MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn

Transcriptie

1 Codelijst: : de dynamisch gegenereerde waarde van INVUL: invuloefening ( Short answer ) KLEUR: gebruik kleur! MATCH: matching oefening waarbij evenveel antwoordmogelijkheden als opgaven zijn MC: multiple choice NDEF: gebruik systematisch eenzelfde kleur (bijvoorbeeld donkergroen) om nieuw gedefinieerde termen in de kijker te zetten. : New Page: nieuwe pagina : Same Page: Het vervolg van de tekst verschijnt pas na een handeling van de gebruiker (bvb. duwen op een knop), maar blijft op dezelfde pagina zodat het voorgaande zichtbaar blijft, want dit is pedagogisch van belang. Belangrijke opmerking: In wat volgt hebben we geen postieve feedback voorzien, enkel feedback bij foutieve antwoorden op oefeningen. We laten het aan jullie over om, bij goede antwoorden, allerlei variaties op Proficiat!, Doe zo verder!, etc. te voorzien. De kwadratische functie Onderwerp 1: Opfrissing MC: Weet je nog wat een functie (NDEF) is? Bestudeer de volgende grafische voorstellingen. Stellen deze volgens jou functies voor? Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van. Antwoordmogelijkheden: ja, neen (correct: ja) Bij incorrect antwoord: Denk eens goed na. Waarom is je antwoord fout? Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van { Antwoordmogelijkheden: ja, neen (correct: ja) Bij incorrect antwoord: Denk eens goed na. Waarom is je antwoord fout?

2 Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafische voorstelling van. Antwoordmogelijkheden: ja, neen (correct: neen) Bij incorrect antwoord: Merk op dat er een -waarde is waarmee meerdere (in dit geval twee) -waarden overeenstemmen. Definitie: Een functie (NDEF) is een verband tussen twee veranderlijken elke -waarde hoogstens één -waarde overeenstemt. en, waarbij met Een functievoorschrift (NDEF) legt een functie vast. Voorbeeld: ( ) Dit wordt soms ook als volgt genoteerd: of ook nog als De functiewaarde voor is dan ( ) ( ). Het beeld (NDEF) van is dus. Het koppel ( ) behoort tot de functie. Definitie: Het domein (NDEF) van een functie waarvoor het beeld ( ) bestaat. is de verzameling van de -waarden Notatie: Definitie: Het beeld (NDEF) of bereik (NDEF) van een functie waarden ( ), waarbij tot het domein van behoort. is de verzameling van alle Notatie: Het beeld van een functie kan grafisch bepaald worden door de grafiek te projecteren op de - as. Definitie: Een nulwaarde (NDEF) van een functie is een -waarde waarvoor de functiewaarde is.

3 Merk op: - De nulwaarden van een functie zijn de -waarden waarvoor geldt dat ( ). - Een functie kan meerdere nulwaarden hebben, of geen enkele. - De nulwaarden worden bekomen door de snijpunten te bepalen van de grafiek van de functie met de -as. De -coördinaten van deze snijpunten zijn de nulwaarden. Beschouw de volgende grafiek. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van de functie. MC: Bepaal het domein van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het domein van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van de -waarden waarvoor het beeld bestaat. Voor welke -waarden bestaat in dit geval het beeld? Zijn er -waarden waarvoor het beeld niet bestaat? MC: Bepaal het beeld van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het beeld van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van alle functiewaarden. Welke waarden neemt de gegeven functie aan? MC: Bepaal de nulwaarden van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden: geen nulwaarde, 3, 6, 3 en 6 (Correct: 3) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat de nulwaarden bekomen worden door de snijpunten te bepalen van de grafiek van de functie met de -as. Welke zijn de -coördinaten van deze snijpunten? Beschouw de volgende grafiek. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van de functie, met domein. (Breek de grafiek af bij.) MC: Bepaal het domein van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het domein van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van de -waarden waarvoor het beeld bestaat. Voor welke -waarden bestaat in dit geval het beeld? Zijn er -waarden waarvoor het beeld niet bestaat?

4 MC: Bepaal het beeld van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden:,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het beeld van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van alle functiewaarden. Welke waarden neemt de gegeven functie aan? MC: Bepaal de nulwaarden van de functie met deze grafiek. Antwoordmogelijkheden: geen nulpunten,,, (Correct: ) Bij incorrect antwoord: : Denk er aan dat de nulwaarden bekomen worden door de snijpunten te bepalen van de grafiek van de functie met de -as. Welke zijn de -coördinaten van deze snijpunten? Onderwerp 2: Definitie van een kwadratische functie In de volgende tekst staan terugkerende constanten in dezelfde kleur. Ook staan de exponenten van de tweede machten in het rood. Een boer beschikt over een vierkante akker. De lengte van elke zijde van deze akker is gelijk aan meter. Maandelijks bedraagt de vaste onderhoudskost 3. De omheining dient regelmatig hersteld te worden. De maandelijkse herstellingskosten bedragen 0,5 per lopende meter omheining. De boer verbouwt suikerbieten op deze akker. De maandelijkse inkomsten hiervan bedragen 7 per vierkante meter. Druk de maandelijkse winst van de boer uit als een functie van. De oppervlakte van de vierkante akker is gelijk aan het kwadraat van de lengte van de zijde. Dus is deze oppervlakte gelijk aan vierkante meter. De maandelijkse inkomsten van de bietenoogst bedragen bijgevolg. De lengte van de omheining is gelijk aan de omtrek van de vierkante akker. Deze lengte is dus gelijk aan meter. De maandelijkse herstellingskost bedraagt bijgevolg. Dit bedrag dient afgetrokken te worden van de maandelijkse inkomsten. Ten slotte dienen ook de maandelijkse onderhoudskosten, namelijk 3, van de maandelijkse inkomsten afgetrokken te worden. De maandelijkse winst is bijgevolg gelijk aan kwadratische functie is van.. We zeggen dat de winst een Bij de functies,, en worden de exponenten van de tweede machten in het rood gezet. Voorbeelden van kwadratische functies:

5 ( ) ( ) ( ) ( ) Tegenvoorbeelden: ( ) ( ) ( ) Definitie van een kwadratische functie (NDEF): Een functie met voorschrift ( ) met en is een kwadratische functie, ook wel tweedegraadsfunctie of functie van de tweede graad genoemd. MC-vraag: Wat is het domein van de kwadratische functie ( ), met geven, met? Antwoordmogelijkheden:,,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat het domein van een functie per definitie gelijk is aan de verzameling van de -waarden waarvoor het beeld bestaat. Voor welke -waarden bestaat? Zijn er -waarden waarvoor niet bestaat? MC: Welke functies zijn lineair? Welke functies zijn kwadratisch? Welke functies zijn noch lineair, noch kwadratisch? Antwoordmogelijkheden: lineair ; kwadratisch ; noch lineair, noch kwadratisch. (Correct: lineair ) Bij incorrect antwoord: Denk er aan dat een eerstegraadsfunctie per definitie lineair is. (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Merk op dat de functie geen veeltermfunctie is. Ze heeft bijgevolg geen graad. (Correct: kwadratisch )

6 Bij incorrect antwoord: Herlees de definitie van een kwadratische functie!! (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Dit is geen lineaire functie, en ze is ook niet van de vorm. (Correct: lineair ) Bij incorrect antwoord: Deze functie kan herschreven worden als. (Correct: kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Deze functie kan herschreven worden als. (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Merk op dat de functie geen veeltermfunctie is. Ze heeft bijgevolg geen graad. (Correct: kwadratisch ) Bij incorrect antwoord: Merk op dat in de definitie van de kwadratische functie ( ) zowel als reële getallen zijn. Zijn en reële getallen? Onderwerp 3: Grafiek van een kwadratische functie Hoe ziet de grafiek van de kwadratische functie er uit? We zullen dit probleem onderzoeken door het in een aantal stappen op te splitsen. Stap 1: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit? Om de grafiek van de kwadratische functie met voorschrift ( ) te tekenen kan je nu 10 -waarden kiezen. Denk er aan dat je o.a. kiest, en dat je niet alleen positieve - waarden, maar ook negatieve -waarden onderzoekt. Gevolgd door een applicatie die het voorgaande mogelijk maakt, voorzien van een assenstelsel, een raster en uitsluitend de door de leerling gekozen puntjes (zonder grafiek).

7 Onder deze grafiek: Indien je je de grafiek van ( ) kan voorstellen, vink dan grafiek aan. In de applicatie bevindt zich een aanvinkbox genoemd grafiek. Indien deze box aangevinkt wordt, verschijnt de grafiek van ( ). Deze kromme is een parabool (NDEF). parabool genoemd. wordt de vergelijking (NDEF) van de Stap 2: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit als? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. met Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. wordt de openingscoëfficiënt (NDEF) van de parabool genoemd. MC: Vul aan: Als ( ) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool Antwoordmogelijkheden: groter, kleiner. (Correct: kleiner) Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! Speel nu nog eens met de schuifbalk. Gaat de bloem open of dicht als je groter maakt? We noemen deze parabool een dalparabool (NDEF), omdat de opening ervan naar boven gericht is. Stap 3: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit als? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. met Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. MC: Vul aan: Als ( ) groter wordt, dan wordt de opening van de parabool Antwoordmogelijkheden: groter, kleiner. (Correct: groter) Bij incorrect antwoord: Pas op: is negatief! Dit betekent dat groter wordt naarmate dichter bij 0 komt.

8 We noemen deze parabool een bergparabool (NDEF), omdat de opening ervan naar beneden gericht is. Hoe ziet nu algemeen de grafiek van de functie er uit? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. MC: Vul aan: Als groter wordt, dan wordt de opening van de parabool Antwoordmogelijkheden: groter, kleiner. (Correct: kleiner) Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! Speel nu nog eens met de schuifbalk. Gaat de bloem open of dicht als je groter maakt? Besluit: Het teken van bepaalt de ligging van de opening van de parabool. Indien, dan hebben we een dalparabool en is de opening naar boven gericht. Indien, dan hebben we een bergparabool en is de opening naar beneden gericht. heet de openingscoëfficient van de parabool. Indien toeneemt, dan wordt de opening van de parabool kleiner. Indien afneemt, dan wordt de opening van de parabool groter. Stap 4: Hoe ziet de grafiek van de functie ( ) er uit? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie ( ) verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van ( ). Voorzie een schuifbalk voor met. De grafiek van ( ) is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: links, rechts. (Correct: rechts)

9 Bij incorrect antwoord: Let op: moet positief zijn! MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: links, rechts. (Correct: links) Bij incorrect antwoord: Let op: moet negatief zijn! Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van ( ). Teken op deze grafiek de rechte in streep-punt-stippellijn. Op deze tekening zie je de grafiek van ( ). Ook de verticale rechte is aangeduid. Merk op dat de parabool symmetrisch ten opzichte van deze verticale rechte. Deze rechte noemen we daarom de symmetrie-as (NDEF), of kortweg de as (NDEF) van de parabool. MC: Vul aan: de symmetrie-as van de parabool met vergelijking ( ) is Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de grafiek van ( ), de rechte, en, in het rood, de rechte die onterecht gekozen werd (, of ). Fout! In het rood zie je de rechte die je hebt gekozen. Stap 5: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit? Aan de hand van de onderstaande schuifbalk kan je de grafiek van de functie verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van. Voorzie een schuifbalk voor met. De grafiek van is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: boven, beneden. (Correct: boven) Bij incorrect antwoord: Let op: moet positief zijn!

10 MC: Vul aan: Als, dan wordt de grafiek met eenheden verschoven naar Antwoordmogelijkheden: boven, beneden. (Correct: beneden) Bij incorrect antwoord: Let op: moet negatief zijn! Merk op dat de -as de symmetrie-as van deze parabool is. Stap 6: Hoe ziet de grafiek van de functie ( ) er uit? We combineren nu de voorgaande inzichten. Aan de hand van de onderstaande schuifbalken kan je de grafiek van de functie ( ) verkennen. Toon (a.h.v. GeoGebra?) de grafiek van ( ). Voorzie een schuifbalk voor met, een schuifbalk voor met, en een schuifbalk voor met. De grafiek van de functie ( ) kan uit de grafiek van de functie bekomen worden in twee stappen: Verschuif de grafiek van de functie evenwijdig met de -as. Zo verkrijg je de grafiek van de functie ( ). Verschuif de grafiek van de functie ( ) evenwijdig met de -as. Zo verkrijg je de grafiek van de functie ( ). Definitie: De top (NDEF) van een parabool is het snijpunt van deze parabool met zijn symmetrie-as. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de parabool met vergelijking ( ), de streeppunt-stippellijn, en de top ( ). Zet bij de parabool ( ), bij de streep-punt-stippellijn, en bij de top ( ). Merk op dat de top van de parabool met vergelijking ( ) gelijk is aan ( ). Immers, de symmetrie-as van deze parabool heeft als vergelijking. Vermits de top van de parabool het snijpunt is van deze symmetrie-as en de parabool, is de -coördinaat van de top gelijk aan. Om de -coördinaat van de top te bepalen stellen we gelijk aan in de vergelijking van de parabool. Zo bekomen we dat de -coördinaat van de top gelijk is aan. Bijgevolg is de top ( ). Opfrissing: merkwaardig product.

11 Herinner je je nog de formule voor het kwadraat van een som van twee reële getallen, en? In wat volgt zullen we deze formule opfrissen. Even geduld: je zal spoedig inzien waarom we deze formule nodig hebben in verband met kwadratische functies. MC: Vul aan: ( ) Antwoordmogelijkheden:,,, (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Kies zelf waarden voor en, en controleer. MC: Vul aan: ( ) Antwoordmogelijkheden:,,, (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Kies zelf een waarde voor, en controleer. In wat volgt is voor ons vooral het omgekeerde probleem van belang. We beginnen met een voorbeeld. Beschouw de uitdrukking. Hoe kunnen we deze uitdrukking schrijven als een merkwaardig product plus een (nieuwe) constante? Heel eenvoudig! In herkennen we de eerste twee termen van ( ). Hieruit volgt dat ( ) ( ). Kan je dit zelf ook? MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ). (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Fout! Ter controle kan je de gegeven formule voor het merkwaardig product toepassen om je gekozen antwoord. MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ). (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Fout! Ter controle kan je de gegeven formule voor het merkwaardig product toepassen om je gekozen antwoord. MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ). (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Fout! Ter controle kan je de gegeven formule voor het merkwaardig product toepassen om je gekozen antwoord. MC: Vul aan: Antwoordmogelijkheden: ( ), ( ), ( ), ( ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Merk op dat ( ).

12 Stap 7: Hoe ziet de grafiek van de functie er uit? Met de vorige opfrissing in ons achterhoofd, behandelen we enkele voorbeelden. Voorbeeld 1: ( ) Er geldt: ( ) ( ) Bijgevolg kan de functie geschreven worden als ( ) ( ). De grafiek van deze functie wordt dus bekomen door de parabool met vergelijking tweemaal te verschuiven. Eerst horizontaal naar rechts met 2 eenheden, en daarna verticaal naar boven met 3 eenheden. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de volgende parabolen: (in stippellijn), ( ) (in stippellijn), en ( ) (in volle lijn en in KLEUR). Deze parabool heeft de volgende kenmerken: De coördinaat van de top is ( ). De symmetrie-as gaat door de top en heeft als vergelijking. Voorbeeld 2: ( ) Er geldt (zie ook de laatste oefening bij de opfrissing): ( ) ( ) ( ) ( ) Bijgevolg kan de functie geschreven worden als ( ) ( ). De grafiek van deze functie wordt dus bekomen door de parabool met vergelijking tweemaal te verschuiven. Eerst horizontaal naar rechts met 6 eenheden, en daarna verticaal naar beneden met 60 eenheden. Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris), mits aangepaste scalering van de assen, de volgende parabolen: (in stippellijn), ( ) (in stippellijn), en ( ) (in volle lijn en in KLEUR). Deze parabool heeft de volgende kenmerken: De coördinaat van de top is ( ). De symmetrie-as gaat door de top en heeft als vergelijking.

13 Laten we het voorgaande nu veralgemenen. De functie met ( ) kan als volgt herschreven worden: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [( ) ] ( ) ( ) Belangrijk besluit: De functie met ( ) kan herschreven worden als ( ) ( ), waarbij, ( ). Laten we deze formule even toepassen op een voorbeeld. MC: Beschouw ( ). Bereken. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Er geldt:. MC: Beschouw ( ). Bereken. Antwoordmogelijkheden:,,,. (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Er geldt:. Onderwerp 4: Kenmerken van een kwadratische functie

14 Tijd voor een samenvatting. (KLEUR) a) Grafiek De grafiek van de functie ( ) is een parabool, waarvan de as evenwijdig is met de -as. wordt de vergelijking van de parabool genoemd. Als, dan is een dalparabool. Als, dan is een bergparabool. b) Domein: c) Symmetrie-as: of d) Top De top van de parabool heeft als coördinaten ( ) ( ( )) ( ). e) Beeld Als, dan is. Als, dan is. f) Nulwaarden De nulwaarden zijn de oplossingen van de vergelijking. (Zie later.) g) Stijgen en dalen We beschouwen eerst het geval dat. Dan daalt de functie voor en stijgt de functie voor. Indien, dan stijgt de functie voor en daalt ze voor. h) Snijpunt met de -as. Als, dan is, en bijgevolg is ( ) het snijpunt met de -as. Onderwerp 5: Onderzoek van een kwadratische functie Het voorgaande kan je gebruiken om de kenmerken van een gegeven kwadratische functie te onderzoeken. Het volgende meerstappenplan kan hierbij handig zijn. Stap 1: Uit het teken van een bergparabool. kan je afleiden welke vorm de parabool heeft: een dalparabool of

15 Stap 2: Het domein van een kwadratische functie is steeds. Stap 3: Gebruik de formules voor en om ( ) om te zetten naar ( ) ( ). Stap 4: De symmetrie-as van de parabool heeft als vergelijking. Stap 5: Uitgaande van de waarden van en kan je bepalen in welke deelintervallen van de reële as de kwadratische functie stijgt of daalt. Stap 6: De top van de parabool is het punt ( ). Stap 7: Uitgaande van kan je bepalen. Stap 8: Het snijpunt met de -as is het punt ( ). Stap 9: Geef de tot nu bekomen informatie weer op een tekening. Stap 10: Schets de grafiek. Bepaal, indien nodig, nog enkele bijkomende punten van de grafiek. Als voorbeeld onderzoeken we de kwadratische functie ( ). Stap 1: Vermits, is de parabool een dalparabool. Stap 2: Er geldt, zoals altijd bij kwadratische functies, dat.

16 Stap 3: We hebben en. Hieruit volgt dat. Ook is ( ) ( ) ( ) ( ). Bijgevolg kan de kwadratische functie geschreven worden als ( ) ( ). Stap 4: De symmetrie-as van de parabool heeft als vergelijking. Stap 5: Vermits de parabool een dalparabool is, daalt de functie voor voor., en stijgt ze Stap 6: De top van de parabool is het punt ( ). Stap 7: Vermits de parabool een dalparabool is, en, geldt er. Stap 8: Het snijpunt met de -as is het punt ( ). Stap 9: Geef alle tot nu toe bekomen informatie weer op een tekening. Dit kan je doen door symmetrie-as, top, en snijpunt met de -as aan te vinken. Toon in GeoGebra vier aanvinkboxen, genaamd symmetrie-as, top, snijpunt met de y-as en grafiek. Toon, indien symmetrie-as aangevinkt is de rechte in streep-puntstippellijn. Toon, indien top aangevinkt is, het punt ( ). Toon, indien snijpunt met de -as aangevinkt is, het punt ( ). Stap 10: Kan je je voorstellen hoe de grafiek van ( ) er uitziet? Zo ja, vink dan ter controle grafiek aan. Zo neen, bepaal dan nog enkele bijkomende punten van de grafiek. Toon, indien grafiek aangevinkt is, de grafiek van de functie ( ). Oefeningen

17 Oefening 1: Wat is het beeld van de functies met de volgende grafieken? Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) de parabolen van (a) (b) (c) (d). MATCH:, (Correct: is beeld van (c), is beeld van (b), is beeld van (a), is beeld van (d).) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Wat zijn de nulwaarden van de functies met deze grafieken? MATCH: geen nulpunten; 2; 0 en 3; -1 en 4 (Correct: geen nulpunten bij (b), 2 bij (c), 0 en 3 bij (a), -1 en 4 bij (d)) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 2: Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) in eenzelfde assenstelsel, de parabolen van:,,. Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR). MATCH:,,, Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 3: Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon de parabolen van:, ( ), ( ), ( ). Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR).

18 MATCH:, ( ), ( ), ( ) Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 4: Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon de parabolen van:,,, Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR). MATCH:,,,. Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Oefening 5: Beschouw de volgende kwadratische functies: a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( ) MC: Van welke functies is de grafiek een dalparabool? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: a, c) Bij incorrect antwoord: Fout! Zoek de definitie van het begrip dalparabool nog eens op. MC: Van welke functies is de grafiek een bergparabool? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: b, d) Bij incorrect antwoord: Fout! Zoek de definitie van het begrip bergparabool nog eens op. MC: Welke functie heeft de grafiek met de grootste opening? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: d) Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! MC: Welke functie heeft de grafiek met de kleinste opening? Antwoordmogelijkheden: a, b, c, d (correct: c)

19 Bij incorrect antwoord: Beschouw de parabool als de kelk van een bloem! Oefening 6: a. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: rechts, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). b. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: links, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). c. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: onder, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). d. MC: Vul aan: De grafiek van met ( ) verkrijg je door de grafiek van met ( ) met 3 eenheden naar te verschuiven volgens de -as. Antwoordmogelijkheden: links, ; rechts, ; boven, ; onder, (Correct: boven, ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Schets de grafieken van ( ) en ( ). Oefening 7: De volgende grafieken werden verkregen door de grafiek van te spiegelen om de - as en/of horizontaal te verschuiven en/of verticaal te verschuiven. Bepaal de vergelijkingen van deze parabolen. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) )

20 Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Toon de parabool van ( ). INVUL: y= (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Bepaal de -coördinaat en de - coördinaat van de top, en ga na of de parabool een dalparabool of een bergparabool is. Oefening 8: De functie heeft als functievoorschrift ( ). Bepaal het functievoorschrift van de functie als de grafiek van bekomen wordt door de grafiek van (a) drie eenheden naar boven te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat de grafiek van congruent is met de grafiek van, en bekomen wordt door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. (b) vijf eenheden naar rechts te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat de grafiek van ( ) congruent is met de grafiek van, en bekomen wordt door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. (c) twee eenheden naar beneden te verschuiven volgens de -as en vier eenheden naar links te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De grafiek van ( ) is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as. De grafiek van is congruent met de grafiek van, en wordt bekomen door deze laatste te verschuiven, evenwijdig met de -as.

21 (d) eerst te spiegelen t.o.v. de -as, en daarna zes eenheden naar links te verschuiven volgens de -as en twee eenheden naar boven te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als de grafiek van ( ) wordt t.o.v. de -as, verkrijgt men de grafiek van de functie. gespiegeld (e) eerst drie eenheden naar rechts te verschuiven volgens de -as en zeven eenheden naar beneden te verschuiven volgens de -as, en daarna te spiegelen t.o.v. de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als de grafiek van wordt t.o.v. de -as, verkrijgt men de grafiek van ( ). ( ) gespiegeld (f) te versmallen met openingscoëfficiënt 4, met vijf eenheden naar links te verschuiven volgens de -as en met twee eenheden naar beneden te verschuiven volgens de -as. INVUL: ( ) (invulvakje) (Correct: ( ) ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. In het functievoorschrift de openingscoëfficiënt genoemd. wordt Oefening 9: Bepaal, en indien het gegeven functievoorschrift omgezet wordt in de vorm ( ) ( ). (a) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (b) ( )

22 INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (c) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (d) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 1) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ).

23 (e) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: -2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (f) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: -2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: 3) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). (g) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: -5) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ).

24 (h) ( ) INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). Oefening 10: Bepaal de symmetrie-as van de parabolen met de volgende vergelijkingen: (a) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 0) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (b) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 0) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (c) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 2) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (d)

25 INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 2) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (e) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: 2) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. (f) ( ) INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: -7) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking ( ) is de rechte met vergelijking. Oefening 11: Bepaal de -coördinaat en de -coördinaat van de top van de parabolen met de volgende vergelijkingen: (a) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (b) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 0) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is.

26 INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 5) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (c) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 23) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (d) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 98) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (e) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 2) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. (f) ( ) INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: -7) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is. INVUL: -coördinaat van de top: (invulvakje) (Correct: 3)

27 Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. Uitbreidingsoefeningen (iets moeilijkere oefeningen) Oefening 12: De symmetrie-as van de parabool met vergelijking vergelijking. Bepaal. is de rechte met INVUL: (invulvakje) (Correct: -12) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. Oefening 13: De top van de parabool met vergelijking is het punt ( ). Bepaal en. INVUL: (invulvakje) (Correct: -20) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat, waarbij de -coördinaat van de top is. INVUL: (invulvakje) (Correct: -7) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. Uitbreidingsoefeningen (eerste VWO) Opgepast voor de copyrights!!! Letterlijk over te nemen tot aan de hints!!! Oefening 14:

28 MC: De parabool wordt verschoven zodanig dat de top verhuist van ( ) naar een punt van de eerste bissectrice dat precies verder gelegen is in het eerste kwadrant. De nieuwe vergelijking van de parabool is dan a ( ) b ( ) c ( ) d ( ) e ( ) (Correct: a) VWO 2004 eerste ronde, probleem 7 Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Werk, indien mogelijk, met verschillende hintknoppen. Door een hintknop aan te klikken verschijnt een hint. Hintknop Hint 1 : De -coördinaat en de -coördinaat van een punt van de eerste bissectrice zijn gelijk. Hintknop Hint 2 : De verschuiving van de top (van de oorsprong naar een punt op de eerste bissectrice) kan gezien worden als een combinatie van een (horizontale) verschuiving volgens de -as en een (verticale) verschuiving volgens de -as. Hintknop Hint 3 : Na de verschuiving is de top gelegen in het eerste kwadrant. Bijgevolg kan de verschuiving gezien worden als een combinatie van een (horizontale) verschuiving naar rechts volgens de -as en een (verticale) verschuiving naar boven volgens de -as. Hintknop Hint 4 : Uit de stelling van Pythagoras volgt dat de afstand van het punt ( de oorsprong gelijk is aan ) tot ( ) ( ) Hintknop Hint 5 : Er moet gelden dat, of dat. Er geldt dus dat. Vermits ( ) in het eerste kwadrant ligt, geldt er dat. Hintknop Hint 6 : De verschuiving in kwestie kan dus gezien worden als een combinatie van een verschuiving met één eenheid naar links volgens de -as en een verschuiving met één eenheid naar boven volgens de -as. Oefening 15:

29 MC: Als je de parabool met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de oorsprong, dan krijg je een nieuwe parabool met vergelijking a b c d e (Correct: c) VWO 2008 eerste ronde, probleem 26 Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Werk, indien mogelijk, met verschillende hintknoppen. Door een hintknop aan te klikken verschijnt een hint. Hintknop Hint 1 : Een spiegeling t.o.v. de oorsprong kan gezien worden als een combinatie van een spiegeling t.o.v. de -as en een spiegeling t.o.v. de -as. Hintknop Hint 2 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de -as verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ) of ( ). Hintknop Hint 3 : Als men de grafiek met vergelijking verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). ( ) spiegelt t.o.v. de -as Hintknop Hint 4 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de -as verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). Hintknop Hint 5 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de -as verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). Hintknop Hint 6 : Als men de grafiek met vergelijking ( ) spiegelt t.o.v. de oorsprong verkrijgt men de grafiek met vergelijking ( ). Toets Bij de toets zelf is er geen feedback. Bij de eerste drie vragen worden echter bepaalde getallen dynamisch gegenereerd, zodat deze vragen ook onder de oefeningen gezet kunnen worden. Daar is er wel feedback nodig. De gegeven feedback dient dus enkel opgenomen te worden

30 als de vraag in kwestie onder de oefeningen wordt opgenomen, en niet als de vraag deel uitmaakt van de toets! Vraag 1: Laat, en op dynamische wijze bepaald worden, waarbij, tussen -10 en 10, en. Beschouw de kwadratische functie ( ). Bepaal, en indien het functievoorschrift omgezet wordt in de vorm ( ) ( ). INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Fout! Het gegeven functievoorschrift is van de vorm ( ). Het is dus zeer eenvoudig om te bepalen. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Als het gegeven functievoorschrift van de vorm ( ) is, geldt er dat. INVUL: (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. Denk er aan dat ( ). Vraag 2: Laat, en op dynamische wijze bepaald worden, waarbij, tussen -10 en 10, en. Beschouw de parabool met vergelijking. INVUL: De symmetrie-as van deze parabool is de rechte met vergelijking (Correct: ) (invulvakje) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De symmetrie-as van de parabool met vergelijking is de rechte met vergelijking, waarbij. INVUL: De -coördinaat van de top is (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking is.

31 INVUL: De -coördinaat van de top is (invulvakje) (Correct: ) Bij incorrect antwoord: Je antwoord is niet correct. De -coördinaat van de top van een parabool met vergelijking ( ) is ( ), waarbij de -coördinaat van de top is. Vraag 3: Laat op dynamische wijze bepaald worden, waarbij, tussen -4 en 4, waarbij en waarbij verder, ( ) ( ) en ( ) ( ). Bepaal de vergelijkingen van de kwadratische functies met de volgende grafieken: Toon (a.h.v. GeoGebra of Wiris) in eenzelfde assenstelsel, de parabolen van:,,,. Gebruik hierbij vier verschillende kleuren (bijvoorbeeld geel, rood, groen, blauw) (KLEUR). (Ik denk dat het in orde is als op de -as de waarden van -8 tot en met 8 zichtbaar zijn.) MATCH:,,, Bij incorrect antwoord: Jouw antwoord is niet correct. Neem het meerstappenplan nog eens door. Link naar het volledige meerstappenplan (onderwerp 5). Vraag 4: MC: Bepaal het beeld van de functie ( ). Antwoordmogelijkheden:, [ [, ] ], [ [, ] ]. (Correct: ] ]) Vraag 5: MC: Welke functies zijn lineair? Welke functies zijn kwadratisch? Welke functies zijn noch lineair, noch kwadratisch? Antwoordmogelijkheden: lineair ; kwadratisch ; noch lineair, noch kwadratisch. (Correct: kwadratisch ) (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) (Correct: lineair )

32 (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) (Correct: kwadratisch ) (Correct: noch lineair, noch kwadratisch ) Vraag 6: Vul aan: INVUL: Als je de parabool met vergelijking naar links verschuift, verkrijg je de parabool met vergelijking ) horizontaal met 3 eenheden (invulvakje) (Correct: