Hoofdstuk 3. N gekoppelde oscillatoren. 3.1 De bewegingsvergelijkingen
|
|
- Louisa Goossens
- 5 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Hoofdstuk 3 N gekoppelde oscilltoren 3.1 De bewegingsvergelijkingen We beschouwen ls een systeem vn N gekoppelde oscilltoren vn N puntmss s M die onderling met veren gekoppeld zijn, zols ngegeven in figuur 3.1. Alle veren hebben een gelijke veerconstnte K en evenwichtslengte. De uitwijking x j (t) vn de j de puntmss wordt gemeten vnf de evenwichtpositie x j (t) =. De bewegingsvergelijking voor mss j is te schrijven ls: Mẍ j = K(x j+1 x j ) + K(x j 1 x j ) met j =, 3,..., N 1 en j 1, N (3.1) Voor het eerste en ltste deeltje, die ieder één nste buur missen, mr wel met een veer vst zitten n een wnd, geldt: Mẍ 1 = K(x x 1 ) Kx 1 (3.) Mẍ N = Kx N + K(x N 1 x N ) (3.3) Figuur 3.1: Een systeem vn N puntmss s M gekoppeld met behulp vn identieke veren met veerconstnte K en evenwichtslengte. In dit gevl beschouwen we vste rndvoorwrden. 19
2 Deze vergelijkingen kunnen in een lgemene vorm geschreven worden door twee kunstmtige mss s te introduceren voor j = en j =, wrvoor we in dit gevl eisen dt ze ltijd stil moeten stn: x (t) = ; x N+1 (t) = (3.4) Deze voorwrden noemen we rndvoorwrden. Deze specifieke vorm vn rndvoorwrden wr de twee uiterste mss s vi een veer vstzitten n een wnd noemen we vste rndvoorwrden. Lter zullen we ook open rndvoorwrden en periodieke rndvoorwrden tegenkomen. Door deze definitie vn rndvoorwrden worden de bewegingsvergelijkingen: Mẍ j = K(x j+1 x j ) + K(x j 1 x j ) met j = 1,,...N (3.5) 3. Eigentrillingen en dispersiereltie 3..1 De dispersiereltie In het gevl N = hebben we gezien dt de lgemene oplossing geschreven kn worden ls de som vn eigentrillingen. Anloog hiern wordt de lgemene oplossing hier gevonden door te zoeken nr N eigentrillingen, die ieder trillen met een eigenfrequentie ω n. Zo n eigentrilling wordt dus gekrkteriseerd door het feit dt lle puntmss s met dezelfde frequentie en fse trillen: x j (t) = A j cos(ωt ϕ) (3.6) Hierin moeten A j, ω en ϕ nog bepld worden. Omdt x = x N+1 = geldt ook dt A = A N+1 =. Invullen in de bewegingsvergelijkingen (3.5) geeft: Mω A j = K(A j+1 A j ) + K(A j 1 A j ) met j = 1,,...N ofwel: (K Mω )A j = K(A j+1 + A j 1 ) j = 1,,...N (3.7) Hierin moeten dus de mplitudes A j bepld worden. Het is duidelijk dt er voor een gegeven eigentrilling ω een bepld verbnd zl bestn tussen de mplitudes vn de diverse oscilltoren. We nemen nu n dt het verbnd tussen deze mplitudes geschreven kn worden ls: A j = A k sin kj + B k coskj (3.8) De vrible k en de grootheden A k en B k dienen nog bepld te worden. We zien dt de dimensie vn k m 1 is, dus de dimensie vn een reciproke golflengte. We zullen zien dt k
3 de rol speelt vn een golfgetl zols we die kennen voor een trillende snr. Merk op dt combineren vn vergelijkingen (3.6) en (3.8) oplevert dt de eigentrilling x j (t) gegeven wordt door: x j (t) = (A k sin kj + B k coskj) cos(ωt ϕ) = C k cos(kj ψ) cos(ωt ϕ) Deze lijkt dus erg op een stnde golf die voldoet n de 1 dimensionle golfvergelijking zols we die ook gebruikt hebben voor het vinden vn de eigentrillingen vn een trillende snr. Voor de mplitudes A j geldt: A j+1 + A j 1 = A k [sin k(j + 1) + sin k(j 1)] + B k [cos k(j + 1) + cosk(j 1)] = A k sin kj cosk + B k coskj cosk = (A k sin kj + B k cos kj)cos k = A j cosk Dit betekent dt vergelijking (3.7) overgt in: ofwel (K Mω )A j = KA j cos k (K Mω ) = K cosk dus ω = K M (1 cosk) = K M ( sin k ) Dit resulteert in: K ω = M sin(1 k) (3.9) Dit verbnd tussen de frequentie ω en het golfgetl k heet de dispersiereltie en is te zien in figuur 3.. De dispersiereltie beschrijft dt bij een bepld golfgetl k een beplde frequentie ω hoort, en omgekeerd, dt bij een beplde frequentie een zeker golfgetl hoort, ofwel een welbeplde verhouding tussen de mplitudes vn de diverse oscilltoren. Merk op dt we tot nu toe de rndvoorwrden nog niet gebruikt hebben. De dispersiereltie (3.9) geldt dus ltijd voor een lineire keten vn gekoppelde oscilltoren ongecht de rndvoorwrden. In de volgende prgrf zullen we zien dt de rndvoorwrden uiteindelijk de feitelijke eigentrillingen en eigenfrequenties vn het systeem gn beplen. 3.. Eigentrillingen We pssen in dit voorbeeld vste rndvoorwrden toe, gedefinieerd door vergelijking (3.4): x (t) = geeft A = wt leidt tot B k = A j = A k sin kj 1
4 K M Frequentie ω golfgetl k Figuur 3.: De dispersiereltie vn een lineire keten puntmss s M gekoppeld door identieke veren met veerconstnte K. x N+1 = geeft A N+1 = ofwel A k sin(k()) = Deze twee rndvoorwrde impliceert onmiddellijk: k() = nπ met n =, ±1, ±,... Dit betekent dus dt we, zols verwcht, N onfhnkelijke eigentrillingen krijgen, gekrkteriseerd door de golfgetllen: k = nπ () met n = 1,,...N wnt n = levert de evenwichtssitutie op, terwijl de overige wrden voor n (n < en n > N) hetzelfde gedrg vn de mplitudes leveren ls die gegeven door de bovenstnde N eigentrillingen. Dit is ls volgt in te zien: sin kj = sin nπj = sin ( nπj + N+1 N+1 πj) = sin [n+(n+1)]πj. N+1 Je kunt dus ltijd een geheel veelvoud vn π bij het golfgetl k optellen. De k- wrden voor n > N zijn niet nodig zodt π < k < π. sin kj = sin nπj nπj [(N+1) n]πj = sin = sin. N+1 N+1 N+1 Het optredend minteken kn direct verdisconteerd worden door in de nog nder te beplen fse ϕ, nmelijk door π erbij op te tellen. De k-wrden behorend bij negtieve n zijn dus niet nodig, zodt k π. We vinden dus N onfhnkelijke eigentrillingen met de volgende gednte: x j (t) = A k sin kj cos(ω k t ϕ k ) (3.1)
5 nπ wrbij k = n = 1,,...N (3.11) () K en ω k = M sin(1 k) (3.1) 3..3 Voorbeeld: N = 7 met vste rndvoorwrden π eerste eigenmode n = 1: k = = π (N+1) 8 A j = A k sin jπ = A N+1 k sin πj 8 ω k = K sin π = K sin π M (N+1) M 16 Definieer L ls de totle lengte: L = () k = π. De golflengte vn deze L mode is λ = π = πl = L. k π π tweede eigenmode n = : k = = π λ = L (N+1) L A j = A k sin πj = A N+1 k sin πj 4 ω k = K M sin π 8 ltste eigenmode n = 7: k = 7π (N+1) = 7π L λ = L 7 A j = A k sin 7πj = A N+1 k sin 7πj 8 ω k = K M sin 7π 16 Figuur 3.3 ) geeft lle eigentrillingen schemtisch weer. In de figuur zijn de uitwijkingen voor de duidelijkheid lngs de verticle s getekend. In de reliteit is er sprke vn longitudinle trillingen. Drnst gelden overigens deze eigentrillingen ook voor trnsversle trillingen vn een keten met 7 mss s gekoppeld door veren met een evenwichtsspnning S (zie werkcollege). Bij de eerste eigentrilling hebben lle oscilltoren een uitwijking in dezelfde richting ( sinus-mode ), nloog n de eerste eigentrilling vn een ingeklemde trillende snr. De ltste eigentrilling is gekrkteriseerd door het feit dt opeenvolgende oscilltoren juist een tegengestelde uitwijking hebben ( zig-zg-mode ). Voor de tussenliggende eigentrillingen neemt het ntl tekenwisselingen stpsgewijs toe. De eigenfrequenties vn de diverse eigenmodes liggen netjes op de dispersiecurve (figuur 3.3b). Het is duidelijk dt de frequentie toeneemt met toenemende k en dus ook met toenemende eigenmode. Dit is begrijpelijk ngezien een grotere k, d.w.z. een kleinere golflengte, een grotere vervorming vn de keten met zich meebrengt. Deze grotere vervorming gt geprd met grotere terugdrijvende krchten in de veren en dus een grotere frequentie. Met toenemende N wordt de dispersiecurve steeds dichter opgevuld, wt te zien is in figuur 3.3 c) voor N = 9. G zelf n hoe de verschillende eigenmodes eruit gn zien nrmte n groter wordt. 3
6 n = 1 ) N = 7 K M b) N = n = n = 3 Frequentie Dispersiecurve Eigenfrequenties n = 4 n = 5 K M c) N = 9 golfgetl k n = 6 Frequentie n = 7 j = L = (N+1) = 8 golfgetl k Figuur 3.3: ) Schemtische representtie vn de eigentrillingen vn een lineire keten vn N = 7 gekoppelde mss s met vste rndvoorwrden. De uitwijkingen die hier trnsversl zijn ngegeven, zijn in werkelijkheid longitudinl. b) De bijbehorende discrete eigenfrequenties voor N = 7, ngebrcht in de dispersiecurve. c) de eigenfrequenties voor N = 9. Met toenemende N wordt de dispersiecurve steeds meer opgevuld. 3.3 De lgemene oplossing (vste rndvoorwrden) De lgemene oplossing is te schrijven ls een lineire combintie vn de eigentrillingen gegeven door vergelijking (3.1): x j (t) = k A k sin kj cos(ω k t ϕ k ) (3.13) of in termen vn n: x j (t) = n=1 A n sin nπj cos(ω nt ϕ n ) (3.14) De eigenmodes kunnen worden gekrkteriseerd door k of door n. Er bestt nmelijk een eenduidig verbnd tusen beiden. Met behulp vn de N eigentrillingen kunnen we de 4
7 beweging geheel vstleggen. A k (of A n ) correspondeert met de bijdrge vn één specifieke eigentrilling met lbel k (n) tot de lgemene oplossing, en ϕ k (ϕ n ) met de fse vn die bijdrge. In de lgemene oplossing komen dus nog N nder te beplen constnten voor, nl. de mplitudes A n (n = 1,,...N) en fses ϕ n (n = 1,,...N). Deze worden bepld met behulp vn de N beginvoorwrden, x j () en ẋ j (), j = 1,,...N, de positie en snelheid vn lle oscilltoren op tijdstip t =. In het nvolgende lten we zien hoe de mplitudes A n en fses ϕ n volgen uit de N beginvoorwrden. Het is gemkkelijk in te zien dt: x j () = ẋ j () = n=1 n=1 A n cosϕ n sin nπj A n ω n sin ϕ n sin nπj j = 1,,...N j = 1,,...N Om nu een uitdrukking te vinden voor de mplitudes en fsehoeken mken we gebruik vn de orthogonliteitsreltie: sin nπj mπj sin = 1 ()δ n,m met n, m = 1,,...N (3.15) δ n,m is de Kroneckerdelt: δ n,m δ n,m = 1 indien n = m = indien n m Het bewijs vn deze orthogonliteitsreltie gt te ver voor dit college, mr we zullen de reltie toch gebruiken. Vermenigvuldig x j () met sin mπj N+1 1,,...N. We krijgen dn en sommeer de resulterende uitdrukking over j, vn x j () sin mπj = N n=1 A n cosϕ n sin nπj mπj sin Voer llereerst de sommtie over j uit en mk gebruik vn de orthogonliteitsreltie: x j () sin mπj = N n=1 omdt δ n,m lleen een bijdrge geeft indien n = m. Er geldt dus: A n cosϕ n 1 ()δ n,m = 1 ()A m cos ϕ m A m cosϕ m = 5 x j () sin mπj
8 Anloog geldt: ofwel ẋ j () sin mπj = = N n=1 n=1 A n ω n sin ϕ n sin nπj mπj sin A n ω n sin ϕ n 1 ()δ n,m = 1 ()A mω m sin ϕ m A m ω m sin ϕ m = ẋ j () sin mπj We hebben dus gebruik mken vn de orthogonliteitsreltie de mplitudes en fsehoeken opgeschreven in termen vn de beginvoorwrden: A n cosϕ n = A n ω n sin ϕ n = x j () sin nπj ẋ j () sin nπj n = 1,,...N (3.16) n = 1,,...N (3.17) Dit zijn N vergelijkingen met N onbekenden en hiermee ligt de oplossing dus geheel vst en hebben we de bewegingsvergelijkingen vn een keten met N oscilltoren geheel opgelost. 3.4 Rndvoorwrden De eigentrillingen vn een lineire keten vn N oscilltoren hngen sterk f vn de rndvoorwrden. We onderscheiden grofweg drie typen rndvoorwrden: 1. Vste rndvoorwrden zols we tot nu toe besproken hebben. De uiterste mss s zitten met een veer vst n een wnd (vergelijking (3.4)): x (t) = ; x N+1 (t) =. Open of vrije rndvoorwrden. De uiterste mss s zitten niet vst n een wnd; ze hebben slechts één veer die hen verbindt met hun nste buur: x (t) = x 1 (t); x N (t) = x N+1 (t) (3.18) Dit gevl zl in een werkcollege opgve n bod komen. 3. Periodieke of cyclische rndvoorwrden. De eerste mss is door een veer verbonden met mss N: x (t) = x N (t); x 1 (t) = x N+1 (t) (3.19) Periodieke rndvoorwrden worden veelvuldig gebruikt in de theorie vn de vste stof in de beschrijving vn kristllen, en worden nu nder bekeken. 6
9 Figuur 3.4: Een lineire keten vn N gekoppelde mss s met periodieke rndvoorwrden wrvoor geldt x (t) = x N (t); x 1 (t) = x N+1 (t) Periodieke rndvoorwrden Een typisch voorbeeld vn een lineire keten vn N gekoppelde oscilltoren met periodieke rndvoorwrden is te zien in figuur 3.4. Gebruik mkend vn de vergelijking (3.19) luiden de bewegingsvergelijkingen voor zo n systeem: Mẍ j = K(x j+1 x j ) + K(x j 1 x j ) met j = 1,,...N (3.) We proberen ls eigentrilling: x j (t) = A j e ±iωt (3.1) Dit keer werken we dus in complexe nottie wt bij de verwerkingen vn de rndvoorwrden hndig blijkt te zijn. Invullen in de bewegingsvergelijkingen geeft: Mω A j = K(A j+1 A j ) + K(A j 1 A j ) met j = 1,,...N met A = A N ; A 1 = A N+1. We stellen nu: A j = A k e ikj (3.) wt n substitutie in het eigenwrde probleem levert: Mω A k e ikj = K [ e ik(j+1) + e ik(j 1) e ikj] A k ofwel Mω = K [ e ik + e ik ] = K [cosk 1] dus ω = 4K M sin k 7
10 Ook indien we werken met complexe nottie (vergelijkingen (3.1) en (3.)) komen we dus uit op dezelfde dispersiereltie (3.9). De rndvoorwrden geven: A A 1 = A N A k e = A k e ikn = A N+1 A k e ik = A k e ik(n+1) Combineren vn deze twee vergelijkingen geeft: e ikn = 1 = e πni met n =, 1,... Kortom voor periodieke rndvoorwrden geldt: k = πn N met n =, 1,...N 1 Het golfgetl bestrijkt dus het intervl k π bij vste rndvoorwrden. Merk echter op dt de k-wrden k = πn N dezelfde eigenfrequentie ω k geven. Er geldt immers: sin πn N = sin π(n n) N wt dus twee ml zo groot is ls en k = π(n n) N Bij een gegeven eigenfrequentie horen dus twee onfhnkelijke eigentrillingen met de verschillende golfgetllen: k = πn π(n n) en k = N N Alterntief kunnen we stellen dt bij een gegeven eigenfrequentie er twee onfhnkelijke eigentrillingen horen met golfgetllen k en k (figuur 3.5). In dit gevl blijven de onfhnkelijke k-wrden beperkt tot: k = πn met n =, 1... N ls N even N n =, 1... N 1 ls N oneven In deze nottie is voor grote N het ntl k-wrden ngenoeg ml zo klein ls voor het gevl met vste rndvoorwrden, mr omdt er bij elke k (behlve k = en k = π twee onfhnkelijke oplossingen bestn is het ntl onfhnkelijke eigentrillingen toch gelijk n N. De lgemene oplossing is nu te schrijven ls een lineire combintie vn de eigentrillingen voor k en k: x j (t) = k of in termen vn n (N even): x j (t) = A k +e ikj e ±iω kt + A k e ikj e ±iω kt N n= N +1 A n e i 8 πnj N e ±iω nt
11 ) N = 7 K M b) N = 9 K M Frequentie Frequentie golfgetl k π golfgetl k π Figuur 3.5: De eigenfrequenties vn een lineire keten vn N gekoppelde mss s met periodieke rndvoorwrden voor ) N = 7 en b) N = 9. Vergelijk deze figuren met die in figuur 3.3 b) en c). Bovenstnde oplossing is uitgedrukt in complexe e-mchten. Alterntief kunnen we ntuurlijk ook lineire combinties hiervn nemen, dusdnig dt bij gegeven ω k de twee onfhnkelijke oplossingen er ls volgt uit zien: x j1 (t) = A k sin kj cos(ω k t ψ k ) x j (t) = A k coskj cos(ω k t ψ k) met dezelfde k-wrden ls hierboven. In het lgemeen zullen de beide eigentrillingen niet dezelfde mplitudes en fses hebben, wt leidt tot de volgende lgemene uitdrukking: x j (t) = k A k sin kj cos(ω k t ψ k ) + A k coskj cos(ω k t ψ k) of in termen vn n (N even): x j (t) = N n= A n sin πnj N cos(ω nt ψ n ) + A πnj n cos N cos(ω nt ψ n ) In het gevl vn periodieke rndvoorwrden kunnen we ook lopende golven ls oplossing hebben. Dit is krkteristiek voor open systemen. Beschouw bijvoorbeeld het gevl met A k = A k en ψ k = π en ψ k =. Dn is x j1 (t) = A k sin kj sin ω k t x j (t) = A k coskj cosω k t 9
12 Lineire combinties vn deze onfhnkelijke eigentrillingen leveren lopende golven op gekrkteriseerd door het feit dt lle oscilltoren dezelfde mplitude hebben, mr een verschillende fse: A k coskj cosω k t ± A k sin kj sin ω k t = A k cos(kj ± ω k t) De snelheid vn de golf, die de fsesnelheid v ϕ wordt genoemd, is dn gelijk n: v ϕ = ω k k (3.3) en is dus in het lgemeen een functie vn k. 3
l reeds gezien hebben in paragraaf De zwaartekracht leidt dus tot een extra term in de bewegingsvergelijkingen:
Hoofdstuk 4 N gekoppede singers 4.1 De bewegingsvergeijkingen We beschouwen een systeem vn N identieke singers met engte, wrvn de nburige singers met identieke veren gekopped zijn, zos ngegeven in figuur
Nadere informatie10.8. De Laplace vergelijking. De warmtevergelijking in meerdimensionale ruimten heeft de volgende vorm :
1.8. De Lplce vergelijking. De wrmtevergelijking in meerdimsionle ruimt heeft de volgde vorm : in R 2 : α 2 (u xx + u yy ) = u t in R 3 : α 2 (u xx + u yy + u zz ) = u t. Hierbij stelt u(x, y, t) de tempertuur
Nadere informatieEigenwaarden en eigenvectoren
Hoofdstuk I. Lineire Algebr Les 4 Eigenwrden en eigenvectoren In het voorbeeld vn de verspreiding vn de Euro-munten hebben we gezien hoe we de mix vn munten n floop vn n jr uit de n-de mcht A n vn de overgngsmtrix
Nadere informatieWerkblad TI-83: Over de hoofdstelling van de integraalrekening
Werkld TI-8: Over de hoofdstelling vn de integrlrekening. Inleiding We ekijken chtereenvolgens in onderstnde figuren telkens de grfiek vn een functie f met in het intervl [; ]. f ( ) = f ( ) = + y = 5
Nadere informatieHoofdstuk 0: algebraïsche formules
Hoofdstuk 0: lgebrïsche formules Dit hoofdstuk hoort bij het eerste college infinitesimlrekening op 3 september 2009. Alle gegevens over de cursus zijn te vinden op http://www.mth.uu.nl/people/hogend/inf.html
Nadere informatie5.1 Rekenen met differentialen
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 5 Substitutie We hebben gezien dt de productregel voor de fgeleide een mnier geeft, om voor zeker functies een primitieve te vinden,
Nadere informatiePrimitieve en integraal
Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 2003 Hoofdstuk II. Clculus Les 4 Primitieve en integrl Een motivtie om nr de fgeleide vn een functie f te kijken is het beplen vn de richtingscoëfficiënt vn de rklijn
Nadere informatieContinuïteit en Nulpunten
Continuïteit en Nulpunten 1 1 Inleiding Continuïteit en Nulpunten In de wiskunde wordt heel vk gebruik gemkt vn begrippen ls functie, functievoorschrift, grfiek, Voor een gedetilleerde inleiding vn deze
Nadere informatiem p Tabel: I plaat 3 m pa 2
VRIJE UNIVERSITEIT BRUSSE FACUTEIT TOEGEPASTE WETENSCHAPPEN MECHANICA Een e kndidtuur Burgerlijk Ingenieur-Architect Acdeiejr -3 Zterdg juni 3 Vrg O R Bovenstnd voorwerp werd gevord door uit een vlkke
Nadere informatieVectoranalyse voor TG
college 5 De tweevoudige integrl collegejr : 8-9 college : 5 build : 27 ugustus 28 slides : 48 Vndg dubbel en De tweevoudige integrl en inhoud 2 Herhlde integrl 3 4 Poolcoördinten intro VA Wt is een integrl?
Nadere informatieOngelijkheden groep 2
Ongelijkheden groep Rvi & Cuchy-Schwrz Trnstrendtriningsdg (triningsdg, 6 mrt 009 Cuchy-Schwrz Cuchy-Schwrz Voor reële getllen x,, x n en y,, y n geldt: x i y i en bijgevolg x i y i n n met gelijkheid
Nadere informatie2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving
Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden
Nadere informatieInleiding Natuurwetenschappen
Inleiding Ntuurwetenschppen Tijden: september: 7:45 :45 3 september: 7:45 :45 6 september: 09:30 3:30 Loctie: Adres: Leuvenln, Utrecht Gebouw: Mrius Ruppertgebouw Zl: A Opdrchtgever: Jmes Boswell Instituut
Nadere informatieAnalyse. Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
Anlyse Lieve Houwer Dny Vnbeveren . Relties, functies, fbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzmelingen A en B noemen we elke deelverzmeling vn de productverzmeling A x B een reltie vn A nr B. We noemen
Nadere informatieUitwerking Tentamen Analyse B, 28 juni lim
Uitwerking Tentmen Anlyse B, 8 juni 0 Opgve [5pt] Bereken Hint: b = e b log. lim ( sin(π. Zij I =], [. Voor lle I \ {} geldt dt Definieer ( sin(π = e log( sin(π = e log sin(π. ϕ( = f(, f( = log, g( = sin(π.
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 16 mei 13.30-16.30 uur
Emen VW 0 tijdvk woensdg 6 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Dit emen bestt uit 5 vrgen. Voor dit emen zijn miml 83 punten te behlen. Voor elk vrgnummer stt hoeveel punten met een goed ntwoord behld
Nadere informatieis het koppel dat overeenkomt met het eindpunt van λ.op ax by = a a b x y = a b = x y a b ax by bx + ay = a b
1 Tweedimensionle Euclidische ruimte 11 Optelling, verschil en sclire vermenigvuldiging = ( b, ) b, is de verzmeling vn lle koppels reële getllen { } Zols we ons de reële getllen kunnen voorstellen ls
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Kerstvakantiecursus
Voorbereidende opgven Kerstvkntiecursus Tips: Mk de volgende opgven het liefst voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een som niet lukt, kijk dn even in het beknopt
Nadere informatieDifferentiatie van functies
Deel II Clculus Wiskunde voor kunstmtige intelligentie, 004 Les 6 Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid erlen we voor de meest
Nadere informatieHOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN
I - 1 HOOFDSTUK 1 BASISBEGRIPPEN 1.1. Het egrip krcht 1.1.1. Definitie vn krcht Een stoffelijk punt is een punt wrn een zekere mss toegekend wordt. Dit punt is meestl de voorstellende vn een lichm. Zo
Nadere informatie2. Gegeven is de driehoek van figuur 10.10a. Gevraagd worden hoek β en de zijden a en c.
Wiskunde voor bchelor en mster Deel Bsiskennis en bsisvrdigheden c 05, Syntx Medi, Utrecht www.syntxmedi.nl Uitwerkingen hoofdstuk 0 0... Voor scherpe hoek α geldt:. sin α = 0,8 α = sin 0,8 = 5, d. cos
Nadere informatieLineaire formules.
www.betles.nl In de wiskunde horen bij grfieken beplde formules wrmee deze grfiek getekend kn worden. zijn formules die in een grfiek een reeks vn punten oplevert die op een rechte lijn liggen. In de vorige
Nadere informatieGetallenverzamelingen
Getllenverzmelingen Getllenverzmelingen Ntuurlijke getllen Het getlegrip heeft zih wrshijnlijk ontwikkeld op een wijze die overeenkomt met de mnier wrop u zelf de getllen geleerd het. De sis is het tellen.
Nadere informatie7 College 30/12: Electrische velden, Wet van Gauss
7 College 30/12: Electrische velden, Wet vn Guss Berekening vn electrische flux Alleen de component vn het veld loodrecht op het oppervlk drgt bij n de netto flux. We definieren de electrische flux ls
Nadere informatieKwadratische reciprociteit
Kwdrtische recirociteit René Pnnekoek 9 februri 011 Inleiding: kwdrten in Z/Z Beschouw de ring Z/Z en een element Z/Z. We willen weten of een kwdrt is, oftewel of er x Z/Z bestt zodnig dt x. Voor concrete
Nadere informatiea = 1 b = 0 k = 1 ax + b = lim f(x) lim
BURGERLIJK INGENIEUR ARCHTECT - JULI 2 BLZ /8. De functie fx) = e kx + x + met, en k R en k < heeft een schuine symptoot y = x voor x + en voldoet n de vergelijking Bepl, en k. D fx))) 2 + D fx)) 2) +
Nadere informatieInhoud college 7 Basiswiskunde
Inhoud college 7 Bsiswiskunde 3.3 De ntuurlijke logritme en de exponentiële functie (zie college 6) 5.1/3 Introductie Integrlen 5.4 Eigenschppen vn de eplde integrl 5.5 De hoofdstelling vn Clculus 2.10
Nadere informatie5.1 Hogeremachtswortels [1]
5. Hogeremchtswortels [] De functie x 2 = p heeft twee oplossingen ls p > 0; De functie x 2 = p heeft één oplossing ls p = 0; De functie x 2 = p heeft geen oplossingen ls p < 0; Het bovenstnde geldt bij
Nadere informatieExamen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 4 2 8 5 3 5 3 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4
Nadere informatiewordt in de natuurkunde vaak door een vector, d.w.z. een pijl van ( ( , voorgesteld. De correspondentie tussen vectoren en paren punten ( a
Hoofdstuk 1 Vectorruimten 1.1 Inleiding, definities en voorbeelden Een vn de meest fundmentele ontdekkingen in de wiskunde is ongetwijfeld de coördintisering vn het pltte vlk, onfhnkelijk gedn door Pierre
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Examencursus
Voorbereidende opgven Exmencursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt en
Nadere informatieANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA 2 VAN 31 MEI 2011
ANTWOORDEN EN UITWERKINGEN TENTAMEN QUANTUMMECHANICA VAN MEI ) (Andere ntwoorden zijn niet noodzkelijk (geheel) incorrect) () Enkelvoudig ontrd ofwel niet-ontrd. Niveu met energie C= heeft een deeltje
Nadere informatieVoorbereidende opgaven Herkansingscursus. Rekenregels voor vereenvoudigen
Voorbereidende opgven Herknsingscursus Tips: Mk de voorbereidende opgven voorin in één vn de A4-schriften die je gt gebruiken tijdens de cursus. Als een opdrcht niet lukt, werk hem dn uit tot wr je kunt
Nadere informatie== Modeluitwerking tentamen Analyse 1 == Maandag 14 januari 2008, u
== Modeluitwerking tentmen Anlyse == Mndg 4 jnuri 8, 4.-7.u. Formuleer de Tussenwrdestelling. Als f :, b] R continu is en s R ligt tussen f en fb, dn bestt er een c, b] met fc = s. b Toon n, dt de vergelijking
Nadere informatieELEKTROMAGNETISME 1-3AA30
ELEKTROMAGNETISME - 3AA3 9 rt 8, 4. 7. uur Geef bij iedere toepssing vn een kring- of oppervlkte-integrl duidelijk n lngs welke weg of over welk oppervlk wordt geïntegreerd Het forulebld en beoordelingsforulier
Nadere informatieKATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN
KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden
Nadere informatieOnafhankelijk van a. f snijdt de x-as in punt A ( , 0) Voor elke positieve waarde van a is een functie f. gegeven door F ( x) = x e ax.
Onfhnkelijk vn Voor elke positieve wrde vn is een functie f gegeven door f ( x) = (1 x) e x en een functie F gegeven door F ( x) = x e x. De functie 3p 1 Toon dit n. F is een primitieve functie vn f. De
Nadere informatieMOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN
III - 1 HOODSTUK 3 MOMENT VAN EEN KRACHT KOPPEL VAN KRACHTEN De kennis vn het moment vn een krcht is nodig voor het herleiden vn een krcht en een krchtenstelsel, voor het (nlytisch) smenstellen vn niet-snijdende
Nadere informatieBoek 2, hoofdstuk 7, allerlei formules..
Boek, hoofdstuk 7, llerlei formules.. 5.1 Evenredig en omgekeerd evenredig. 1. y wordt in beide gevllen 4 keer zo klein, je noemt dt omgekeerd evenredig. b. bv Er zijn schoonmkers met een vst uurloon.
Nadere informatieHet bepalen van een evenwichtstoedeling met behulp van het 1 e principe van Wardrop is equivalent aan het oplossen van een minimaliserings-probleem.
Exmen Verkeerskunde (H1I6A) Ktholieke Universiteit Leuven Afdeling Industrieel Beleid / Verkeer & Infrstructuur Dtum: dinsdg 2 september 28 Tijd: Instructies: 8.3 12.3 uur Er zijn 4 vrgen over het gedeelte
Nadere informatie2) Kegelsneden (in basisvorm)
) Kegelsneden (in sisvorm) In dit hoofdstuk werken we ltijd in een Euclidisch geijkt ssenstelsel. ) De rool Definitie De rool is de meetkundige lts vn de unten wrvoor de fstnd tot een gegeven unt F gelijk
Nadere informatieopgaven formele structuren procesalgebra
opgven formele struturen proeslger Opgve 1. (opgve 3.3.7 op p.97 vn het ditt 2005) Een mier moet vn links voor onder nr rehts hter oven op een kuus, met ties (rehts), (hter), en (oven). Uitwerking vn opgve
Nadere informatie2 Opgaven bij Hoofdstuk 2
2 Opgven bij Hoofdstuk 2 Opgve 2. De functie f : R 2 R is gedefinieerd door ) Bewijs dt f continu is op R 2 \ {(, )}. f(, y) = 2 y 2 + y 2 ls (, y) (, ) f(, ) =. b) Bewijs dt voor iedere R de functie y
Nadere informatieExamen Klassieke Mechanica
Exmen Klssieke Mechnic Herbert De Gersem, Eef Temmermn 25 jnuri 2012, 8u30, cdemiejr 11-12 IW2 NAAM: RICHTING: vrg 1 (/4) vrg 2 (/4) vrg 3 (/5) vrg 4 (/4) vrg 5 (/3) TOTAAL (/20) Verloop vn het exmen Het
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bchelor IR de Bchelor Fysic jnuri 4 Er worden 5 vrgen gesteld. Vul o ieder bld je nm in. Motiveer of bewijs iedere uitsrk. Los lle vrgen o, o een rt bld! Het exmen duurt u. Veel succes!. Bereken lle
Nadere informatieRekenen in Ê. Module De optelling. Definitie
Module 1 Rekenen in Ê 1.1 De optelling Definitie Het resultt vn de optelling vn reële getllen en b noemen we de som vn en b en noteren we met +b. De getllen en b zelf noemen we de termen vn de som. Voorbeelden
Nadere informatieRouteplanning middels stochastische koeling
Routeplnning middels stochstische koeling Modellenprcticum 2008 Stochstische koeling of Simulted nneling is een combintorisch optimlistielgoritme dt redelijke resultten geeft in ingewikkelde situties.
Nadere informatieHertentamen. Elektriciteit en Magnetisme 1. Woensdag 14 juli :00-12:00. Schrijf op elk vel uw naam en studentnummer. Schrijf leesbaar.
Hertentmen Elektriciteit en Mgnetisme 1 Woensdg 14 juli 2011 09:00-12:00 Schrijf op elk vel uw nm en studentnummer. Schrijf leesbr. Mk elke opgve op een prt vel. Dit tentmen bestt uit 4 vrgen. Alle vier
Nadere informatieIn dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers van het college: eindige automaten.
9 2 Eindige utomten In dit hoofdstuk introduceren we de hoofdrolspelers vn het college: eindige utomten. 2.1 Deterministische eindige utomten We eginnen met een vooreeld. Vooreeld 2.1 Beschouw het volgende
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot I
Formules Goniometrie sin( t u) sintcosu costsinu sin( t u) sintcosu costsinu cos( t u) costcosu sintsinu cos( t u) costcosu sintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos t sin t cos t sin t www. - - nfhnkelijk
Nadere informatieAanbevolen achtergrondliteratuur met veel opgaven (en oplossingen):
Deel A Clculus Anbevolen ctergrondlitertuur met veel opgven (en oplossingen): Frnk Ayres: (Scum s Outline of Teory nd Problems of) Clculus. McGrw-Hill Compnies, 999, 578 p., ISBN: 749736. Micel Spivk:
Nadere informatieOpbouw van het boek: overzicht
Opbouw vn het boek: overzicht Opbouw vn het boek: overzicht Deel I: intuïtief Deel II: rigoureus 8: Limieten en continuïteit omschrijving en definities limieten berekenen smptoten continuïteit onderzoeken
Nadere informatie1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1:
1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: 4 2 42 8 5 3 53 15 Als je twee breuken met elkr vermenigvuldigd moet je de tellers en de noemers vn beide breuken met elkr vermenigvuldigen. Voorbeeld 2: 3 3 1 5 4 8 3 5 4 24
Nadere informatieBespreking Examen Analyse 1 (Juni 2007)
Bespreking Exmen Anlyse 1 (Juni 2007) Voorf: Zols ik ook vorig jr in juni en in september gedn heb, geef ik hier bedenkingen bij het exmen vn deze junizittijd. Ik zorg ervoor dt deze tekst op toledo komt,
Nadere informatieTentamen: Kansrekening en Statistiek P0099
Fculteit Economie en Bedrijfskunde Tentmen: Knsrekening en Sttistiek 1 6011P0099 Tentmendtum & -tijd: 15 december 015, 1:00 17:00 Studiejr 015-016 Duur vn het tentmen: 3 uur Legitimtie: U dient zich te
Nadere informatieEen regenton. W is het vlakdeel dat wordt ingesloten door de x-as, de y-as, de grafiek van r en de lijn x h, met 0 h
Een regenton Op het domein [0, ] is de functie r gegeven door r ( ) 5 5 5. W is het vlkdeel dt wordt ingesloten door de -s, de y-s, de grfiek vn r en de lijn h, met 0 h. Zie de onderstnde figuur. figuur
Nadere informatieWISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK. A.F. Bloemsma M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot
WISKUNDE VOOR DE PROPEDEUSE ENIGINEERING MARITIEME TECHNIEK A.F. Bloemsm M.A. Litjens C. Ultzen M.D. Poot INHOUD: H. : Hkjes wegwerken, ontbinden in fctoren H. : Mchten 0 H. : Het rekenen met breuken (deel
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentilvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek wi2030wbmt Roelof Koekoek (TU Delft) Differentilvergelijkingen wi2030wbmt 1 / 1 De Lplce vergelijking De tweedimensionle wrmtevergelijking
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieHoofdstuk 5: Vergelijkingen van de
Werkoek Alger (ursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk 5 : Vergelijkingen vn de e grd met één onekende Nm:. Hoofdstuk 5: Vergelijkingen vn de - 45 - e grd met één onekende. Instp (oek pg 7). Vn een rehthoek
Nadere informatieTentamen Numerieke Wiskunde (WISB251)
1 Tentmen Numerieke Wiskunde (WISB251) Mk één opgve per vel en schrijf op ieder vel duidelijk je nm en studentnummer. Lt duidelijk zien hoe je n de ntwoorden komt. Onderstnde formules en stellingen mg
Nadere informatieI Vectoren in R. I.0 Inleiding
I Vectoren in R I Inleiding Een vector is een wiskundig begrip dt centrl stt in de wiskunde zelf, mr dt ook een grote rol speelt in nder vkken, in het bijzonder de ntuurkunde en de econometrie In dit hoofdstuk
Nadere informatieIntegralen. DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f(x) wordt genoteerd met f(x)dx, en is de meest algemene zogenaamde primitieve van f(x) dat is:
Integrlen DE ONBEPAALDE INTEGRAAL VAN f() wordt genoteerd met f()d, en is de meest lgemene zogenmde primitieve vn f() dt is: f()d = F() + C wrij F() elke functie is zodnig dt F'() = f() en C een willekeurige
Nadere informatieFormeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentamen
1. Schrijf de formule vn de propositielogic Formeel Denken 2012 Uitwerkingen Tentmen (23/01/13) ( ) volgens de officiële grmmtic uit de syllus, en geef de wrheidstel. De officiële schrijfwijze is De ijehorende
Nadere informatie3 Snijpunten. Verkennen. Uitleg
3 Snijpunten Verkennen Meetkunde Snijpunten Inleiding Verkennen Bentwoord de vrgen bij Verkennen. Mk ook de constructie in GeoGebr. Gebruik eventueel het progrmm om de snijpunten voor je te berekenen ls
Nadere informatieIn dit hoofdstuk willen aan elke vierkante matrix een getal associëren dat (onder andere) aangeeft of die matrix singulier is of niet. d b. c a.
Deterinnten Deterinnt In dit hoofdstuk willen n elke vierknte trix een getl ssociëren dt (onder ndere) ngeeft of die trix singulier is of niet ) Deterinnt vn een x-trix Zij gegeven twee trices M c d en
Nadere informatieVoorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Dinsdag 25 mei uur
wiskunde 1,2 (nieuwe stijl) Exmen VWO Voorbereidend Wetenschppelijk Onderwijs Tijdvk 1 insdg 25 mei 13.30 16.30 uur 20 04 Voor dit exmen zijn mximl 86 punten te behlen; het exmen bestt uit 18 vrgen. Voor
Nadere informatieTentamen Biomechanica
Tentmen Biomechnic woensdg 18 juni 2008, 9.00-12.00 u Code: 8W020, BMT 1.3 Fculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Dit exmen bestt uit 5 opgven. Het ntl punten dt behld kn worden
Nadere informatieZwaartepunt en traagheid
Nslgwerk deel 8 wrtepunt en trgheid Uitgve 2016-1 uteur HC hugocleys@icloud.com Inhoudsopgve 1 wrtepunt 4 1.1 Inleiding wrtepunt vn een lichm....................... 4 1.2 Momentenstelling..................................
Nadere informatieOver de lengte van OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek
Over de lengte vn OH, OZ en OI in een willekeurige driehoek DICK KLINGENS (e-mil: dklingens@pndd.nl Krimpenerwrd College, Krimpen n den IJssel (Nederlnd pril 2007 1. De lengte vn OH en OZ De punten O,
Nadere informatieExact periode 2.2. Gemiddelde en standaarddeviatie Betrouwbaarheidsinterval Logaritme ph lettersommen balansmethode
Exct periode. Gemiddelde en stndrddevitie Betrouwbrheidsintervl Logritme ph lettersommen blnsmethode 1 gemiddelde en stndrddevitie vn meetwrden. x en s Hieronder zie je twee getllenseries die hetzelfde
Nadere informatiefonts: achtergrond PostScript Fonts op computers?
fonts: chtergrond PostScript Fonts op computers? Tco Hoekwter tco.hoekwter@wkp.nl bstrct Dit rtikel geeft een korte inleiding in de interne werking vn PostScript computerfonts en hun coderingen. Dit rtikel
Nadere informatie4. Wortels van decimale getallen mag je met het RT uitrekenen. Maar voor opgaven met gehele numerieke factoren wordt een exact resultaat
Modelvrgstukken Algebr vn wortelvormen Tenzij expliciet nders vermeld stellen lle letters positieve getllen voor Vereenvoudigen vn enkelvoudige wortels ; Dit is gewoon de bsisregel ) ) 8 ) ; ) Een 8-ste
Nadere informatieTentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450) Theoriedeel
Tentmen Toegepste elsticiteitsleer (4A450) Theoriedeel Dtum: 5 oktober 004 Tijd: 4:00 7:00 uur Loctie: Auditorium zl 3 en 6 Dit tentmen bestt uit drie opgven: twee theorie-opgven en één numerieke opgve,
Nadere informatieHoofdstuk 1 Introductie Analytische Meetkunde
Hoofdstuk 1 Introductie Anlytische Meetkunde 1.1 Wr ligt de scht? Op een zolder heb je een oude krt gevonden. Op een onbewoond Crïbisch eilnd is een scht begrven. De beschrijving is heel duidelijk: Loop
Nadere informatieModerne wiskunde: berekenen zwaartepunt vwo B
Moderne wiskunde: erekenen zwrtepunt vwo B In de edities 7 en 8 ws er in de slotdelen vn VWO B ruimte genomen voor een prgrf over het erekenen vn een zwrtepunt. In de negende editie is er voor gekozen
Nadere informatiewiskunde B pilot vwo 2015-I
wiskunde B pilot vwo 05-I Formules Goniometrie sin( tu) sintcosu costsinu sin( tu) sintcosu costsinu cos( tu) costcosusintsinu cos( tu) costcosusintsinu sin( t) sintcost cos( t) cos tsin t cos t sin t
Nadere informatieHoofdstuk 2: Bewerkingen in R
Werkoek Alger (cursus voor 5u wiskunde) Hoofdstuk : Rekenen in R Nm:. Hoofdstuk : Bewerkingen in R - 7 Kls:... 1. Optellen, ftrekken, vermenigvuldigen en delen in R (oek pg 15): Som: 1. vn twee getllen
Nadere informatieHet kwadraat van een tweeterm a+b. (a+b)²
Merkwrdig producten: Het kwdrt vn een tweeterm + (+)² Even herhlen Wnneer een getl of een lettervorm met zichzelf vermenigvuldigd wordt, dn duid je dt n door dt getl of die lettervorm één keer te schrijven
Nadere informatieIII. Integraalvergelijkingen.
III. Inegrlvergelijkingen. In di hoofdsuk pssen we de specrlheorie vn operoren op Hilberruimen oe op een nl lineire inegrlvergelijkingen. In een volgende hoofdsuk zullen we zien hoe beplde ypen differenilvergelijkingen
Nadere informatie100 sin(α) kn. 3,0 m. De horizontale en verticale componenten van de kracht van 100 kn worden in dit voorbeeld bepaald:
Werken met vectren In deze krte ntitie wrden sisvrdigheden vr het werken met vectren tegelicht met een pr vreelden. Het ek gt uit vn enige vrkennis m..t. vectren mr die vrkennis is niet vr iedere strtende
Nadere informatie4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES
4. LOGARITMISCHE EN EXPONENTIËLE FUNCTIES 4.. Logritmische functies 4... Inleiding 4... Rekenen met rtionle eponenten Een mcht met rtionle eponenten (strikt positief grondtl) kennen we reeds vn vroeger:
Nadere informatieHertentamen CT1031 CONSTRUCTIEMECHANICA januari 2009, 09:00 12:00 uur
Subfculteit Civiele Techniek Vermeld op blden vn uw werk: Constructiemechnic STUIENUMMER : NM : Hertentmen CT1031 CONSTRUCTIEMECHNIC 1 22 jnuri 2009, 09:00 12:00 uur it tentmen bestt uit 5 opgven. ls de
Nadere informatieF G H I J. 5480
() Nm : Kls: Dtum: A. 06 Uit ln + ln( ) = ln volgt dt gelijk is n ) ) ) ) ) g.v.d.v. B. 77 + b ) b ) (+ is gelijk n b ) ) b) ).b b F. 7 kn ook geschreven worden ls ) e ) e ) e ( ) ln e ) ) e G. 7 9 Als
Nadere informatieStudiekeuzecheck wiskunde deeltijd Basisvaardigheden Algebra Hoofdstuk 1 t/m 4
Studiekeuzecheck wiskunde deeltijd 08 Bsisvrdigheden Algebr Hoofdstuk t/m Inhoudsopgve Hoofdstuk Rekenen met letters..... Formules..... Mchten.... Worteltrekken... 6. Delen door nul kn niet... 9 Hoofdstuk
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B pilot I
Onfhnkelijk vn mimumscore 5 f ' ( x) = e + ( + ) e f' ( x ) = 0 voor x = f ( ) = (dus P (, ) ) e e Hieruit volgt dt lle punten P dezelfde y-coördint hebben, dus liggen l deze punten op één (horizontle)
Nadere informatieHoofdstuk 11. Kwadraatresten Inleiding
Hoofdstuk 11 Kwdrtresten 11.1 Inleiding In Hoofdstuk 6 hebben we geleerd hoe lineire congruentievergelijkingen vn de vorm x b mod M moeten worden ogelost. De volgende st is uiterrd het olossen vn kwdrtische
Nadere informatieBEKNOPTE ANTWOORDEN ( geen modeluitwerking! )
OPGVE EKNOPTE NTWOOREN ( geen modeluitwerking! ) e lgemene oplossing vn de 4 e orde V voor buigingsknik is: w( x) = C + C x + C cosα x + C sinα x met: α = en S z = C 4 e vier rndvoorwrden voor dit probleem
Nadere informatieVoorblad bij tentamen
Voorbld bij tentmen (in te vullen door de exmintor) Vknm: Inleiding Quntumfysic Vkcode: 3BQX1 Dtum: 4-06-015 Begintijd: 18.00 uur Eindtijd: 19.00 uur Antl pgin s: Antl vrgen: vellen A4 1 opgve (6 deelopgven)
Nadere informatieEindexamen wiskunde B1-2 vwo 2004-I
chten vn een derdegrdsfunctie Gegeven is de functie 3 2 1 3 4 4 f ( x) x x op het domein [0, 3]. V is het gebied ingesloten door de grfiek vn f en de x-s. 5p 1 ereken lgebrïsch de excte wrde vn de oppervlkte
Nadere informatieProeftentamen LAI (tweede deel), voorjaar 2006 Uitwerkingen
Proeftentmen LAI (tweede deel), voorjr 2006 Uitwerkingen 1. Lt zien: ls R een trnsitieve reltie op A is, dn is R 2 (dt wil zeggen R R) ook trnsitief. Lt vervolgens zien dt heel lgemeen geldt: ls R trnsitief
Nadere informatie(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},
Hoofdstuk II Clculus Les Differentitie vn functies Wrscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervn wt een functie is, mr voor de duidelijkeid zl et ndig zijn om de meest belngrijke begrippen n te gn en fsprken
Nadere informatieINHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5
INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE
Nadere informatie3 Exponentiële functies en logaritmische functies
Eponentiële functies en logritmische functies Bij wiskunde B heb je l eerder te mken gehd met eponentiële en logritmische functies. In dit hoofdstuk gn we er wt dieper op in en lten we een ntl toepssingen
Nadere informatieProeftentamen EINDIGE ELEMENTEN METHODE. 90 min
Proeftentmen EINDIGE ELEMENTEN METHODE 9 min Dit tentmen bestt uit opgven. Werk elke opgve uit op een fzonderlik bld. Vermeld op elk bld rechtsboven u nm Let op de ngegeven tid bi de opgven In de beoordeling
Nadere informatieANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI , 13:30-16:30
Docent: J. vn de Leur Assistent: J.L. vn der Leer Durn ANALYSE IN MEER VARIABELEN JUNI 6 03, 3:30-6:30 Exercise (5 pt) Lt T de torus in R 3 prmetristie zijn die gegeven wordt door de Φ(α, θ) = (( + cos
Nadere informatieEindexamen vwo wiskunde B II
Formules Vlkke meetkunde Verwijzingen nr definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder ndere toelichting. Hoeken, lijnen en fstnden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstnde hoeken,
Nadere informatieKansrekening en dynamica als basis voor breed wiskundeonderwijs 2
Knsrekening en dynmic ls bsis voor breed wiskundeonderwijs Joost Hulshof en Ronld Meester c Reproductie lleen in overleg met de uteurs. Alle rechten voorbehouden. 1 Voorwoord In de eerste cursus hebben
Nadere informatieZelfstudie practicum 1
Zelfstudie prtium 1 1.8 Gegeven is de volgende expressie:. () Geef de wrheidstel vn deze expressie. () Minimliseer de gegeven expressie. () Geef een poort implementtie vn de expressie vn onderdeel ().
Nadere informatie