Meetkunde en Lineaire Algebra

Transcriptie

1 Hoofdstuk 1 Meetkunde en Lineaire Algebra Vraag 1.1 Zij p en q twee veeltermfuncties met reële coëfficiënten en A een reële vierkante matrix. Dan is p(a) diagonaliseerbaar over R als en slechts dan als q(a) diagonaliseerbaar is over R. Vraag 1.2 Zij A een reële, antisymmetrische matrix (verschillend van de nulmatrix). Dan kan A nooit diagonaliseerbaar zijn over R. Vraag 1.3 Een n n orthogonale projectiematrix is steeds diagonaliseerbaar. Vraag 1.4 Als een matrix A C n n diagonaliseerbaar is, dan bestaat er van die matrix een orthonormale basis van eigenvectoren voor C n 1. 1

2 Vraag 1.5 Elke orthogonale matrix in R n n is diagonaliseerbaar over R. Vraag 1.6 Zij x,y R n 1. Dan bezit de matrix xy T twee verschillende eigenwaarden als en slechts dan als x en y niet onderling orthogonaal zijn. Vraag 1.7 Als het spectrum van een reële vierkante matrix een complexe eigenwaarde bevat, dan bevat het ook de complex toegevoegde van deze eigenwaarde. Vraag 1.8 Als Q een unitaire matrix is, en λ σ(q), dan geldt er dat λ 1 σ(q ). Vraag 1.9 Elke reëelsymmetrische, positief definiete matrix A kan worden geschreven als BB T met B een inverteerbare matrix. 2

3 Vraag 1.10 Voor een vierkante matrix A wordt bij definitie exp(a) = A k k=0 k! gesteld. Zij nu A diagonaliseerbaar, dan geldt er dat det(exp(a)) = exp(tr(a)) 3

4 Hoofdstuk 2 Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek Vraag 2.1 De Fisher-informatie I(p) voor een steekproef met grootte n = 1 uit een geometrische verdeling met f ( p) = Geo( p) is gegeven door: - p2 q - 1 p 2 q - q p 2 - geen van de bovenstaande Vraag 2.2 We doen een opiniepeiling om het percentage mensen in een populatie te vinden dat een Mac boven een PC verkiest. We herhalen daarbij 10 keer het volgende experiment: we selecteren telkens opnieuw op aselecte wijze een computergebruiker uit de populatie, tot we er een vinden die een Mac boven een PC verkiest. We noteren dan het aantal PC-liefhebbers dat aan die eerste Mac-liefhebber voorafging: 1, 0, 2, 2, 1, 3, 4, 1, 0, 2. Geef een maximale-likelihoodschatting voor het gezochte percentage. - 38,5% - 62,5% - 40% - 20% Vraag 2.3 We beschouwen de maximale-likelihoodschatter ˆM ML (X 1,...,X n ) van de gemiddelde waarde van een toevallige steekproef uit 4

5 een normale verdeling. Welke van de onderstaande uitspraken is onwaar? - ˆM ML is consistent. - ˆM ML equivariant. - ˆM ML is onvertekend. - Ten minste een van de bovenstaande uitspraken is onwaar. Vraag 2.4 Veronderstel dat ˆΘ de maximale-likelihoodschatter is van de reëelwaardige parameter θ. Welke van de volgende uitspraken is dan niet noodzakelijk juist? - ˆΘ is consistent. - g( ˆΘ) is de maximale-likelihoodschatter voor de parameter g(θ), voor elke continu afleidbare functie g op de reële getallen. - ˆΘ is de meest efficiënte schatter. - ˆΘ is benaderd normaal verdeeld. Vraag 2.5 Beschouw een toevallige steekproef X 1,X 2,...,X n uit een verdeling f ( θ). De steekproefstatistieken A(X 1,X 2,...,X n ) en B(X 1,X 2,...,X n ) zijn zo gekozen dat voor elke werkelijke waarneming x 1,x 2,...,x n, het interval (A(x 1,x 2,...,x n ),B(x 1,x 2,...,x n )) een corresponderend betrouwbaarheidsinterval is voor de parameter θ met betrouwbaarheidsdrempel α in [0, 1]. Dan geldt: - P(A(x 1,x 2,...,x n ) θ B(x 1,x 2,...,x n )) = 1 α - P(θ [A(X 1,X 2,...,X n ),B(X 1,X 2,...,X n )]) = 1 α - P(A(X 1,X 2,...,X n ) θ B(X 1,X 2,...,X n )) = α - P(θ [A(x 1,x 2,...,x n ),B(x 1,x 2,...,x n )]) = α Vraag 2.6 We doen een hypothesetest over de verwachtingswaarde µ van een normaal verdeelde veranderlijke X, waarvan we weten dat var(x) = 1. We weten ook dat de verwachtingswaarde µ van X ofwel gelijk is aan µ 0, ofwel gelijk is aan µ 1 (met µ 1 > µ 0, zie de onderstaande figuur), ofwel gelijk is aan µ 2 := µ 0+2µ 1 3. De nulhypothese H 0 en de alternatieve hypothese H 1 zien er als volgt uit: H 0 : µ = µ 2, 5

6 H 1 : µ {µ 0, µ 1 }. In de figuur zijn ook drie verschillende kritieke gebieden KG1, KG2 en KG3 getekend, die overeenkomen met de respectieve testen δ 1, δ 2 en δ 3. Elk van die drie testen δ i hebben een minimale sterkte m i en een maximale sterkte M i let erop dat met elk element van Ω 1 = {µ 0, µ 1 } een sterkte overeenkomt. Welke van de volgende uitspraken geldt dan zeker voor alle waarden van µ 0 en µ 1 (zo dat µ 1 > µ 0 )? KG1 µ 0 µ 2 µ 1 KG2 KG2 KG3 - M 3 < M 1 < M 2 - m 2 = m 3 - M 3 + M 1 = 1 - m 2 M 2 Vraag 2.7 Met MATLAB werden er enkele plots van een dataset gemaakt: 8 x x x x 10 6 Noem X de toevallige veranderlijke uitgezet in abscis, en Y de toevallige veranderlijke uitgezet in ordinaat. Wat is het meest 6

7 geschikte, intrinsiek lineaire, regressiemodel voor deze dataset? - Een lineaire wet Y = β 0 + β 1 X - Een exponentiële wet Y = αe βx - Een machtwet Y = αx β - Een logaritmische wet Y = log β (αx) Vraag 2.8 Gegeven is een ongedocumenteerd MATLAB m-bestand, en de bij uitvoering ervan resulterende figuur: clear all; close all; n = 1000; m = 10000; p =.3; X = rand(n,m); Y = X>1-p; Z =... stap =.5; hist(z,-3:stap:3) h = findobj(gca, Type, patch ); set(h, FaceColor,[.4.4.4], EdgeColor, w ) hold on t = -3:.1:3; plot(t,stap*m*normpdf(t), k, LineWidth,2) 7

8 De definitie van Z is echter weggelaten. Welke van de volgende definities werd gebruikt om de figuur te krijgen? - Z = sum(y)-n*p; - Z = mean(y-p)./std(y); - Z = (mean(y)-p)/sqrt(p*(1-p)); - Z = (sum(y)-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); - Z = (Y-mean(Y))./std(Y); Vraag 2.9 Wat geldt algemeen voor de maximale-likelihoodschattingen ˆB 0,ML (Y 1,...,Y n ) en ˆB 1,ML (Y 1,...,Y n ) van de regressiecoëfficienten bij een enkelvoudige lineare regressie van de vorm Y = β 0 + β 1 X, waarvoor de data zo liggen dat x n > 0? - Ze zijn onafhankelijk. - Ze zijn ongecorreleerd. - Ze zijn positief gecorreleerd. - Ze zijn negatief gecorreleerd. Vraag 2.10 Transportfirma Ossewa wantrouwt de bewering van bandenproducent Tiresome dat de gemiddelde levensduur van diens banden ten minste km is. Om deze nulhypothese te toetsen, worden 40 zulke banden onder de trucks van Ossewa bevestigd, wat leidt tot een steekproefgemiddelde voor de levensduur van km. Je mag aannemen dat de standaardafwijking op de levensduur 1350 km is. Dan is de corresponderende (benaderde) p-waarde van de steekproef gegeven door: - 0,0118-0,9940 8

9 - 0,0059-0,3454 9