TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN. Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Kansrekening (2WS2, Vrijdag 23 januari 25, om 9:-2:. Dit is een tentamen met gesloten boek. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk en overzichtelijk te worden opgeschreven. Het aantal punten van elk onderdeel staat bij elke opgave. Er zijn onderdelen. Het cijfer is het totaal van de behaalde punten gedeeld door , afgerond op een geheel getal. Op elk ingeleverd vel de naam van de student, de code van het college en de datum van het tentamen noteren. U mag gebruik maken van een onbeschreven Statistisch Compendium en een (grafische rekenmachine.. Knikkers in urnen. In een urn zitten 3 knikkers, waarvan blauw en 2 rood. We trekken deze knikkers één voor één. Als we een knikker trekken, dan stoppen we 2 knikkers van dezelfde kleur terug. (a ( punten Wat is de kans dat de eerste knikker rood is? Wat is de kans dat de tweede knikker rood is? (b ( punten Wat is de kans dat de eerste én de tweede knikker rood zijn? Zijn deze twee gebeurtenissen onafhankelijk? En wat is de kans dat de tweede én de derde knikker rood zijn? Reflecteer op het antwoord. (c (5 punten Laat zien dat de kans p n dat de nde knikker rood is gelijk is aan p n E[R n ] n + 2, waarbij R n het aantal rode knikkers is na n trekkingen. Leid hiermee een recursie af voor het verwachte aantal rode knikkers in de nde trekking. Gebruik deze om een formule te geven voor p n voor elke n. (d ( punten Stel S n is het aantal getrokken rode knikkers na n trekkingen. centrale limiet stelling gebruiken om de kans dat S 7 te benaderen? Mogen we de 2. Sommen van exponentiele verdelingen. Laat E,..., E n onafhankelijk en gelijkverdeelde exponentiële random variabelen zijn met parameter, zodat f Ei (x e x voor x en anders. (a ( punten Wat is de dichtheid van e 2E? (b ( punten Laat zien dat S n E + + E n de volgende dichtheid heeft: { y <, f Sn (y y n (n! e y y >. (c (5 punten Gebruik het vorige onderdeel om te laten zien dat, met X een Poisson verdeling met parameter t, voor alle t > en k, P(X k P(E + + E k+ > t.

2 (d (5 punten Laat zien dat, voor elke k en t >, t tk P(E + + E k < t < E + + E k+ e k!. (e ( punten Benader de kans dat E + + E >. 3. Gezamenlijke verdeling. De (continue random variabelen X en Y hebben een dusdanige gezamenlijke verdeling dat de marginale verdeling van X uniform op [, ] is verdeeld, en dat de conditionele kansverdeling van Y op de gebeurtenis {X x} uniform op [, x] is verdeeld (voor x (, ]. (a (5 punten Geef de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie van X en Y. (b ( punten Geef f X Y (x y. (c ( punten Bereken E[Y X x] en E[X Y y]. (d ( punten Bereken E[Y ]. (Hint: gebruik de conditionele verwachting. 4. Je eigen playlist ontwerpen. Stel dat een ipod 3 liedjes bevat. De gemiddelde lengte van deze liedjes is 3, 45 minuten en de standaardafwijking is, 63 minuten. (a ( punten Je gaat 3 uur lang fietsen en je wil een random playlist maken van 45 liedjes. Wat is, bij benadering, de kans dat jouw random playlist lang genoeg duurt voor jouw fietstocht? (b ( punten Je gaat een vliegreis maken die 6 uur gaat duren. Hoeveel liedjes moet je bij benadering kiezen opdat je met, 95 kans een playlist hebt waarvan het afspelen langer duurt dan de vliegreis? 5. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a ( punten A, B, C zijn drie onafhankelijke gebeurtenissen met P(A /2, P(B /4 en P(C /6. Wat is de conditionele kans dat A optreedt gegeven dat A B C optreedt? (b ( punten Bewijs, vanuit de definitie van de verwachtingswaarde van een discrete random variabele, dat voor elke discrete random variabele met eindige verwachtingswaarde, en voor elke a, b R, geldt dat E[aX + b] ae[x] + b. (c (5 punten Laat X een Cauchy verdeling hebben, ofwel, de kansdichtheid van X is f X (x [π( + x 2 ] voor x R. Bereken de dichtheid van X /4. Is E[ X /4 ] <? (d (5 punten Laat X,..., X n i.i.d. uniforme random variabelen zijn op [,], zodat de dichtheid van X i gelijk is aan f Xi (x voor x [, ] en f Xi (x anders. Stel M n max{ X,..., X n } is het maximum van de wortels van X,..., X n. Laat zien dat n(m n convergeert in verdeling. Herken de verdeling van de limietvariabele. Succes! 2

3 Uitwerkingen:. Knikkers in urnen. In een urn zitten 3 knikkers, waarvan blauw en 2 rood. We trekken deze knikkers één voor één. Als we een knikker trekken, dan stoppen we 2 knikkers van dezelfde kleur terug. (a ( punten Wat is de kans dat de eerste knikker rood is? Wat is de kans dat de tweede knikker rood is? Antwoord: Noem A i de gebeurtenis dat de ide knikker rood is. We dienen P(A en P(A 2 te berekenen. De eerste knikker wordt met gelijke kans getrokken, dus P(A 2/3. Voor P(A 2 gebruiken we de wet van de totale kans in de vorm P(A 2 P(A 2 A P(A + P(A 2 A c P(A c. We merken op dat als A gebeurt, dan zijn er in de tweede ronde 4 knikkers, waarvan 3 rode, zodat P(A 2 A 3/4. Op vergelijkbare wijze is P(A 2 A c 2/4 /2. We krijgen dat P(A (b ( punten Wat is de kans dat de eerste én de tweede knikker rood zijn? Zijn deze twee gebeurtenissen onafhankelijk? En wat is de kans dat de tweede én de derde knikker rood zijn? Antwoord: We rekenen uit dat P(A A 2 P(A 2 A P(A 2. Dat is niet gelijk aan P(A P(A 2 4 9, dus deze gebeurtenissen zijn afhankelijk. Voor P(A 2 A 3 gebruiken we weer de wet van de totale kans om te schrijven We rekenen uit dat terwijl zodat Deze kansen zijn dus hetzelfde. P(A 2 A 3 P(A 2 A 3 A P(A + P(A 2 A 3 A c P(A c. P(A 2 A 3 A , P(A 2 A 3 A c , P(A 2 A (c (5 punten Laat zien dat de kans p n dat de nde knikker rood is gelijk is aan p n E[R n ] n + 2, waarbij R n het aantal rode knikkers is na n trekkingen. Leid hiermee een recursie af voor het verwachte aantal rode knikkers in de nde trekking. Gebruik deze om een formule te geven voor p n voor elke n. Antwoord: We conditioneren op R n om uit te rekenen dat P(A n E[E[I An R n ]] E[ R n n + 2 ], 3

4 omdat er na n trekkingen precies n + 2 knikkers zijn, waarvan er (per definitie R n rood zijn. We merken op dat R n 2 + I A + + I An, zodat E[R n ] E[R n ] + E[I An ] E[R n ] + p n E[R n ] n + 3 n + 2. Omdat R 2 krijgen we dus dat E[R n ] 2(n + 3/3 (dit kan je bijvoorbeeld d.m.v. inductie bewijzen. Hiermee krijgen we dus dat p n 2/3 voor alle n. (d ( punten Stel S n is het aantal getrokken rode knikkers na n trekkingen. centrale limiet stelling gebruiken om de kans dat S 7 te benaderen? Mogen we de Antwoord: Dit mag niet. Het is wel zo dat S n I + + I n, waarbij I i de indicator is dat in de ide beurt een rode knikker getrokken wordt. Ook is het zo dat P(A n 2/3 voor elke n. Echter, deze indicatoren zijn sterk afhankelijk, en daardoor mogen we de CLS niet toepassen. 2. Sommen van exponentiele verdelingen. Laat E,..., E n onafhankelijk en gelijkverdeelde exponentiële random variabelen zijn met parameter, zodat f Ei (x e x voor x en anders. (a ( punten Wat is de dichtheid van e 2E? Antwoord: We rekenen de verdelingsfunctie van Y E uit door, voor y, F Y (y P(e 2E y P(E (log y/2 F E ((log y/2 e (log y/2 y. De dichtheid van Y e 2E is dus, voor y, en f Y (y voor y <. f Y (y F Y (y 2 y 3. (b ( punten Laat zien dat S n E + + E n de volgende dichtheid heeft: { y <, f Sn (y y n (n! e y y >. Antwoord: We gebruiken inductie. Voor n is er niets te bewijzen. Stel, de claim is waar voor n. Dan is de dichtheid van S n de convolutie van die van S n en E n, ofwel, voor y >, f Sn (y (f Sn f En (y e y y Voor y < is de dichtheid. x n 2 yn dx (n 2! (n! e y. f Sn (xf En (y xdx y x n 2 (n 2! e x e (y x dx 4

5 (c ( punten Gebruik het vorige onderdeel om te laten zien dat, met X een Poisson verdeling met parameter t, voor alle t > en k, P(X k P(E + + E k+ > t. Antwoord: We gebruiken onderdeel (b om te berekenen dat We integreren partieel, en krijgen P(E + + E k+ > t P(E + + E k+ > t [ yk k! e y ] t Herhaaldelijk deze stap herhalen levert dat ky k t k! t y k k! e y dy. ( e y dy tk k! e t + t y k (k! e y dy. P(E + + E k+ > t k l t l l! e t P(X k. (d ( punten Laat zien dat, voor elke k en t >, t tk P(E + + E k < t < E + + E k+ e k!. Antwoord: Noem S k E + + E k, zodat de gevraagde kans gelijk is aan P(E + + E k < t < E + + E k+ P(S k < t < S k + E k+. De gezamenlijke dichtheid van (S k, E k+ is, voor x, y, gelijk aan f Sk,E k+ (x, y xk (k! e x e y. We krijgen dus dat P(E + + E k < t < E + + E k+ waarbij B {(x, y: x t x + y}. We vullen in P(E + + E k < t < E + + E k+ t t t x t tk e k!. (e ( punten Benader de kans dat E + + E >. B f Sk,E k+ (x, ydxdy, x k (k! e x e y dydx x k (k! e x e (t x dx e t Antwoord: We gebruiken de centrale limiet stelling, en volgen de 4 stappen. t x k (k! dx 5

6 Stap : Checken of we de CLS mogen toepassen. random variabelen, en hebben dus een eindige variantie. E,..., E n zijn i.i.d. exponentiele Stap 2: Bereken de verwachtingswaarde en variantie van de sommanden. We berekenen dat E[E i ] Var(E i. Stap 3: Standaardiseren. We herschrijven ( ( P (E + + E > P E i > P E i >. Stap 4: Toepassen CLS. Er geldt dus vanwege de Centrale Limietstelling dat P (E + + E > P(Z >, 843, Gezamenlijke verdeling. De (continue random variabelen X en Y hebben een dusdanige gezamenlijke verdeling dat de marginale verdeling van X uniform op [, ] is verdeeld, en dat de conditionele kansverdeling van Y op de gebeurtenis {X x} uniform op [, x] is verdeeld (voor x (, ]. (a Geef de gezamenlijke kansdichtheidsfunctie van X en Y. Antwoord: Gegeven is dat Er geldt dus (b Geef f X Y (x y. f X (x als x [, ] en f Y X (y x x als y [, x]. f X,Y (x, y f Y x (y xf X (x { x als x (, ] en y [, x], anders. Antwoord: Er geldt x dx als y [, ], f Y (y f X,Y (x, ydx y 2 anders, { 2( y als y [, ], anders. Dus f X Y (x y f X,Y (x, y f Y (y { 2 x( y anders. als y [, ] en x (y 2, ], (c Bereken E[Y X x] en E[X Y y]. Antwoord: Er geldt E[Y X x] x yf Y X (y xdy 6 y x dy x 2,

7 en E[X Y y] y 2 x 2 x( y dx [ 2 x 3/2 3 2( y] 2 y 3 y 2 3 2( y 3 ( + y + y2. (d Bereken E[Y ]. (Hint: gebruik de conditionele verwachting. Antwoord: We gebruiken dat E[Y ] E[E[Y X]] en krijgen dat E[Y ] E[Y X x]f X (xdx x 2 dx Je eigen playlist ontwerpen. Stel dat een ipod 3 liedjes bevat. De gemiddelde lengte van deze liedjes is 3, 45 minuten en de standardafwijking is, 63 minuten. (a Je gaat 3 uur lang fietsen en je wil een random playlist maken van 45 liedjes. Wat is, bij benadering, de kans dat jouw random playlist lang genoeg duurt voor jouw fietstocht? Antwoord: We gebruiken de centrale limiet stelling, en volgen de 4 stappen. Stap : Checken of we de CLS mogen toepassen. Omdat de liedjes willekeurig gekozen worden, is het redelijk om te veronderstellen dat de lengten van de liedjes onafhankelijk zijn. Stap 2: Bereken de verwachtingswaarde en variantie van de sommanden. De lengte van 45 willekeurig gekozen liedjes heeft daarom een verwachting van 45 3, 45 55, 25 minuten en een standaardafwijking van 45, 63 73, 35 minuten (want Var ( n X i n Var(X i voor onafhankelijke stochasten. Stap 3: Standaardiseren. P ( 45 X i > 8 We herschrijven P ( 45 X i 55, 25 >, , 25., 93 Stap 4: Toepassen CLS. Er geldt dus vanwege de Centrale Limietstelling dat ( 45 P X i > 8 P(Z > 2, 26, 988, 2. (b Je gaat een vliegreis maken die 6 uur gaat duren. Hoeveel liedjes moet je kiezen opdat je met, 95 kans een playlist hebt waarvan het afspelen langer duurt dan de vliegreis? Antwoord: Analoog aan het vorige onderdeel geldt nu dat ( n ( n P X i > 36 P X i n 3, n 3, 45 > n, 63 n, 63, 95. 7

8 Aangezien P(Z, 645, 95 volgt hieruit dat moet gelden 36 n 3, 45 n, 63, 645 2, 68 n 36 n 3, 45. We substitueren nu x n en krijgen hierdoor de kwadratische ongelijkheid 3, 45 x 2 2, 68 x 36. Met de abc-formule vinden we dat de wortels van de corresponderende vergelijking gelijk zijn aan x, 6 en een negatieve wortel. Aangezien x n, vervalt de negatieve wortel. Uit het tekenverloop volgt nu dat n (, , 6. De playlist moet dus uit minstens 2, 59 liedjes bestaan, ofwel 3. Omdat 3 liedjes in verwachting 389,85 duren, is het redelijk logisch dat dit voldoende is. 5. Geef een gemotiveerd antwoord op de volgende vragen: (a ( punten A, B, C zijn drie onafhankelijke gebeurtenissen met P(A /2, P(B /4 en P(C /6. Wat is de conditionele kans dat A optreedt gegeven dat A B C optreedt? Antwoord: We herschrijven (6pt P(A A B C P(A (A B C P(A B C P(A P(A B C Gegeven is dat P(A /2, terwijl P(A B C P(A c B c C c (/2(3/4(5/6 5/6 /6. We concluderen dat P(A A B C (/2/(/6 8/. (4pt (b ( punten Bewijs, vanuit de definitie van de verwachtingswaarde van een discrete random variabele, dat voor elke discrete random variabele met eindige verwachtingswaarde, en voor elke a, b R, geldt dat E[aX + b] ae[x] + b. Antwoord: De definitie zegt dat, voor een discrete random variabele Y met kansmassafunctie f Y (y, (2pt E[Y ] yf Y (y. y We berekenen dat (4pt f Y (y P(Y y P(aX + b y P(X (y b/a f X ((y b/a. Ofwel, met de substitutie x (y b/a (4pt E[Y ] y yf X ((y b/a x (ax + bf X (x a x f X (x + b x f X (x ae[x] + b, omdat x f X(x. (c (5 punten Laat X een Cauchy verdeling hebben, ofwel, de kansdichtheid van X is f X (x [π( + x 2 ] voor x R. Bereken de dichtheid van X /4. Is E[ X /4 ] <? Antwoord: Noem Y X /4. We berekenen dat, voor y, (4pt F Y (y P(Y y P( X /4 y P( y 4 X y 4 F X (y 4 F X ( y 4. We differentieren (2pt f Y (y F Y (y [f X (y 4 + f X ( y 4 ](4y 3 8 8y 3 π( + y 8.

9 Verder is f Y (y voor y <. (pt Merk op dat (2pt omdat, voor y, (3pt E[ X /4 ] E[Y ] yf Y (ydy 8y 4 π( + y 8 (8/πy 4, en (8/πy 4 is integreerbaar op [,, terwijl, voor y, (3pt wat integreerbaar is op [, ]. 8y 4 π( + y 8 (8/π, 8y 4 π( + y 8 dy <, (d (5 punten Laat X,..., X n i.i.d. uniforme random variabelen zijn op [,], zodat de dichtheid van X i gelijk is aan f Xi (x voor x [, ] en f Xi (x anders. Stel M n max{ X,..., X n } is het maximum van de wortels van X,..., X n. Laat zien dat n(m n convergeert in verdeling. Herken de verdeling van de limietvariabele. Antwoord: Neem x R en noem Y n n(m n. We berekenen dat (3pt F Yn (x P(n(M n x P(M n + x/n P(max{ X,..., X n } + x/n. Omdat het maximum kleiner is dan a precies dan als alle termen kleiner zijn dan a, krijgen we dus dat (2pt P(n(M n x P(M n +x/n P( X +x/n,..., X n +x/n P( X +x/n n, het laatste vanwege onafhankelijkheid en het feit dat X,..., X n dezelfde verdeling hebben. Voor x > is deze kans, voor x < is deze kans (voor n zo groot dat x/n > gelijk aan (2pt P(n(M n x P(X ( + x/n 2 n [( + x/n 2 ] n ( + x/n 2n. Als n convergeert dit naar (3pt F Yn (x e 2x F Y (x. Y heeft dus dezelfde verdeling als 2E, waarbij E een exponentiele verdeling heeft. (5pt 9