Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen)

Transcriptie

1 Hoofdstuk 8: Het Toetsen van Hypothesen (Extra Oefeningen) Men wenst H 0 : p 0.2 te testen tegenover H 1 : p 0.4 voor een binomiale distributie met n 10. Bepaal α en β als de testfunctie gegeven is door φ(x) 1 als x 3 en φ(x) 0 voor de andere mogelijke x-waarden. (antw. α 0.32 en β 0.17) De betrouwbaarheidsdrempel α is de fout van het type I: α P H0 (x 3) 1 P H0 (x < 3) 1 ( Fout van type II: β P H1 (x < 3) ( ) ( ) ) soldaten naar willekeur gekozen uit leger B hebben een gemiddeld gewicht van 82kg en steekproefvariantie s 2 (5.5kg) 2. Is deze uitslag consistent met de uitspraak dat het gemiddeld gewicht van al de soldaten in leger B 85kg bedraagt (stel α 0.05)? (antw. neen) H 0 : µ µ 0 85 H 1 : µ 85 Bij een betrouwbaarheids- Een steekproef van 41 mensen levert x 82 en s drempel van α 0.05 berekenen we bijgevolg T : X 41 µ / T 3.5 > t 1 40 (0.975) Φ 1 (0.975) Bijgevolg wordt de nulhypothese verworpen op basis van de steekproefresultaten. 1

2 8.18. Een sportvereniging koopt regelmatig paren schoenen bij fabrikant A. De schoenen hebben een normaal verdeelde levensduur (in maanden) N(12, 4). Fabrikant B beweert dat hij schoenen kan leveren aan dezelfde prijs, maar met een langere gemiddelde levensduur. Om te beslissen waar de aankoop te plaatsen koopt de vereniging als test een aantal paren van B en beoogt met de test dat als de gemiddelde levensduur 12 maand is men ook tot die conclusie komt in 95% van de gevallen, en dat als de gemiddelde levensduur 3 maand groter is, men dat ook detecteert in 98% van de gevallen. (a) Hoeveel paren moeten ter controle worden aangekocht? (antw. 7) (b) Als de steekproef in (a) als gemiddelde 13 maand oplevert, bij welke fabrikant wordt dan gekocht? (antw. fabrikant A) (a) Als hypothesen stellen we voorop Enerzijds moet gelden H 0 : µ µ 0 12 H 1 : µ > 12 α P µ0 (X n > µ 0 + a) ( Xn µ 0 P µ0 σ/ n > a ) σ/ n ( ) a Φ σ/ n of met α 0.05: a σ/ n Φ 1 (0.05) Φ 1 (0.95). Anderzijds moet gelden, met µ 1 15 dat 1 β P µ1 (X n > µ 0 + a) ( Xn µ 1 P µ1 σ/ n < µ ) 0 µ 1 + a σ/ n of met β 0.02: µ 0 µ 1 + a σ/ Φ 1 (0.98). n We bekomen dan de volgende vergelijkingen waaruit met σ 2 volgt wat leidt tot a n σ Φ 1 (0.95) ( 3 + a) n σ Φ 1 (0.98) 3 n 2(Φ 1 (0.95) + Φ 1 (0.98)), n ( 2/3 ( )) Bijgevolg nemen we de steekproefgrootte n 7. 2

3 (b) Bij een betrouwbaarheidsdrempel van α 0.05 berekenen we bijgevolg Z : X 41 µ 0 σ 2 /n / Z 1.32 > Φ 1 (0.95) Bijgevolg wordt de nulhypothese NIET verworpen op basis van de steekproefresultaten en wordt bij fabrikant A gekocht Een bedrijf produceert reageerbuisjes. De diameter van de buisjes is normaal verdeeld. Men stelt de machine die de buisjes maakt zo in dat de gemiddelde diameter van de buisjes 10.1 mm is. Men neemt een steekproef van 100 van deze reageerbuisjes en vindt x mm en s 0.25 mm. Als de gemiddelde diameter te klein is, wordt de machine stopgezet. Ga na of de machine stopgezet wordt, als je slechts 5 % kans mag hebben dat je ze verkeerdelijk stopzet. (antw. de machine wordt stopgezet) H 0 : µ µ H 1 : µ 10.1 Een steekproef van 100 mensen levert x en s Bij een betrouwbaarheidsdrempel van α 0.05 berekenen we bijgevolg T : X 100 µ /100 2 T 2 < t 1 99 (0.95) Φ 1 (0.95) Bijgevolg wordt de nulhypothese verworpen op basis van de steekproefresultaten en de machine wordt stopgezet Een sportgeneesheer wil weten of een nieuw loopprogramma de gemiddelde hartslag zal doen dalen. Hij meet de hartslag van 15 lukraak gekozen personen vooraleer ze aan het loopprogramma beginnen. Na 1 jaar wordt hun hartslag terug gemeten. Hier zijn de gegevens: 3

4 Persoon Voor het programma Na het programma Onderstel dat de verschillen in hartslag normaal verdeeld zijn. Toets met drempelwaarde 5%. (Antw.: H 0 verwerpen) Men wil nagaan of een nieuw loopprogramma de hartslag zal doen dalen. H 0 : µ V µ N 0 H 1 : µ V µ N > 0 met µ het gemiddelde verschil (voor-na) in hartslag. We berekenen de steekproefresultaten voor dit verschil in hartslag in volgende tabel: Persoon Voor - Na

5 Een steekproef van 15 mensen levert x 2.33 en s Bij een betrouwbaarheidsdrempel van α 0.05 berekenen we bijgevolg T : X 15 µ 0 s 2 /n / T 2.69 > t 1 15 (0.95) Bijgevolg wordt de nulhypothese verworpen op basis van de steekproefresultaten en zal het nieuwe loopprogramma de hartslag doen dalen In het verleden is gebleken dat het aantal regenachtige dagen in België in de maand april normaal verdeeld is met gemiddelde waarde 11. Een metereoloog wenst deze hypothese te testen (met drempelwaarde α 0.05) en zoekt de gegevens van de laatste 6 jaar op i.v.m. de maand april en vindt voor het aantal regenachtige dagen: 9, 14, 12, 15, 11 en 19. Wat is zijn besluit? (antw. H 0 aanvaarden) H 0 : µ µ 0 11 H 1 : µ 11 Een steekproef van 6 mensen levert x en s Bij een betrouwbaarheidsdrempel van α 0.05 berekenen we bijgevolg T : X 6 µ / T > t 1 6 (0.975) Bijgevolg wordt de nulhypothese NIET verworpen op basis van de steekproefresultaten Een spoorwegmaatschappij beweert dat haar internationale treinverbindingen gemiddeld 8.9 minuten vertraging hebben. Deze vertraging mag normaal verdeeld verondersteld worden. Men wil de bewering van de spoorwegmaatschappij controleren en men neemt een steekproef bestaande uit 100 steekproefwaarden. Men vindt als steekproefgemiddelde 9.3 minuten en als steekproefdispersie 1.8 minuten. Ga na met een drempelwaarde van 0.05 of de bewering van de spoorwegmaatschappij kan aanvaard worden. (antw. de uitspraak wordt verworpen) 5

6 H 0 : µ µ H 1 : µ 8.9 Een steekproef van 100 levert x 9.3 en s Bij een betrouwbaarheidsdrempel van α 0.05 berekenen we bijgevolg T : X 100 µ / T 2.98 > t (0.975) Φ 1 (0.975) Bijgevolg wordt de nulhypothese verworpen op basis van de steekproefresultaten Bij 120 worpen van een dobbelsteen heeft men respectievelijk 25, 17, 15, 23, 24 en 16 keer 1, 2, 3, 4, 5 en 6 gegooid. Test met betrouwbaarheidsdrempel 0.05 de hypothese dat de dobbelsteen onvervalst is. De absolute frequenties N i en verwachtingswaarden nπ i worden gegeven in de volgende tabel Bijgevolg is nπ i N i χ Met k 6 het aantal klassen en geen te schatten parameters vergelijken we χ 2 met (χ 2 5 ) 1 (0.95) Aangezien 6 < aanvaarden we de hypothese dat de muntstukken onvervalst zijn op basis van de steekproefresultaten. 6. 6