Noordhoff Uitgevers bv

Transcriptie

1 V- d e f V- d Voorkennis: Alger met reuken ldzijde 6 heeft geen etekenis ls wnt dn wordt de noemer. De reuk heeft etekenis ls. heeft geen etekenis ls, mr dt kn niet wnt > voor lle. De reuk heeft dus voor lle wrden vn etekenis. heeft heeft geen etekenis ls ( ) of. De reuk heeft etekenis ls of. heeft geen etekenis ls negtief is wnt dn estt de wortel niet. De uitkomst vn de wortel is nooit negtief dus de noemer is nooit. De reuk heeft etekenis voor. 5 heeft geen etekenis ls ( )( ) of. De reuk heeft etekenis ls of. heeft geen etekenis ls < < en heeft geen etekenis ls 9 8. De reuk heeft etekenis ls en 8. ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t ) t tt ( ) t t tt ( ) tt ( ) tt ( ) ( t ) t tt ( ) t t t t t tt ( ) tt ( ) tt ( ) k k k k ( ) ( ) ( k) ( k ) kk ( k )( k) ( k )( k ) ( k )( k) ( k )( k ) k 5 ( k )( k) e ( ) f k k k k k k ( ) k k ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 69

2 V- V- 7 ldzijde 7 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( en ). Met de -formule vind je ( )( ) 7 ( 7) of ( ) ( ) ( ) 6( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 8) ( )( 8) ( en ) ( ) ( ) ( ) of 8 ( ). Met de -formule vind je ( ) of 5. d 8 8 ( ) ( ) 8( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( en ) of Plot Invoer: Y (X5)/(X) Venster: Stndrdinstellingen Het domein vn f is, en,. Het domein vn g is, en,. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel Plot Invoer: Y /X Venster: Stndrdinstellingen

3 De grfiek vn f heeft een vertile symtoot ls de noemer wordt. Dt is voor. De grfiek vn f ndert de horizontle symtoot steeds meer nrmte groter of kleiner wordt. Voor zeer grote of zeer kleine wrden geldt 5. De wrde lijft dus over en de horizontle symtoot is y. De grfiek vn g heeft een vertile symtoot voor. De grfiek vn g heeft ls horizontle symtoot y. g ( ) d Los o: f( ) g ( ) ( 5) ( )( ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) of De ijehorende y-wrden zijn g( ) en g( ). De oördinten vn de snijunten zijn dus (, ) en (, ). V-5 De grfiek vn h heeft een vertile symtoot voor en een horizontle symtoot voor y. Los o: ( ) Olossen met de -formule geeft of. 6 6 Los voor h ( )> eerst de gelijkheid h ( ) o en geruik de grfiek om de olossing vn de ongelijkheid f te lezen. De olossing vn de gelijkheid vond je ij odrht. Aflezen in de grfiek geeft de olossing, en,. d Voor de snijunten geldt h ( ). Olossen geeft ( ). e Als h ( ) reies één snijunt heeft dn heeft ( ) reies één olossing. Dt is het gevl ls, wnt dn wordt de vergelijking. Wnneer dn krijg je de vergelijking y ( ). Dit is een tweedegrdsvergelijking en deze heeft reies één olossing ls de disriminnt nul is, dus D B AC ( ) 6. Dus één olossing voor en voor. V-6 l heeft een vertile symtoot ls de noemer log nul is. Dt is voor. Voor zeer grote wrden vn gt wordt de reuk, dus l heeft een horizontle symtoot y. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

4 7 m heeft een vertile symtoot ls log log. Voor zeer grote wrden vn gt wordt de reuk, dus m heeft een horizontle symtoot y. Nst de wrden ij odrht wordt het domein eerkt door > ls domein vn de stndrdfuntie log. Het domein vn l wordt drmee, en, en het domein vn m wordt drmee, en,. ( log ) log log log log log log l( ). De oördinten vn het snijunt zijn (, ). log 8. Produtregel ldzijde 8 f( ) ( 8) 8 f'( ) 8 8 Plot Invoer: Y X^(X8) Venster: Xmin ; Xm 6 Ymin 6; Ym f'( ) 8 8 ( ) 8 of of f''( ) 8. Buigunten zijn er voor f''( ) 8 ( ) of De grfiek vn f dlt o, en stijgt o,. Hij heeft de fgeleide vn elke term erekend en met elkr vermenigvuldigd. d Als f'( ) 6 dn zou je de etreme wrde voor niet vinden wnt deze f ' is drij niet. Uit de grfiek lijkt dt er ij wel een etreme wrde is, dus de funtie voor f ' klot niet. ( q) ( q)( q) ( q) q( q) q q qq q q Noem f u en u. Differentiëren vn f volgens de kettingregel geeft f' u ' '. I: Met de kettingregel volgt: (( q) )' ( q)( q)'. Met de somregel voor fgeleiden volgt ( q)( ' q'). II: Shrijf je ( q) ls q q dn volgt uit odrht en de somregel (( q) )' ( q q )' ( )' ( q)' ( q )' ' ( q )' qq ' De fgeleiden ij I en II zijn ntuurlijk hetzelfde, dus kennelijk geldt: ( q) ( ' q') ' ( q )' qq '. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

5 d ( q) ( ' q') ' ( q )' qq ' ( q) ( ' q') ' ( q )' qq ' ' q ' q ' qq ' ' ( q )' qq ' q ' q ' ( q )' ofwel ( q )' ' q q '. f( ) ( ) q ( ) sin f'( ) '( ) q ( ) q ( ) '( ) sin os sin os f( ) ( ) q ( ) ( ) ( ) f'( ) '( ) q ( ) q ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) g q os g'( ) ' q q ' os sin os sin d h q sint ost h'( t) ' q q ' ost ost sin t sint os t sin t ldzijde 9 Oervlkte At () l ( t 8t) ( t t) t t 6t 8t t 6t 8t t ( t t ) A( ) ( ) 56 A(,), 69, 65, De gemiddelde snelheid wrmee de oervlkte toeneemt is A A(,) A( ) 65, 56 9,,, De toenme vn de oervlkte is de som vn de oervlkte vn de rehter strook, de ovenste strook en het rehthoekje rehtsoven. toenme vn de oervlkte A oervlkte vn de rehter strook l oervlkte vn de ovenste strook l oervlkte vn het rehthoekje rehtsoven l, dus A l l l. d A l l l e A l l l l l l l l l l l l. Als o tijdsti t nr ndert, dn nderen l en nr de hellingen vn de grfieken vn l en o tijdsti t. De hellingen zijn eindige wrden zodt het rodut l helling vn l helling vn nr helling vn l helling vn ndert ls nr ndert. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

6 7 f Als o tijdsti t nr ndert lijft vn A volgens odrht e de uitdrukking A l l over. Als o tijdsti t nr ndert kun je l en vervngen door de hellingen d l dt en d vn de grfieken o tijdsti t en A door de helling da vn de grfiek vn dt dt At (). Invullen in de vorm voor A geeft dus A l l df dl l d dt dt d t, ofwel met de ent-nottie: A' l' l ' wt de rodutregel is voor de rodutfuntie A l. 5 f( ) ( ) q ( ) ( ) '( ) q ( ) ( ) kettingregel q'( ) f'( ) q ' q' Vereenvoudigen levert ( ) Plot Invoer: Y (X )/ (X ) Venster: Xmin 7 ; Xm 7 Ymin ; Ym ( ). ( ) Geruik voor het enderen vn de hellingsfuntie het differentieqoutiënt df f(, ) f( ). Geruik voor f o de rekenmhine d, Y X (X ) mr zet het tekenen hiervn uit door ij de TI: zet de ursor o de n Y en druk Enter. De is niet meer geselteerd. ij de Csio: seleteer de funtie en druk o F (SEL). De n Y is niet meer geseleteerd. Lt de endering tekenen door de funtie Y (Y(X.) Y(X))/. Verwijs nr Y ij de TI vi het menu onder de kno VARS en ij Csio onder de kno VARS de Y kiezen en dn erhter zetten om Y te kiezen. Drn de rest vn de regel inlusief hkjes invoeren o de geruikelijke mnier. De gelotte funtie vn f ' en de endering vllen smen; de ontrole klot dus. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

7 g ( ) ( ) q ( ) sin( ) ( ) '( ) kettingregel q ( ) sin( ) q'( ) os( )( ) g'( ) q ' q' sin( ) os( ) ( ) ( )os( ) sin( ) De gelotte funtie vn g' en de endering vllen smen. At () t () qt () t os( t) t () t '( t) 6 qt () os( t) q'() t sin( t) t A'( t) q ' q' os( t) t sin( t ) os( t) t sin( t ) t De gelotte funtie vn A' en de endering vllen smen. kettingregel Eerst hkjes wegwerken en dn differentiëren: f( ) ( ) ( )( ) f'( ) 8 6 Met de kettingregel: f'( ) ( )( ) ( 6 9 6) ( 9 6) 8 6 Met de rodutregel: f q ( ) ( ) f' ' q q' ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( 6 9 6) ( 6 9 6) ( 9 6) 8 6 De fgeleide is steeds hetzelfde. De kettingregel is eenvoudig en levert het snelste het ntwoord. Het lstigst is de hkjes eerst uitwerken en dn differentiëren; je krijgt dn veel termen en je mkt meer knsen o fouten. 8. Quotiëntfunties ldzijde 7 De noemer mg niet zijn, dus lle wrden voor zijn toegestn ehlve en. Het domein is dus, en, en,. 6 ( ) ( ) Voor geeft g de wrde d f() g(),99, , ,9999, , kn niet, ,, , ,,665...,665.., mr f estt niet wnt dn is de noemer. De grfieken vn f en g zijn reies hetzelfde ehlve voor estt f niet. In de grfiek kun je dt niet zien. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 75

8 8 9 d 76 ( ) f( ) ( ) ( ) Beide grfieken vllen smen. In f kn geen zijn nders wordt de noemer in. Ook kn geen zijn nders wordt noemer in. Het domein is dus, en, en,. y 6 ( ) De formule geldt niet ls. 6 y 6 6 ( ) De formule geldt niet ls vnwege en niet ls. y De formule geldt niet ls 5. y De formule geldt niet ls vnwege. Voor elke ndere wrde is de noemer steeds ositief. ldzijde f( ) f( ) f( ) Nulunten: f( ) of Asymtoten: voor wordt de noemer vn nul, dus is een vertile symtoot. f( ) Nulunten: f( ) of 5 Asymtoten: voor wordt de noemer, dus is een vertile symtoot. Voor zeer grote wrden vn ndert 5 nr, dus y is een horizontle symtoot. ( ) f( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) Nulunten: f( ) ( ) Asymtoten: voor en wordt de noemer, dus en zijn vertile symtoten. Voor zeer grote wrden vn ndert nr, dus y is een horizontle symtoot. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

9 d f ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 5 5 ( )( 5) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( 5) Nulunten: f( ) ( )( 5) of 5 ( )( ) Asymtoten: voor en voor wordt de noemer, dus en zijn vertile symtoten. Voor zeer grote wrden vn ndert nr en nr dus f nr zodt y een horizontle symtoot is. Alle wrden vn zijn mogelijk ehlve ls de noemer, os, ofwel ij os π of π of π of... of π of π of of... π, dus ± π k met k oneven. De vertile symtoten heen dus de vergelijkingen ± π k met k oneven. f( ) os os ( os ) os os os os os Uit sin os volgt os sin. Invullen geeft f( ) os sin os sin os os os sin tn. os os 8. Asymtoten ldzijde De noemer vn f en g mg niet zijn, verder kunnen lle wrden voor, dus het domein vn f en g is, en,. De wrde wrij de noemer is geeft een vertile symtoot, dus ij. f() g () 6,..., ,68...,6...,5...,..., ,67..., ,5... 5,...,...,6...,...,...,... De funtie f ndert steeds meer de wrde en g ndert steeds meer de wrde. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 77

10 e 78 f f() g () 6,..., , ,9...,997...,98..., ,66..., ,9... 5,996...,..., ,..., ,... De funtie f ndert weer steeds meer de wrde en g ndert weer steeds meer de wrde. g ( ) ( ) ( ) 6 Voor grote wrden vn gt nr en lijft g ( ) over. De lijn y is dus een symtoot vn g. f ( ) ( ) 6 Voor grote wrden vn gt nr en lijft f( ) over. De lijn y is dus een symtoot vn f. ldzijde Het domein vn f is, en,. f( ) De vertile symtoot is. De sheve symtoot is y. 5 Voor f gelden lle wrden voor ehlve. Het domein is dus, en,. Plot voor Invoer: Y (X X)/(X()) Venster: Xmin 5 ; Xm 5 Ymin ; Ym Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel Plot voor Invoer: Y (X X)/(X()) Venster: Xmin 5 ; Xm 5 Ymin ; Ym

11 Plot voor Invoer: Y (X X)/(X()) Venster: Xmin 5 ; Xm 5 Ymin ; Ym y 9 6 O Plot voor Invoer: Y (X X)/(X()) Venster: Xmin 5 ; Xm 5 Ymin ; Ym f ( ) ( ).Voor gt f over in de funtie ( ) ( ) f ( ) wt een rehte lijn met vergelijking y is. ( ) d Om de symtoot te vinden voor en wordt de funtie ontonden in termen wrin geen meer tegelijk in de teller en de noemer voorkomt. Bij deze ontinding geruik je een seile tehniek die twee keer wordt toegest. Shrijf ls term wrin de ftor voorkomt. Dt wordt ( ). De term wordt toegevoegd ls orretie om de term die ontstt uit ( ) o te heffen. Drmee wordt de funtie f ( ) ( ) 5 ( ) ( ) 5 5 Shrijf nu 5 ls term wrin de ftor voorkomt. Dt wordt 5( ). De term wordt toegevoegd ls orretie om de term die ontstt o te heffen. Drmee wordt de funtie 5( ) 5( ) 5( ) f ( ) 5. Voor en gt nr dus lijft de funtie f ( ) 5 over wt een rehte lijn is met vergelijking y 5. De sheve symtoot heeft dus ls vergelijking y 5. Omerking: je mg deze funtie dus niet vereenvoudigen tot ijvooreeld, dn voor stellen dt nr gt en je dus overhoudt! G n dt dit komt doordt in de teller nog steeds een uitdrukking met voorkomt. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 79

12 6 8 In de teller mg niet zijn vnwege en de noemer mg niet zijn, dus en voldoen niet. Het domein wordt dus, en, en, en,. f ( ) ( )( ) Bij heeft de grfiek een erfortie wnt ij f( ) is hier geen ijzondere wrde. Bij heeft de grfiek een erfortie wnt ij f( ) is hier geen ijzondere wrde. Bij heeft de grfiek een vertile symtoot wnt ij f( ) is hier de noemer ook. 7 De noemer is voor of of. Het domein is, en, en,. Als dn ndert de wrde vn de ovenknt, dus vn grotere wrden dn. De grfiek lt zien dt je de symtoot dn vn rehts ndert en dt f dn nr gt. Als dn ndert de wrde vn de onderknt, dus vn kleinere wrden dn. De grfiek lt zien dt je de symtoot dn vn links ndert en dt f dn nr gt. De grfiek heeft twee vertile en een horizontle symtoot. Wnneer nr of gt, gt de reuk nr en de funtie dus nr. y is dus horizontle symtoot. Bij en heeft de grfiek vertile symtoten omdt de noemer dn is. d f omwerken geeft f( ) ( )( ) 6 8 ( ) ( ). Deel in de middelste term de weg uit de teller:. Voor en gn en nr zodt f( ± ) overlijft. f heeft dus een horizontle symtoot met vergelijking y. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

13 Qoutiëntregel ldzijde f( ) ( )( ) Noem f( ) ( ) q ( ) ( ) ( ). Dn ( ) '( ) en q ( ) ( ) q'( ) ( ) ( ) Volgens de rodutregel volgt voor de fgeleide vn f volgens de kettingregel. f'( ) ' q q ' ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Voor de toen geldt f'( ). Olossen geeft ( )( ) ( )( ) of ( ) f ( ( ) ) en f ( ) 6 ( ) De oördinten vn de toen zijn (, ) en (, ). f t n t n Stel f q met t en q n dn ' t' en volgens de kettingregel q' n n' n' n f q differentiëren volgens de rodutregel geeft f' ' q q' t' n t n' t' t n' n n n f ' t' t n' t' n t n' t' n t n' n n n n n f( ) met t ( ) en n ( ) volgt t'( ) en n'( ) Volgens de quotiëntregel is f t n t n ' ' ' ( ) n ( ) ( ) ( ) Voor de toen geldt f'( ) ( ) f ( ) en f () of De oördinten vn de toen zijn (, ) en (, ). De noemer is nooit dus er zijn geen vertile symtoten. Horizontle of sheve symtoten: f( ) Voor ± gt nr, dus y is een horizontle symtoot. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 8

14 d 8 f( ) met t ( ) en n ( ) volgt t'( ) en n'( ) Volgens de quotiëntregel is f t n t n ' ' ' ( ) ( ) 8 6 n ( ) ( ) ( ) Voor de toen geldt f'( ) 6 6 ( ) f ( ) De oördinten vn de to zijn (, ). De noemer is voor en dus dr zijn vertile symtoten. Horizontle of sheve symtoten: f( ) Voor ± gt nr en nr, dus f( ± ) en y is een horizontle symtoot. f( ) met t ( ) en n ( ) volgt t '( ) en n'( ) Volgens de quotiëntregel is f ' t' n t n' n ( ) Voor de toen geldt f'( ) f ( ), kn niet, dus er zijn geen toen. G n dt het domein [, en, is, er is een vertile symtoot. Horizontle of sheve symtoten: f( ) Voor ± gn en nr, dus f( ) en y is een horizontle symtoot. f( ) met t ( ) en n ( ) volgt t'( ) en n'( ) Volgens de quotiëntregel is f t n t n ' ' ' ( ) ( ) ( ) 6 n ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

15 e f Voor de toen geldt ( )( ) f'( ) ( )( ) of ( ) f () en f () De oördinten vn de toen zijn (, ) en (, ). De noemer is voor dus dr is een vertile symtoot. Horizontle of sheve symtoten: f ( ) ( ) ( ) Voor ± gt nr en nr, dus f( ) en y is een sheve symtoot. f( ) met t ( ) en n ( ) volgt t'( ) en n'( ) Volgens de quotiëntregel is f t n t n ' ' ' ( ) n ( ) ( ) ( ) Voor de toen geldt ( ) ( ) ( ) f'( ) ( ) of ( ) of of. Uit een lot zie je dt ij de grfiek lleen een uigunt heeft en geen to. f ( ) en f ( ) De oördinten vn de toen zijn (, ) en (, ). De noemer is voor en dus dr zijn vertile symtoten. Horizontle of sheve symtoten: f ( ) ( ) ( ) Voor ± gt nr, dus f( ± ) en y is een sheve symtoot. f( ) met t ( ) en n ( ) volgt t'( ) en n'( ) Volgens de quotiëntregel is f t n t n ' ' ' ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) Voor de toen geldt f'( ) ( ) of 6 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 8

16 8 ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) f ( ) De ete oördinten vn de toen zijn (, 6 9) en (, 6 9 ). De noemer is voor dus dr is een vertile symtoot. Horizontle of sheve symtoten: f ( ) ( ) ( ) Voor ± gt 6 nr 6, dus f( ± ) 6 en y 6 is een sheve symtoot. ldzijde 5 Ct () 6t t ) t ( t Voor t gt t, dus C( t ). Er ontstt o den duur dus mol eindrodut. De retiesnelheid is d C 6 t t C t ( ) 6 '( ) 8t 8t dt ( t ) ( t ) ( t ) minuut. mol/ Voor t gt C'( t) nr. De retiesnelheid wordt dus mol/minuut; de retie stot. Voor f 5 wordt v f 5 v. 5 v v 5 v 5 5v 5v 5v 5v v 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

17 Plot Invoer: Y 5X/(X5) Venster: Xmin 5 ; Xm 75 Ymin ; Ym 5 Als v 5 dn. De eeldfstnd komt dus in het oneindige te liggen; de lihtstrlen vn snijden elkr niet meer in het eeldunt wnt ze loen dn evenwijdig. De voorwersfstnd v wordt gerekend vnf de lens. Er wordt er seonde 5 m vn de eginfstnd vn 5 m fgehld zodt de formule v 5 5 t wordt. d vt () 5 5t invullen in v () 5v v 5 geeft t 55 ( 5t) ( t) () t t ( t) 9 t Met de quotiëntregel volgt d t t t 5 ( 9 ) ( 5 5 ) '( ) 5 5t 5 5t 5 5 dt ( 9 t) ( 9 t) ( 9 t) ( t 9) Het voorwer legt de fstnd tot de lens f in seonden, dus t. Een lot lt zien wt er met de eeldverltsing geeurt: Plot Invoer: Y 5/(X9) Venster: Xmin ; Xm Ymin ; Ym 5 De eginsnelheid is '( ), 6 m/se. 8 Rond t 9 is de eeldverltsing zeer groot om n seonden met een eindsnelheid vn 5 m/se te eindigen. De snelheid is ltijd ositief dus het eeld verltst zih steeds nr rehts. Als t 9 loen de lihtstrlen evenwijdig en is er geen eeldunt. Het voorwer stt dn in het rndunt. N 9 seonden ontstt een virtueel eeld links vn de lens: de lihtstrlen n de lens divergeren (wieren uiteen) mr lijken uit een eeldunt te komen dt links vn de lens ligt. De eeldverltsting tussen 9 en se is de snelheid wrmee het virtuele eeld zih verltst. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 85

18 Uiterste wrden erekenen ldzijde 6 Bij stilstnd wter zou de snelheid vn de zwemmer m/s zijn ten ozihte vn de wl. Bij stroomowrts zwemmen remt de stroming ehter zijn snelheid met v zodt die v wordt. Bij stroomfwrts zwemmen vergroot de stroming zijn snelheid met v zodt die v wordt. Uiterrd geldt de eis v < nders zou de zwemmer de eerste kri nooit ereiken mr eenvoudig weggesoeld worden door het wter. Voor 5 m tegen de stroom ozwemmen heeft hij 5 seonden nodig. v Voor 5 m met de stroom meezwemmen heeft hij 5 seonden nodig. v Voor km voor de hele toht heeft hij dus 5 5 seonden nodig. v v tv () 5 v 5 wruit de fgeleide volgt t'( v) 5 5 v ( v) ( v) De kortste tijd is een minimum vn tv (), dus los o: t'( v). t'( v) 5 5 ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) ( v) v v v v v v Bij v is de stroomsnelheid dus is er stilstnd wter.. f( ) ( ) q ( ) os f'( ) ' q q ' os sin os sin f ( π) π os π π π, dus ( π, π ) ligt o de grfiek vn f. π invullen in de vergelijking geeft y π, dus ( π, π ) ligt o de grfiek vn y. f '( π) os ππ sin π π d Nee, ij een to loot de rklijn horizontl dus hd de helling moeten zijn ij odrht. e Los o: f'( ) os sin. Geruik de rekenmhine en zoek het nulunt in de uurt vn π dit geeft 6,. f ( 6, ) 6,. Dus de to is ( 6, ; 6, 6 ). Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

19 5 Om de solute wrde vn te lotten kies je o de TI en de Csio de As funtie in het menu onder de Ctlog-toets. 6 Plot Invoer: Y s(x) Venster: Xmin 5; Xm 5 Ymin ; Ym y 8 6 O 6 8 De solute wrde vn een getl is ltijd ositief. ls > f( ) ls Uit de lot lees je f dt de minimumwrde wordt ereikt voor. d Nee, er geldt f'( ) ls en f'( ) ls, dus geldt niet dt f'( ). ldzijde 7 Plot Invoer: Y (os(x))/ (os(x)) Venster: Xmin ; Xm Ymin ; Ym Nulunten: f( ) os os os os π 5, of π 5, De grfiek heeft een vertile symtoot ls de noemer is: os os π. Met de quotiëntregel volgt sin ( os ) ( os) sin f'( ) sin sin os sin ossin sin ( os ) ( os ) ( os ) Voor de mimim geldt f'( ) en f'( ) wisselt dr vn negtief nr ositief. Olossen geeft f'( ) sin sin sin, ± π, ± π,... ( os ) O het gegeven domein zijn er lleen etreme wrden voor en π. Het teken vn f ' wisselt volgens sin ij de nulunten wnt de noemer ( os ) is ltijd. Bij de nulunten en π wisselt sin vn nr dus de etreme wrden zijn minim. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 87

20 Slits de funtie o in twee delen en onderzoek er deel de toen. Als 9 ositief is geruik je 9 voor 9. 9 is ositief ls > 9 > of <. Als 9 negtief is geruik je ( 9 ) voor 9 om de wrde weer ositief te mken. 9 is negtief ls < 9 < <. ( 9) 9 ls< of > Dus: f( ) 9 ( 9) 9 ls I) De toen vn de grfiek vn f voor het domein > en <. De funtie o dit domein is f( ) ( 9 ). f'( ) ( 9) 9 Voor de toen geldt f'( ) 9 of. Beide olossingen liggen uiten het domein > en <, dus o dit domein zijn geen olossingen. De omkeerunten door de solute wrde geven toen ij en. II) De toen vn de grfiek vn f voor het domein < <. De funtie o dit domein is f( ) ( 9 ). f'( ) ( 9) 9 9 Voor de toen geldt f'( ) 9 of. f ( ) ( 9) 6 en f ( ) ( 9) 6. De ete oördinten vn de toen zijn (, 6 ) en (, 6 ) ; de omkeerunten geven de toen (, ) en (, ). ( 9) 9 ls< of > f( ) 9 ( 9) 9 ls Voor het domein > en < geldt f''( ) 6. Voor het uigunt geldt f''( ) 6. De olossing ligt uiten het domein > en <, dus o dit domein is geen uigunt. Voor het domein < < geldt f''( ) 6. Voor het uigunt geldt f''( ) 6. f ( ). De ete oördinten vn het uigunt zijn (, ). Plot Invoer: Y X^/X Venster: Xmin 5 ; Xm 5 Ymin ; Ym Voor lijkt de grfiek een to te heen mr vnwege de deling door die dn otreedt is hier srke vn een erfortie en vlt dit unt juist uiten het domein. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

21 9 f ( ). Uit de quotiëntregel volgt f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Er is een minimum ls f '( ) en f '( ) vn negtief nr ositief verndert ij het nulunt. f ( ) ( ) of ( ) of Voor lle is de rklijn horizontl ij deze -wrden. Uit een lot vn f '( ) voor vershillende wrden vn zie je dt f ) steeds vn nr wisselt rond het nulunt ij. Er is dr dus srke vn een minimum. Bij treedt geen tekenwisseling o. De grfiek vn f heeft dr voor lle dus een uigunt. f ( ) De to ligt o (, 6 ). d Voor elke to is en y 6. Invullen vn in y geeft 9 7 y ( ) 6 wt overeenkomt met de y-oördint. De volgende uto die het meetunt sseert heeft een fstnd vn r meter fgelegd. Bij een snelheid vn v m/s is de enodigde tijd hiervoor T r v 8 v. v v 8v In T seonde sseert er uto. In seonde sseert er T uto. Het ntl uto s A dt in seonde het meetunt sseert is dus A. T Av () 8v T v ( v ) v v A'( v) v ( v ) ( v ) Voor het mimum geldt A'( v) 56 8v 56 8v v v ( v ) 6 m/s. Dt is ongeveer, km/h. 8.6 Gemengde odrhten ldzijde 8 y is het snijunt vn de lijn met de y-s. De lijn kntelt om Q. Omdt RQ en PA evenwijdig zijn, zijn de hoeken RQB en PAQ gelijk. PAQ en RQB heen eide een rehte hoek. De overgeleven hoek in eide driehoeken zijn dus ook gelijk n elkr, dus PAQ en RQB zijn gelijkvormig en er geldt RB : RQ PQ : PA. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 89

22 9 Met RB OB OR y, PQ, RQ en PA OA OP wordt dit y y y. Voor wordt de noemer dus de grfiek vn f heeft dr een vertile symtoot. Punt A is dn nr P vershoven en de lijn stt reht en loot evenwijdig n de y-s. Er is dn geen snijunt meer met de y-s. Voor ndert nr, dus lijft y over. De grfiek vn f heeft dus een horizontle symtoot y. Als A steeds meer nr rehts vershoven wordt ndert B steeds meer de hoogte vn het kntelunt Q. S OAOB ( ) ( ) ( ) d e f S ( ) Voor ndert nr, dus S ndert nr. De sheve symtoot heeft dus vergelijking y. De vertile symtoot ij voor de oervlkte S ontstt doordt de y-wrde nr gt voor. De oervlkte vn OAB ndert nr y. De sheve symtoot ontstt doordt de oervlkte vn RQB nr ndert voor. De oervlkte vn OAB ndert dn nr de oervlkte vn PAQ oervlkte vn OPQR. Dt is PA PQ OP PQ ( ). Voor gt de oervlke S nr en voor eveneens. Voor een eindige -wrde hiertussen is de oervlkte kleiner. Er moet dus een minimle wrde zijn tussen de twee oneindige wrden zijn. In de figuur zie je dt de PAQ kleiner wordt ls nr links gt en dt dt RQB groter wordt. De oervlkte is wrshijnlijk miniml ls de oervlkten vn de driehoeken even groot zijn. Uit de quotiëntregel volgt d S ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ). Voor het minimum geldt d S ( ) ( ) of. d ( ) Alleen voldoet. Bij hoort y. De unten zijn dus A(, ) en B(, ). G n dt hiervoor de oervlkten vn PAQ en RQB inderdd n elkr gelijk zijn. De osinus kn miml worden en miniml. Als < kn de mimle wrde vn de osinus de noemer net geen mken. Als > kn de minimle wrde vn de osinus de noemer net geen mken. Omdt de noemer geen kn worden zijn er geen vertile symtoten. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

23 f ( ) os ( os ) os os Voor gt dit over in f ( os ) ( os ) ( ) met os os os os os voor π of π. Voor is de grfiek vn f dus een horizontle lijn y met erforties voor π en π. Uit de quotiëntregel volgt f '( ) sin ( os ) ( os ) sin sin sin os sin sinos ( )sin ( os ) ( os ) ( os ) Voor : f '( ) ( ) sin ( ) ( os ) ( ) ( ), dus de rklijn is horizontl. f ( ) os, dus het unt (, ) os klot. Voor π: f '( ) ( ) sin π ( ) π ( os π) ( ) ( ), dus de rklijn is horizontl. f ( π ) os π, dus het unt (, ) os π π klot. Voor π : f '( ) ( ) sin π ( ) π ( os π) ( ) ( ), dus de rklijn is horizontl. f ( π ) os π, dus het unt (, ) os π π klot. d In het rijtje voor uiterste wrden (, ), ( π, ) en ( π, ) moet de y- wrde worden. Voor (, ) geeft dt Voor ( π, ) geeft dt Voor ( π, ) geeft dt weer... Voor en heeft f dus een uiterste wrde. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9

24 9 ldzijde 9 Een horizontle symtoot is een horizontle lijn. De helling vn een horizontle lijn is dus de helling vn een horizontle symtoot is. Voor gt f steeds meer nr de symtoot dus nr de horizontle lijn dus nr een lijn met helling. De helling f'( ) moet dus nr gn voor. Een sheve symtoot is een sheve lijn. De helling vn een sheve lijn is dus de helling vn een sheve symtoot is. Voor gt f steeds meer nr de symtoot dus nr de sheve lijn dus nr een lijn met helling. De helling f'( ) moet dus nr gn voor. f ( ) ( ). Voor gt nr dus lijft over f( ). Er is een horizontle symtoot met vergelijking y. g ( ) ( ) ( ) Voor gt nr dus lijft over g ( ). Er is een sheve symtoot met vergelijking y. d h ( ) h'( ). Voor gt h'( ). Als er een horizontle symtoot is moet h ( ) nr een onstnte wrde voor gn, mr dt is duidelijk niet het gevl. Als er een sheve symtoot y is moet het vershil h ( ) ( ) nr gn. h ( ) ( ) ( ) ( ) Voor gt en ( ) ± ls en nr ls. Het rodut ( ) gt dus ltijd nr ± en niet nr, dus er is ook geen sheve symtoot. k ( ) k'( ). Voor gt k'( ). Als er een horizontle symtoot is moet k ( ) nr een onstnte wrde voor gn, mr de funtie lijft toenemen met toenemende. Als er een sheve symtoot y is moet het vershil k ( ) ( ) nr gn. k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Voor gt en ( ) ±. Het rodut ( ( ) ) gt dus ltijd nr ± en niet nr, dus er is ook geen sheve symtoot. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

25 Plot Invoer: Y (X^ )/X Venster: Xmin 5; Xm 5 Ymin 5; Ym f( ) f'( ) f''( ) Bij de uigunten geldt f''( ) ( ) ( ) f ( ). De ete oördinten vn het uigunt zijn (, ). g ( ) f( ) Voor < en > geldt g ( ) f( ). Voor < < geldt g ( ) f( ). De toen voor < en > volgen uit g'( ) 7, ( ) g( ) 89,. 9 De ete oördinten vn de to zijn ( 5, ; 5, ) en de rklijn is horizontl, de lijn y, 5. De toen voor < < volgen uit. g'( ) 79,. De olossing ligt uiten het domein dus er zijn geen toen. De slitsing voor de solute wrde geeft een to voor met oördinten (, ). De rklijn estt hier niet. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9

26 Plot Invoer: Y /X*sin(πX) Venster: Xmin ; Xm Ymin ; Ym 7 Er is srke vn een horizontle symtoot. Voor t ndert de funtie steeds meer de -s. Voor t gt nr mr sinπt nr. Wt et uit het rodut komt in dit t gevl kun je nog niet erekenen. De grfiek geeft n dt er een eindige wrde is en geen vertile symtoot. Voor kleine wrden vn t geldt sint t wnt de rklijn n sint voor t is y t. d Er geldt dus sinπt πt zodt U sin π t π t π voor t. t t Een lot lt zien dt in het eerste gevl een gedemte trilling ontstt die egint in (, ). De trilling demt wel minder sterk wnt t neemt minder snel toe dn t. Hier heeft hij dus gelijk. In het tweede gevl egint de trilling wel in (, ) mr is niet meer gedemt wnt de ftor gt hier nr ls t. De trilling egint ovendien met een oslingering. Hij heeft hier dus niet gelijk. ICT-Asymtoten ldzijde I- Het domein vn f is met. De vertile symtoot is Je vindt. Nee, de lijn kn ver uiten het eeld de grfiek misshien snijden en geen symtoot lijken te zijn. De lijn o het oog instellen o het sherm geeft wel een vermoeden mr geen zekerheid. d Bij een strtwrde en stgrootte vn is y voor lle telwrden vn. Het ntwoord ij klot nog steeds. e Bij een strtwrde en stgrootte vn verndert er niets n de uitkomst vergeleken met odrht d. I- Voor lijkt de lijn o een symtoot. Lijn m is dus y. Nst de grfiek vn de funtie f uit odrht I- zie je ook de grfiek vn de funtie g met hetzelfde domein en dezelfde vertile symtoot. Klik o de formule vn g om de funtie te seleteren. Bij een strtwrde en stgrootte vn verduelen de -wrden tot de y-wrden. Nrmte toeneemt wordt dt steeds eter. Het ntwoord ij lijkt te kloen. De grfieken vn A en B vllen over elkr heen en over de grfiek vn g. De funties zijn n elkr gelijk. 9 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

27 d e Als heel groot ositief of heel groot negtief wordt (dus heel klein wordt) dn gt in formule B de term nr en lijft y over. Mr ls je zo lt vernderen dn vind je eventuele horizontle symtoten. De wrde wijst er dus o dt de symtoot hier niet horizontl is mr een lijn met vergelijking y. f ( ) ( ) ( ). Als heel groot ositief of heel klein wordt dn gt de term nr en lijft f( ) over, dus de grfiek vn f heeft de lijn y ls symtoot. ldzijde I- Voor en wordt de noemer dus deze wrden zijn niet toegestn. Alle ndere -wrden wel, dus het domein is met en. Voor gt f nr. Voor gt f nr. f heeft een vertile symtoot voor en. f( ) ( )( ) Als of dn gt de term en nr en lijft 6 88 f( ) over, dus de lijn y is een horizontle symtoot. I- Voor wordt de noemer dus deze wrde is niet toegestn. Alle ndere -wrden wel, dus het domein is, en,. Je ziet vertile symtoten voor, en. Tre-kno en g nr het snijunt met de y-s. O het snijunt vlt de funtie weg dus dr estt f niet. O die lek vn f is niet lleen de noemer mr ook de teller, er is dr een erfortie. d Voor. e De unten A(, ) en B(, ) moeten nulunten zijn vn f wnt y. Olossen I-5 geeft f ( ) ( ) ( ) of. De olossing geldt voor lle wrden,, en dus l deze vier grfieken gn door A. De olossing geldt voor, en mr niet voor wnt dn zijn de noemer en teller en he je het gevl ij odrht. Voor en wordt de noemer dus deze wrden zijn niet toegestn. Alle ndere -wrden wel, dus het domein is met en. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 95

28 96 Er is lleen een vertile symtoot voor. Voor zijn de teller en noemer vn f eide en heeft de grfiek een erfortie (mk weer geruik vn de tre-kno). I-6 Uit f ( )( ) ( ) 7 met ( ) volgt een ( ) ( ) funtie wrvn de grfiek smenvlt met die vn f zonder erfortie ij. De y-wrde die ij de erfortie hoort is 5,. Voor estt de term niet. Bij loot de grfiek gewoon door o het sherm mr met de tre-kno merk je weer dt er een erfortie is. Bij, en geeft de tel geen wrde weer en deze -wrden ehoren niet tot het domein. d Alle vier grfieken vllen smen. e Voor grfiek B: uit A volgt y wrij wel is toe- gestn, dus de erfortie vn A voor is ij B ogeheven. Voor grfiek C: uit B volgt y dit is et dezelfde funtie ls B en er zijn geen vershillen in de ( )( ) ( )( ) grfieken. Voor grfiek D: uit C volgt y wrij wel is toegestn, ( )( ) dus de erforties vn A voor en zijn ij D ogeheven. Voor, en wordt de noemer dus deze wrden zijn niet toegestn. Alle ndere -wrden wel, dus het domein is met, en. Bij en vertoont de grfiek een erfortie en ij vertoont de grfiek een vertile symtoot. Test jezelf ldzijde T- O l do O' l' l ' dt Met l' 5 t t en ' t t volgt do O'( t) l' l ' t ( t ) ( 5t ) t t t t t dt t 6t O l ( 5t )( t ) 5t t t 5t 8t O'( t) 5 t 8 t t 6t Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

29 T- R S R R R S Plot Invoer: Y X/(X) Venster: Xmin ; Xm Ymin ; Ym R S ( ) 9 9. Weerstnd is ltijd ositief en 9 dus ook. Dt etekent dt er vn ltijd iets fgt dus R S is ltijd kleiner dn ohm. R 5, S 5,, 5( ), 5, 5,5, 5 De olossing voor de ongelijkheid lees je verder uit de grfiek f:. Merk o dt je ook o grond vn symmetrie tot deze uitkomst kunt komen omdt,5 ohm de helft is vn ohm moet de ndere weerstnd ook ohm zijn. Hoe groter de ene rllelgeshkelde weerstnd is des te kleiner is zijn invloed o de vervngweerstnd, dus moet groter zijn dn ohm. T- f 6 ( ) of 6 f ( ) 6 heeft vertile symtoten ls de noemer is, dus ls, 7 of, 7 f ( ) ( )( 6 ) ( )( ) Voor gt de funtie over in f ( ) welke geen symtoten heeft. ( )( ) Voor gt de funtie over in f ( ) welke geen symtoten heeft. d f ( ) 6. Met de quotiëntregel volgt 5 5 f '( ) ( ) ( 6) ( 6) ( ) ( ) ( ) O een to geldt f '( ) ( 6) ( 6) of ( 6). ( ) Voor is dus ligt een to o de y-s ls. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 97

30 98 Als wordt de funtie f ( ) 6 6 en estt niet voor wnt dn is de noemer. In dit gevl is de y-s weer een vertile symtoot. ldzijde 5 T- f ( ) ( ) ( ) T-5 ( ) Voor wordt de noemer dus deze wrde is niet toegestn. Alle ndere -wrden wel, dus het domein is met. In de vereenvoudigde uitdrukking f ( ) zie l de vergelijking vn de rehte lijn y zitten. De term moet dn gemkt worden om lleen deze vergelijking over te houden. Dt lukt voor. Voor estt f nog steeds niet wnt in de originele, niet vereenvoudigde, funtie wordt de noemer nog steeds. De funtie gt voor dus over in de rehte lijn y met een erfortie voor. d f ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Voor de toen geldt f '( ) ( ) De disriminnt vn is B AC ( ) f '( ) heeft geen olossingen, dus f heeft geen toen, ls de disriminnt negtief is. Dt is voor 8 8. f '( ) heeft twee olossingen, dus f heeft twee toen, ls de disriminnt osi- tief is. Dt is voor 8> 8> >. ( )( ) f( ) ( 5) ( 5) ( 5 ) f'( ) ( 5) ( 5) ( 5) ( )( 7) ( ) 5 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

31 ( )( ) Los o: f'( ) 7 of 7. ( 5) d T-6 Dit ingevuld geeft mimum voor en minimum 9 voor 7 Plot Invoer: Y (X)(X)/(X5) Venster: Xmin ; Xm Ymin ; Ym De grfiek lt de toen zien. ( )( ) f ( ) ( ) Voor 5 is de noemer, dus dr heeft de grfiek een vertile symtoot. Voor ± gt de term nr en lijft f( ) over. 5 De lijn met vergelijking y is dus een sheve symtoot. g ( ) 5 f( ) ( )( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) g'( ) ( 5 5) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( )( 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 7) g'( ) ( )( 7) of 7 ( ) ( ) De uiterste wrde ij is g( ) 5 ( )( ) De uiterste wrde ij 7 is g( 7) 7 5 ( 7)( 7) 6 f( ). Met de quotiëntregel volgt ( ) ( ) ( ) ( f'( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) g ( ) ( ) q. Met '( ) en q'( ) volgt volgens de rodutregel ( ) g'( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 56) 9 ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 99

32 d h ( ) 5 5 Met de kettingregel volgt 5 ( 5) ( 5) h'( ) ( 5) ( 5) ( 5) f( ) sin. Met de quotiëntregel volgt f'( ) os sin os sin T-7 Uit V I ( R R ) volgt I V inwendig uitwendig R R 5 5. P I R uitwendig 5 ( 5) inwendig ( ) 5 uitwendig dp ( 5) ( 5) ( 5) d ( 5) ( 5) ( 5) ( 5) Het mimle vermogen ligt o een to, dus los o dp d ( 5) Het mimle vermogen is P( 5) 5 7, wtt en wordt geleverd ij een uitwendige weerstnd vn 5 ( 5 5) ohm. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel.

33 Blok - Vrdigheden ldzijde 8 ( ) ( ) ( ) log 6 log log of 6 y O De symmetrie-s is. f log 6 log log log ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log( 9 ) ( ) log( 6 ( )) log( ) log( ) log( ) ( ) ( ) log( 9 ) ( ) log log log log f log d Het mimum is f 9 ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f f ( ) ( ) 6 f( ) f( ) ( ) ( ) dus untsymmetrish in (, ) f( ) ( ) ( ) f( ) dus lijnsymmetrish in f( ) ( f ) ( ) ( ) ( ) ( ) dus lijnsymmetrish in d f ( ) log( ( ) ) log ( ) f( ) dus lijnsymmetrish in Denk ern dt je de funtie o de grfishe rekenmhine in moet voeren ls y log :log. ( ) ldzijde 9 ( ) f f 9 6 '( ) ( ) ( ) of A, en B, ( ) ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

34 Blok - Vrdiheden ( ) ( ) f f (( ) ( ) ( ) ) 6 9 ( ) ( 6( ) 9( ) ) dus untsymmetrish in M(, ) f '( ) 9 f ''( ) 6 ls f 9 dus C, d ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) f f ( ) 7 ( ) 5 f 8 8 f f f 8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7 ) ( ) dus lijnsymmetrish in 8 ( ) ( ) dus untsymmetrish in, f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dus lijnsymmetrish in ( ) log( ( ) ( ) 7) log ( ) en ( ) log( ( ) ( ) 7) log ( ) dus lijnsymmetrish in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) en f( ) d f f e f dus lijnsymmetrish in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f en f dus lijnsymmetrish in 6 Met de grfishe rekenmhine is eenvoudig te erekenen dt de ndere to (, 6) is. De grfiek is untsymmetrish in unt,. ( ) ( ) g g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 ( ) d Punt, siegelen in, geeft unt, 6. ( ) Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel ( )

35 ( ) 7 h 9 y is de horizontle symtoot ( ) 9 h y S(, ) d k h, 8 ( ) < ( ) o intervl ldzijde y O De symtoten zijn y en. ( ) ( ) dus geen olossingen. g d ( ) ( ) g g ( ) ( ) ( ) e Door unt,,. 9 ( ) dus untsymmetrish in (, ). ( ) twee nr links en twee nr eneden te shuiven krijg je het unt y en y 6 zijn de horizontle symtoten. 6 6 f f ( ) ( ), 5, 5 (, 5 ) ( ) ( ) 6, , 5,, 5, 5 6 De gemiddelde hoogte o intervl, is dus de oervlkte is 6. De grfiek vn g De grfiek vn h ( ) g os( ) os π en π ( ) sin is lijnsymmetrish in π. ( ) os is untsymmetrish in ( π, ). ( ) os os g( ) Blok - Vrdiheden Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

36 Blok - Vrdiheden ( ) ls os dus π en π. ( ) < o π, π sin os sin os '( ) ( ) ( ) 6 sin ( os ) ( os ) g g d g of π of π Mimum g( ) g( π) 5 Minimum g π ldzijde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( π ) ( π ) ( π ) ( π ls sin dus ( ) h π os π sin π os π ) sin π os sin π os sin( π ) h os sin os ) sin π os sin( π ) ( ) 5 π π π is een olossing dus π π π is de ndere olossing 6 6 π π π is een olossing dus π π π is de ndere olossing 6 De grfiek vn f is untsymmetrish in ( π, ),( π, ),( π, ), ( π, ), (, ), π,,,,, ( ) ( π ) ( π ) en ( π, ). De symmetriessen zijn π, π, π, π, π, π, π en 7 π. 8 π ( ) π sint dt t os t π os π π os π π π ( ) ( ) 6 ( ) ( ) π π 6π d De gemiddelde hoogte o ππ, is et dus de oervlkte is π 6π. e Het ereik vn g is,. f g sin t ( ) Domein,,,. ( ) f( ) f( ) ( ) De vertile symtoten zijn en. ( ) d e Voor grote wrden vn ndert Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel nr nul dus ndert f ( ) nr.

37 Blok ICT - Konijnen en sredssheets ldzijde tijdsti ntl ren konijnen 5 tijdsti 5 ntl ren konijnen 8 Het ntl konijnen o tijdsti t is de som vn de ntllen o tijdsti t en t. (dus de som vn de twee voorgnde is de volgende) 5 C Dit is de som vn C, C, C, C en C5 die wordt erekend met SOM(C:C5) d In B stt de som vn een rij en in C6 de som vn een kolom. e Zet in H de formule SOM(A:G) Cel G is leeg en wordt niet meegeteld. C A B In F ontstt de formule DE en geeft 8. Ook nu krijg je weer de som vn de twee voorfgnde wrden. d Kies A en B. e Slee de inhoud vn el F nr Y om de wrde o t te vinden. Je vindt 755 konijnenren. ldzijde Zet in el C de formule C/B en slee deze nr W. Je ziet de wrde nderen nr,68. De groei is dus uiteindelijk eonentieel. De verhouding gt steeds nr,68. De groei is uiteindelijk ltijd eonentieel. Nee, wnt de verhouding gt steeds nr,68. 5 Het model gt er onder ndere ook vnuit dt er geen sterfte is, dt er ltijd voldoende voedsel is en dt er geen ruimtegerek ontstt. 6 In 999 zijn er geen nuljrige konijnen dus heen de nuljrige konijnen uit 998 geen nkomelingen gekregen. S is de overlevingskns vn een nuljrig konijn hier dus 5,. Rij : Een eenjrig, tweejrig of driejrig konijn kn één jr lter niet eenjrig zijn. Rij : Een nuljrig, tweejrig of driejrig konijn kn één jr lter niet tweejrig zijn. Rij : Een nuljrig, eenjrig of driejrig konijn kn één jr lter niet driejrig zijn. d Dit is volgens een mtrivermenigvuldiging het rodut vn rij twee vn de Lesliemtri met de eerste kolom die hoort ij 998. Zo moet je in H het rodut nemen vn rij drie vn de Lesliemtri met de tweede kolom die hoort ij 999. e v, 9 v 5, 6 v 6 S 6, S 5, 6 Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 5

38 6 f Blok ICT - Konijnen en sredsheets Seleteer de ntllen vn en slee ze nr rehts totdt je in ent. Het ntl konijnen in is htereenvolgens, 5, 5 en. ldzijde 7 Slee de ntllen vn verder nr. Je krijgt 96, 79, en 9. De grootte vn de oultie kun je lten erekenen vi SOM(G:G5) in el G6 en slee vervolgens nr. De groeiftor kun je vinden door in H7 H7/G7 te zetten en ook nr te sleen. De groeiftor ndert nr,5. Door gerek n voedsel en ruimte kn de oultie niet oneerkt groeien. 8 In 6 zijn er 8 en in 7 zijn er konijnen. In 6 wordt ntl dus ereikt. Je groeiftor ws,5 dus om de oultiegrootte onstnt te houden moet er % fgeshoten worden ngezien 5, (, ). Je ziet dt er vn de 6 nuljrigen er 7 in leven lijven. Drvn worden er 58 fgeshoten en lijven er dus 9 over. De nieuwe overlevingsftor S wordt dus 9,. Door in el B,5 te vernderen in,8 zie je dt de oultie uitsterft. 6 8 ldzijde 5 9 Een vos eet er jr 75,, kg konijn. Dit zijn dus inderdd ongeveer 7 55 konijnen er jr. 5, 58, dus zijn er 5 vossen nodig Het ntl konijnen wordt vermenigvuldigd met,5 en er worden 55 konijnen er vos ogegeten. De etr toenme er konijnen is, k t en het ntl vossen dt overleeft is 9, v t. Model is relistisher omdt met gehele wrden wordt gerekend. d In eide modellen neemt het ntl konijnen steeds verder f zelfs tot negtieve wrden. De oultie is dn l lng uitgestorven. In de ntuur zl de overlevingsftor vn de vos kleiner worden ls er minder konijnen zijn en het ntl vn 55 konijnen er vos zl dn ook vernderen. e Vernder elke keer ls het ntl konijnen onder 8 komt het ntl vossen in. Je ziet dn een soort ylishe verndering ontstn. Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

39 Blok Verdieing - Goniometrishe formules ldzijde 8 Wnneer krijg je f ( ) os sin (os sin ) en dit is een onstnte funtie en dus niet eriodiek. Je kunt de toen vn de grfieken vinden door f "( ) o te lossen, dus f '( ) os sin sin os sin os sinos ( )sinos Dit wordt ls, mr dt is uitgezonderd, of ls sin of os en deze ltste zijn onfhnkelijk vn de wrde vn. Wnneer je de grfiek vn f ( ) lot, zie je dt de grfiek evenwihtsstnd y heeft, eriode π en mlitude. Dt geeft f ( ) os. Dus, en. π d ( os sin ) d ( os ) d sin (sin π πsin. ) π. π Wnneer je de grfiek vn v ( )lot, lijkt deze te zijn voor lle wrden vn, dus is sin os. sin os sin os. Dus: sin ( os ) os os ldzijde 9 y,8,6,, 6 5 O,,,6,8 5 6 Uit de grfiek lijkt: eriode π, het eginunt is (, ) en het mlitude is,5. y 5, sin Plot de grfiek vn h ( ) 5 ( 5 ). De grfiek lijkt de lijn y te zijn, mits wnt dn estt de eerste formule niet en dus h() ook niet, en dus lijken de formules ij dezelfde grfiek te horen. 5 Bekijk driehoek ABQ en driehoek PCQ. α AQB 9 α 9 AQB α PQC AQB PQC 9 PQC 9 AQB AB // DP α β APD(Z-hoeken) π Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 7

40 8 Blok Verdieing - Goniometrishe funties APQ ABQ PCQ APD AQ osβ AQ PQ sinβ PQ osα AB AQ sinα BQ AQ osα CQ PQ os( α β) DP DP sinα PC PQ sin( α β) AD AD BQ d Uit de tel volgt sinα AQ sin α BQ en os os AQ α CQ PQ PQ α CQ Dus sin( α β) AD BQ CQ AQ sin α PQ os α. e Kijk weer nr de tel sin( α β) AQ sin α PQosα osβsinα sinβos α f Uit de tel volgt osα AB AQ osα AB en sin sin AQ α PC PQ PQ α PC Dus os( α β) DP AB PC AQ osαpq sin α. Kijk weer nr de tel os( α β) AQ osα PQsinα osβosα sinβsin α ldzijde 5 6 sin sin( ) sinos ossin sinos os os( ) osos sinsin os sin π π 7 (os sin ) d osd sin ( sin π sin π) π π π π π π sinos d sind os ( os π os π) π π π π π π sinos d sind os 8 ( os π os ) π π d (os sin ) d (os sin sin ) d ( sin ) d π π π π π ( os ) d ( os ) d sin π π ( π sin π) ( π sin( π)) π π π 8 De -oördint vn P is gelijk n de -oördint vn R, dus ost os( t). De y-oördint vn P is tegengesteld n de y-oördint vn R, dus sint sin( t). os( t u) os( t ( u)) ostos( u) sintsin( u) ost osu sin t sin u ostosu sintsin u sin( t u) sin( t ( u)) sintos( u) sin( u)ost sint osusinu ost ostosu sinuost π π Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel

41 9 ldzijde 5 ooglengte oervlkte π π π π 6 π π π π 8 De oervlkte is πr π en de ooglengte is πr π. Dus oervlkte : ooglengte is : Blok Verdieing - Goniometrishe funties Oervlkte OBC ABOC sin Oervlkte OCD DCOC tn Oervlkte OBC oervlkte segment OCB oervlkte OCD sin tn sin tn d Alle leden delen door sin geeft: vervolgens lle leden omdrien sin os geeft: os sin Wnneer nr gt, dn gt os nr, dus ls nr gt dn krijg je lim os lim sin lim lim sin lim sin sin( ) os sin sin os, dit volgt uit de formules uit odrht 5e d sin( ) sin h ( ) sin os os sin sin sin os os sin sin os sin sin os. Wnneer dn sin en os, dus h ( ) os f'( ) os os( ) os os os sin sin os os os os sin sin os os sin sin. Wnneer dn gt dit over in: os sin sin. Dus g ( ) os g'( ) sin Moderne wiskunde 9e editie uitwerkingen vwo B deel 9