WenS eerste kans Permutatiecode 0

Transcriptie

1 WenS eerste kans Aantekeningen op de vragenbladen zijn NIET TOEGELATEN. Je mag gebruik maken van schrijfgerief en een eenvoudige rekenmachine; alle andere materiaal blijft achterin. Leg je studentenkaart duidelijk zichtbaar op je bank. Klap enkel je eigen tafeltje open. Vul, voor je begint, je voornaam, naam, studiejaar en stamnummer in in het bovenste kader van het antwoordblad. Vul vervolgens nauwgezet je stamnummer in, door de gepaste vakjes in de velden A H volledig zwart te maken. Draag er zorg voor dat je geen andere vakjes in deze velden zwart maakt. Op je opgavenblad staat een permutatiecode een getal tussen 1 en 9. Maak het corresponderende vakje zwart in veld I. Het examen telt 25 vragen. Er is slechts één correct antwoord per vraag. Elk correct antwoord levert 1 punt op, een niet-correct antwoord 0 punten: er is geen giscorrectie. De antwoorden op de vragen worden ingevuld door het gepaste vakje zwart te maken in velden 1 25 in de kolommen NET. Met wat je invult in de kolommen KLAD wordt geen rekening gehouden. Gommen en andere correctieve bewerkingen in de NET-kolommen zijn NIET TOEGELA- TEN. Wees kalm, en begin met de vragen die je het makkelijkst lijken. Check, voor je afgeeft, of je NET-kolom volledig (en naar wens) is ingevuld! 1

2 Formularium Enkele verdelingen Normale verdeling Nm(z µ,σ 2 ) = 1 (z µ)2 e 2σ 2 2πσ 2 Exponentiële verdeling Exp(z β) = 1 β e z/β voor z 0 Gamma-verdeling Ga(z α,β) = 1 β α Γ(α) zα 1 e z/β voor z > 0 Geometrische verdeling Geo(z p) = q z p voor z = 0,1,2,... Bernoulli-verdeling Be(z p) = p z q 1 z voor z = 0,1 Binomiale verdeling Bn(z n, p) = ( n z) p z q n z voor z = 0,1,2,...,n Poisson-verdeling Ps(z λ) = e λ λ z /z! voor z = 0,1,2,... Maximale-likelihoodschatters Exponentiële verdeling ˆB ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = x n n xn (1 x n ) Bernoulli-verdeling ˆP ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = n xn Poisson-verdeling ˆΛ ML (x 1,...,x n ) = x n se(x ˆ 1,...,x n ) = n Statistische testen Wald-testen met Wald-teststatistiek w en significantieniveau α 0 test kritiek gebied p-waarde eenzijdig w < z 1 α0 Φ(w) eenzijdig w > z 1 α0 Φ( w) tweezijdig w > z 1 α0 /2 2Φ( w ) Enkele courante fractielen van de standaardnormale verdeling α 100(1 α) z 1 α/2 0,001 99,9 3,32 0,005 99,5 2,81 0,010 99,0 2,58 0,050 95,0 1,96 0,100 90,0 1,65 2

3 Enkele verzamelingen van getallen N is de verzameling van alle natuurlijke getallen zonder nul. R >0 is de verzameling van alle (strikt) positieve reële getallen. R 0 is de verzameling van alle niet-negatieve reële getallen. 3

4 0 z Oppervlakte onder de standaardnormale densiteit van 0 tot z z

5 1 We beschouwen een urne met een rode en drie witte ballen, en we halen op toevallige wijze drie ballen uit de urne, zonder terugplaatsing. Noem R k de gebeurtenis dat de k-de bal rood is en W k de gebeurtenis dat de k-de bal wit is, voor k = 1,2,3. P(W 3 R 1 R 2 ) is de waarschijnlijkheid dat de derde bal wit is als je weet dat bij de eerste en tweede trekkingen ten minste één rode bal verschijnt. Welke van de volgende uitspraken is correct? A P(W 3 R 1 R 2 ) > P(R 3 W 1 W 2 ) > P(W 1 ) B P(R 3 W 1 W 2 ) > P(W 3 R 1 R 2 ) > P(W 1 ) C P(W 3 R 1 R 2 ) > P(W 1 ) > P(R 3 W 1 W 2 ) D geen van de bovenstaande 2 De klantbezoeken aan de winkel van Nathalie maken een Poisson-proces uit met tempo λ, uitgedrukt in bezoeken per uur. Op een dag gaan Nathalie en Lieve metingen doen bij de eerste vijf klanten die binnen komen. Nathalie meet vijf keer de tijd T (in uren) tussen twee gebeurtenissen, en noteert dus de duur t 1 tot de eerste klant, en dan voor elk van de vier volgende klanten de tijden t 2, t 3, t 4 en t 5 tussen die klant en de vorige. Ze gebruikt haar gegevens om een maximalelikelihoodschatting ˆ λ1 te vinden voor de parameter λ van de verdeling van de toevallige veranderlijke T. Lieve meet gewoon de tijd T 5 (in uren) tot de vijfde klant, en heeft dus een enkele meting t, die natuurlijk gelijk is aan t 1 +t 2 +t 3 +t 4 +t 5. Ook zij gebruikt haar enkele meting om een maximale-likelihoodschatting ˆ λ2 te vinden voor de parameter λ van de verdeling van de toevallige veranderlijke T 5. Welke van de volgende uitspraken is dan niet correct? A ˆ λ2 = 5/t. B ˆ λ1 ˆ λ2. C T 5 heeft een Gamma-verdeling met α = 5 en β = 1 λ. D Beide maximale-likelihoodschattingen hebben dezelfde standaardfout. 5

6 3 Beschouw een toevallige steekproef X 1, X 2,..., X n van grootte n uit een verdeling f ( θ) met parameter θ. We kijken ook naar de parameter λ := θ 2. Welke van de volgende uitspraken over de maximale-likelihoodschatters ˆΘ ML voor θ en ˆΛ ML voor λ is niet noodzakelijk waar? A Als E( ˆΘ ML (X 1 )) = θ, dan is E( ˆΘ ML (X 1 ) ˆΘ ML (X 2 )) = θ 2. B E( ˆΘ ML (X 1,X 2,...,X n )) = θ. C ˆΘ ML is consistent. D ˆΛ ML = ( ˆΘ ML ) 2. 4 Beschouw drie gebeurtenissen A, B en C, zo dat C B, zoals in de onderstaande figuur. A C B Verder is gegeven dat P(A B) = P(A C) en dat zowel P(A), P(B), P(C) als P(B \C) strikt positief zijn. Welke van de onderstaande uitspraken is dan zeker vals? A P(C A) P(B A). B P(A B C) > P(A B C). C P(A C c B) = P(A B) P(A C) P(B) P(C). D Als A B = /0 dan P(A C) = 0. 6

7 5 We beschouwen een enkelvoudige lineaire regressie, waarbij met elke predictor x i een toevallige respons Y i overeenkomt (i = 1,2,...,n). We nemen aan dat voldaan is aan alle basisveronderstellingen van normaliteit, onafhankelijkheid, nulvertekening en homoscedasticiteit. De maximale-likelihoodmethode geeft dan schattingen ˆβ 0,ML en ˆβ 1,ML van het intercept β 0 en de helling β 1 in de formule Y = β 0 + β 1 X + ε. Welke van de volgende uitspraken is waar? A x n is altijd een element van de predictors x 1, x 2,..., x n. B Het punt (x n, ˆβ 1,ML x n ) ligt altijd op de regressielijn. C Door (x n,y n ) toe te voegen aan de predictors en responsen (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),..., (x n,y n ) veranderen we nooit de regressielijn. D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. 6 Voor de wedstrijd vraag van de week zijn er zeven vragen. Het aantal studenten N k dat k van de zeven vragen correct heeft, is in de tabel hieronder weergegeven. U vindt er ook het aantal lotjes k 5 dat wordt uitgedeeld aan elke student met k juiste antwoorden, en het totale aantal lotjes N k k 5 dat voor k juiste antwoorden wordt toegekend. Na het toekennen van de lotjes wordt een van ze lukraak getrokken, en de houder van het getrokken lotje wint de loterij (en een prijs). k som N k k N k k We willen iets weten over P(k W), de waarschijnlijkheid dat als iemand de lotterij wint, hij of zij k antwoorden juist heeft gehad. De tabel bevat informatie die nuttig kan zijn om dat soort waarschijnlijkheden te berekenen. Je mag er hierbij van uitgaan dat P(k), de a priori waarschijnlijkheid om k vragen juist te beantwoorden, evenredig is met N k. Welke van de volgende uitspraken is dan waar? A P(1 W) < P(2 W) < P(3 W) < P(4 W) < P(5 W) < P(6 W) < P(7 W). B P(7 W) > P(5 W) > P(6 W). C P(7 W) > 0,3. D P(1 W) + P(2 W) > P(3 W). 7

8 7 In een urne liggen twee rode en twee witte ballen. Men haalt er op lukrake wijze twee ballen uit zonder ze terug te leggen, zodat er nog twee ballen in de urne blijven. Maar we weten niet welke ballen eruit zijn gehaald. Om het jullie makkelijk te maken: de waarschijnlijkheid dat er nog twee witte ballen in de urne zitten is 1/6, voor twee rode ballen is ze 1/6, en voor een witte en een rode bal 2/3. We gaan nu n keer na elkaar lukraak een van de overblijvende ballen uit de urne halen en weer terugplaatsten. Het (toevallige) aantal keren van die n dat daarbij een witte bal getrokken wordt, is X = n k=1 X k, met X k = 1 wanneer de k-de bal wit is, en X k = 0 anders. Welke van de volgende uitspraken is waar? A E(X) = n 3. B De uitkomsten X k en X l van twee verschillende trekkingen zijn ongecorreleerd. C E(X 2 ) = n 6 + n2 3. D var(x) = n 6. 8 Twee reële continue toevallige veranderlijken X en Y hebben een gemeenschappelijke densiteit f X,Y (x,y) die alleen van 0 verschilt voor 0 < x 2 + y 2 < 1 en 0 < x < 1. Conditioneel op X = x met 0 < x < 1, is Y uniform verdeeld over het interval ( 1 x 2, 1 x 2 ). De marginale densiteit van X voldoet aan f X (x) = 4 π 1 x 2 voor 0 < x < 1. Welke van de volgende uitspraken is dan waar? A X en Y zijn gecorreleerd. B Conditioneel op Y = y met 1 < y < 1, is X uniform verdeeld over het interval (0, 1 y 2 ). C De marginale densiteit van Y voldoet aan f Y (y) = 4 π 1 y 2 voor 1 < y < 1. D Geen van de bovenstaande uitspraken is waar. 9 Beschouw de toevallige veranderlijke Y = e X, met X standaardnormaal verdeeld. Waaraan is de variantie var(y ) gelijk? A e B e(e 1) C e 2 D 1 8

9 10 Een student vindt in zijn notities van het vak Waarschijnlijkheidsrekening en Statistiek het onderstaande kader-met-staafdiagram terug, maar weet niet meer van welke dataset het afkomstig is De student vindt ook de vier onderstaande datasets terug. Welke dataset stemt overeen met het kader-met-staafdiagram? A 0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10 B 0, 1, 2, 5, 6, 7, 7, 10 C 0, 0, 1, 4, 6, 7, 10, 10 D 0, 0, 1, 5, 5, 7, 10, De gemeenschappelijke densiteit van de toevallige veranderlijken X en Y wordt gegeven door: α als 1 3 ( f X,Y (x,y) = x a )2 + ( y b )2 1 en x > 0 0 elders, waarbij α de normalisatieconstante is, a > 0 en b > 0. De toevallige veranderlijken R en V worden gedefinieerd als R = ( X a )2 + ( Y b )2 en V = ay /bx. Welke van de onderstaande uitspraken is de correcte? abr A f R,V (r,v) = α als 1 1+v 2 3 r 1 en v R. B α = 1 9 abπ 4. r C f R,V (r,v) = α ab als 1 1+v 2 3 r 1 en v R. D X en Y zijn onafhankelijk. 9

10 12 Een toevallige veranderlijke X heeft een Poisson-verdeling met parameter λ. Van de afwijking ε := X λ tussen X en haar parameter λ weten we dat P(ε < 2) 1 3. Geef de ruimste begrenzing op de parameter λ die volgt uit de bovenstaande ongelijkheid en de Chebyshev-ongelijkheid. A λ 4 3. B λ 8 3. C λ 1 3. D Je kan met deze ongelijkheden geen begrenzing vinden op λ. 13 Er wordt een steekproef met grootte n = 100 genomen uit een toevallige veranderlijke die Poisson-verdeeld is met parameter λ. Het steekproefgemiddelde x n is gelijk aan 2. Welke van de volgende intervallen geeft dan een (benaderend en tweezijdig) 95% betrouwbaarheidsinterval voor λ? A (1,61;2,39) B (1,72;2,28) C (1,77;2,23) D (1,96;2,04) 14 Op de onderstaande figuur is (een deel van) de distributiefunctie van een reële toevallige veranderlijke X getekend. F X (x) 1 3/4 1/2 1/ x Waaraan is P(X [2,3]) gelijk? A 0 B 1 4 C 3 8 D

11 15 X 1, X 2,..., X n+1 zijn n+1 onafhankelijke Bernoulli-verdeelde toevallige veranderlijken met parameter p. Definieer de toevallige veranderlijken Y 1 en Y 2 als Y 1 := n i=1 X i en Y 2 := n+1 i=2 X i. Waaraan is cov(y 1,Y 2 ) gelijk? A 0 B p n (p p n ) C p n (1 p n ) D p n+1 p n 16 We hebben twee urnes u en v. In urne u liggen drie ballen met labels a, b en c, en in urne v twee ballen met labels d en e. We kiezen urne u met waarschijnlijkheid p (0,1) en urne v met waarschijnlijkheid 1 p, en nemen daarna lukraak een bal uit de gekozen urne. De informatie, en de gebruikte notatie, zijn samengevat in de onderstaande waarschijnlijkheidsboom. p u a b c 1 p v d e Welke van de onderstaande uitspraken is niet waar? A P(b c v) = 0. B P(b c) = 2 3. C P(a d) = p. D P(b e v) =

12 17 We hebben twee muntstukken a en b. Voor muntstuk a is de waarschijnlijkheid op munt p a (0,1), en voor muntstuk b is die waarschijnlijkheid p b (0,1). We volgen deze procedure: we gooien herhaalde keren met een van de muntstukken. We beginnen met muntstuk a. Zolang met een muntstuk kop wordt gegooid, gebruiken we hetzelfde muntstuk ook bij de volgende toss. Wanneer met een muntstuk munt wordt gegooid, gebruiken we bij de volgende toss het andere muntstuk. We stoppen met tossen als we in totaal twee keer munt hebben gegooid. Wat is de verwachtingswaarde van het aantal keer dat wordt getost? A 1 p b p a B 1 p a p a C 1 p a p b p a p b D 1 p a p a + 1 p a p b + 1 p b p b + 1+p b p b 18 Het volgende stukje Matlab-code genereert een realisatie van een toevallige veranderlijke X. x = sum ( randn (10,1).^2) Waaraan is de verwachtingswaarde E(X) van X gelijk? A 9 B 10 C 9 3 D

13 19 Beschouw een toevallige steekproef X 1,..., X 10 van grootte 10 uit een normale verdeling met parameters µ = 1 en σ 2 = 1. Welke van de onderstaande uitspraken over het steekproefgemiddelde X 10 en de steekproefvariantie S10 2 is niet correct? A E(S10 2 ) = 1. B (X 10 ) 2 en S10 2 zijn onafhankelijk. C X 10 heeft een normale verdeling met verwachtingswaarde 1 en variantie D 9S 2 10 heeft een χ2 -verdeling met 9 vrijheidsgraden. 20 X 1, X 2 en X 3 zijn onafhankelijke continue toevallige veranderlijken die elk uniform verdeeld zijn over [0,1]. Wat is P(X 1 < min{x 2,X 3 }), de waarschijnlijkheid dat X 1 strikt kleiner is dan zowel X 2 als X 3? A 1 3 B 1 4 C 1 6 D Beschouw onafhankelijke, identiek verdeelde en strikt positieve reële toevallige veranderlijken X 1,..., X 100, waarbij E(ln(X i )) = 0 en var(ln(x i )) = 1. Wat is de (eventueel benaderde, en op vier beduidende cijfers achter de komma afgeronde) waarschijnlijkheid dat n i=1 X i strikt groter is dan e 100? A 0, 0000 B 0, 1587 C 0, 5000 D 1,

14 22 De toevallige veranderlijke X heeft een χ 2 -verdeling met parameter ν en de toevallige veranderlijke Y is geometrisch verdeeld met parameter 0 < p < 1. Zowel de verwachtingswaarden als de varianties van beide veranderlijken zijn aan elkaar gelijk: µ X = µ Y en σ 2 X = σ 2 Y. Welke van de volgende uitspraken is correct? A ν = 1 en p = 1/2. B ν = 2 en p = 1/3. C ν = 3 en p = 1/3. D Er zijn onvoldoende gegevens om deze vraag te kunnen beantwoorden. 23 In een peiling door de afdeling Landbouw en Visserij van de Vlaamse Overheid werd in mei 2013 aan n = 750 landbouwbedrijven gevraagd of ze tussen 1 juli en 31 december 2013 investeringen zouden doen. 270 bedrijven beantwoordden deze vraag positief. We willen met deze peiling iets kunnen besluiten over de nulhypothese dat in de laatste 6 maanden van 2013 niet meer dan p 0 = 35% van alle Vlaamse landbouwbedrijven investeringen zullen doen. Hiervoor gebruiken we een (alternatieve) Wald-teststatistiek, waarbij we de standaardfout se 0 onder de nulhypothese p = p 0 gebruiken. Het significantieniveau α 0 waarmee we testen is 5%. Met x i = 1 als het i-de landbouwbedrijf investeert in de laatste 6 maanden van 2013 en x i = 0 als het niet investeert, geeft de volgende tabel de gegevens weer: n n i=1 x i p 0 H 0 α % p p 0 5% Welke van de volgende uitspraken is de correcte? A H 0 wordt verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 56,6%. B H 0 wordt niet verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 28,3%. C H 0 wordt verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 28,3%. D H 0 wordt niet verworpen en het effectief significantieniveau is ongeveer 56,6%. 14

15 24 We doen een hypothesetest over de verwachtingswaarde µ van een normaal verdeelde veranderlijke X, waarvan we weten dat var(x) = 1. We weten ook dat de verwachtingswaarde µ van X ofwel gelijk is aan µ 0, ofwel gelijk is aan µ 1 (met µ 1 > µ 0, zie de onderstaande figuur), ofwel gelijk is aan µ 2 := 2µ 0+3µ 1 5. De nulhypothese H 0 en de alternatieve hypothese H 1 zien er als volgt uit: H 0 : µ {µ 0, µ 2 }, H 1 : µ = µ 1. In de figuur zijn ook vier verschillende aanvaardingsgebieden AG1, AG2, AG3 en AG4 getekend, die overeenkomen met de respectieve testen δ 1, δ 2, δ 3 en δ 4. µ 0 µ 2 µ 1 AG1 AG2 AG2 AG3 AG4 Als de steekproefgrootte n zeer groot wordt, welke van de vier testen heeft de grootste onbetrouwbaarheid? A δ 1 B δ 2 C δ 3 D δ 4 15

16 25 De continue reële toevallige veranderlijken X en Y zijn onafhankelijk en exponentieel verdeeld met dezelfde parameter β. Wat is de waarschijnlijkheid P(X ky ) met k > 0? A B 1 2k k k+1 C 1 k+1 D geen van de bovenstaande 16