Wiskunde opdracht module 2

Transcriptie

1 Wiskunde opdracht module 2 Datum: Opdrachtgever: Rochus v/d Doef Gemaakt door: Dominique van Zaanen ( ) Lieke Zantman ( ) Inhoudsopgave Opdracht Opdracht Bijlage opdracht Bijlage opdracht

2 Opdracht 1 Opdracht functie onderzoek in Maple In de functie is Dominique haar student nummer is gevuld en daar komt dan de volgende functie met zijn bijbehorende grafieken uit: g = Grafiek 1 is geplot tussen de x-waardes -10 en 10 en de y-waardes tussen -1 en 1. Grafiek 2 is geplot tussen de x-waardes -10 en 10 en de y-waardes tussen en Grafiek 1 Grafiek 2 De nulpunten van een functie zijn te berekenen door de teller gelijk aan nul te stellen. Hier komt uit: = = Het nulpunt van de functie g is afgerond bij x = 0,6. De pool van een functie is te berekenen door de noemer gelijk aan nul te stellen. Hier komt uit: = 0 De pool van de functie g is bij x = 4. Het domein van een functie is alle mogelijke x-waarden. Het domein van functie g is: R/{4} De verticale asymptoot van de functie g is te berekenen door de volgende formules: De verticale asymptoot van de functie g is bij x = 4 De horizontale asymptoot van de functie g is te berekenen door de volgende formules: De horizontale asymptoot van de functie g is bij y = 0 De extremenwaarden zijn te berekenen door de afgeleide van de functie gelijk aan nul te stellen.

3 De afgeleiden van de functie g is: gg = De afgeleide gg gelijk stellen aan 0 = De extremen waarden van de functie zijn: Een maximum bij (-1, ;0, ), omdat het tekenverloop van positief naar min gaat ( zie grafiek 3 ). En een minimum bij ( 4, ;146, ), omdat het tekenverloop van min naar positief gaat ( zie grafiek 4 ). Grafiek 3 Grafiek 4 De buigpunten van een functie zijn te berekenen door de afgeleide van de afgeleide te nemen en deze gelijk aan nul te stellen: f (x)=0 De afgeleide van de afgeleide is: ggg = Om het buigpunt uit te rekenen moet de afgeleide ggg gelijk gesteld worden aan nul. = Hier komt uit dat het buitpunt bij x = -2, is ( zie figuur 5 ). De coördinaat van het buigpunt is: (-2, ; 0, ). Het bereik van een functie is alle y-waarden die mogelijk zijn. Het bereik van de functie g is: < <- ;0, ], [146, : - Figuur 5

4 Opdracht 2a Ax(T) = 0 Ay(T) = -g Vx(T) = V(0) cos(alpha) Vy(T) = -g * T + V(0) * sin(alpha) X = Sx(T) = V(0) * cos(alpha) * T Y = Sy(T) = -1/2 * g * t^2 + V(0) * sin(alpha) * T + H(0) X = V(0) * cos(alpha) * T T =x/v0*cos(alpha) Y = Sy(X) = -1/2 * g (X / (V(0) * cos(x)))^2 + V(0) * sin (X) * (X / (V(0) * cos(x))) + H(0) YY = 1 2 gg XX 2 VV 2 + tan(αα) XX + HH(0) cos(αα) 2 Opdracht 2b Gevraagd wordt om de volgende gegevens te berekenen: De realistische hoek ( alpha ), waaronder het basketbalschot in de basket beland. Dit is te bereken door x = 3 en y= 3,05 in te vullen. Hier komt uit: , , , De realistische hoek alpha is 67 graden. De tijd ( t ) die de basketbal in de lucht is. Dit is te berekenen door de hoek in radialen in te vullen in de formule: T =x/v0*cos(alpha). Hier komt uit : T := De hoek beta, dit is de hoek waarmee de bal de basket in gaat. Om hoek beta te berekenen is de afgeleide van de volgende formule nodig: 1 g x 2 Y := + tan( α ) x + H0 2 V0 2 cos( α ) 2 De afgeleide is: YY := x Daarna is het aantal radialen berekend met de formule beta = arctan( ), deze is omgezet in graden. Hoek beta is: graden De top van de grafiek, dit is te bereken met de afgeleide gelijk aan nul te stellen. Hier uit komt de x- coördinaat van de top van de grafiek. Deze moet ingevuld worden in de gewone functie, hieruit komt de y-coördinaat. De coördinaat van de top is: ( ; ) De snelheid waarmee de bal de basket raakt. Dit is berekend door de afgeleiden gelijk te stellen aan 3, hiermee kunnen de snelheden in de x en y richting berekend worden. Hiermee kan de eindesnelheid ( Veind ) berekend worden. Veind :=

5 Opdracht 2c Opdracht 2d In het 3d model zijn de invloeden van V0 en hoek alpha tegen elkaar uitgezet. Hieruit is te zien dat V0 en de alpha niet te klein mogen zijn anders raakt de bal de basket niet.

6 Bijlage opdracht 1 restart:g:=(exp(x)-(/ ))/(x-4); plot(g,x= ,y=-1..1); plot(g,x= ,y= ); solve(g=10.0,x); h:= (exp(x)-(/ )); solve(h=0); evalf(%); i:= x-4; solve(i=0); Limit(g,x=infinity)=limit(g,x=infinity); Limit(g,x=-infinity)=limit(g,x=-infinity); Limit(g,x=4,right)=limit(g,x=4,right);

7 Limit(g,x=4,left)=limit(g,x=4,left); Diff(g,x)=diff(g,x); gg:=rhs(%); solve(gg=0,x); evalf(%); plot(gg,x=-2..5,y= ); evalf(subs(x= ,g)); plot(gg,x=3..7,y= );

8 evalf(subs(x= ,g)); Diff(gg,x)=diff(gg,x); ggg:=rhs(%); solve(ggg=0,x); evalf(%); plot(ggg,x=-12..0,y= ); evalf(subs(x= ,g));

9 Bijlage opdracht 2 restart; Y:=(-g*x^2)/(2*V0^2*(cos(alpha))^2)+tan(alpha)*x+H0; 1 g x 2 Y := + tan( α ) x + H0 2 V0 2 cos( α ) 2 V0:=7; g:=9.81; H0:=/ ; x:=3; V0 := 7 g := 9.81 H0 := x := 3 solve(y=3.05,alpha); , , , evalf(solve(y=3.05,alpha)*180/pi); , , , T:=x/V0*cos(alpha); T := 3 cos( α ) 7 T:=x/(V0*cos( )); T := restart; Y:=(-g*x^2)/(2*V0^2*(cos(alpha))^2)+tan(alpha)*x+H0; 1 g x 2 Y := + tan( α ) x + H0 2 V0 2 cos( α ) 2 V0:=7; g:=9.81; H0:=/ ; alpha:= ; V0 := 7 g := 9.81 H0 := α := Diff(Y,x)=diff(Y,x);

10 d dx x x x = YY:=rhs(%); solve(yy,x); YY := x subs(x= ,y); solve(yy=3.05,x); beta:=arctan( ); β := evalf( *180/pi); restart; Y:=(-g*x^2)/(2*V0^2*(cos(alpha))^2)+tan(alpha)*x+H0; 1 g x 2 Y := + tan( α ) x + H0 2 V0 2 cos( α ) 2 V0:=7; g:=9.81; H0:=/ ; alpha:= ; V0 := 7 g := 9.81 H0 := α := Diff(Y,x)=diff(Y,x); d dx x x x = YY:=rhs(%); solve(yy=0,x); YY := x subs(x= ,y);

11 restart; Y:=(-g*x^2)/(2*V0^2*(cos(alpha))^2)+tan(alpha)*x+H0; 1 g x 2 Y := + tan( α ) x + H0 2 V0 2 cos( α ) 2 V0:=7; alpha:= ; H0:=/ ; g:=9.81; V0 := 7 α := H0 := g := 9.81 Diff(Y,x)=diff(Y,x); d dx x x x = YY:=rhs(%); solve(yy=3,x); YY := x Vy:= ; Vx:=V0*cos(alpha); Vy := Vx := Veind:=-sqrt(((Vx)^2)+((Vy)^2)); Veind := restart; Y:=(-g*x^2)/(2*V0^2*(cos(alpha))^2)+tan(alpha)*x+H0; 1 g x 2 Y := + tan( α ) x + H0 2 V0 2 cos( α ) 2 alpha:= ; H0:=/ ; α := H0 := V0:=7;

12 V0 := 7 g:=9.81; g := 9.81 plot(y,x=0..3,y=0..4); restart; x:=3; E:=3.05; g:=9.81; H0:=/ ; Y:=-g/(2*(V0*cos(alpha))^2)*x^2+tan(alpha)*x+H0; plot3d({e,y},v0=5..10,alpha=0..1.3); x := 3 E := 3.05 g := 9.81 H0 := Y := + 3 tan( α ) + V0 2 cos( α )