HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN

Transcriptie

1 HOOFDSTUK IV TOETSEN VAN STATISTISCHE HYPOTHESEN 4.1 PARAMETERTOESTEN 1

2 A. Toetsen van het gemiddelde Beschouw een steekproef X 1, X,, X n van n onafhankelijke N(µ, σ) verdeelde kansveranderlijken Men beweert dat µ = µ 0? Men wenst deze hypothese na te gaan op grond van een aantal meetresultaten. Men wil dus toetsen of µ 0 de juiste parameter is Als µ 0 de juiste parameter is, dan zijn xxx onwaarschijnlijke resultaten.

3 Tweezijdige toets Nulhypothese: H 0 : µ = µ 0 Alternatieve hypothese: H 1 : µ µ 0 Onder de nulhypothese (indien H 0 waar is) heeft men T = X µ 0 ~ n ~ t n-1 S 3

4 Toetsen van het Gemiddelde Grafisch betekent dit Onder de nulhypothese is de kans klein dat het gemiddelde van de steekproef sterk zou afwijken van µ 0 en bijgevolg dat T extreem groot of klein zou zijn. Indien na het experiment zou blijken dat dit het geval is dan geloven we niet dat H 0 juist is. 4

5 Onder voorwaarde dat H 0 juist is heeft men P[-t 1-α/ T t 1-α/ ] = 1 - α Beslissingsregel als T [-t 1-α/ ; t 1-α/ ] aanvaarden we H 0 en als T [-t 1-α/ ; t 1-α/ ] verwerpen we H 0 Men noemt [-t 1-α/ ; t 1-α/ ] het aanvaardingsgebied en ]- ; -t 1-α/ [ ] t 1-α/ ; + [ de kritieke zone Men spreekt van een tweezijdige toets op niveau α (of significantieniveau α). Meestal neemt men α=5% of 1%. 5

6 Eénzijdige t-toets Nulhypothese: H 0 : µ = µ 0 Alternatieve hypothese: H 1 : µ > µ 0 Grafisch 6

7 Beslissingsregel Men noemt nu als T ] - ; t 1-α ] aanvaarden we H 0 en als T ] - ; t 1-α ] verwerpen we H 0 ] - ; t 1-α ] het aanvaardingsgebied en ] t 1-α ; + [ de kritieke zone Men spreekt van een éénzijdige toets op niveau α. 7

8 Opmerkingen 1. In geval van een alternatieve hypothese H 1 : µ < µ 0 is het aanvaardingsgebied [ -t 1-α ; + [. Voor grote steekproeven (n 30) gaat t n-1 over in een N(0,1) verdeling en past men dezelfde methode toe 3. Wanneer n groot is (n 30) en de verdeling van de waarnemingen geen NV is dan is door de centrale limietstelling het gemiddelde van de steekproef ongeveer normaal verdeeld en kan dezelfde methode worden toegepast. 8

9 4. Wanneer men een statistische toets uitvoert heeft men de volgende mogelijke combinaties H 0 aanvaarden H 0 verwerpen H 0 is waar 1 - α α = fout van de eerste soort H 0 is verkeerd β = fout van de de soort 1 - β Als α stijgt dan daalt β en omgekeerd Om beide fouten te doen dalen moet men n vergroten 9

10 Voorbeeld 1 Veronderstel dat het gehalte cholesterol normaal verdeeld is. In een steekproef van 10 mannen van 50 tot 59 jaar vond men een gehalte cholesterol gemiddeld gelijk aan 187,5 mg/dl met ~ S = 5,0 mg/dl. Toets de hypothese dat in de populatie µ = µ 0 = 10 op het niveau α = 5% en 1% t.o.v. de hypothese dat het gemiddelde verschillend is van 10 mg/dl 10

11 Tweezijdige toets H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 Aanvaardingsgebied voor α = 5% [ -t 0,975 ; t 0,975 ] = [-,6 ;,6 ] voor α = 1% [ -t 0,995 ; t 0,995 ] = [ -3,5 ; 3,5 ] 11

12 Toetsgrootheid T = X µ 0 ~ n = S 187,5 10, 0 10 = -,846 5 Besluit T [-,6 ;,6 ] H 0 verwerpen bij α = 5% T [ -3,5 ; 3,5 ] H 0 aanvaarden bij α = 1% 1

13 Voorbeeld Aan 36 mensen gaf men gedurende 1 week een slaapmiddel en de volgende week geen behandeling. Voor elke proefpersoon noteert men x, het verschil in aantal uren slaap na inname van het slaapmiddel en zonder slaapmiddel (totaal over een week). Men vond X = 1, uur en ~ S= 3 uur en stelt zich de vraag of het slaapmiddel een effekt heeft, op het niveau α = 5%. 13

14 Eénzijdige toets H 0 : µ = 0 H 1 : µ > 0 Aanvaardingsgebied Voor α = 5% is het aanvaardingsgebied: ] - ; t 0,95 ] Sinds n 30 kan men bij benadering de normale waarde µ 0,95 nemen: ] - ; 1,645 ] 14

15 Toetsgrootheid T = X µ 0 ~ n = 1, 0 36 =,4 S 3 Besluit T ] - ; 1,645 ] H 0 verwerpen het slaapmiddel heeft dus een effekt (ook indien men tweezijdig toetst) 15

16 B. Toetsen van de variantie In dezelfde situatie als voor de toets op het gemiddelde wenst men na te gaan of σ = σ. 0 Indien deze nulhypothese waar is dan heeft men: ( n 1) ~ S n S = ~ χ n σ σ B1. Tweezijdige toets H 0 : σ = σ0 H 1 : σ σ0 Het aanvaardingsgebied is [ χ α ; χ 1 α ] 16

17 B. Eénzijdige toetsen H 0 : σ H 1 : σ 0 0 = σ H 0 : σ = σ > σ H 1 : σ < σ 0 0 De aanvaardingsgebieden zijn [ 0 ; χ 1 α ] [ χ α ; + [ 17