Tentamen Wiskunde A. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Transcriptie

1 CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde A Datum: 11 juni 2012 Tijd: uur Aantal opgaven: 8 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een berekening of toelichting op gebruik van de grafische rekenmachine zien hoe het antwoord verkregen is. Schrijf leesbaar en met inkt. Gebruik geen tipp-ex o.i.d.. Gebruik van een potlood is alleen toegestaan bij het tekenen van grafieken. Bij het tentamen kunt u gebruik maken van een (grafische) rekenmachine van een type dat goedgekeurd is voor het Centraal Examen Wiskunde van het vwo. Overige hulpmiddelen, zoals formulekaart, BINAS en tabellenboek zijn NIET toegestaan. Op pagina 4 is een lijst van formules afgedrukt; op de laatste drie pagina s vindt u tabellen van de binomiale en de normale kansverdeling. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen is verboden. Op vindt u vanaf eind deze maand: de uitwerkingen van dit tentamen; de stand van zaken van de correctie van het tentamen. U wordt dringend verzocht om de Open Universiteit niet te bellen of te mailen over uw uitslag. Deze wordt zo spoedig mogelijk naar u opgestuurd. Te behalen punten per onderdeel: Opgave a b c d 5 5 Totaal Cijfer = behaald aantal punten

2 1 Een dagje uit In een dierentuin is op een drukke dag het aantal bezoekers N dat op een zeker tijdstip in het park aanwezig is, te benaderen met het volgende model: N = 20t t t In deze formule is t de tijd in uren met t = 0 om middernacht. De dierentuin is open van kwart voor 10 s ochtends tot half acht s avonds, dus de formule geldt voor t pt a Bepaal algebraïsch een vergelijking voor de raaklijn aan de grafiek van de functie N(t) in het punt van die grafiek waarvoor geldt t = pt b Bereken N (18) exact en omschrijf de betekenis van het antwoord. 5 pt c Bereken exact op welk tijdstip het aantal bezoekers maximaal is. 2 De elfde term Van een rij u n is gegeven: u 0 = 2 3 en u 2 = pt a Bereken u 11 exact als dit een rekenkundige rij is. 4 pt b Bereken u 11 exact als dit een meetkundige rij is. 3 Helling in (1,1) De grafieken van de onderstaande functies gaan beide door het punt (1,1). Bereken voor elk van de functies de helling van de grafiek in dit punt exact. 5 pt a f (x) = x1,71 2 x 1,71 5 pt b g(x) = 4 2x Bloedafname (1) In Nederland is er een organisatie die zich bezig houdt met vrijwillige bloeddonatie. Op de website van de organisatie staat te lezen dat bij iedere donor een halve liter bloed wordt afgenomen. Bij nauwkeurige inspectie van de zakjes waarin het afgenomen bloed wordt bewaard, blijkt dat de inhoud niet precies een halve liter is. De inhoud blijkt normaal verdeeld te zijn met een gemiddelde van 498 ml en een standaardafwijking van 5 ml. 5 pt a Hoeveel procent van deze zakjes heeft een inhoud die meer dan 8 ml afwijkt van het gemiddelde? Geef uw antwoord afgerond op honderdsten van procenten. Op een zekere morgen geven 10 willekeurige donoren bloed in de bloedbank in Groningen. 5 pt b Bereken de kans dat deze 10 donoren samen meer dan 5 liter bloed geven. Geef uw antwoord afgerond op vier cijfers achter de decimale komma. pagina 1 van 7

3 5 Bloedafname (2) Zoals bekend zijn er, volgens de meest gebruikelijke indeling, vier bloedgroepen: A, B, AB en 0. In Nederland komen deze voor met de volgende frequenties: A 42% B 8% AB 3% en 0 47%. We nemen aan dat het wel of niet bloeddonor zijn onafhankelijk is van de bloedgroep en ook dat de bloeddonoren onafhankelijk van elkaar naar de bloedafname komen. Op een zekere dag komen er 25 donoren bloed geven bij de bloedbank in Groningen. 4 pt a Bereken de kans dat exact twee van deze 25 donoren bloedgroep B hebben. Geef het antwoord afgerond op vier cijfers achter de decimale komma. Voor een statistisch onderzoek worden iedere dag de bloedgroep van de eerste, de tweede, de derde en de vierde donor geregistreerd. Een mogelijke uitkomst daarbij is A B A AB. 2 pt b Hoeveel van dergelijke uitkomsten bestaan uit vier verschillende bloedgroepen? 4 pt c Bereken de kans dat de eerste vier donoren op een zekere dag allen een verschillende bloedgroep hebben. Er worden 20 zakken bloed vervoerd naar een klein ziekenhuis. Negen van deze zakken zijn gevuld met bloedgroep 0, acht met bloedgroep A, twee met B en één met AB. Door een technisch mankement gaan drie van deze 20 zakken verloren. 5 pt d Als we aannemen dat iedere zak dezelfde kans had om verloren te gaan, bereken dan de kans dat dit twee zakken met bloedgroep A en één zak met bloedgroep B betreft. Geef het antwoord weer afgerond op vier cijfers achter de decimale komma. 6 Bloedafname (3) Bij het plannen van de afspraken voor de bloedafname is het belangrijk om te weten hoe lang een bloedafname gemiddeld duurt. Als men te weinig tijd plant voor een afname, ontstaan er wachtrijen en als men te veel tijd plant, blijft er dure capaciteit onbenut. Op dit moment gaat men er van uit dat de gemiddelde tijd die nodig is voor een bloedafname precies één uur is. Men wil toetsen of deze aanname correct is. 1 pt a Formuleer de nulhypothese en het alternatief voor deze toetsingsprocedure. Men neemt een steekproef van 36 willekeurige donoren en vindt daarbij een gemiddelde tijd van 61,25 minuten. Dit resultaat wordt gebruikt om de toetsingsprocedure uit te voeren. Daarbij neemt men aan dat de tijd voor een bloedafname normaal verdeeld is met een standaardafwijking van 4 minuten en neemt men een significantieniveau van α = 0,05. 6 pt b Geef de conclusie van deze toetsingsprocedure. pagina 2 van 7

4 7 Getijdebewegingen De gemiddelde waterhoogte H in de haven van een Nederlandse kustplaats is te benaderen met een periodieke functie van de vorm H = A cos B(t C) + D (H in meters t.o.v. Normaal Amsterdams Peil (NAP), t in uren) De periode van de functie is 12 uur en 20 minuten. 3 pt a Toon aan: B = 6π 37 Op 1 maart om uur precies is de maximale waterhoogte bereikt: 1,61 m boven NAP. Dit tijdstip noemen we t = 0. De laagste waterhoogte is 0,22 m onder NAP. 5 pt b Bepaal met behulp van deze gegevens de waarden van A, C en D. 4 pt c Wat is volgens dit model de eerstvolgende datum waarop er weer om uur precies de maximale waterhoogte wordt bereikt? 8 Isolated Systolic Hypertension Isolated Systolic Hypertension (ISH) is een ziekte die veel voorkomt onder ouderen. De ziekte is gedefinieerd als een verhoogde systolische bloeddruk ( bovendruk ) terwijl de diastolische bloeddruk ( onderdruk ) normaal is. Bij een bevolkingsonderzoek in het Noorden van Nederland onder mensen van 60 jaar en ouder is gekeken wie ISH had en wie niet. Daarbij vond men dat de kans op ISH toeneemt met de leeftijd: leeftijd kans 0,135 0,18 0,24 0,32 4 pt a Bereken algebraïsch de kans dat een 100-jarige ISH heeft als de regelmaat van de tabel zich voortzet. Nadere bestudering van de onderzoeksgegevens leidt tot de volgende formule voor de kans dat een persoon van een zekere leeftijd deze ziekte heeft: P(IS H) = 1,035 L 50,5 + 1,035 L Hierin is L de leeftijd in jaren. 2 pt b Bereken de kans dat een 70-jarige volgens deze formule de ziekte ISH heeft. Geef het antwoord afgerond op vier cijfers achter de decimale komma. 3 pt c Laat zien dat de kans op ISH volgens bovenstaande formule altijd tussen 0 en 1 ligt. De leeftijd waarop de kans op ISH precies 50% is, kan worden uitgedrukt in een logaritme. 5 pt d Geef deze logaritme en bereken deze leeftijd in jaren nauwkeurig. pagina 3 van 7

5 Lijst van formules voor het voortentamen Wiskunde A Kansrekening Voor alle toevalsvariabelen X en Y geldt: E(X + Y) = E(X) + E(Y) Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ(x + Y) = σ 2 (X) + σ 2 (Y) n-wet: Bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten geldt voor de som S en voor het gemiddelde X van de uitkomsten X: E(S ) = n E(X) E(X) = E(X) σ(s ) = n σ(x) σ(x) = σ(x) n Binomiale verdeling Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt: ( ) n P(X = k) = p k (1 p) n k met k = 0, 1, 2,..., n k Verwachting: E(X) = n p Standaardafwijking: σ(x) = n p (1 p) Normale verdeling Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde µ en standaardafwijking σ geldt: Z = X µ ( is standaard normaal verdeeld en P(X < g) = P Z < g µ ) σ σ Differentiëren naam van de regel functie afgeleide Somregel s(x) = f (x) + g(x) s (x) = f (x) + g (x) Productregel p(x) = f (x) g(x) p (x) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Quotiëntregel q(x) = f (x) g(x) q (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) (g(x)) 2 Kettingregel k(x) = f (g(x)) k (x) = f (g(x)) g (x) of dk dx = d f dg dg dx Logaritmen regel voorwaarden g log a + g log b = g log ab g > 0, g 1, a > 0, b > 0 g log a g log b = g log a b g > 0, g 1, a > 0, b > 0 g log a p = p glog a g > 0, g 1, a > 0 g log a = p log a p log g g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1 Rijen Rekenkundige rij: Som = 1 2 aantal termen (u e + u l ) Meetkundige rij: In beide formules geldt: Som = u l+1 u e (r 1) r 1 e = rangnummer eerste term; l = rangnummer laatste term. pagina 4 van 7

6 pagina 5 van 7

7 pagina 6 van 7

8 pagina 7 van 7