden kritieke waarde - Tweezijdig: H0 verwerpen als de gevonden negatieve kritieke waarde en H0 verwerpen als aan de negatieve gevonden kritieke waarde. Wanneer N groter is dan 30 dan kan je omzetten in een t-score. Dan gebruik je de volgende formule: met df = n 2 bij n > 30 - Linkseenzijdig: H0 verwerpen als de gevonden linker kritieke t-waarde - Rechtseenzijdig: H0 verwerpen als de gevonden rechter kritieke t-waarde - Tweezijdig: H0 verwerpen als de gevonden negatieve kritieke t-waarde en H0 verwerpen als aan de negatieve gevonden kritieke t-waarde. De Spearman in SPSS: 1. Analyze Correlate Bivariate voer de variabelen in bij variables. Vink vervolgens Spearman, flag significant, correlation en onetailed aan. Dan krijg je een tabel. 2. In die tabel kijk je naar het getal bij de Correlation Coefficient.

8 3. Ook zoek je de bijbehorende tweezijdige overschrijdingskans op, en als deze kleiner is dan 0,05 dan verwerp je H0. Dan kan je zien dat die correlatie significant van 0 verschilt. 4. Het getal dat je onder stap 2 gevonden hebt zegt iets over de richting en de sterkte van het verband.