Kleine didactiek DE VERSCHILFORMULE VOOR DE SINUS. [ Dick Klingens ]

Transcriptie

1 Kleine didactiek DE VERSCHILFORMULE VOOR DE SINUS [ Dick Klingens ] In de vierde klas vwo komt de uitbreiding van de goniometrische verhoudingen sinus en cosinus voor andere dan scherpe hoeken aan de orde. Daaraan voorafgaand worden die verhoudingen meestal eerst opgevat als functies van reële getallen, waarbij dan bijvoorbeeld wordt afgesproken dat sin(x) = sin(x rad), met x reëel. Dan volgen nieuwe definities van de sinus en cosinus als verhoudingen van de coördinaten van punten op de eenheidscirkel. Dat dit niet noodzakelijk is en dat er direct kan worden voortgebouwd op leerstof uit de onderbouw wordt in onderstaande kleine didactiek geïllustreerd, waarbij formulevaardigheid, zo belangrijk in het vervolg, voorop staat. Inleiding Als van hoeken van 30 en 60 de waardes van de sinus be(re)kend zijn het uitrekenen gebeurt (nog steeds) in de onderbouw dan kan eenvoudig worden vastgesteld dat een formule als sin(p q) = sin p sin q onjuist is. Immers met p = 60 en q = 30 hebben we: sin(60 30 ) = sin(30 ) = ½ en sin(60 ) sin(30 ) = ½ 3 ½ Dat sommige functies wél en andere weer níet deze eigenschap hebben, kan met elementaire functies worden geïllustreerd. Is f (x) = 4x, dan is: f (6 3) = f (3) = 12 f (6) f (3) = = 12 en er blijkt ook dat: f (p q) = 4(p q) = 4p 4q = f (p) f (q) voor iedere reële p en q. Echter, met g(x) = 4x + 5 hebben we: g(6 3) = g(3) = 17 g(6) g(3) = = 12 Toch kunnen we ook een uitdrukking als sin(60 45 ) = sin(15 ) berekenen, zonder rekenmachine, exact! Want er bestaat daarvoor tóch een formule, de verschilformule voor de sinus en natuurlijk is dat niet sin(p q) = sin p sin q. We kunnen deze verschilformule direct zij het met een enkele aanvullende afspraak (definitie) afleiden uit de definitie van de sinus (zoals gebruikelijk vastgelegd in een rechthoekige driehoek) en uit de oppervlakte van een driehoek, daarmee terug grijpend op de lesstof in de onderbouw (en dat kan zeker geen kwaad!). Voorkennis A. In een willekeurige, maar scherphoekige driehoek ABC geldt voor de oppervlakte V(ABC) van die driehoek, waarbij F de projectie is van C op AB: V(ABC) = ½ CF AB Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 1 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

2 Met sin(a) = CF/AC = CF/b is dan: V(ABC) = ½ ( b sin(a) ) c of: V(ABC) = ½bc sin(a) Maar geldt deze formule ook als (bijvoorbeeld) hoek A stomp is? In zo n stomphoekige driehoek geldt analoog: V(ABC) = ½ CF AB Maar de lengte van CF kan nu slechts in de sinus van hoek A 1 (de nevenhoek of buitenhoek van hoek A van driehoek ABC) worden uitgedrukt: CF = b sin(a 1 ) Om toch in dit geval dezelfde formule te kunnen gebruiken als bij een scherphoekige driehoek, wordt een afspraak gemaakt (die overigens ook in andere situaties van pas zal komen), vervat in de volgende definitie: Definitie. Voor hoeken X met 0 X 180 geldt: sin(x ) = sin(180 X ) Gevolg In de in A stomphoekige driehoek ABC is sin(a) = sin(180 A) = sin(a 1 ). En dan hebben we bij deze driehoek: V(ABC) = ½ CF AB = ½ (b sin(a 1 )) c Zodat ook bij een stomphoekige driehoek, als gevolg van de afspraak: V(ABC) = ½bc sin(a) In woorden: De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan het halve product van twee zijden en de sinus van de door die zijden ingesloten hoek. Opmerking. Uit het bovenstaande blijkt dat het niet uitmaakt of er in de formule voor de oppervlakte van de driehoek gebruik gemaakt wordt van een scherpe of van een stompe hoek. B. Voor de oppervlakte V(ABCD) van het trapezium ABCD (AB // CD, a > c) geldt, met E, F als projecties van A, B op de lijn CD en met CE = x, DF = y: V(ABCD) = V(ABEF) V(BEC) V(ADF) Dus: V(ABCD) = a h ½h x ½h y Of: V(ABCD) = a h ½h(x + y) = a h ½h(a c) = ½ha + ½hc Zodat: V(ABCD) = ½h(a + c) In woorden: Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 2 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

3 De oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het halve product van de hoogte en de som van de (lengtes van de) evenwijdige zijden. De verschilformule We gaan uit van twee scherpe hoeken ter grootte van p en q (met p > q, en beide gemeten in graden), die we zo plaatsen dat ze één been OX gemeenschappelijk hebben, en daarmee beide het punt O als hoekpunt. We plaatsen de hoeken verder zo, dat hoek p de hoek q overlapt. Is XOA = p en XOB = q, dan is: BOA = p q. De punten A en B liggen zó op de benen van de hoeken dat AB in het punt D loodrecht staat op OX. De oppervlakte V(OBA) van driehoek OBA is met behulp van de formule uit de paragraaf Voorkennis te berekenen: V(OBA) = ½OA OB sin(p q) Na vermenigvuldiging met 2: (1a) V(OBA) 2 = OA OB sin(p q) De oppervlakte van driehoek OBA kunnen we echter ook op een andere manier bepalen: V(OBA) = V(ODA) V(ODB) Of, opnieuw na vermenigvuldiging met 2: (2a) V(OBA) 2 = OD OA sin p OD OB sin q Dan volgt uit (1a) en (2a): OA OB sin(p q) = OD OA sin p OD OB sin q Deling van het linker en rechter lid van deze uitdrukking door (OA OB) geeft: sin(p q) = OD/OB sin p OD/OA sin q In driehoek ODB is OD/OB = cos q; in driehoek ODA is OD/OA = cos p. Zodat: sin(p q) = sin p cos q cos p sin q Dit is de bedoelde verschilformule voor de sinus. Voorbeeld sin(15 ) = sin(60 45 ) = sin(60 ) cos(45 ) cos(60 ) sin(45 ) of: sin(15 ) = ½ 3 ½ 2 ½ ½ 2 = ¼ 2 ( 3 1) En verder Bij het bovenstaande bewijs zijn we uitgegaan van twee scherpe hoeken p en q. We zullen nu p en q beide stomp kiezen (met opnieuw p > q). Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 3 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

4 Het gevolg daarvan is dat de projectie van D van A en B aan de andere kant van O op de lijn OX ligt. Ook hier is dan AOB = p q (een scherpe hoek). Voor de oppervlakte van driehoek OBA geldt: (1b) V(OBA) 2 = OA OB sin(p q) Ook is V(OBA) 2 = V(OBD) 2 V(OAD) 2, zodat: (2b) V(OBA) 2 = OB OD sin(180 q) OA OD sin(180 p) Uit (1b) en (2b) volgt, na deling door (OA OB) en op grond van de hierboven vermelde definitie: (3) sin( p q ) = OD sin OD OA q OB sin p In driehoek OAD is OD/OA = cos(180 p) en in driehoek OBD is OD/OB = cos(180 q). Om nu op dezelfde formule voor sin(p q) uit te komen als in de vorige paragraaf, maken we opnieuw een (op alle plaatsen in de wiskunde geldende) afspraak en let daarbij op het minteken dat in het rechter lid vóór cos staat: Definitie. Voor hoeken X met 0 X 180 geldt: cos(x ) = - cos(180 X ) Uitdrukking (3) gaat op grond hiervan over in: sin(p q) = (- cos p) sin q (- cos q) sin p Zodat inderdaad ook nu geldt: sin(p q) = sin p cos q cos p sin q We moeten nu (ook) nog kijken naar het geval dat de projecties D en E van A en B op de lijn OX aan verschillende kanten van O liggen. Hier is: (4) V(OBA) 2 = OA OB sin(p q) Verder is: V(DEBA) 2 = (OD + OE)(AD + BE) Uitwerking van het rechter lid geeft: V(DEBA) 2 = (OD AD) + OD BE + OE AD + (OE BE) De termen tussen haakjes in het rechter lid zijn opvolgend het dubbele van de oppervlaktes van de driehoeken OAD en OEB, zodat: (5) V(OBA) 2 = OD BE + OE AD Uit (4) en (5) volgt na deling door (OA OB): (6) sin( p q) = OD BE OE AD OA OB + OB OA In driehoek OAD is OD/OA = cos(180 p) = - cos p en AD/OA = sin(180 p) = sin p; in driehoek OEB is BE/OB = sin q en OE/OB = cos q. Uitdrukking (6) gaat daarmee over in: sin(p q) = (- cos p) sin q + (cos q) sin p Zodat ook in dit geval geldt: sin(p q) = sin p cos q cos p sin q Conclusie. Met 0 < q < p < 180 geldt de verschilformule voor de sinus: Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 4 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

5 sin(p q) = sin p cos q cos p sin q En ook We kiezen q = 0 en passen daarmee de verschilformule toe: sin p = sin(p 0 ) = sin p cos 0 cos p sin 0 Het ligt op basis hiervan voor de hand af te spreken: Definitie. sin 0 = 0 en cos 0 = 1 Opmerking. Hiermee geldt de verschilformule dus voor q = 0. Dat dit een handige (goede) afspraak is, kunnen we zien in een in D rechthoekige driehoek ODA waarvan de lengte van de rechthoekszijde OD gelijk is aan 1 en ODA = x. Laten we de waarde van x hoe langer hoe kleiner worden we schrijven dat als: lim x 0 (spreek uit: limiet(waarde) als x nadert tot 0), dan kunnen we ook de waarde van de sinus van x en die van de cosinus van x bekijken: lim 0 x 0(sin x) = lim AD x 0 OA = 1 = 0 lim 1 x 0(cos x) = lim OD x 0 OA = 1 = 1 In het eerste geval wordt de zijde AD eveneens hoe langer hoe kleiner: limx 0 AD = 0 In beide gevallen gaat het lijnstuk OA hoe langer hoe meer lijken op het lijnstuk OD, waarvan de lengte onveranderd gelijk is aan 1: lim x 0 OA = OD = 1 Gevolgen - Door handig te vermenigvuldigen met 0 en 1 kunnen we schrijven: sin(180 ) = sin(180 ) 1 cos(180 ) 0 = sin(180 ) 1 cos(180 ) 0 = sin(180 ) cos(0 ) cos(180 ) sin(0 ) En ook is, vanzelfsprekend: sin(180 ) = sin(180 0 ) De verschilformule geldt dus ook voor p = sin(90 ) = 1 en cos(90 ) = 0 - sin(180 ) = 0 en cos(180 ) = -1 - sin(90 p) = sin(90 ) cos p cos(90 ) sin p = 1 cos p 0 sin p = cos p Conclusie. Voor de cosinus geldt:.cos(x) = sin(90 X) - En dan is volgens deze laatste formule, met X = 90 p: cos(90 p) = sin(90 (90 p)) = sin p Conclusie. Voor de sinus geldt:.sin(x) = cos(90 X) - sin(-p) = sin(0 p) = sin(0 ) cos p cos(0 ) sin p = - sin p Conclusie. Voor de sinus geldt:.sin(-x) = - sin(x) - We beschouwen de functie f (X) = sin(90 + X). Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 5 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

6 Met X = p is dan: f (p) = sin(90 + p) = sin(90 ) cos p + cos(90 ) sin p = 1 cos p + 0 sin p = cos p Met andere woorden: f (X) = cos X. Dan is dus: f (-p) = cos(-p). Maar ook is: f (-p) = sin(90 + (-p)) = sin(90 p) = cos p. Dus: cos(-p)= cos p. Conclusie. Voor de cosinus geldt:.cos(-x) = cos(x) De somformule voor de sinus We leggen de hoeken p en q opnieuw met één been langs de lijn OX, maar nu zó dat de niet-samenvallende benen aan verschillende kanten van OX liggen. Met DOA = p en DOB = q, is dan AOB = p + q. Nu is: (7) V(OBA) 2 = OA OB sin(p + q) En ook: V(OBA) 2 = V(ODA) 2 + V(ODB) 2 Of: (8) V(OBA) 2 = OA OD sin p + OD OB sin q Uit (7) en (8) volgt, na deling door (OA OB): sin( p + q ) = OD sin OD OB p + OA sin q In driehoek ODB is OD/OB = cos q en in driehoek ODA is OD/OA = cos p; zodat:.sin(p + q) = sin p cos q + cos p sin q Dit is de somformule voor de sinus. Opmerking. We kunnen de somformule ook afleiden uit de verschilformule. Immers, op basis van de Gevolgen uit de vorige paragraaf geldt: sin( p+ q) = sin( p (- q)) = sin p cos(- q) cos p sin(- q) = sin p cosq cos p (-sin q) = sin p cosq+ cos p sin q Voorbeelden We zagen reeds: - sin(90 + p) = sin(90 ) cos p + cos(90 ) sin p = 1 cos p + 0 sin p = cos p - sin(90 p) = cos(-p) = cos p En ook is: - sin(180 + p) = sin(180 ) cos p + cos(180 ) sin p = 0 + (-1) sin p Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 6 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

7 = - sin p - sin(270 ) = sin( ) = - sin(90 ) = -1 - sin(360 p) = sin(180 + (180 p)) = sin(180 ) cos(180 p) + cos(180 ) sin(180 p) = 0 + (-1) sin p = - sin p - sin(360 + p) = sin(360 (-p)) = - sin(-p) = sin p Som- en verschilformule voor de cosinus Uit het bovenstaande kunnen we nu eenvoudig afleiden: cos(p + q) = sin(90 (p + q)) = sin((90 p) q) = sin(90 p) cos q cos(90 p) sin q Zodat:.cos(p + q) = cos p cos q sin p sin q Dit is de somformule voor de cosinus. Voorbeelden - cos(135 ) = cos( ) = cos(90 ) cos(45 ) sin(90 ) sin(45 ) = 0 1 ½ 2 = - ½ 2 - cos(270 ) = cos( ) = cos(180 ) cos(90 ) sin(180 ) sin(90 ) = (-1) = 0 - cos(360 ) = cos( ) = cos(270 ) cos(90 ) sin(270 ) sin(90 ) = 0 0 (-1) 1 = 1 - cos(360 + p) = cos(360 ) cos p sin(360 ) sin p = 1 cos + 0 = cos p Met vervanging van q door -q kan uit de somformule voor de cosinus worden afgeleid dat: cos(p q) = cos (p + (-q)) = cos p cos(-q) sin p sin(-q) = cos p cos q sin p (- sin q) Zodat:.cos(p q) = cos p cos q + sin p sin q En dit is de verschilformule voor de cosinus. Voorbeelden - cos(135 ) = cos( ) = cos(180 ) cos(45 ) + sin(180 ) sin(45 ) = (-1) ½ = - ½ 2 - cos(225 ) = cos( ) = cos(270 ) cos(45 ) + sin(270 ) sin(45 ) = 0 + (-1) ½ 2 = - ½ 2 En natuurlijk kan dit laatste ook gevonden worden met onder meer: - cos(225 ) = cos( ) = cos(360 ) cos(135 ) + sin(360 ) sin(135 ) = 1 (- ½ 2) + 0 = - ½ 2 Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 7 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)

8 Leerlingen Natuurlijk is bovenstaande tekst, in deze vorm, niet geschikt voor leerlingen. Maar wellicht geeft de wijze waarop de theorie in dit artikel is benaderd, de onderwijsgevende lezer voldoende inspiratie om er een werkblad of lesbrief van (bij) te maken. Noot Zie ook: Dick Klingens (2009): Klassikaal / Pythagoras via de goniometrie. In: Euclides 84(6), april 2009, p Over de auteur Dick Klingens is eindredacteur van Euclides en was tot aan zijn pensioen in 2010 wiskundeleraar en schoolleider aan het Krimpenerwaard College te Krimpen aan den IJssel. adres: dklingens@pandd.nl Kleine didactiek / De verschilformule voor de sinus [ 8 ] 2011 PandD Software, Rotterdam (NL)