COMPLEXE ANALYSE: Hoofdstuk 1. Jan van Casteren
|
|
- Nathan Thys
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 COMPLEXE ANALYSE: Hoofdstuk Jan van Casteren
2 - - Complexe Analyse. Elementaire eigenschappen van holomorfe functies. Definitie Laat Ω een open deel zijn van C. Laat f een complex-waardige functie zijn, gedefinieerd op Ω. Zij z 0 een punt in Ω. De functie f heet complex differentieerbaar in z 0 als f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 bestaat. We schrijven f (z 0 ) voor deze uitdrukking. Als f (z 0 ) bestaat voor iedere z 0 in Ω, dan zeggen we dat f holomorf (ook wel: analytisch) is in Ω. De klasse van analytische functies in Ω duiden we aan met H(Ω)..2 Propositie. De verzameling H(Ω) is een algebra van functies: f, g H(Ω), λ C : f + g H(Ω), fg H(Ω) en λf H(Ω)..3 Propositie (kettingregel). Zij f holomorf in Ω, f(ω) Ω, g holomorf in Ω. Dan is g f holomorf in Ω, en voor z 0 Ω geldt: (g f) (z 0 ) = g (f(z 0 )).f (z 0 ). Bewijs. De functies ε en η worden gedefinieerd door f(z) f(z 0 ) = (f (z 0 ) + ε(z)).(z z 0 ) g(w) g(w 0 ) = (g (w 0 ) + η(w)).(w w 0 ) waar w 0 = f(z 0 ). Dan is lim z z0 ε(z) = 0 en lim w w0 η(w) = 0, en: g(f(z)) g(f(z 0 )) z z 0 = (g (f(z 0 )) + η(f(z))) (f (z 0 ) + ε(z)). De functie f is continu in z 0, dus voor z z 0 convergeren de uitdrukkingen η(f(z)) en ε(z) allebei naar 0. Hiermee is de stelling bewezen.
3 Machtreeksen Stelling. Zij c 0, c, c 2,... een rij complexe getallen. Er bestaat een getal R [0, ] zodat de machtreeks c n z n uniform en absoluut convergeert op ieder compact deel van de open schijf {z C; z < R}, en divergeert voor z > R. Dit getal R wordt gegeven door: R = lim sup n n c n. Bewijs. Zij (a n ) n een rij complexe getallen. Als lim sup n n a n <, dan convergeert de reeks a n. (Ter herinnering: kies lim sup < x < en vergelijk de reeks met de meetkundige reeks x n ) Toepassing op de rij (c n z n ) n levert dat voor z < lim sup n n c n de reeks c n z n absoluut convergeert. Analoog kunnen we verifiëren dat voor z > / lim sup de reeks divergeert. Op de open schijf D met middelpunt 0 en straal R kunnen we dus als volgt een functie f definiëren: f(z) = c n z n. We zullen bewijzen dat deze reeks uniform naar f convergeert op compacte delen van D. Als K een willekeurig compact deel is van D, dan bestaat er een r in het open interval (0, R) zodat K {z C; z < r}. Kies een punt z 0 C zodat r < z 0 < R en zij z K. Om uniforme convergentie te bewijzen, moeten we de staart van de reeks afschatten door een uitdrukking waar z niet meer in voorkomt. N f(z) c n z n c n z n en dit laatste convergeert naar 0 voor N. n=n+ n=n+ c n z 0 n
4 Definitie. Zij Ω een open deel van C. Een functie f : Ω C heet representeerbaar door machtreeksen als voor ieder punt a Ω er een r > 0 en een rij complexe getallen c 0, c, c 2,... bestaan zodat de open schijf {z C; z a < r} helemaal tot Ω behoort, en op deze schijf geldt: f(z) = c n (z a) n. Opmerking. Holomorfie op Ω is equivalent met representeerbaarheid door machtreeksen. Eén richting van deze equivalentie bewijzen we in de volgende stelling, de andere volgt later..6 Stelling. Zij f : Ω C representeerbaar door machtreeksen. Dan is f H(Ω), en f is eveneens representeerbaar door machtreeksen. Als voor zekere a Ω en z a < r geldt f(z) = c n (z a) n, dan geldt voor z a < r eveneens f (z) = nc n (z a) n. n= Bewijs. De convergentiestraal van c n (z a) n is dezelfde als die van nc n (z a) n, zoals blijkt uit het reeds eerder gehanteerde convergentiecriterium. (want lim n n n = ) We bewijzen de differentieerbaarheid van f in een punt z 0 Ω én de reeksuitdrukking van de afgeleide in één klap, door afschatting van de uitdrukking f(z) f(z 0 ) nc n (z 0 a) n z z 0 n= { (z a) n (z 0 a) n } = c n n(z 0 a) n. z z 0 n= Een beetje elementaire algebra leert ons dat, voor n 2: (z a) n (z 0 a) n n(z 0 a) n z z 0 n = (z z 0 ) k(z 0 a) k (z a) n k k=
5 - 4 - Dus geldt: f(z) f(z 0 ) z z 0 nc n (z 0 a) n z z 0 n= n=2 n c n k= k z 0 a k z a n k. We mogen veronderstellen dat voor zekere ρ < r, zowel z a < ρ als z 0 a < ρ. Dan geldt: f(z) f(z 0 ) z z 0 nc n (z 0 a) n z z 0 c n 2 n(n )ρn 2. n= Aangezien n=2 c n n(n )ρ n 2 convergeert, volgt dus f(z) f(z 0 ) lim = z z 0 z z 0 n=2 nc n (z 0 a) n. n= Corollarium bij stelling.6. Zij Ω een open deel van C, en f in Ω door machtreeksen representeerbaar. Dan is voor ieder natuurlijk getal k de functie f (k) in Ω door machtreeksen representeerbaar, en geldt: f (k) (z) = n(n )... (n k + )c n (z a) n k. n=k als z a < r, en als f de representatie c n (z a) n heeft op de open schijf met middelpunt a en straal r. In het bijzonder volgt dan c n = f (n) (a) n! Met andere woorden: bij gegeven f en a zijn de coëfficiënten eenduidig bepaald.
6 - 5 - In de volgende stelling zien we een methode om functies te maken die representeerbaar zijn door machtreeksen..7 Stelling. Laat ϕ en ψ twee continue complex-waardige functies zijn op het compacte interval [, β]. De functie f : C \ ψ[, β] C gedefinieerd door f(z) = β ϕ(t) ψ(t) z dt is goed gedefinieerd en representeerbaar in machtreeksen. Bewijs. Zij Ω = C \ ψ[, β]. Dan is Ω open. Zij a Ω en zij r > 0 de afstand van a tot ψ[, β]. Voor z a < r geldt: β ϕ(t) β ψ(t) z dt = = = = β β ϕ(t) (ψ(t) a) (z a) dt ϕ(t) ψ(t) a. z a ϕ(t) ψ(t) a β (z a) n ψ(t) a dt ( ) n z a dt ψ(t) a ϕ(t) (ψ(t) a) n+ dt De reden waarom we in de laatste stap de integratie en de sommatie mochten verwisselen, was: β (z a) n β ϕ(t) n+ dt (ψ(t) a) (z a) n ϕ(t). n=n+ (ψ(t) a) n+ dt n=n+ β z a n ϕ(t) r n+ dt = n=n+ De laatste uitdrukking gaat naar 0 voor N. n=n+ β z a n r n+ ϕ(t) dt.
7 - 6 - Opmerking. Merk op dat in bovenstaande de n-de coëfficiënt in de machtreeks voor f gegeven wordt door: β ϕ(t) c n = n+ dt. (ψ(t) a) We zien ook dat de machtreeks voor f overal convergeert op een open cirkelschijf met middelpunt a, welke zo groot mogelijke straal heeft waarvoor die nog tot Ω behoort. Opmerking 2. Laat (X, A, µ) een eindige (complexe) maatruimte zijn en ϕ : X C een meetbare functie. Als Ω een open deel is van C dat in C \ ψ(x) bevat is, dan is de functie z representeerbaar door machtreeksen in Ω. Integratie langs een weg. X dµ(x) ϕ(x) z Een van de belangrijkste resultaten uit dit hoofdstuk zal zijn dat iedere f in H(Ω) representeerbaar is door machtreeksen..8 Definities. Een kromme is C is een continue afbeelding γ van een compact interval [, β] naar C. Het interval [, β] heet het parameter-interval van de kromme. Een pad of weg is een kromme die stuksgewijs glad is, d.w.z. er bestaat een eindig stel punten {s j ; j = 0,,..., n} met = s 0 < s < < s n = β, zodanig dat γ differentieerbaar op (s j, s j ) voor j =,..., n met de juiste linker- en rechterafgeleiden in de eindpunten. De kromme γ heet gesloten als γ() = γ(β). Zij f : γ[, β] C een continue functie. We definiëren de integraal van f langs γ door: γ f(z)dz = β f(γ(t))γ (t)dt. Zij γ : [, β] C een weg en zij ϕ een continu differentieerbare bijectie van [, β ] op [, β] waarvoor ϕ( ) = en ϕ(β ) = β. Dan geldt γ ϕ f(z)dz = = = β β γ f(γ ϕ(τ))γ (ϕ(τ))ϕ (τ)dτ f(γ(t))γ (t)dt f(z)dz waar we de substitutie t = ϕ(τ) hebben gebruikt. We zien dus dat f(z)dz = f(z)dz γ γ
8 - 7 - waarbij γ = γ ϕ. Met andere woorden, herparametrizeren van de kromme levert dezelfde integraal. De continue differentieerbaarheid van ϕ kan nog verzwakt worden tot stuksgewijze continue differentieerbaarheid. Essentieel is wel dat de orientatie bewaard blijft, d.w.z. ϕ (t) moet positief zijn. Bijvoorbeeld zij γ : [, β] een weg en zij ϕ : [, β] [, β] : t + β t. Dan is γ ϕ de tegengestelde kromme. Er geldt γ ϕ We merken ook nog op dat γ β f(z)dz = = = β β = γ f(γ( + β t))γ ( + β t)dt f(γ(τ))γ (τ)( dτ) f(γ(τ))γ (τ)dτ f(z)dz. f(z)dz lengte van γ. sup{ f(z) ; z γ[, β]} waar we de lengte van γ definiëren als β γ (t) dt.
9 .9 Speciale krommen: a. Laat a C en r > 0. De weg γ : [ π, pi] C gedefinieerd door γ(t) = a + r exp(it) is de positief georiënteerde cirkel met middelpunt a en straal r. Er geldt γ 2π f(z)dz = ir f(a + r exp(iθ)) exp(iθ)dθ. 0 b. Als a en b complexe getallen zijn, dan heet de kromme γ : [0, ] C : t a + (b a)t het georiënteerde interval [a, b]. De lengte van het interval is b a en de lijnintegraal van een functie f is [a,b] f(z)dz = (b a) f(a + (b a)t)dt. 0 Een andere parametrizering van deze krommen wordt gegeven door γ (t) : [, β] C : t a(β t) + b(t ). β c. Zijn a, b en c complexe getallen. Zij de driehoek met hoekpunten a, b en c. De kromme wordt verkregen door de zijden [a, b], [b, c] en [c, a] aan elkaar te plakken. Dan geldt f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz. [a,b] Een cyclische permutatie van (a, b, c) verandert deze integraal niet; een oneven permutatie verandert uiteraard het teken. [b,c] [c,a]
10 - 9 - De nu volgende stelling vereist een paar topologische begrippen. Zij X een topologische ruimte. Een deelverzameling E van X heet samenhangend als er geen tweetal open verzamelingen bestaan die disjunct zijn, waarvan de vereniging E omvat en die beide E snijden. Een maximaal samenhangende deelverzameling van E heet component van E. E is de unie van al zijn componenten. De stelling introduceert een belangrijke functie uit de analytische functietheorie..0 Stelling. Zij γ een gesloten weg met parameter-interval [, β] en zij Ω het complement van γ[, β] in C. Definieer de functie Ind γ : Ω C : z 2πi γ dζ ζ z Dan is Ind γ een functie met waarden in Z, die constant is op de componenten van Ω en nul op de onbegrensde component. In woorden. Neem z vast in Ω. Plaats een schijnwerper in z en richt hem op γ(). Draai dan de schijnwerper mee met γ(τ) naarmate τ het parameter-interval doorloopt, en zo tot γ(β). Aangezien γ een gesloten weg is, kijken we in dezelfde richting als aanvankelijk. Ind γ (z) is het netto aantal omwentelingen dat we hebben gemaakt. Ind γ (z) wordt het windingsgetal van γ rond z genoemd. Bewijs van de stelling. Neem een vaste z Ω. We zullen bewijzen dat exp ( β ) γ (s) γ(s) z ds =. Hieruit volgt dat de lijnintegraal een geheel veelvoud is van 2πi. We introduceren daartoe de functie Differentiëren levert ( t ϕ : [, β] C : t exp ϕ (t) ϕ(t) = γ (t) γ(t) z γ ) (s) γ(s) z ds voor alle t [, β], eventueel op eindig veel t s na. Op die uitzonderingen na geldt dus ook ( ) ϕ (t) = 0. γ z De functie tussen de haakjes is continu, en haar afgeleide is bijna overal nul. Ze is dus constant: ϕ(t) = γ(t) z γ() z
11 In het bijzonder is ϕ(β) = γ(β) z γ() z = γ() z γ() z =. Er rest ons nu nog te bewijzen dat Ind γ op de componenten van Ω constant is, en 0 op de onbegrensde component (de buitenkant van de kromme γ). Een continue functie beeldt samenhangende verzamelingen af in samenhangende verzamelingen. Ind γ is in machtreeksen ontwikkelbaar (stelling.7) en dus continu. De componenten van C\γ[, β] worden afgebeeld op samenhangende delen van Z, dit zijn singletons. Voor verre punten uit het complexe vlak, zeg z > M sup{ γ(s) ; s [, β]}, geldt Ind γ (z) β 2π 2π β γ (s) z γ(s) ds γ (s) ds z M Voor z geldt dus Ind γ (z) 0. Omdat Ind γ constant is op de onbegrensde component, kan hij daar alleen nog maar nul zijn.. Stelling. Zij γ de positief georiënteerde cirkel met middelpunt a en straal r. Dan is Ind γ (z) = { als z a < r, 0 als z a > r. Bewijs. Zij γ(θ) = a+r exp(iθ) voor π θ π en zij Ω = C\γ[ π, π]. De componenten van Ω zijn Ω = {z C; z a < r} en Ω 2 = {z C; z a > r}. Vanwege vorige stelling geldt dat Ind γ (z) = 0 voor z Ω 2. Voor z Ω geldt Ind γ (a) = Ind γ (z). Deze index is dan gelijk aan Ind γ (a) = π 2πi π ir exp(iθ)dθ =. r exp(iθ)
12 Stelling van Cauchy - - We gaan nu een van de belangrijkste stellingen uit de theorie van de holomorfe functies bewijzen. Stelling van Cauchy-Goursat. Zij Ω een open gebied in C. Zij γ een gesloten weg in Ω en zij f H(Ω). Veronderstel dat Ind γ (z) = 0 voor alle z C \ Ω. Dan geldt γ f(z)dz = 0. We beginnen met het bijzondere geval van de afgeleide van een holomorfe functie..2 Stelling. Zij f H(Ω) en f continu in Ω. Dan geldt f (z)dz = 0 voor iedere gesloten weg γ in Ω. Bewijs. Zij [, β] het parameter-interval van γ. Dan hebben we γ γ f (z)dz = β f (γ(t))γ (t)dt = f(γ(β)) f(γ()) = f(γ()) f(γ()) = 0. Gevolg. Zij n een geheel getal verschillend van, en zij γ een gesloten weg (als n 2: die niet door de oorsprong gaat). Dan is γ zn dz = 0. Bewijs: z n is de afgeleide van z n+ /(n + )..3 Stelling van Cauchy voor de driehoek. Laat een gesloten driehoek zijn in een open deelverzameling Ω van C. Zij p Ω en zij f een continue complexwaardige functie op Ω die holomorf is in Ω \ {p}. Dan is f(z)dz = 0. Opmerking. Later zullen we zien dat f dan ook complex differentieerbaar is in p. Bewijs. Noem de hoekpunten van de driehoek a, b en c. We onderscheiden drie gevallen: p ligt buiten de driehoek, p is een hoekpunt, of p is een ander punt van de driehoek. Veronderstel eerst dat p /. Laat a, b en c de middelpunten van respectievelijk de zijden [b, c], [c, a] en [a, b] zijn. Beschouw de vier driehoeken j verkregen door de geordende drietallen (a, c, b ), (c, b, a ), (a, c, b ), (a, b, c ).
13 - 2 - Dan geldt J f(z)dz = 4 j= j f(z)dz. Dus, minstens één van deze vier integralen heeft absolute waarde tenminste J /4. Noem deze driehoek. Dan geldt dus J 4 f(z)dz Door bovenstaand proces te herhalen voor vinden we een driehoek 2 met J f(z)dz. Op dezelfde manier doorgaand vinden we een rij driehoeken { n ; n =, 2,...} zodanig dat a. 2 b. J 4 n n f(z)dz Vanwege de compactheid van bestaat er een z 0 in de doorsnede van alle n. De functie f is complex differentieerbaar in z 0. Dus voor gegeven ε > 0 bestaat er een δ > 0 zodanig dat voor z z 0 < δ: f(z) f(z 0 ) f (z 0 )(z z 0 ) ε L 2 z z 0, waar L de omtrek van is. Wegens stelling.2 is de integraal van de constante f(z 0 ) en de lineaire functie f (z 0 )(z z 0 ) langs de omtrek van onze driehoekjes 0. We hebben dan f(z)dz = (f(z) f(z 0 ) f n (z 0 )(z z 0 )) dz n sup f(z) f(z 0 ) f (z 0 )(z z 0 ) lengte( n ) z n ε z z 0 sup z n L 2 2 n L (voor n groot genoeg) ε2 n L L 2 2 n L = 4 n ε Dus geldt J 4 n 4 n ε = ε Aangezien ε > 0 willekeurig was volgt J = 0. Het tweede onderscheiden geval is dat waarin p een hoekpunt is van, zeg (zonder beperking) p = a. Neem dan x [a, b] en y [a, c]. Laat de driehoek zijn met hoekpunten a, x en y. Dan geldt f(z)dz = f(z)dz.
14 - 3 - Door x naar a te laten gaan volgt, aangezien f begrensd is in een omgeving van a, f(z)dz 0. Als tenslotte p een willekeurig punt is van, beschouwen we de driehoeken, 2 en 3 verkregen door de geordende drietallen (a, b, p), (b, c, p), (c, a, p). Daarmee belanden we terug in het tweede geval wegens f(z)dz = 3 j= j f(z)dz = 0.
15 Stelling van Cauchy voor een convex domein. Zij Ω een convex open deel van C, p Ω, f continu in Ω en f H(Ω \ {p}). Dan geldt voor iedere gesloten weg γ in Ω. Bewijs. Definieer de functie F : Ω C door γ F (z) = f(z)dz = 0 [a,z] dζ, waar a een willekeurig maar vast punt in Ω is. De convexiteit van Ω garandeert juist dat het interval [a, z] steeds binnen Ω ligt. Zij z 0 Ω; we zullen bewijzen dat F (z 0 ) = f(z 0 ). De stelling volgt dan uit het eerder bewezen bijzondere geval.2. Wegens.3 geldt voor z Ω Het differentiequotiënt is dan Omdat f continu is volgt F (z) F (z 0 ) = [z 0,z] dζ. F (z) F (z 0 ) = f(z 0 ) + ( f(z 0 ))dζ. z z 0 z z 0 [z 0,z] Dus F (z 0 ) bestaat en is gelijk aan f(z 0 ). lim ( f(z 0 ))dζ = 0. z z 0 z z 0 [z 0,z] Wegens stelling.2 geldt dan voor iedere gesloten weg γ in Ω γ f(z)dz = 0
16 De integraalformule van Cauchy luidt als volgt. Zij γ : [, β] C een gesloten weg in de open verzameling Ω. Veronderstel dat Ind γ (z) = 0 voor iedere z in C \ Ω. Als z Ω \ γ[, β], dan geldt f(z)ind γ (z) = 2πi γ ζ z dζ. We bewijzen deze bewering voor een convexe open deelverzameling Ω. Zij γ een gesloten weg in Ω. Volgens de definitie van Ind γ geldt, voor z / γ[, β], 2πi γ ζ z dζ f(z)ind γ(z) = 2πi = 2πi Beschouw nu de functie g : Ω C, gedefinieerd door g(ζ) = γ γ ζ z dζ 2πi γ f(z) dζ ζ z { f(z) ζ z als ζ z, f (z) als ζ = z. f(z) ζ z dζ Dan is g continu op Ω en holomorf in Ω\{z}. Wegens stelling.4 is dan de kringintegraal van g langs γ nul. Waarmee de formule is bewezen.
17 Stelling. Zij Ω een open deel van C. Iedere functie f in H(Ω) is representeerbaar door machtreeksen. De convergentiestraal van de machtreeks in een punt a Ω is minstens de afstand van a tot het complement van Ω. Bewijs. Zij a Ω en zij d de afstand van a tot het complement van Ω. Kies het reële getal r zodanig dat 0 < r < d. Zij γ r de positief georiënteerde cirkel met straal r en middelpunt a. Voor z a < r geldt, volgens.5, f(z) = 2πi = r 2π γ r π π ζ z dζ f(a + r exp(it)) exp(it) dt. r exp(it) + a z Pas nu.7 toe met ϕ(t) = f(a + r exp(it)) exp(it) ψ(t) = a + r exp(it). Dan geldt dus, nog steeds voor z a < r, met f(z) = c n (z a) n, c n = 2πi γ r dζ. (ζ a) n+ Volgens de theorie der machtreeksen zijn deze coëfficiënten éénduidig bepaald door f: c n = f (n) (a)/n!. In het bijzonder hangt c n niet af van de gekozen r < d, dus convergeert de reeks evengoed voor alle z C met z a < d. Hiermee is de stelling dan bewezen. Een gevolg van deze stelling is, dat met f ook f en alle volgende afgeleiden tot H(Ω) behoren: éénmaal complex differentieerbaar in Ω impliceert onbeperkt differentieerbaar..7 Stelling van Morera. Zij f een continue complex-waardige functie op een open deel Ω van C, met de eigenschap dat voor iedere gesloten driehoek in Ω: Dan is f holomorf in Ω. f(z)dz = 0. Bewijs. Zij V een convex open deel van Ω. Precies zoals in het bewijs van stelling.4 kunnen we een stamfunctie F van f construeren in H(V ). Wegens het voorgaande is dan ook f = F H(V ). De willekeur van V bewijst dat f holomorf is in heel Ω. Holomorfe functies zijn lokaal te schrijven als machtreeksen. Dit heeft een aantal interessante consequenties. We beginnen met een stelling over de ligging en de aard van de nulpunten van een analytische functie.
18 Stelling. Laat Ω een samenhangend deel van C zijn en f H(Ω), f niet de nulfunctie. Zij Z(f) de nulpuntenverzameling van f: Dan gelden de volgende uitspraken. Z(f) = {a Ω; f(a) = 0} i. Voor iedere a in Z(f) bestaat een open omgeving U van a zodanig dat U Z(f) = {a}. ii. Bij iedere a in Z(f) bestaat een positief geheel getal m en een complexe functie g H(Ω) waarvoor g(a) 0 en f(z) = (z a) m g(z), z Ω iii. Z(f) is aftelbaar. Bewijs. We definiëren de volgende twee deelverzamelingen van Ω: V = W = U open,u Ω U open,u Ω {a Ω; U Z(f) {a} U}, {a Ω; U Z(f) {a} of a / U} Uit de gewone verzamelingenleer volgt dat V en W disjunct zijn, en dat hun unie heel Ω is. We zullen ook nog bewijzen dat ze beide open zijn, en dat V niet leeg is. Op grond van de samenhang moet dan W leeg zijn, en (i) volgt. We bewijzen eerst dat V open is. Voor a V bestaat er een open verzameling U met U Z(f) {a} U. Deze U is bevat in V : neem namelijk een andere b U, dan voldoet deze aan de voorwaarde om in V te zitten via de omgeving U \ {a}. We bewijzen vervolgens dat W open is. Zij a in W. Dan bestaat er een rij (a n ) n in Ω met a n a, f(a n ) = 0 en lim n a n = a (verifieer!). Omdat f analytisch is, kan f in een omgeving van a ontwikkeld worden in een machtreeks, zeg n c n(z a) n. Nu is f(a m ) = 0 voor iedere m N. Dus c 0 = lim m f(a m ) = 0. Beschouw nu in een omgeving van a de functie f : z c n (z a) n. Dan geldt n= f (a m ) = f(a m) a m a = 0. Omdat f continu is in a, geldt c = lim m f (a m ) = 0. We kunnen op deze manier doorgaan en vinden (bv. per inductie) dat alle c n nul zijn. Dan is f(b) = 0 voor iedere b in een open omgeving U a van a, en een dergelijke U a ligt uiteraard volledig in W. Tot slot bewijzen we nog dat V niet leeg is: voor zekere a 0 Ω is f(a 0 ) 0, en door continuïteit is er een hele omgeving van die a 0 waar f verschilt van 0. Dus a 0 V.
19 - 8 - We bewijzen nu bewering (ii). Wegens (i) bestaat er voor ieder nulpunt a van f een omgeving U waarin a het enige nulpunt is. Bovendien kunnen we die U zo klein kiezen dat voor alle z U: f(z) = c n (z a) n en niet alle c n zijn 0. Zij c m de eerste coëfficiënt in de machtreeks die verschilt van 0. Dan is m (want a is een nulpunt van f), en bovendien Definieer de functie g op Ω door f(z) = (z a) m g(z) = n=m c n (z a) n m { f(z) (z a) m, als z a, c m als z = a. Dan is g holomorf in Ω \ {a}, en in een omgeving van a geldt: g(z) = c n (z a) n m n=m zodat g ook in het punt a zelf complex differentieerbaar is. Met andere woorden, g H(Ω). Bovendien is g(a) = c m 0. Hiermee is (ii) bewezen. Het bewijs van (iii) is eerder topologisch van aard. Ω is te schrijven als een aftelbare unie van compacte deelverzamelingen. Anderzijds bevat zo n compacte deelverzameling hoogstens eindig veel nulpunten van f, want er mogen wegens (i) geen limietpunten zijn. Z(f) is dus aftelbaar. Gevolg. De nulpuntenverzameling van een niet-triviale holomorfe functie heeft geen verdichtingspunten in het definitiegebied van die functie. Of ook nog: als f en g twee holomorfe functies zijn op Ω, en de deelverzameling waar f(z) = g(z) heeft een verdichtingspunt in Ω, dan is f = g op heel Ω. (Een verdichtingspunt of limietpunt a van een deel D van een topologische ruimte is een limiet van een rij punten in D die allemaal verschillen van a. De limietpunten zijn de elementen van de topologische sluiting die geen geïsoleerde punten zijn.) Benaming. Het getal m waarvan sprake is in stelling.8 is duidelijk volledig bepaalt door f en a: het heet de orde of multipliciteit van het nulpunt a..9 Stelling. Veronderstel dat voor z a < R geldt Dan geldt voor 0 < r < R, f(z) = c n 2 r 2n = 2π c n (z a) n. +π π f(a + r exp(iθ)) 2 dθ.
20 - 9 - Bewijs. Zij z a = r en schrijf z = a + r exp(iθ). Dan geldt f(a + r exp(iθ))f(a + r exp(iθ)) = +π f(a + r exp(iθ)) 2 dθ = 2π π = = m=0 m=0 c n c m r n+m exp(i(n m)θ) c n c n r 2n c n 2 r 2n (waarom mag men sommatie en integratie verwisselen?) c n c m r n+m +π exp(i(n m)θ)dθ 2π =π.20 Stelling. (Liouville) Iedere begrensde gehele functie is constant. (Een functie heet geheel als ze overal op C holomorf is.) Bewijs. Zij f geheel. Dan bestaan er complexe getallen c 0, c,... zodanig dat voor iedere z in C geldt f(z) = c n z n. Vanwege stelling.9 geldt voor iedere r > 0, Dus voor iedere n N en iedere r > 0 geldt c n 2 r 2n = +π f(a + r exp(iθ)) 2 dθ M 2 2π π c n r n M. Voor alle n moet dan c n nul zijn, dus de functie is gelijk aan de constante term in haar reeksontwikkeling..2 Stelling. (Maximum modulusstelling). Laat Ω een samenhangende open deelverzameling van C zijn, f H(Ω) en a Ω. Dan is ofwel f constant op Ω, ofwel bevat iedere omgeving van a een punt b met f(a) < f(b). Met andere woorden: f is lokaal constant óf heeft geen lokaal maximum. Bewijs. Veronderstel dat er R > 0 bestaat waarvoor B(a, R) in Ω bevat is, en waarvoor geldt f(z) f(a) als z a < R. Volgens stelling.9 geldt dan voor iedere r met 0 < r < R: c n 2 r 2n f(a) 2 = c 0 2
21 waar (c n ) n de coëfficiënten uit de reeksontwikkeling van f in a zijn. Hieruit volgt dat f constant is op B(a, R) en dus, wegens het gevolg van stelling.8, dat f constant is op heel Ω. Nog een toepassing van stelling.9 levert dan de zogenaamde Cauchyschattingen..22 Stelling. Zij Ω = {z C; z a < R} en zij f holomorf in Ω. Veronderstel dat voor iedere z Ω geldt: f(z) M. Dan is f (n) (a) n!m R n Bewijs. Zij (c n ) n de rij coëfficiënten van de machtreeks van f in a. Wegens stelling.9 is, voor 0 < r < R, c n 2 r 2n = +π f(a + r exp(iθ)) 2 dθ. 2π π Dus geldt c n r n M. Maar we wisten ook al dat c n = f (n) (a)/n!, en dus is f (n) (a) n!m r n. Door r naar R te laten stijgen volgt het gestelde.
22 - 2 - We geven nu het bewijs van de (globale) stelling van Cauchy. Een cykel is een formele lineaire combinatie van gesloten wegen met gehele coëfficiënten. De lijnintegraal langs een cykel is gewoon de lineaire combinatie van de afzonderlijke lijnintegralen. Stelling van Cauchy. Laat Ω een willekeurig open deel zijn van C, en f een holomorfe functie op Ω. i. Zij Γ een cykel in Ω met de eigenschap dat Ind Γ (a) = 0 voor a C \ Ω. Voor alle z Ω \ Ran Γ geldt dan de gelijkheid f(z)ind Γ (z) = 2πi Γ f(z) ζ z dζ ii. Zij Γ als in (i); dan is de kringintegraal van f langs Γ nul. iii. Als Γ 0 en Γ gesloten wegen zijn in Ω met gelijk windingsgetal rond ieder punt van het complement van Ω, dan zijn de lijnintegralen van f langs Γ 0 respectievelijk langs Γ, gelijk. Bewijs. Definieer de functie g : Ω Ω C door { f(z) g(z, ζ) = ζ z ζ z, f (z) ζ = z. Omdat g continu is, kunnen we h : Ω C : z 2πi Γ g(z, ζ)dζ definiëren. Aangezien g uniform continu is op compacte delen van Ω Ω, is ook h continu in Ω. Als een driehoek is in Ω met rand, dan geldt, gebruikmakend van de stelling van Fubini, h(z)dz = ( ) g(z, ζ)dz dζ = 0 dw = 0, 2πi Γ 2πi Γ want voor vaste ζ Ω is z g(z, ζ) holomorf op Ω. Een toepassing van de stelling van Morera (stelling.7) levert dat h tot H(Ω) behoort. Definieer Ω in C door Ω = {z C \ Ran Γ; Ind Γ (z) = 0} en h H(Ω ) door Voor z in Ω Ω geldt dan h(z) = 2πi = 2πi h (z) = 2πi Γ Γ Γ ζ z dζ. f(z) dζ ζ z dζ f(z) ζ z 2πi = h (z) f(z)ind Γ (z) = h (z). Γ dζ ζ z
23 Dus de functie ϕ : Ω Ω C gedefinieerd door { h(z) z Ω, ϕ(z) = h (z) z Ω, is een welgedefinieerde holomorfe functie op Ω Ω. Voor a C \ Ω is Ind Γ (a) = 0, dus Ω Ω is eigenlijk de hele verzameling C. Anderzijds is lim ϕ(z) = lim h (z) = 0, z z dus ϕ is begrensd. Uit de stelling van Liouville (stelling.20) volgt dan dat ϕ constant is, en wegens bovenstaande limietovergang zelfs constant nul. We concluderen dat de functie h nul is op Ω. Voor z Ω \ Ran Γ geldt dus waaruit volgt 0 = 2πi en (i) is bewezen. Γ f(z) dζ = ζ z 2πi Γ f(z)ind Γ (z) = 2πi Γ dζ f(z) ζ z 2πi Γ f(z) ζ z dζ dζ ζ z Voor het bewijs van (ii) nemen we a Ω \ Ran Γ en schrijven F (z) = (z a)f(z). Dan geldt met (i) f(z)dz = F (z) 2πi Γ 2πi Γ z a dz = F (a)ind Γ(a) = 0. Gedeelte (iii) is de toepassing van (ii) op de lineaire combinatie Γ 0 + Γ..23 Definitie. We zeggen dat een rij functies {f n ; n N} op Ω uniform convergeert op compacte delen van Ω naar een limietfunctie f als er voor ieder compact deel K Ω en iedere ε > 0 er een N N bestaat met z K, n N : f n (z) f(z) < ε. Zij Ω een open deel van C en {K n ; n N} een rij compacte deelverzamelingen van C met de eigenschap dat: i. n=k n = Ω, ii. K n int(k n+ ), n N. Voor n N definiëren we de halfnorm p n op H(Ω) door p n (f) = sup z K n f(z). Een standaardtruuk (zie bv. cursus functionaalanalyse, tweede semester) bestaat er dan in, deze halfnormen te verenigen tot een metriek d : H(Ω) H(Ω) : (f, g) 2 n p n (f g) + p n (f g).
24 Het is niet zo moeilijk na te gaan dat deze dingen wel degelijk halfnormen resp. een metriek zijn. Verder is een rij functies convergent in de topologie van (H(Ω), d) als en slechts als ze uniform convergeert op compacte delen van Ω. We laten nu zien dat de limietfunctie noodzakelijk holomorf is. Anders gezegd: iedere Cauchyrij in (H(Ω), d) heeft een limiet in H(Ω). Anders gezegd: (H(Ω), d) is een volledige metrische ruimte..24 Stelling. Zij {f n ; n N} een rij functies in H(Ω) met de eigenschap dat voor iedere a Ω een omgeving Ω a van a in Ω bestaat waarvoor lim sup f n (z) f m (z) = 0. n,m z Ω a Dan bestaat er een f H(Ω) zodat lim n d(f n, f) = 0 (en dus zodanig dat voor ieder compact deel K van Ω: lim sup f n (z) f(z) = 0.) n z K Bewijs. Voor iedere z Ω afzonderlijk is {f n (z); n N} een Cauchyrij in C en heeft dus een limiet; noem deze f(z), en we zullen dan bewijzen dat de aldus bekomen f holomorf is. Om te beginnen is de convergentie al uniform op de omgevinkjes Ω a : lim sup f n (z) f(z) = 0. n z Ω a Maak voor elke a Ω een klein positief georiënteerd cirkeltje γ a met middelpunt a dat volledig binnen Ω a blijft. Dan geldt volgens de integraalformule van Cauchy Ind γa (z)f n (z) = 2πi γ a f n (z) ζ z dζ voor iedere n N en z Ω \ γ[ π, π]. Als z in het inwendige van γ a ligt, dan is f(z) = lim f n(z) n = lim n 2πi = 2πi γ a γ a ζ z dζ f n (ζ) ζ z dζ zodat f zelf holomorf is. Iedere compacte K kan overdekt worden door eindig veel Ω a s; aangezien er uniforme convergentie op de Ω a s plaats vindt, hebben we ook uniforme convergentie op K. Vanwege de opmerking hierboven is dan ook lim n d(f n, f) = 0. Uit het voorgaande volgt dat voor f n (k), dus de k-de afgeleide van de n-de functie in de rij, geldt f (k) n (z) = k! 2πi γ a f n (ζ) dζ, (ζ z) k+
25 als z binnen de cirkel γ a ligt. Door opnieuw uniforme convergentie te gebruiken vinden we lim f n (k) (z) = n k! 2πi = k! 2πi = f (k) (z). γ a γ a lim n f n (ζ) (ζ z) k+ dζ dζ (ζ z) k+ Men kan weer bewijzen dan de rij van k-de afgeleiden uniform convergeert op compacte delen van Ω naar de k-de afgeleide van f.
26 Laurentreeksen en geïsoleerde singulariteiten. Laat {a n ; n Z} een rij complexe getallen zijn. Een formele uitdrukking van de vorm n= a n(z a) n, a C, zal een Laurentreeks genoemd worden. Veronderstel dat er getallen R en R 2 bestaan met 0 R < R 2 zodanig dat de dubbelrij M n= N a n (z a) n uniform convergeert op compacte deelverzamelingen van het ringvormige gebied B, gedefinieerd door B = {z C; R < z a < R 2 } Wegens stelling.24 is de functie f : B C, gedefinieerd door f(z) = lim M M,N n= N a n (z a) n holomorf in B. Door weer gebruik te maken van uniforme convergentie op compacte deelverzamelingen, rekent men na dat voor R < r < R 2 en n Z geldt a n = dζ 2πi (ζ a) n+ γ r waar γ r de positief georiënteerde cirkel is met straal r en middelpunt a. Merk op dat deze integraal niet van de keuze van r afhangt. Zij nu z B, N N en z a < r 2 < R 2. Dan geldt N a n (z a) n = 2πi γ r2 N Hieraan ziet men dat a n(z a) n convergeert, en dat a n (z a) n = 2πi γ r2 (z a) n dζ. (ζ a) n+ ζ z dζ. Op dezelfde manier geldt voor R < r < z a de gelijkheid n= Dus geldt voor z B de gelijkheid f(z) = 2πi a n (z a) n = 2πi γ r γ r2 ζ z dζ 2πi γ r ζ z dζ. ζ z dζ.
27 In de volgende stelling zien we dat een functie die holomorf is op een ringvormig gebied, een Laurentreeks-ontwikkeling toelaat..25 Stelling. Zij 0 R < R 2, a C en zij f H(B), waar B = {z C; R < z a < R 2 }. Dan bestaat er een unieke rij complexe getallen {a n ; n Z} zodanig dat voor alle z in B: f(z) = a n (z a) n + Bewijs. Definieer voor n Z het getal a n door a n = 2πi γ r a n (z a) n. n= dζ, (ζ a) n+ waar R < r < R 2 en γ r de positief georiënteerde cirkel met straal r en middelpunt a. Zoals hoger hangt a n niet af van r zolang maar R < r < R 2. Bovendien geldt voor z B dat zowel de reeks a n(z a) n als de reeks n= a n(z a) n convergeert. Ook hebben we de gelijkheden n= a n (z a) n = 2πi γ r2 a n (z a) n = 2πi γ r ζ z dζ ζ z dζ waarbij R < r < z a < r 2 < R 2. Door δ > 0 geschikt te kiezen, vinden we met behulp van de algemene stelling van Cauchy dat voor z B geldt: 2πi ζ z =δ ζ z dζ = 2πi γ r2 Het linkerlid is echter gelijk aan f(z). Opmerking. In bovenstaand bewijs is de functie z 2πi γ r ζ z dζ 2πi γ r ζ z dζ ζ z dζ holomorf op de open verzameling {z C; z a > r } voor iedere r > R. Met andere woorden: als f holomorf is op het ringvormige gebied {z C; R < z a < R 2 }, dan definieert z 2πi lim r R ζ z dζ γ r
28 een holomorfe functie op {z C; z a > R }. In het bijzonder geldt voor R = 0, dat de functie f a : C \ {a} : z lim r 0 2πi γ r ζ z dζ holomorf is. Bovendien is f f a begrensd in een omgeving van a. De functie f a wordt het hoofddeel van f in a genoemd. Merk op dat voor z a de functie f a kan geschreven worden als f a (z) = a n (z a) n, n= voor zekere complexe getallen {a n ; n N}. Als nu γ een gesloten kromme is in C \ {a}, dan geldt f a (z)dz = a Ind γ (a). 2πi γ Het getal a wordt het residu van f in a genoemd. We noteren dit als Res(f; a)..26 Definitie. Zij Ω C open, a Ω. Zij f holomorf op Ω \ {a}. Als er een holomorfe functie f 0 bestaat op heel Ω die buiten a samenvalt met f, dan heet a een ophefbare singulariteit van f. Als het hoofddeel van f in a de vorm m a n (z a) n n= heeft, met a m 0, dan is de singulariteit a een pool van orde m voor f. In de andere gevallen heet a een essentiële singulariteit voor f. In dit verband vermelden we de volgende stelling..27 Stelling. Zij Ω C open, a Ω en f H(Ω \ {a}).. a ophefbaar lim z a (z a)f(z) = 0 f begrensd in een omgeving van a. 2. a is een essentiële singulariteit als en slechts als voor iedere omgeving U van a in C, de verzameling f(u \ {a}) dicht ligt in C. Bewijs. Voor het eerste deel merken we op dat ophefbaar begrensd en begrensd lim = 0 triviaal zijn. Het volstaat dus aan te tonen dat a ophefbaar is als lim z a (z a)f(z) = 0. Schrijf daartoe het hoofddeel van f in a als n= a n(z a) n ; we laten zien dat a n = 0 voor n =, 2, 3,... Uit het voorgaande volgt dat a n te schrijven is als a n = 2πi γ δ (ζ a) n+ dζ = 2πi γ δ (ζ a) n dζ
29 waar γ δ een positief georiënteerde cirkel in Ω is met middelpunt a en straal δ. Dus volgt a n = 2π π π f(a + δe iθ )δe iθ (δe iθ ) n dθ a n δ n sup (z a)f(z) z a =δ sup (z a)f(z) (als δ en n ) z a =δ Doordat δ willekeurig klein mag gekozen worden, is a n = 0 voor alle n. Voor het tweede deel veronderstellen we eerst dat a géén essentiële singulariteit is. Dan is de Laurentreeks langs onderen eindig, dus er bestaat een m Z met lim (z z a a)m f(z) = γ 0. Als a een pool is, is m de orde van de pool. Als a ophefbaar is, dan is m de orde van a als nulpunt van f (eventueel m = 0 als a helemaal geen nulpunt is). Als m 0, dan geldt voor zekere δ > 0 dat δ m f(z) γ/2 (0 < z a < δ) en dan is f(z) dus ver verwijderd van 0 voor z a klein; i.h.b. is f(b(a, δ)) niet dicht in C. Als m < 0, dan geldt voor zekere δ > 0 dat δ m f(z) 3γ/2 (0 < z a < δ) en opnieuw is het beeld onder f van een kleine omgeving van a niet dicht in C. Omgekeerd, stel dat er een δ > 0 bestaat zodat de schijf D {z C; z a < δ} bevat is in Ω en dat ε inf{ f(z) w ; z D, z a} strikt positief is voor zekere w C. Dus is de functie g : D \ {a} C : z f(z) w begrensd op D \ {a}: ze kan m.a.w. worden voortgezet tot een analytische functie op D. Volgens stelling.8, onderdeel (ii) bestaat er een functie h H(D) en een getal ( multipliciteit ) m N 0 waarvoor g(z) = (z a) m h(z), z D \ {a}, h(a) 0.
30 Omdat g nergens verdwijnt op D \ {a} geldt hetzelfde voor h, en dus is /h holomorf op D. Laat dan h(z) = c n (z a) n, z D. Dan geldt voor alle z D \ {a}: f(z) = w + (z a) m en dus heeft f hooguit een pool van orde m in a. In verband met het voorgaande vermelden we de c n (z a) n,.28 Residuen-stelling. Zij Ω een open deel van C en laat a,..., a n tot Ω behoren. Veronderstel dat f holomorf is op Ω\{a,..., a n }. Zij γ een gesloten weg is Ω\{a,..., a n } met Ind γ (z) = 0 voor alle z C \ Ω. Dan geldt f(z)dz = 2πi γ n Res(f; a j )Ind γ (a j ). j= Bewijs. Laat f a,..., f an de hoofddelen van f in resp. a,..., a n zijn. De functie g f (f a f an ) op Ω \ {a,..., a n } heeft ophefbare singulariteiten in a,..., a n. Zij g 0 de uitbreiding van g tot Ω. Wegens de stelling van Cauchy-Goursat is g 0 (z)dz = 0, 2πi γ dus f(z)dz = 2πi γ n j= f aj (z)dz. 2πi γ Wegens de opmerkingen voorafgaand aan definitie.26 is echter f aj (z)dz = Ind γ (a j )Res(f; a j ) 2πi γ waarmee deze stelling nu bewezen is. Voorbeeld. We illustreren het belang van de residuenstelling voor de toepassingen door voor algemene n N de integraal dx + x n te berekenen, zo deze bestaat. 0
31 Zij γ R de weg als in de onderstaande figuur We mogen veronderstellen dat n 2 (waarom?). Zij = exp(πi/n). Dan geldt Hieruit volgt n z n + = z n n = (z ) j z n j lim z j=0 z z n + = n j=0 j n j = n exp( πi/n) Als f(z) = /(z n + ) voor die punten z waar de noemer niet 0 is, dan is Dus geldt, voor R >, Res(f; exp(πi/n)) = n exp(πi/n). γ R f(z)dz = 2πi n exp(πi/n). Anderzijds is de integraal in het linkerlid per definitie gelijk aan R 0 dt + t n + 2πi/n 0 ir exp(iθ) + R n dθ 2 exp(inθ) De middelste term voldoet aan 2πi/n ir exp(iθ) + R n exp(inθ) dθ 2π n. R R n 0 0 R 0 dt + t n. (als R ). Samen geeft dit waaruit 2πi ( ) ( ( πi 2πi n exp = exp n n 0 dt + t n = π/n sin(π/n). )) 0 dt + t n
TW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 30 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 33 Outline 1 2 Algemeenheden Gedrag op de rand Machtreeksen
Nadere informatieExamen Complexe Analyse (September 2008)
Examen Complexe Analyse (September 2008) De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Omdat het hier over weinig studenten gaat, heb ik geen puntenverdeling meegegeven. Vraag. Je had eerst
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.10, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 23 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline 1 2 3 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieTentamen Analyse 4. Maandag 16 juni 2008, uur
Tentamen Analyse 4 Maandag 16 juni 2008, 14-17 uur Vermeld uw naam (met voornaam en voorletters) en uw studentnummer. Er zijn geen hulpmiddelen toegestaan. Dit tentamen bestaat uit zes opgaven. Vergeet
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.6, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 38 Outline 1 Rekenregels 2 K. P. Hart TW2040: Complexe
Nadere informatieInleiding Analyse 2009
Inleiding Analyse 2009 Inleveropgaven A). Stel f(, y) = In (0, 0) is f niet gedefinieerd. We bestuderen y2 2 + y 4. lim f(, y). (,y) (0,0) 1. Bepaal de waarde van f(, y) op een willekeurige rechte lijn
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 16 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 46 Outline III.7 Applications of the Residue Theorem
Nadere informatieComplexe functies 2019
Complexe functies 019 Extra opgaves Opgave A Laat zien dat R voorzien van de bewerkingen a + b := (a 1 +b 1,a +b ) a b := (a 1 b 1 a b,a 1 b +a b 1 ) isomorf is met C. Wat is i in deze representatie? Opgave
Nadere informatieComplexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010
Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder
Nadere informatie3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatieTentamen Analyse 4 (wi2602) 17 juni 2011, uur. ) (1 gratis)) Deel 2: opgaven 2b, 4ab, 5, 6 (normering: 2 + (
TU Delft Mekelweg 4 Faculteit EWI, DIAM 68 CD Delft Tentamen Analyse 4 (wi6) 7 juni, 4-7 uur Het tentamen bestaat uit twee delen: Deel : opgaven, a, 3ab, 4c (normering: + + ( + ) + + ( gratis)) Deel :
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
week 4.8, maandag Faculteit EWI TU Delft Delft, 6 juni, 2016 1 / 33 Outline 1 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz 2 2 / 33 Maximum-modulusprincipe Lemma van Schwarz Maximum-modulusprincipe Stelling
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.4, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 9 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 40 Outline 1 f : [a, b] C f : C C Primitieven 2 K.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op ,
1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Functietheorie (2Y480) op 25-11-1998, 9.00-12.00 uur Opgave 1 1. Formuleer de Cauchy-Riemann-vergelijkingen.
Nadere informatieEnkele bedenkingen bij het examen Complexe Analyse
Enkele bedenkingen bij het examen Complexe Analyse De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Eerst een paar algemene opmerkingen. Vele antwoorden zijn slordig opgeschreven wat het lezen
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatie3 Rijen en reeksen van functies
3 Rijen en reeksen van functies 3.1 Uniforme convergentie van een rij functies Met het oog op latere toepassingen op machtreeksen en Fourierreeksen werken we in het vervolg steeds met complexwaardige functies.
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Functietheorie (2Y480) op 25 november 1998, 9.00-12.00 uur. Dit tentamen bestaat uit 5 opgaven. De uitwerkingen van deze opgaven dienen
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieZ.O.Z. Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 2016, 12:30 15:30 (16:30)
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 16 juni 016, 1:30 15:30 (16:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van aantekeningen
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van iet dat y 0 y = 0. (b) Bewijs y 0 y 3 = 0 uit de definitie van iet. (c) Bewijs y 0 y 3
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieCOMPLEXE FUNCTIETHEORIE II: CAUCHY
COMPLEXE FUNCTIETHEORIE II: CAUCHY Dr N. P. Dekker De Stelling van Cauchy Deze tekst sluit aan op paragraaf van het boek van J.M.Aarts, Complexe Functies (Epsilon- Uitgave 20), dat in het eerste deel van
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 20 juni 2014, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen. Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen.
Examen Complexe Analyse vrijdag 0 juni 04, 4:00 8:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Het boek Visual Complex
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieV.4 Eigenschappen van continue functies
V.4 Eigenschappen van continue functies We bestuderen een paar belangrijke stellingen over continue functies. Maxima en minima De stelling over continue functies die we in deze paragraaf bewijzen zegt
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007)
Bespreking Examen Analyse 1 (Augustus 2007) Vooraf: Zoals het stilletjes aan een traditie is geworden, geef ik hier bedenkingen bij het examen van deze septemberzittijd. Ik zorg ervoor dat deze tekst op
Nadere informatieExamen Complexe Analyse vrijdag 21 juni 2013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen
Examen Complexe Analyse vrijdag 1 juni 013, 14:00 18:00 uur Auditorium De Molen Naam: Studierichting: Het examen bestaat uit 4 schriftelijke vragen. Elke vraag telt even zwaar mee. Er is een bonusvraag
Nadere informatieMETRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.)
METRISCHE RUIMTEN EN CONTINUE AFBEELDINGEN aanvullend materiaal voor het college Analyse 1 Dr J. Hulshof (R.U.L.) 1. Inleiding. In deze syllabus behandelen we een aantal fundamentele onderwerpen uit de
Nadere informatieTentamen Topologie, Najaar 2011
Tentamen Topologie, Najaar 2011 27.01.2012, 08:30-11:30, LIN 8 (HG00.308) Toelichting: Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine, telefoon, etc.) gebruiken, behalve de boeken van Gamelin/Greene
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Functietheorie (2Y480) op 23 januari 2002,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y8) op 23 januari 22, 9.-2. uur De uitwerkingen der opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieDit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren
Dit is in feite de ongelijkheid van Cauchy Schwarz voor het standaardinproduct in R s van de vectoren a = (a 1,..., a s ) en b = (b 1,..., b s ). Toepassing van deze Cauchy Schwarz-ongelijkheid levert
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatie1. (a) Formuleer het Cauchy criterium voor de convergentie van een reeks
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 7 augustus 2015, 16:30 19:30 (20:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieTer Leering ende Vermaeck
Ter Leering ende Vermaeck 15 december 2011 1 Caleidoscoop 1. Geef een relatie op Z die niet reflexief of symmetrisch is, maar wel transitief. 2. Geef een relatie op Z die niet symmetrisch is, maar wel
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (2Y480) op 22 november 1999,
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Functietheorie (Y480) op november 999, 4.00-7.00 uur Formuleer de uitwerkingen der opgaven duidelijk en schrijf ze overzichtelijk
Nadere informatieis de uitspraak dat als A waar is B ook waar is, A B staat voor A en B zijn equivalent: A B en B A, A staat voor de logische ontkenning van A,
Dit college wordt gegeven aan de hand van het boek The Way of Analysis van Robert S. Strichartz (Jones and Bartlett, ISBN 0-7637-1497-6), dat ook gebruikt wordt bij het vervolgcollege in het tweede jaar
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatie(b) Formuleer het verband tussen f en U(P, f), en tussen f en L(P, f). Bewijs de eerste. (c) Geef de definitie van Riemann integreerbaarheid van f.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 2 juli 2015, 08:30 11:30 (12:30) Het gebruik van een rekenmachine, telefoon of tablet is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieWanneer zijn alle continue functies uniform continu?
Faculteit Wetenschappen Vakgroep Wiskunde Wanneer zijn alle continue functies uniform continu? Bachelor Project I Stijn Tóth Promotor: Prof. Eva Colebunders Academiejaar 2011-2012 Inhoudsopgave 1 Inleiding
Nadere informatieJe hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. µkw uitwerkingen. 12 juni 2015
Je hebt twee uur de tijd voor het oplossen van de vraagstukken. Elk vraagstuk is maximaal 10 punten waard. Begin elke opgave op een nieuw vel papier. µkw uitwerkingen 12 juni 2015 Vraagstuk 1. We kunnen
Nadere informatieOpgaven Inleiding Analyse
Opgaven Inleiding Analyse E.P. van den Ban Limieten en continuïteit Opgave. (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat lim y 0 y = 0. (b) Bewijs lim y 0 y 3 = 0 uit de definitie van limiet. (c)
Nadere informatieRadboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, , Examenzaal
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 26 augustus 2010, 14.00 17.00, Examenzaal Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek
Nadere informatieApproximatietheorie. De Stelling van Carleman. Mies Versloot. 14 juli Bachelorproject Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck
Approximatietheorie De Stelling van Carleman Mies Versloot 14 juli 2017 Bachelorproject Begeleiding: prof. dr. Jan Wiegerinck Korteweg-de Vries Instituut voor Wiskunde Faculteit der Natuurwetenschappen,
Nadere informatieInleiding Analyse. Opgaven. E.P. van den Ban. c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien
Inleiding Analyse Opgaven E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Voorjaar 2003, herzien 0 1 1 Limieten en continuïteit Opgave 1.1 (a) Bewijs direct uit de definitie van limiet dat
Nadere informatieDe stelling van Hahn en Mazurkiewicz
Radboud Universiteit Nijmegen Faculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica De stelling van Hahn en Mazurkiewicz Naam: Studentnummer: Studie: Begeleider: Datum: Lennaert Stronks 4062175 Wiskunde
Nadere informatieIrreguliere Singuliere Punten van Differentiaalvergelijkingen
M.A. Oort Irreguliere Singuliere Punten van Differentiaalvergelijkingen Bachelorscriptie, 6 november 2014 Scriptiebegeleider: dr. R.J. Kooman Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden Inhoudsopgave 1
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam en Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott Overzicht Literatuur Calculus, a complete course, Robert
Nadere informatieV.2 Limieten van functies
V.2 Limieten van functies Beschouw een deelverzameling D R, een functie f: D R en zij c R. We willen het gedrag van f in de buurt van c bestuderen. De functiewaarde in c is daarvoor niet belangrijk, de
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D2. Datum: dinsdag 29 april 28. Tijd: 14: 17:. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieDriehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1)
Driehoeksongelijkheid en Ravi (groep 1) Trainingsdag 3, april 009 Driehoeksongelijkheid Driehoeksongelijkheid Voor drie punten in het vlak A, B en C geldt altijd dat AC + CB AB. Gelijkheid geldt precies
Nadere informatieConvexe Analyse en Optimalisering
Convexe Analyse en Optimalisering Bernd Heidergott Vrije Universiteit Amsterdam and Tinbergen Institute WEB: http://staff.feweb.vu.nl/bheidergott.htm Overzicht Boek: Optimization: Insights and Applications,
Nadere informatieopgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): 2 a 2.
opgaven formele structuren tellen Opgave 1. Zij A een oneindige verzameling en B een eindige. Dat wil zeggen (zie pagina 6 van het dictaat): ℵ 0 #A, B = {b 0,..., b n 1 } voor een zeker natuurlijk getal
Nadere informatieOefeningen Analyse I
Inleiding Oefeningen Analyse I Wil je de eventuele foutjes melden. Met dank, Yannick Meers e-mail: meers@skynet.be Hoofdstuk 7: Functiereeksen Oefening Gevraagd: We gaan opsplitsen voor x : GEVAL : x
Nadere informatieTopologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Dr. G. Sonck 24 september 2006 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde. vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30. Auditorium L.00.07
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor 1ste fase Wiskunde vrijdag 31 januari 2014, 8:30 12:30 Auditorium L.00.07 Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieTopologie I - WPO. Prof. Dr. E. Colebunders
Topologie I - WPO Prof. Dr. E. Colebunders Academiejaar 2015-2016 Inhoudsopgave 1 Topologische ruimten 2 2 Metriseerbaarheid en aftelbaarheid 7 3 Convergentie en continuïteit 8 4 Separatie-eigenschappen
Nadere informatieHertentamen Topologie, Najaar 2009
Hertentamen Topologie, Najaar 2009 Toelichting: 06.05.2010 Je mag geen hulpmiddelen (zoals aantekeningen, rekenmachine etc.) gebruiken, behalve het boek van Runde en het aanvullende dictaat. Als je stellingen
Nadere informatieIII.2 De ordening op R en ongelijkheden
III.2 De ordening op R en ongelijkheden In de vorige paragraaf hebben we axioma s gegeven voor de optelling en vermenigvuldiging in R, maar om R vast te leggen moeten we ook ongelijkheden in R beschouwen.
Nadere informatie18.I.2010 Wiskundige Analyse I, theorie (= 60% van de punten)
8.I.00 Wiskundige Analyse I, theorie 60% van de punten) Beantwoord elk van de vragen I,II,III en IV op één van de dubbele geruite bladen. Schrijf op elk van die dubbele geruite bladen, bovenaan de eerste
Nadere informatie(ii) Zij e 0 een geheel getal. Bewijs: de code C is e-fouten-verbeterend d(x, y) 2e + 1 voor alle x, y C met x y.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieJe mag Zorich deel I en II gebruiken, maar geen ander hulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmachine etc.)!
Tentamen Analyse II. Najaar 6 (.1.7) Toelicting: Je mag Zoric deel I en II gebruiken, maar geen ander ulpmiddelen (zoals andere boeken, aantekeningen, rekenmacine etc.)! Als je bekende stellingen gebruikt
Nadere informatieHuiswerk Hints&Tips Analyse 2, College 26
Huiswerk Hints&Tips Analyse, College 6 [K..]. Tip : Toon aan dat er punten (x, y ) en (x, y ) en scalars m, M R bestaan zo dat m = f(x, y ) f(x, y) f(x, y ) = M. Laat dan zien dat m(b a)(d c) = m f M =
Nadere informatieOpgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Opgaven bij het college Topologie 1 Metrische ruimten Opgave 1.1. Geef een voorbeeld waaruit blijkt dat de doorsnede van oneindig veel open verzamelingen in een metrische ruimte niet open hoeft te zijn.
Nadere informatieOplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren
Oplossingen Oefeningen Bewijzen en Redeneren Goeroen Maaruf 20 augustus 202 Hoofdstuk 3: Relaties. Oefening 3..2 (a) Persoon p is grootouder van persoon q. (b) (p, q) O o O r P : [ (p, r) O (r, q) O ]
Nadere informatieDe Dekpuntstelling van Brouwer
De Dekpuntstelling van Brouwer Non impeditus ab ulla scientia K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Twente, 19 oktober 2009: 18:00 20:00 Outline 1 2 3 4 De formulering Dekpuntstelling van Brouwer Zij n een
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatie1 Limiet van een rij Het begrip rij Bepaling van een rij Expliciet voorschrift Recursief voorschrift 3
HOOFDSTUK 6: RIJEN 1 Limiet van een rij 2 1.1 Het begrip rij 2 1.2 Bepaling van een rij 2 1.2.1 Expliciet voorschrift 2 1.2.2 Recursief voorschrift 3 1.2.3 Andere gevallen 3 1.2.4 Rijen met de grafische
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatieRelevante examenvragen , eerste examenperiode
Relevante examenvragen 2007 2008, eerste examenperiode WAAR/VALS Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Geef een korte argumentatie (bewijs) of een tegenvoorbeeld, eventueel aangevuld met een figuur.
Nadere informatieExamen G0U13 - Bewijzen en Redeneren,
Examen G0U13 - Bewijzen en Redeneren, 2010-2011 bachelor in de Wisunde, bachelor in de Fysica, bachelor in de Economische Wetenschappen en bachelor in de Wijsbegeerte Vrijdag 4 februari 2011, 8u30 Naam:
Nadere informatieSupplement Verzamelingenleer. A.J.M. van Engelen en K. P. Hart
Supplement Verzamelingenleer A.J.M. van Engelen en K. P. Hart 1 Hoofdstuk 1 Het Keuzeaxioma Het fundament van de hedendaagse verzamelingenleer werd in de vorige eeuw gelegd door Georg Cantor. Cantor gebruikte
Nadere informatieHERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
HERTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D00. Datum: vrijdag 3 juni 008. Tijd: 09:00-:00. Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je naam en studentnummer
Nadere informatieComplexe e-macht en complexe polynomen
Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten
Nadere informatieOpgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman
Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1
Nadere informatieOefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A
Oefenopgaven Grondslagen van de Wiskunde A Jaap van Oosten 2007-2008 1 Kardinaliteiten Opgave 1.1. Bewijs, dat R N = R. Opgave 1.2. Laat Cont de verzameling continue functies R R zijn. a) Laat zien dat
Nadere informatie1 Rekenen in eindige precisie
Rekenen in eindige precisie Een computer rekent per definitie met een eindige deelverzameling van getallen. In dit hoofdstuk bekijken we hoe dit binnen een computer is ingericht, en wat daarvan de gevolgen
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatieWe beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen.
II.2 Gehele getallen We beginnen met de eigenschappen van de gehele getallen. Axioma s voor Z De gegevens zijn: (a) een verzameling Z; (b) elementen 0 en 1 in Z; (c) een afbeelding +: Z Z Z, de optelling;
Nadere informatieLebesgues overdekkingslemma en Cantors intersectiestelling voor Atsuji metrische ruimten
Faculteit Wetenschappen en Bio-Ingenieurswetenschappen Departement Wiskunde Lebesgues overdekkingslemma en Cantors intersectiestelling voor Atsuji metrische ruimten Proefschrift voor het behalen van de
Nadere informatiePolynomen. + 5x + 5 \ 3 x 1 = S(x) 2x x. 3x x 3x 2 + 2
Lesbrief 3 Polynomen 1 Polynomen van één variabele Elke functie van de vorm P () = a n n + a n 1 n 1 + + a 1 + a 0, (a n 0), heet een polynoom of veelterm in de variabele. Het getal n heet de graad van
Nadere informatieHet uitwendig product van twee vectoren
Het uitwendig product van twee vectoren Als u, v R 3, u = u 1, u 2, u 3 en v = v 1, v 2, v 3 dan is het uitwendig product van u en v gelijk aan een vector in R 3 en wel u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3,
Nadere informatie6 Complexe getallen. 6.1 Definitie WIS6 1
WIS6 1 6 Complexe getallen 6.1 Definitie Rekenen met paren De vergelijking x 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing in de verzameling R der reële getallen (vierkantsvergelijking met negatieve discriminant). We
Nadere informatieEXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie
EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van
Nadere informatieNiet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis)
Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics Niet-standaard analyse (Engelse titel: Non-standard analysis) Verslag ten behoeve
Nadere informatieIII.3 Supremum en infimum
III.3 Supremum en infimum Zowel de reële getallen als de rationale getallen vormen geordende lichamen. Deze geordende lichamen zijn echter principieel verschillend. De verzameling R is bijvoorbeeld aanzienlijk
Nadere informatie34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
34 HOOFDSTUK 1. EERSTE ORDE DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1.11 Vraagstukken Vraagstuk 1.11.1 Beschouw het beginwaardeprobleem = 2x (y 1), y(0) = y 0. Los dit beginwaardeprobleem op voor y 0 R en maak een
Nadere informatieExamen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde. vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30
Examen G0U13 Bewijzen en Redeneren Bachelor of Science Fysica en Wiskunde vrijdag 3 februari 2012, 8:30 12:30 Naam: Geef uw antwoorden in volledige, goed lopende zinnen. Het examen bestaat uit 5 vragen.
Nadere informatieFormularium Complexe Analyse
Formularium Comlexe Analyse Algemene formules Comlexe Getallen Voor z = x + iy waarbij x,y R: e z = e x (cosy + isiny) cosz = eiz + e iz 2 sinz = eiz e iz 2i chz = ez + e z 2 shz = ez e z 2 Taylorreeksen
Nadere informatie1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen
1 WAAM - Differentiaalvergelijkingen 1.1 Algemene begrippen Een (gewone) differentiaalvergelijking heeft naast de onafhankelijke veranderlijke (bijvoorbeeld genoteerd als x), eveneens een onbekende functie
Nadere informatieRuimtemeetkunde deel 1
Ruimtemeetkunde deel 1 1 Punten We weten reeds dat Π 0 het meetkundig model is voor de vectorruimte R 2. We definiëren nu op dezelfde manier E 0 als meetkundig model voor de vectorruimte R 3. De elementen
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 12 collegejaar college build slides Vandaag : : : : 17-18 12 4 september 217 3 ail Training Vessel 263 tad Amsterdam 1 2 3 4 stelling van Gauss stelling van Green Conservatieve vectorvelden 1 VA
Nadere informatie== Hertentamen Analyse 1 == Dinsdag 25 maart 2008, u
== Hertentamen Analyse == Dinsdag 5 maart 8, 4-7u Schrijf op ieder vel je naam en studentnummer, de naam van de docent (S Hille, O van Gaans) en je studierichting Geef niet alleen antwoorden, leg elke
Nadere informatien=0 en ( f(y n ) ) ) n=0 equivalente rijen zijn.
Radboud Universiteit Nijmegen Tentamen Analyse 1 WP001B 8 juli 2011, 14.00 17.00 Het gebruik van een rekenmachine en/of telefoon is niet toegestaan. U mag geen gebruik maken van het boek Analysis I. Geef
Nadere informatie