Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback

Transcriptie

1 Examen Statistiek I Januari 2010 Feedback Correcte alternatieven worden door een sterretje aangeduid. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen is laaggeschoold. De rest is hooggeschoold. Bij de vrouwen is de proportie van laaggeschoolden 0.4. De rest is hooggeschoold. De proportie van laaggeschoolden met een rijbewijs is 87.5%. De proportie van laaggeschoolde vrouwen die geen rijbewijs hebben is 25%. Het aantal personen zonder rijbewijs is 39. Bij de laaggeschoolde mannen is de proportie met rijbewijs... A 7/8 B 3/4 C * 41/45 D 8/135 Uit de 130 vrouwen zijn er 52 laaggeschoolden ( ). Vijfenzeventig procent van die hebben een rijbewijs, dus = 39. Uit de 270 mannen zijn er 180 laaggeschoolden (twee derden van 270). Het totaal aantal laaggeschoolden is = 232. Zeven achtsten (87.5%) van die hebben een rijbewijs; dus 232 7/8 = 203. Het aantal laaggeschoolde mannen met een rijbewijs is dus = 164. De proportie van laaggeschoolde mannen zonder rijbewijs is dan 164/180 = 41/45. 2 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Twee derden van de mannen is laaggeschoold. De rest is hooggeschoold. Bij de vrouwen is de proportie van laaggeschoolden 0.4. De rest is hooggeschoold. De proportie van laaggeschoolden met een rijbewijs is 87.5%. De proportie van laaggeschoolde vrouwen die geen rijbewijs hebben is 25%. Het aantal personen zonder rijbewijs is 39. De proportie van hooggeschoolde mannen met een rijbewijs in de groep van hooggeschoolde mannen ligt tussen... A * 85 en 100% B 70 en 85% C 55 en 70% D 0 en 15% Het aantal personen met een rijbewijs is = 361. Het aantal laaggeschoolden met een rijbewijs is = 203. Er zijn dus 158 (want = 158) hooggeschoolden met een rijbewijs. Stel dat alle hooggeschoolde vrouwen (dus 78 vrouwen) een rijbewijs hebben. Dan zijn er 80 hooggeschoolde mannen met een rijbewijs (80 = ). Als niet alle hooggeschoolde vrouwen een rijbewijs hebben, dan zijn er meer dan 80 hooggeschoolde mannen met een rijbewijs. Het aantal hooggeschoolde mannen met een rijbewijs ligt dus tussen 80 en 90 (op een totaal van 90 hooggeschoolde mannen). De proportie is dus zeker tussen 85 en 100 %. 1

2 3 De variabelen X en Y worden op een ratioschaal gemeten. De verwachting van X is 12 en die van Y, 46. De standaardfout σ X is 2 en σ Y = 1.5. De correlatiecoëfficiënt ρ XY tussen de variabelen X en Y is nul. Een steekproef van drie elementen wordt getrokken. De waarnemingen van X en Y in die steekproef zijn x T = (12, 10, 14) en y T = (44, 52, 48). Welke bewering is correct? A r s = 1/3 B * cov xy = 8/3 C De variabelen X en Y zijn afhankelijk. D r s = 2/3 x = 12 en ȳ = 48. cov xy = 1 3 ((12 12)(44 48)+(10 12)(52 48)+(14 12)(48 48)) = (0( 4) + ( 2)(4) + (2)0) = 8/ In Statisland lijdt één persoon op tien aan obesitas en twee op zestien aan alcoholisme. Die twee pathologieën zijn onafhankelijk van elkaar. Als iemand aan obesitas lijdt, is die alcoholverslaafd met kans... A * 12.5%. B 22.5%. C 1.25%. D 2.25 kans om besmet te worden. De gervraagde kans is P (alcohol obesitas). Omdat de twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn is P (alcohol obesitas) gelijk aan P (alcohol). Dus 2/16 of 12.5%. 5 In Statisland lijdt één persoon op tien aan obesitas en twee op zestien aan alcoholisme. Die twee pathologieën zijn onafhankelijk van elkaar. Als je 3 individuen trekt, dan is de kans dat exact twee individuen obees en alcoholverslaafd zijn gelijk aan... A 2/80 B 237/240 C * 237/80 3 D 158/80 2. De kans dat 1 individu obees en alcoholverslaafd is, is P (alcohol obesitas). Omdat de twee gebeurtenissen onafhankelijk zijn is P (alcohol obesitas) gelijk aan P (alcohol)p (obesitas) = (1/10) (2/16) = 1/80. Als je 3 individuen trekt, dan is de kans dat exact twee individuen obees en alcoholverslaafd zijn gelijk aan P (B(3, 1/80) = 2). Die kans wordt gegeven door de formule van de kansverdeling van de binomiale variabele. Dus P (B(3, 1/80) = 2) = 3 (1/80) 2 (79/80) 1 = 237/

3 6 In Statisland lijdt één persoon op tien aan obesitas en twee op zestien aan alcoholisme. Die twee pathologieën zijn onafhankelijk van elkaar. Bij trekking van één persoon uit die populatie wordt de uitkomst aangeduid door OA (obees en alcoholverslaafd), O (obees en niet alcoholverslaafd), A (niet obees en alcoholverslaafd) of N (niet obees en niet alcoholverslaafd). Dus E = {A, O, OA, N}. De getrokken persoon is obees indien de uitkomst behoort tot de gebeurtenis... A * {OA, O, N} {OA, O, A} B {OA, O, N} {OA, O, A} C {OA, O, N} D {A} De getrokken persoon is obees indien de uitkomst O of OA is. Maw de getrokken persoon is obees indien de uitkomst tot de verzameling {O, OA} behoort. En {OA, O, N} {OA, O, A} = {O, OA}. 7 Bij de Student verdeling met tien vrijheidsgraden is... A de mediaan gelijk aan 1 B de verwachting gelijk aan 1 C * de interkwartiele afstand kleiner dan 2.8 D de interkwartiele afstand groter dan 2.8 De interkwartiele afstand is P 75 P 25. We weten dat P 75 = t en P 25 = t De interkwartiele afstand is dus gelijk aan t ( t ) = 2t Maar we vinden t in de tabellen niet. We vinden wel t Het is We kunnen dus P 90 P 10 en we vinden = De interkwartiele afstand is dus kleiner dan en ook zeker kleiner dan De gemiddelde tijd om het examen Statistiek I af te leggen is 2 uur. De variabele tijd is een χ 2 2 variabele met variantie 4. Als ik wil dat ongeveer 95% van de studenten genoeg tijd hebben, hoe lang moet het examen duren? (afronden) A Drie uur B * Zes uur C Vier uur D Vijf uur De duur (d) moet aan deze vergelijking voldoen: P (χ 2 2 d) = In de tabel van de χ2 verdelingsfunctie vinden we d = Na afronding, d = 6. 3

4 9 In een onderzoek van Goetz en Baer (1973, Social control of form diversity and the emergence of new forms in children s blockbuilding Journal of Applied Behavior Analysis, 6, ) wordt nagegaan of de positieve feedback van de opvoeder een invloed heeft op het aantal verschillende blokken dat een kind gebruikt om een toren te maken in een bepaalde periode. De variabele X wordt gedefiniëerd als het aantal verschillende blokken. V (X) is gelijk aan 6. Steekproeven van 40 kinderen worden getrokken. Welke bewering is correct? A * X is bij benadering normaal verdeeld. B V (X) = 6/ 4 C σ X = 6. D Geen van de andere drie alternatieven is correct X is bij benadering normaal verdeeld omdat de steekproef groot is (n > 30). 10 In een onderzoek van Goetz en Baer (1973, Social control of form diversity and the emergence of new forms in children s blockbuilding Journal of Applied Behavior Analysis, 6, ) wordt nagegaan of de positieve feedback van de opvoeder een invloed heeft op het aantal verschillende blokken dat een kind gebruikt om een toren te maken in een bepaalde periode. De variabele X wordt gedefiniëerd als het aantal verschillende blokken. De variantie van X is gelijk aan 6. Steekproeven van 4 kinderen worden getrokken. Welke bewering is correct? A * E(S 2 X ) = 4.5 B σ 2 X = 6/4 C S 2 X = 6 D E(S 2 X ) = E(S 2 X ) = n 1 n σ2 = = x T x... A = n i=1 1 x i B * = n i=1 x 2 i C = n i=1 (x i x j ) D is niet gedefinieëerd x T y is per definitie n i=1 x i y i. Dus x T x = n i=1 x i x i = n i=1 x 2 i. 4

5 12 X is een discrete toevalsvariabele met 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 10 als mogelijke waarden. Hieronder vind je de verdelingsfunctie van X. P (2 X < 5) =... A * 0.31 B 0.24 C 0.59 D 0.72 x F (x) P (2 X < 5) = F (4) F (1) = = Welke maat is geen maat van centrale tendentie? A P 50 B de mediaan C * Geen van de drie andere alternatieven is correct. D de modus Zie cursus 5

6 14 X is een discrete toevalsvariabele met 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en 10 als mogelijke waarden. Hieronder vind je de verdelingsfunctie van X. E(X) = 5. Welke bewering is correct? x F (x) A De variabele X heeft een binomiale verdeling. B * Geen van de drie andere alternatieven is correct C De parameter π van de verdeling van X is gelijk aan 0.5 D V (X) > 25 Een binomiale variabele kan ook de waarde 0 nemen. Dus A en C zijn fout. σ 2 = P (X = 1)(1 5) 2 +P (X = 2)(2 5) P (X = 9)(9 5) 2 +P (X = 10)(10 5) 2. Dus σ 2 = P (X = 1)( 4) 2 + P (X = 2)( 3) P (X = 9)(4) 2 + P (X = 10)(5) 2. We kunnen P (X = 1), P (X = 2), enz. uit de tabel van F afleiden en dan σ 2 berekenen maar dat hoeft niet: in de formule van σ 2 is de grootste gekwadrateerde afstand gelijk aan 5 2 = 25. De variantie is dus zeker kleiner dan 25. 6

7 15 De totale kost (variabele X) van een hospitalisatie bestaat uit de honoraria (variabele H, betaald aan de artsen) en van andere kosten (variabele K, betaald aan het ziekenhuis). De variabelen H en K zijn normaalverdeeld met µ H = 255, σ H = 60, µ K = 525 en σ K = 60. De correlatie tussen H en K is ρ HK = 7/18. De standaardfout σ X is gelijk aan... A * 100 B 120 C 7200 D Geen van de drie andere alternatieven is correct X = H+K. Bijgevolg σx 2 = σ2 H +σ2 K +2COV (H, K) (cursus, p.137). We moeten dus eerst COV (H, K) berekenen. We weten dat ρ KK = COV (H, K)/σ H σ K. Dus COV (H, K) = ρ KK σ H σ K = (7/18) = Dus σx 2 = = Eindelijk, σ X = = De totale kost (variabele X) van een hospitalisatie bestaat uit de honoraria (variabele H, betaald aan de artsen) en van andere kosten (variabele K, betaald aan het ziekenhuis). De variabelen H en K zijn normaalverdeeld met µ H = 255, σ H = 60, µ K = 525 en σ K = 60. De correlatie tussen H en K is ρ HK = 7/18. Welke bewering is correct? A De variabelen H en K zijn onafhankelijk B * µ x = 780 C De proportie van steekproeven waar H en K positief gecorreleerd zijn, is 7/18 D Geen van de andere drie alternatieven is correct A is fout omdat de correlatie tussen H en K niet nul is. C is gewoon onzin. µ x = µ H + µ K = = Je leest in een artikel dat de correlatie in een steekproef tussen de variabelen X en Y positief is, dat de variantie s 2 x 24 is en dat s 2 y nul is. Welke conclusie is zeker juist? A * Dat kan niet. B Er is maar één element in de steekproef. C De waarde van Y is dezelfde bij alle elementen van de steekproef. D De standaarddeviatie van Y is nul Probeer een spreidingsdiagram te tekenen waar de variantie van Y nul is en waar de tendentie stijgend is. Dat kan niet. 7

8 18 Je leest in een artikel dat de variatiebreedte in een steekproef 25 is en dat de interkwartiele afstand 0 is. Welke conclusie is zeker juist? A * Geen van de drie andere alternatieven is correct. B Dat kan niet C Er is maar één element in de steekproef D De standaarddeviatie is nul Beschouw volgende data: 0,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,10,25. De variatiebreedte is 25. De interkwartiele afstand is 0. Het is dus mogelijk. Daarom is B fout. C is fout omdat de variatiebreedte nul zou zijn indien de steekproef maar één element zou tellen. De variatiebreedte is positief (25). De standaarddeviatie is dus zeker positief. Daarom is D fout. 19 P (7.434 χ ) =... A 90 % B * 95 % C * Geen van de drie andere alternatieven is correct D 99 % P (7.434 χ ) = P (χ ) P (χ ) = = Er zijn dus twee correcte alternatieven: B (met afronding) en C (zonder afronding). 20 Je werpt een munt 4 keer en de uitkomst is 3 keer kop. Dit wijst aan dat de munt niet zuiver is en, in het bijzonder, dat P (kop) > P (munt). We gaan die hypothese statistisch toetsen met een betrouwbaarheid van 90%. Welke bewering is correct? A * De nulhypothese moet aanvaard worden B De overschrijdingskans is 1/4 C De alternatieve hypothese moet aanvaard worden D Er wordt niet aan de voorwaarden voldaan om die hypothese te toetsen De alternatieve hypothese is P (kop) > P (munt) of maw π kop > 1/2. We gebruiken dus een toets voor een eenzijdige hypothese betreffende een proportie. De overschrijdingskans is P (B(4, 1/2) 3) = P (B(4, 1/2) = 3) + P (B(4, 1/2) = 4). P (B(4, 1/2) = 3) = 4! 3!1! = 4 (1/2) 4 = 1/4. P (B(4, 1/2) = 4) = 4! 4!0! = (1/2) 4 = 1/16. Eindelijk, P (B(4, 1/2) 3) = 1/4 + 1/16 = 5/16. Dit is groter dan α = 10%. Dus aanvaarding van de nulhypothese. 8

9 21 Je werpt een munt 4 keer en de uitkomst is 3 keer kop. Dit wijst aan dat de munt niet zuiver is en, in het bijzonder, dat P (kop) > P (munt). We willen die hypothese statistisch toetsen met betrouwbaarheid 1 α. Welke bewering is correct? A De kans op een foutieve aanvaarding van de alternatieve hypothese is kleiner indien α groter is B De kans op een foutieve verwerping van de nulhypothese is kleiner indien α groter is C * De kans op een foutieve verwerping van de alternatieve hypothese is kleiner indien α groter is D De kans op een foutieve verwerping van de alternatieve hypothese is onafhankelijk van α Een verwerping (foutief of niet) van de alternatieve hypothese gebeurt als P (G g) > α. Hoe groter α, hoe zeldzamer de steekproeven waar P (G g) > α; dus hoe zeldzamer de verwerping van de alternatieve hypothese. Maw, hoe kleiner de kans op een verwerping (foutief of niet) van de alternatieve hypothese. Een verwerping (foutief of niet) van de alternatieve hypothese gebeurt als g binnen het acceptatie-interval ligt. Hoe kleiner het interval, hoe kleiner de kans op een verwerping van de alternatieve hypothese. We weten ook dat de breedte van het acceptatie-interval daalt wanneer α stijgt. Dus, hoe groter α, hoe kleiner de kans op een foutieve verwerping van de alternatieve hypothese. 22 Je werpt een munt n keer en de uitkomst is (n 1) keer kop. Als n 3, dan wijst dit aan dat de munt niet zuiver is en, in het bijzonder, dat P (kop) > P (munt). We willen die hypothese statistisch toetsen met betrouwbaarheid 90%. Welke bewering is correct? A * Hoe groter n, hoe kleiner de overschrijdingskans B Hoe groter n, hoe groter de overschrijdingskans C De overschrijdingskans is onafhankelijk van n D Geen van de drie andere alternatieven is correct Stel dat n = 3. Je hebt dus 2 keer kop op een totaal van drie worpen. Dit wijst aan dat P (kop) > P (munt) maar de evidentie is zeer zwak. Stel nu dat n = 100. Je hebt dus 99 keer kop op een totaal van 100 worpen. Dit wijst nog aan dat P (kop) > P (munt) maar de evidentie is veel sterker. De kans dat je 99 of 100 keer kop hebt op een totaal van 100 bij een zuivere munt (ttz de overschrijdingskans) is nu heel klein. 9

10 23 Een boswachter beweert dat in een bepaald stuk bos, waar gelijktijdig beukenbomen zijn aangeplant, de bomen een gemiddelde hoogte van 35 m bereikt hebben. Er worden 36 willekeurig gekozen bomen geveld. Men vindt voor het rekenkundig gemiddelde van hun lengtes x = 34.4 m, en standaard deviatie s = 1.6 m. Toets de bewering van de boswachter met significantieniveau α = 0.1. A * De alternatieve hypothese moet aanvaard worden B De nulhypothese moet aanvaard worden C De alternatieve hypothese moet verworpen worden D Geen van de drie andere alternatieven is correct Hypothese betreffende een verwachting, eenzjdig, σ onbekend. Waarde van de toetsingsgrootheid: g = x 35 s/ n 1 = / /6 = = < 2. Kritieke waarde = t = Beslissing : g < kritieke waarde. Dus verwerping van de nulhypothese. 24 Een fabrikant van wegwerpbatterijen beweert in zijn reclamespots dat zijn batterijen goed zijn voor minstens 10 uur muziek op een walkman, gemiddeld gezien. Een consumentenmagazine wil dit testen, en voert de volgende steekproef uit : 50 batterijen worden getest, en men vindt x = 9 uur 35min en s = 20min. Men weet ook dat σ = 125 min. Men wil toetsen of de bewering van de fabrikant correct is, op niveau 10 %. A De nulhypothese moet aanvaard worden B * De nulhypothese moet verworpen worden C Er wordt niet aan de voorwaarden voldaan om deze hypothese te toetsen D Geen van de drie andere alternatieven is correct Hypothese betreffende een verwachting, eenzjdig, σ bekend. Alles in dezelfde eenheid uitdrukken; bv in minuut. Waarde van de toetsingsgrootheid: g = x 600 σ/ n = / /7 = = 7 5 = 1.4. Kritieke waarde = z 0.1 = Beslissing : g < kritieke waarde. Dus verwerping van de nulhypothese. 10

11 25 Men wenst de slijtage van twee verschillende types van banden voor vrachtwagens te onderzoeken. Men neemt daartoe een aselecte steekproef van acht banden van elk type en onderwerpt deze aan een slijtagetest waarvan de uitslag het aantal mm diktevermindering van de oppervlaktelaag is. Hieronder de data in mm. type 1 type Uit vroeger onderzoek weet men dat de slijtage van banden van type 1 normaal verdeeld is. Hetzelfde geldt voor banden van type 2. Bij type 1 banden is s 2 gelijk aan 0.07 en x = Bij type 2 banden is s 2 gelijk aan 0.09 en x = Stel een betrouwbaarheidsinterval op, afgerond op 2 cijfers na de komma, voor de slijtage van banden van type 1, met α = 10%. Tip: in de loop van de berekeningen moet je een vierkantwortel berekenen; die is echt simpel. Nog een tip: a/ b = a/b. A [5.86, 6.14] B [5.83, 6.17] C * [5.81, 6.19] D [5.87, 6.13] Betrouwbaarheidsinterval voor een verwachting, σ onbekend. [ x t 0.05 n 1 s/ n 1, x + t 0.05 n 1 s/ n 1] = [ / 7, / 7] = [ , ] = [ , ] = [ , ] = [5.81, 6.19] (na afronding). 11

12 26 Een rechte gaat door de punten (X = 1, Y = 2) en (X = 7, Y = 5). De vergelijking van die rechte is Y = b 0 + b 1 X. Een andere rechte gaat door de punten (X = 0, Y = 8) en (X = 10, Y = 0). De vergelijking van de tweede rechte is Y = b 0 + b 1X. Wat zijn de coordinaten van het snijpunt tussen de twee rechten? A (X = 1, Y = 1) B (X = 0, Y = 1.5) C * (X = 5, Y = 4) D Geen van de drie andere alternatieven is correct Teken de twee rechten. Je komt deze grafiek uit Op de grafiek lees je de coordinaten van het snijpunt: ongeveer (X = 5, Y = 4). We kunnen dit verifiëren. Laten we de vergelijking van de eerste rechte berekenen. b 1 = (5 2)/(7 1) = 1/2. Laten we de vergelijking schrijven bij het punt (1, 2): 2 = b Dus b 0 = = 1.5. Ten slotte, Y = X. Laten we de coordinaten van het (vermoedelijke) snijpunt invullen: 4 = Het klopt. De eerste rechte gaat dus door het punt (5, 4). Laten we nu de vergelijking van de tweede rechte berekenen. b 1 = (8 0)/(0 10) = 0.8. Laten we de vergelijking schrijven bij het punt (0, 8): 8 = b Dus b 0 = 8. Eindelijk, Y = 8 0.8X. Laten we de coordinaten van het (vermoedelijke) snijpunt invullen: 4 = Het klopt ook. De tweede rechte gaat dus door het punt (5, 4). Beide rechten gaan door het punt (5, 4); het is dus het snijpunt. 12

13 27 Bij het toetsen van een hypothese betreffende de verwachting µ van de variabele X is α... A * de kans op een steekproef die tot de verwerping van de nulhypothese leidt, terwijl die juist is. B de kans dat g buiten het acceptatieinterval ligt, terwijl de nulhypothese juist is. C de kans dat g binnen het acceptatieinterval ligt, terwijl de nulhypothese juist is. D de proportie van individuen in de steekproef die buiten het acceptatieinterval liggen, terwijl de nulhypothese juist is. A is juist (zie cursus). B is fout. Het symbool g verwijst naar de waarde van de toevalsvariabele G; het is een getal. Het getal ligt buiten het interval of niet maar dat is niet toevallig. Bewering B zou juist zijn als volgt: de kans dat G buiten het acceptatieinterval ligt, terwijl de nulhypothese juist is. 13

14 28 Lefevre et al. (Memory & Cognition, 1988) toonden op een computerscherm aan volwassen proefpersonen een aantal optelopgaven met een antwoord onder de 10, bijvoorbeeld Na een korte tijd (minimaal 60 en maximaal 480 milliseconden) verdween de opgave van het scherm en verscheen onmiddellijk een getal. De proefpersoon moest met een ja- of neeknop aangeven of dat getal hetzelfde was als aan een van de net aangeboden getallen. Deze taak om de juistheid van een aangeboden stimulus te bepalen, heet een verificatietaak. Het aangeboden getal kon inderdaad een van die getallen uit de opgave zijn (5 of 2 in dit voorbeeld), maar ook de som van de getallen (7) of een neutraal getal (de som plus of min 3, dus 4 of 10 in dit voorbeeld). De tijd werd gemeten die de proefpersoon nodig had om een van de knoppen in te drukken. Als het getal gelijk was aan de som, dan hadden de proefpersonen meer tijd nodig om de nee-knop in te drukken dan wanneer een neutraal getal werd aangeboden. Het effect was het sterkst bij een tijdsverloop tussen opgavenaanbieding en aanbieding van het getal van minder dan 180 milliseconden. We repliceren dit experiment met 5 proefpersonen en 12 presentaties per proefpersoon. De ja-antwoorden en de foutieve antwoorden worden verwijderd en onderstaande tabel geeft de reactietijden (in ms) weer bij de correcte nee-antwoorden. getal = som neutraal getal De variabele in de eerste kolom wordt door X S aangeduid en in de tweede kolom door X N. Het gemiddelde van X S is terwijl x N = We beschikken ook over s 2 X S = 3001, s 2 X N = 3912 en σ 2 X N = Wat is het betrouwbaarheidsinterval voor σ 2 X S, met α = 5%? A [1803.1, ] B * [1612.1, ] C [646.4, 722.0] D [652.4, 716.0] Het betrouwbaarheidsinterval voor σ 2 X S is een beetje kleiner dan is [ ns2 X S, k α/2 n 1 ns 2 X S k α/2,n 1 ] = [ , ] = en is een beetje kleiner dan = 14