VI.2 Reeksen met positieve termen

Transcriptie

1 VI.2 Reeksen met positieve termen In deze paragraaf kiken we naar reeksen =0 a met a 0 voor alle N. Merk op dat in dit geval voor de ri van partiële sommen s n = n =0 a met n 0, geldt dat s 0 s s 2... Dus de ri van partiële sommen is stigend. Uit Stelling IV.3.3 en Propositie IV..6 weten we dat zulke rien convergeren precies wanneer ze naar boven begrensd zin. VI.2. Propositie. Zi (a ) 0 een ri met a 0 voor alle N. Dan geldt =0 a is convergent dan en slechts dan als de ri van partiële sommen naar boven begrensd is. Maorantenkenmerk Een belangrik gevolg is het volgende vergelikingskenmerk. VI.2.2 Stelling (Maorantenkenmerk van Weierstrass). Als voor de rien (a ) 0 en (b ) 0 geldt dat 0 a b voor alle N, en als =0 b convergent is, dan is ook =0 a convergent. Bewis. Laats n = n =0 a ent n = n =0 b voorelken 0. Ergeldt0 s n t n voor elke n 0. De ri (t n ) n 0 is convergent en dus naar boven begrensd door een getal M 0. Dus ook (s n ) n 0 is naar boven begrensd door M, en dus convergent wegens Propositie VI.2.. VI.2.3 Opmerking. (i) Aangezien de convergentie van een reeks niet afhangt van het begin van de ri, geldt het Maorantenkenmerk ook indien er een k N bestaat zó dat 0 a b voor alle k en =k b convergent is. (ii) Het Maorantenkenmerk kan ook gebruikt worden om divergentie van een reeks af te leiden. Immers, als 0 a b en is =0 a divergent, dan moet =0 b divergent zin. VI.2.4 Voorbeeld. (i) Bekik de reeks = 2. Voor alle 2 geldt 0 2 ( ). In Voorbeeld VI..5 hebben we gezien dat =2 Maorantenkenmerk volgt dat = 2 convergent is. 3 (ii) Bekik de reeks = 3+. Er geldt = 4. ( ) convergent is. Uit het We weten dat = divergeert (harmonische reeks), en dus Uit het Maorantenkenmerk volgt dat = 3+ divergent is. = 4 ook. Het volgende verdichtingscriterium van Cauchy zal handig zin. 98 VI REEKSEN

2 verdichtingscriterium van Cauchy VI.2.5 Stelling. Zi (a ) een ri getallen in R 0 zó dat a a 2 a 3... Dan geldt a is convergent 2 a 2 is convergent. =0 =0 Bewis. Laat s n = n =0 a en t n = n =0 2 a 2. Wegens Propositie VI.2. voldoet het te bewizen dat (s n ) n 0 is begrensd (t n ) n 0 is begrensd. Neem aan dat (s n ) n 0 begrensd is door een reëel getal M. Laat k 0. Dan geldt 2 t k = 2 a +2 0 a 2 +2 a k a 2 k a +a 2 +(a 3 +a 4 )+ +(a 2 k + + +a 2 k) = s 2 k M. Dus t k 2M. Neem aan dat (t n ) n 0 begrensd is door een reëel getal M 2. Laat n 0. Kies k N zó dat n < 2 k. Dan geldt s n s 2 k+ a +(a 2 +a 3 )+ +(a 2 k +...+a 2 k+ ) a +(a 2 +a 2 )+ +(a 2 k + +a 2 k) = 2 0 a +2 a a k a 2 k = t k M 2. VI.2.6 Voorbeeld. Zi p R >0. = p is convergent p >. Zi a = voor. Aangezien (a p ) dalend is, kunnen we Stelling VI.2.5 toepassen. Merk op dat 2 a 2 = 2 ( p) = r, met r = 2 p. Dus wegens Voorbeeld VI..3 geldt: =0 2 a 2 is convergent dan en slechts dan als r <. Dit laatste geldt dan en slechts dan als p >. Limietkenmerk De volgende stelling kan een handig hulpmiddel zin om convergentie van reeksen aan te tonen. VI.2.7 Stelling (Limietkenmerk). Laat =0 a en =0 b reeksen zin. Neem aan dat er een 0 N is zó dat voor alle 0 geldt a 0 en b > 0 en dat a b bestaat. Als =0 b convergent is, dan is ook =0 a convergent. a Bewis. Definieer L = b. Kies N N zó dat voor alle N geldt dat a b L <. Er volgt dat voor alle N 0 a b L+. Dus 0 a (L+)b voor all N. Uit het Maorantenkenmerk zien we dat uit de convergentie van =0 b de convergentie van =0 a volgt. 3 Het is bekend dat = 2 = π 2 /6, maar dit is ingewikkelder. VI.2 REEKSEN MET POSITIEVE TERMEN 99

3 a VI.2.8 Opmerking. Als in de bovenstaande stelling b bestaat ook b, a > 0 is, dan en dus geldt =0 a is convergent dan en slechts dan als =0 b is convergent. VI.2.9 Voorbeeld. Bekik de reeks ( ) = We passen het Limietkenmerk toe met a = en b = 2. Er geldt a =. b Aangezien = 2 convergeert volgt dat de reeks in ( ) ook convergeert. VI.2.0 Voorbeeld. Bekik de reeks = toe met a = + en b =. Er geldt + b = a =.. We passen het Limietkenmerk Aangezien = b divergent is volgt ook dat = a divergent is. Quotiëntenkenmerk Het volgende kenmerk is handig voor veel reeksen. VI.2. Stelling (Quotiëntenkenmerk). Laat =0 a een reeks zin. Neem aan dat a > 0 voor alle N voldoende groot en dat bestaat. a + = L a (i) Als L < dan is de reeks convergent. (ii) Als L > dan geldt niet a = 0, en dus is de reeks divergent. Bewis. (): Kies r R zó dat L < r <. Kies N N zó dat a+ a < r voor alle N. Er volgt dat a + < ra voor alle N. Hieruit zien we dat voor N geldt 0 < a < ra < r 2 a 2 <... < r N a N = (r N a N )r. Aangezien de reeks =0 (r N a N )r convergent is volgt uit het Maorantenkenmerk dat ook =0 a convergent is. (2) : Zie Opgave VI.2.. VI.2.2 Opmerking. Er bestaan zowel convergente als divergente reeksen met L =. Bekik maar eens =. Dit is een divergente reeks. Voor de termen geldt /( +) =. / 00 VI REEKSEN

4 Indien we de convergente reeks = 2 bekiken, dan geldt /( +) 2 / 2 =. Het geval L = moeten we dus altid nauwkeuriger onderzoeken. VI.2.3 Voorbeeld. Bekik ( = 0 ( +) 0 ( 0 ( 2 2). Dan geldt 2 ) + ) = 2. Dus de reeks is convergent wegens het Quotiëntenkenmerk. VI.2.4 Voorbeeld. Bekik =0!. We passen het Quotiëntenkenmerk toe. /( +)! = /! Dus de reeks is convergent. 4! ( +)! = + = 0. Decimaalontwikkeling Ten slotte bespreken we de decimaalontwikkeling van een reëel getal. We beperken ons tot het interval [0,]. Een getal zoals bivoorbeeld x = is eigenlik niets anders dan een speciale reeks. We bedoelen hiermee namelik niets anders dan x = Algemener: als x = 0.a a 2 a 3... met a {0,,2...,9} dan betekent dit a x = 0. = Uit het Maorantenkenmerk volgt dat de reeks convergent is. Inderdaad voor alle geldt dat 0 a ( ), en de reeks ( = 9 0) is convergent. Bovendien geldt 0 x = a 0 = = ( ) 9 = =. Dus iedere decimaalontwikkeling stelt een reeël getal in [0, ] voor. Omgekeerd heeft ieder reeël getal x [0, ] een decimaalontwikkeling. (zie Opgave VI.2.6) Deze is niet uniek. Zo is bivoorbeeld = Er geldt =0 = e (zie Paragraaf VI.4).! =3 = =0 0 = = = 0.8. VI.2 REEKSEN MET POSITIEVE TERMEN 0

5 Als we afspreken dat we geen staarten van negens toestaan dan is de decimaalontwikkeling wel uniek (zie Opgave VI.2.6). Opgaven. Geef met behulp van het Maorantenkenmerk, Voorbeelden VI..4 en VI.2.4 een direct bewis van het volgende (a) = is convergent als p > 2. p (b) = is divergent als p <. p 2. Onderzoek welke van de volgende reeksen convergent zin (a) =0 3 + (b) =2 2 (c) = Onderzoek welke van de volgende reeksen convergent zin (a) =0 ( +) ( +4) 4 (b) k= k 2 2 k k! (c) (n 8 +3n) 3n n= 4 n+ 4. Toon aan: als a 0 voor alle 0 en =0 a is convergent, dan is convergent. =0 a2 5. Toon aan: als a 0 en (a ) 0 is dalend en =0 a is convergent, dan geldt a = Laat met een voorbeeld zien dat de eis dat (a ) 0 dalend is in Stelling VI.2.5, niet weggelaten kan worden. 7. Onderzoek welke van de volgende reeksen convergent zin (a) n= 2 n n! (b) n=0 n! 5 n (c) (n 8 +3n) n4 8. Bewis de volgende sterkere versie van het Limietkenmerk: 5 Laat =0 a en =0 b twee reeksen zin. Neem aan dat a 0 en b > 0 voor alle N en n= 3 n dat 6 ( a ) sup n n b bestaat. Toon aan: als =0 b convergent is, dan is ook =0 a convergent. 9. Laat a = 2 als is even en 0 als is oneven. (a) Toon aan dat het Limietkenmerk met b = 2 met 0 niet toegepast kan worden op deze ri. (b) Toon aan dat de sterkere versie van het Limietkenmerk uit Opgave VI.2.8 wel toegepast kan worden. Wat geeft dit kenmerk voor informatie? 02 VI REEKSEN

6 0. Onderzoek de convergentie van de reeks a +. Bewis Stelling VI.2. (2). Bewis ook dat de reeks divergeert als =. a =!. Wortelkenmerk 2. Laat =0 a een reeks zin. Neem aan dat a 0 voor alle 0 voldoende groot en a = L bestaat. Toon aan dat (a) Als L < dan is de reeks convergent. (b) Als L > of a =, dan is de reeks divergent. (c) Geef zowel een voorbeeld van een convergente en een divergente reeks met L = Definieer de ri (a ) 0 door a 2 = 2 en a 2+ = 3, met 0. (a) Laat zien dat het Quotiëntenkenmerk niet kan worden toegepast op deze ri. (b) Laat zien dat het Wortelkenmerk wel toegepast kan worden op deze ri. Wat volgt er uit het Wortelkenmerk? 4. Laat =0 a een convergente reeks zin met a 0 voor alle 0. Toon aan dat { } sup a : F N is eindig = a. 5. Bepaal voor welke p > 0 geldt dat n 2 n(lnn) convergent is. p F =0 6. (a) Bewis dat iedere x [0, ) een decimaalontwikkeling heeft. (b) Indien we geen staarten van negens toestaan, bewis dat de decimaalontwikkeling voor elke x [0,) uniek is. 5 Analoge versterkingen van het Quotiëntenkenmerk en het Wortelkenmerk gelden ook. 6 sup is niets anders dan sup uit Opgave IV.3.7. n n 7 In dit geval kan dus net als bi het Limietkenmerk geen uitspraak gedaan worden. VI.2 REEKSEN MET POSITIEVE TERMEN 03