1 Oppervlakteberekeningen

Transcriptie

1 Oppervlakteberekeningen. Oppervlakte ellips of een deel ervan.. Zonder gebruik te maken van parametervergelijkingen We berekenen de oppervlakte in het eerste kwadrant, achteraf vermenigvuldigen we het resultaat met 4. We vertrekken van de standaard vergelijking van de ellips en brengen die vergelijking in de vorm y = f(x). In het eerste kwadrant is x en y positief. x a + y b = y = b a x a De oppervlakte is dan A = a b a a x dx = b a a We berekenen eerst een primitieve functie a I = x dx We gebruiken partiële integratie a x dx u = a x dv = dx I = a x x x x a x dx = a a x x a x dx a x = a a x x x dx+a dx a x I = a x x+a arcsin x a De oppervlakte is dan A = b [ a x a x+ a arcsin x ] a a = abπ/4 De oppervlakte van de ellips is dan πab... Gebruik makend van parametervergelijkingen De parametervergelijkingen van de ellips zijn x = acost en x = bsint. We berekenen de oppervlakte in het eerste kwadrant. t varieert van π/ tot. A = a ydx = bsint.asintdt = π/ ab ( cost)dt = abπ/4 π/ De oppervlakte van de ellips is dan πab.

2 ..3 Oppervlakte van een ellipsdeel y We berekenen de oppervlakte van het deel van de ellips x +y /3 = in het eerste kwadrant en ingesloten door de de x-as en de rechte y = x. We zullen werken met de parametervergelijkingen x = cost y = 3sint We berekenen eerst de t-waarde corresponderend met punt B. Dit is een punt van de ellips waarvoor de abscis gelijk is aan de ordinaat. cost = 3sint tant = 3 t = π/6 De oppervlakte van het ellipsdeel rechts van de stippellijn is A = = 3 3 π/6 ydx = π/6 3sint.sintdt ( cost)dt = π De oppervlakte van de driehoek is = 3 8. De gevraagde oppervlakte is dus π 3. O y=x B A x. Oppervlakte onder een cycloideboog De parametervergelijkingen van een cycloide zijn x = r(t sint) y = r( cos(t)). Als t varieert vanaf tot π dan wordt één boog beschreven. π A = r ( cost)( cost)dt π = r ( cost+cos t)dt = r π = 3πr ( cost+ + cost )dt.3 Oppervlakte astroide Een astroide heeft parametervergelijkingen x = rcos 3 t y = rsin 3 t. We berekenen eerst een vierde van de oppervlakte. A = r sin 3 t 3cos t ( sint)dt π/ = 3r cos tsin 4 tdt π/

3 Nu is Dus sin 4 tcos t = (/4)(sintcost).(/)sin t = (/4)sin t.(/)( cost) = (/8)sin t (/8)sin tcost cos tsin 4 tdt = (/8) sin tdt (/8) sin tcostdt = (/6) ( cos4t)dt (/6) sin tdsint = t 6 64 sin(4t) 48 sin3 t+c Hieruit vindt men nu gemakkelijk dat de oppervlakte van de astroide gelijk is aan (3/8)πr..4 Verschil van oppervlakten De grafiek van y = e x/ sinx is een gedempte trilling. Plot de grafiek. We berekenen het verschil in oppervlakte tussen de delen boven de x-as en de delen onder de x-as in [, ]. We berekenen eerst I = e x sinxdx We gebruiken twee maal na elkaar partiële integratie. I = e x/ e x/ cosxdx = e x/ cosx [ e x/ sinx+ = e x/ cosx e x sinx e x/ sinxdx I = e x/ (cosx+ sinx) = e x/ (cosx+sinx) I = e x/ (cosx+sinx) ] e x/ sinxdx Als we dit nu nemen tussen de grenzen en dan vinden we ongeveer. Dus het verschil in oppervlakte tussen de delen boven de x-as en de delen onder de x-as in [, ] is ongeveer..5 Verschuiven van een cirkel Neem van de cirkel met vergelijking x + y = r enkel het deel boven de x- as. We schuiven de halve cirkel over een afstand a naar beneden tot dat de oppervlakte boven de x-as gehalveerd is t.o.v de beginstand. Ons doel is de waarde van a te berekenen. De oplossing wordt eenvoudiger door op te merken dat, in de verschoven stand, de oppervlakte tussen halve cirkel en x-as en gelegen boven de x-as, dezelfde is als de oppervlakte tussen halve cirkel en x-as en gelegen onder de x-as.

4 De vergelijking van de verschoven halve cirkel is y = r x a We berekenen a zodat r r r ( r x a)dx = r x = [ax] r r r Maar in het linkerlid staat de uitdrukking voor de oppervlakte van een halve cirkel en dit is gelijk aan πr /. Het rechterlid is ar. Dus a = π.r/4..6 Bepaal een gepaste bovengrens Bepaal tzodatdeoppervlakteonderdekromme y=f(x) inhetinterval[ln(),t] gelijk is aan π/6. Hierbij is f(x) = De eis is dus t ln() ex dx = π/6 ex Om de onbepaalde integraal te berekenen gebruiken we de substitutie e x = u met u >, dan is e x = u + en e x dx = udu. Dus ex dx = udu u(u +) du = u + = atan(u) De vergelijking wordt dus t ln() = atan e x +C dx = π/6 ex [ atan ex ] t ln() = π/6 atan e x atan() = π/6 atan e x = π/6+π/ ex = tanπ/3 t = ln(4) Inhoud van omwentelingslichamen. Inhoud afgeknotte kegel De straal van het grondvlak en bovenvlak noemen we respectievelijk g en b. De hoogte is h.

5 De afgeknotte kegel ontstaat door wentelen van een rechthoekig trapezium om zijn rechthoekzijde. De rico van PQ is (g-b)/h en de vergelijking van PQ is y = x(g b)/h+b. We noemen G en B de oppervlakte van respectievelijk grondvlak en bovenvlak. De inhoud van de afgeknotte kegel is dan I = π h ( g b h x+b) dx h = π h ( g b g b h x+b) d( g b h x+b) [ h = π ( g b ] h 3(g b) h x+b)3 h [ = π (g b+b) 3 b 3] 3(g b) = πh g 3 b 3 3 g b = πh 3 (g +gb+b ) P y b h Q g x = h 3 (πg +πgb+πb ) = h 3 (πg +πb + πg πb ) = h 3 (G+B + GB). Inhoud bolsegment, bol, bolschijf en bolschil De bol heeft straal r. De inhoud van het segment met hoogte h is I = π = π r r h (r x )dx [r x x3 3 ] r r h y r-h x = π 3 h (3r h) h Maken we nu h gelijk aan r, dan krijgen we de inhoud 4 3 πr3 van de bol. De inhoud van een bolschijf kan gemakkelijk berekend worden als het verschil van twee bolsegmenten. De inhoud van een bolschil is het verschil tussen de inhoud van de schijf en de corresponderende afgeknotte kegel.3 Inhoud van een wentelende cycoideboog De parametervergelijkingen van een cycloide zijn x = r(t sint) y = r( cos(t)). Als t varieert vanaf tot π dan wordt één boog beschreven. De boog wentelt om de x-as in het interval[,πr].

6 Met die grenzen corresponderen de t-waarden en π. I = π = π πr π y dx r ( cost) r( cost)dt π = πr 3 ( cost) 3 dt We berekenen eerst de onbepaalde integraal. I = ( cost) 3 dt = ( 3cost+3cos t cos 3 t)dt = t 3sint+(3/) (+cost)dt cos 3 tdt In de laatste integraal stellen we sint = u = t 3sint+(3/)t+(3/) costdt u+u 3 /3 = t 3sint+(3/)t+(3/4)sint sint+(/3)sin 3 t+c Berekenen we daaruit I dan vinden we na vereenvoudiging 5π r 3..4 Inhoud van een wentelende astroide Een astroide heeft parametervergelijkingen x = rcos 3 t y = rsin 3 t. We laten t varieren van π/ tot. Dan is de inhoud I = π = π r π/ y dx r sin 6 t.3r( sint)cos tdt π/ = 6πr 3 cos tsin 7 tdt Om de onbepaalde integraal te berekenen stelt men cos(t) = u. Men vindt dan gemakkelijk voor de inhoud van het lichaam. 3 Booglengte van een kromme 3. Voorbeeld Beschouw in [-,] de grafiek van de kromme met vergelijking y = 3 ( x ) 3 +3

7 We berekenen de booglengte. y = x +x +y = +4x +4x 4 +y = +x L = = /3 (+x )dx 3. Voorbeeld Beschouw in [-,] de grafiek van de kromme met vergelijking (ex +e x ) We berekenen de booglengte. y = (ex e x ) y = 4 (ex +e x ) +y = 4 (ex ++e x ) = 4 (ex +e x ) +y = (ex +e x ) L = = e e (ex +e x )dx 3.3 Lengte van een cycloideboog De parametervergelijkingen van een cycloide zijn x = r(t sint) y = r( cos(t)). Als t varieert vanaf tot π dan wordt één boog beschreven. dy dx = sint cost ( dy dx ) = (sint) ( cost) +( dy dx ) = cost ( cost) = ( cost)

8 +( dy dx ) = cost L = = = = = 8 π π π π cost ( cost)dt costdt sin t dt sin t dt 3.4 Lengte van een astroide Een astroide heeft parametervergelijkingen x = rcos 3 t y = rsin 3 t. We laten t varieren van π/ tot en bekijken eerst een vierde van de gevraagde lengte. y = dy dx = r.3sin tcostdt r.3cos tsintdt = sint cost +y = cos t +y = cost dx = 3rcos tsintdt Als dx positief is, is dt negatief. L = = 3r ( 3rcostsint)dt π/ π/ = 3r/ costsintdt De volledige lengte is dan 6r.