Wiskunde B voor 4/5 havo

Transcriptie

1 Wiskunde B voor 4/5 hvo Deel 2 Versie 2013 Smensteller

2 2013 Het uteursreht op dit lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is derhlve de rehtheende zols edoeld in de hieronder vermelde retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengesteld en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook nvrden ze geen enkele nsprkelijkheid voor enige shde, voortkomend uit (het geruik vn) dit lesmteril Voor deze module geldt een Cretive Commons Nmsvermelding-Niet-ommerieel 3.0 Nederlnd Lientie. (zie Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn en is speil ontwikkeld voor het vk wiskunde in het voortgezet onderwijs. Het lesmteril op de wesite is fgestemd op kerndoelen wiskunde, tussendoelen wiskunde en eindtermen voor de vkken wiskunde A, B en C. Dit lesmteril is mediumneutrl ontwikkeld en op diverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houden we ons ltijd nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

3 Inhoud Voorwoord 3 1 Periodieke funties Periodiiteit Rdilen Sinusfunties Cosinusfunties Sinusoïden Sinusoïde ls model Totleeld 50 2 Ruimtelijke figuren Projetie op het pltte vlk Berekeningen Anzihten en uitslgen Doorsneden Series evenwijdige doorsneden Totleeld 97 3 Oppervlkte en inhoud Oppervlkte vn vlkke figuren Oppervlkte vn ruimtelijke figuren Inhoud vn ruimtelijke figuren Shlvergroting Totleeld Vernderingen Vernderingen in grfieken Vernderingen per stp Differentiequotiënt Differentilquotiënt Hellingsgrfiek Totleeld Afgeleide funties Het egrip fgeleide Differentiëren Extremen erekenen Buigpunten Totleeld Differentieerregels Differentieerregels De kettingregel 239 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 6.3 De produtregel De quotiëntregel De fgeleide vn een sinusoïde Toepssingen Totleeld 270 Register 276 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoord Het lesmterl in dit oek is geseerd op het mteril dt je kunt vinden op de wesite In de tekst stn dn ook regelmtig verwijzingen nr die wesite. Wr je preies moet zijn op die wesite kun je zien in de kopregel vn iedere pgin. Bij estudering vn het lesmteril kom je in de tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet dn ijvooreeld in de tekst: Bekijk eerst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnden > Toepssen Je kunt met de muis elk deel vn de wereld ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je die opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je inderdd op de wesite het gekeken. Ieder hoofdstuk estt uit een ntl prgrfen en wordt steeds fgesloten met een prgrf Totleeld wr de leerstof wordt smengevt en/of herhld. Iedere prgrf is ingedeeld in vste rurieken die houvst geven ij de estudering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelden > Verwerken > Toepssen Indien er in het lesmteril wordt verwezen nr werklden dn kun je deze terugvinden op de wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Periodieke funties Periodiiteit 6 Rdilen 14 Sinusfunties 22 Cosinusfunties 28 Sinusoïden 36 Sinusoïde ls model 43 Totleeld 50

8 1.1 Periodiiteit Inleiding Er zijn veel vershijnselen die zih herhlen in tijd of ruimte. Bijvooreeld een muzieknummer dt je fspeelt met herhling, een voetlfrgment dt telkens wordt herhld, zomer en winter, de dgen vn de week, rondjes in een reuzenrd. Je noemt dt: periodieke vershijnselen. Als het vershijnsel ook nog met een funtie te eshrijven is, spreek je vn een periodieke funtie. Als je één geshikt stukje kent (de periode) kun je het vervolg heleml voorspellen. In dit onderdeel zul je dt voor vershillende soorten vn periodieke funties doen. Je leert in dit onderwerp > de periode vststellen vn een periodiek vershijnsel; > erekeningen mken ij periodieke vershijnselen. Voorkennis > grfieken tekenen met grote getllen op de ssen; > lineire vergelijkingen oplossen; > vergelijkingen oplossen met twee of meer oplossingen. Verkennen Opgve 1 Bekijk de pplet. Een mier loopt op een vertil vlk vierkntjes: 5 m omhoog, 5 m horizontl, 5 m reht nr eneden, 5 m horizontl, enz. De snelheid is onstnt 1 m/s. Hier zie je de grfiek vn de hoogte h oven de horizontle s fhnkelijk vn de tijd u. Leg uit wrom de grfiek er zo uitziet. Welke periode heeft de grfiek? Hoe hoog zit de mier n 614 seonden? PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 Uitleg Het is mndg. Welke dg is het over 100 dgen? Bij de dgen vn de week is sprke vn herhling per 7 dgen. Je zegt dt dit periodieke vershijnsel een periode heeft vn 7 dgen. Het is dus opnieuw mndg n ijvooreeld 70 dgen, n 77, 84, 91 en 98 dgen. Dus over 99 dgen is het dinsdg en over 100 dgen is het woensdg. In dit soort situties moet je één sisptroon kiezen dt zih telkens herhlt. Dt kn zijn mndg tot en met zondg (dus 7 dgen), mr ijvooreeld ook zondg tot en met zterdg (ook 7 dgen) of donderdg tot en met woensdg. Bekijk de pplet. Een wiel drit met steeds dezelfde snelheid rond en mkt één omwenteling in 10 seonden. Op tijdstip u = 0 stt punt A preies ovenn. Het punt gt nr links. > Op welke tijdstippen is punt A ovenn? Omdt het wiel in 10 seonden ronddrit is dt op u = 10, mr ook op u = 20, u = 30, u = 40, enz. En ls het wiel l n het drien ws, ook op u = 10, u = 20, u = 30, enz. Het vlt nog niet mee om dt wiskundig netjes op te shrijven. Het kn zo: u = 0 + u 10 met u Z. Hierin is Z een shrijfwijze voor de verzmeling vn lle gehele getllen. > Op welke tijdstippen is punt A heleml rehts? Dt duurt drie vierde vn een omwenteling, dus 7,5 seonden. Mr dr kn weer 10 ij of f, zo vk ls je mr wilt. Dus u =...; 12,5; 2,5; 7,5; 27,5;... Anders gezegd: u = 7,5 + u 10 met u Z. Opgve 2 Bestudeer eerst in de Uitleg op pgin 7 hoe je een serie zih herhlende tijdstippen weergeeft. Op u = 0 is het mndg. Leg uit wrom het u 7 dgen lter weer mndg is. Wrom moet je nnemen dt u een geheel getl is? Welke dg is het 2 + u 7 dgen lter? Wrom heeft de vrg welke dg het u 5 dgen lter is geen zin? Opgve 3 Bekijk nu in de Uitleg op pgin 7 nog eens het verhl vn het ronddriende wiel. G er vn uit dt het punt A in 10 seonden rond drit en op u = 0 ovenn zit. Op welke tijdstippen zit punt A heleml links? Geef in de figuur n wr punt A zit op u = 7 + u 10 (teken eventueel zelf zo n wiel, de grootte is onelngrijk). STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 Theorie en vooreelden De periode vn een periodiek vershijnsel is de lengte vn het intervl wrop de grfiek zih telkens herhlt. Je het nog wel keuze, welk stuk je drvoor neemt. Zo kun je ij een golf een stukje nemen vn een mximum tot het eerstvolgend mximum. Mr ook vn een minimum tot het eerstvolgend minimum. Of vn een willekeurig punt tot het (PAS OP!) tweede volgende punt op dezelfde hoogte op de grfiek. Voor de lengte vn het intervl wrop de grfiek zih herhlt mkt het niets uit, welk stuk vn de grfiek je neemt. Die lengte is ltijd gelijk ls de grfiek zuiver periodiek is. Bij de dgen vn de week is de periode 7 dgen. Bij een driend wiel is de periode ijvooreeld 10 seonden. Soms wordt de periode ook wel de golflengte genoemd. Het ntl periodes per (tijds)eenheid heet de frequentie. Vooreeld 1 De shijngestlten vn de mn: nieuwe mn, eerste kwrtier (hlve mn), volle mn, ltste kwrtier (weer hlve mn), nieuwe mn, enz., zijn een periodiek vershijnsel met een periode vn gemiddeld ongeveer 30 dgen (in de loop vn het jr wisselt de lengte een eetje). Op 14 jnuri 2006 ws het volle mn. Bereken op welke dtum in mei 2006 het ook volle mn ws. PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 Je telt 30 dgen op ij 14 jnuri, dt geeft 13 feruri. Zo kom je stp voor stp op 15 mrt, 14 pril en dn op 13 mei. De volgende volle mn vlt niet meer in mei. Antwoord: 13 mei Meer lezen over de shijngestlten vn de mn? G nr» urni.e. Opgve 4 Bekijk in de Theorie op pgin 8 wt een periodiek vershijnsel is en wt je verstt onder de periode en de frequentie vn zo n vershijnsel. Bekijk Vooreeld 1 op pgin 8 over de shijngestlten vn de mn. Welke periode heeft dit vershijnsel? Met welke frequentie is het volle mn? Op welke dtum ws het volle mn in jnuri 2007? Vooreeld 2 Een opslgtnk evt 1000 liter rndstof op dg u = 0. In 20 dgen neemt dt gelijkmtig f tot 100 liter. Dn wordt hij in 1 dg ijgevuld tot 1000 liter, enz. Hoeveel zit erin n 75 dgen? De inhoud is een periodieke funtie met een periode vn 21 dgen. N 75 dgen is de inhoud hetzelfde ls hij ws n 54, n 33 en n 12 dgen. Je ekijkt drom de lineire funtie door de punten (0, 1000) en (20, 100). Hiervn is de helling = 45. Dus is de gevrgde inhoud = 460 liter. Opgve 5 In Vooreeld 2 op pgin 9 gt het over het leeglopen en weer vullen vn een rndstoftnk. De hoogte vn de rndstof in de tnk is een periodiek vershijnsel. Hoeveel edrgt de periode? Leg uit wrom er 550 liter in de tnk zit op u = 10 + u 21 u = 20,5 + u 21. d Voor welke wrden vn u zit er 100 liter in de tnk? Hoeveel zit er in de rndstoftnk n 500 dgen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 Opgve 6 Hier zie je de grfiek vn de periodieke funtie u. Het domein is R (dus de grfiek loopt nr eide knten oneindig ver door). Bepl de periode vn deze funtie. Bepl u (81) en u (91). Los op: u (u ) = 6 met 75 u 85. d Bepl u ( 5). e Los op: u (u ) = 4 met 100 u 90. Vooreeld 3 Bekijk de pplet. Je ekijkt een wiel dt in 10 seonden ronddrit. Punt A is heleml rehts op het tijdstip u = 0. Gegeven is dt de strl MA vn het wiel 100 entimeter is. De hoogte h (u ) vn punt A meet je ten opzihte vn de s vn het wiel, zodt op tijdstip u = 0 de hoogte ook 0 m is. Hoe hoog is het punt op tijdstip u = 42? h (u ) heeft een periode vn 10. Dus is de hoogte op u = 42 hetzelfde ls de hoogte op u = 2. Punt A heeft dn 2 10 vn de irkel doorlopen en is dus = 72 gedrid. Voor het erekenen vn de hoogte he je de sinus nodig: u u u (72 ) = h 100 en dus: h = 100 u u u (72 ) 95,1 m. Dus is op u = 42 de hoogte ongeveer 95 m. Opgve 7 Bestudeer Vooreeld 3 op pgin 10 over het ronddriende punt A. Bereken de hoogte h ls u = 1. Hoe groot is h ls u = 31? PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 d Bereken de hoogtes voor de gehele wrden vn u vnf 0 tot en met 10. Teken een grfiek vn h ls funtie vn u. Hoe ziet de grfiek er uit ls de wrden vn u vnf 0 tot en met 100 lopen? Opgve 8 Hier zie je een punt P op de tip vn een rotorld vn een ronddriende windmolen. Hieronder is de grfiek vn de funtie h (u ) getekend, wrin h de hoogte vn punt P oven de grond in meter voorstelt en u de tijd in seonden is. d Met welke periode drit het rotorld vn de windmolen? Met welke frequentie (omwentelingen per minuut) drit het rotorld? Hoe hoog zit de s vn de windmolen oven de grond? En hoe lng is het rotorld? De wind neemt toe, de windmolen gt twee keer zo snel drien. Teken de ijehorende grfiek. Teken ook de grfiek vn de hoogte vn de tip vn één vn de twee ndere rotorlden. Opgve 9 Een punt P eweegt linksom over een irkel met strl 1 om de oorsprong O vn een Ou u -ssenstelsel. De fstnd u die het punt heeft fgelegd hngt f vn de hoek α wrover OP is gedrid. Neem n dt u = 0 ls α = 0. Hoeveel is u (90 )? En u (180 )? (Geef exte wrden.) Leg uit wrom je nu te mken krijgt met hoeken die groter zijn dn 180. Leg ook uit wrom de drihoek zelfs groter kn zijn dn Wt zou een drihoek vn 60 etekenen? d Bepl nu u (360 ), u (450 ), u (60 ) en u ( 30 ). e Hoeveel is u (1 )? f Is u (α) een periodieke funtie? Liht je ntwoord toe. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 Verwerken Opgve 10 Bekijk deze grfiek vn de periodieke funtie u. Bereken u (25). Voor welke wrden vn u is u (u ) = 10? Los op: u (u ) = 5 met 0 u 9. Opgve 11 Punt A ligt op een wiel op fstnd 1 vn de s. De hoogte vn punt A ten opzihte vn de s noem je h (u ). Punt A egint rehts, dus h (0) = 0. Het wiel drit in 6 seonden rond, linksom. Dus h (1,5) = 1, wnt n 1,5 seonden is punt A preies oven. Bereken h (4,5), h (10,5) en h (16,5). Bereken h (0,75) ext. Bereken ext h (6,75), h (12,75) en h ( 5,25). d Los op: h (u ) = h (0,75). Opgve 12 Een torenklok heeft een grote wijzer met een lengte vn 1,5 m. De eide wijzers zitten evestigd op de s vn de klok op 45 m oven de grond. Punt T stelt de tip vn deze grote wijzer voor. De hoogte h in m vn T oven de grond hngt f vn de drihoek α. Neem n dt α = 0 om 12:00 uur. Hoe hoog zit T oven de grond op 2:10 uur? Shets een grfiek vn h (α). Er zijn twee tijdstippen wrop h (α) = 46. De ijehorende punten wr T dn zit zijn A en B. Hoe ver zitten die punten A en B vn elkr? PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 Opgve 13 Een l wordt omhooggeshoten op tijdstip u = 1 en vlt terug. Hij veert volkomen elstish, wrdoor hij lsmr lijft stuiteren. Geruik de formule h (u ) = 5 5u 2 met 1 u 1. u is in seonden, h is in meter. Bereken h (0) en h (0,5). Bepl de periode vn de grfiek. Bereken h (6) en h (6,5). d Bereken h (15) en h (15,5). e Hoe relistish is dit rekenmodel? Testen Opgve 14 Een grfiek estt in een Ou u -ssenstelsel uit rehte lijnstukjes tussen de punten (100, 1000), (110, 600), (140, 1000), (150, 600), (180, 1000), enz. Het ptroon gt nr links en rehts oneindig ver door. Welke periode heeft deze grfiek? Bereken de wrde vn u ij u = 250. Teken de grfiek met 0 u 100. d Bereken de wrde vn u ij u = 250. e Hoeveel getllen u met 0 u 100 estn er ij u = 900? Opgve 15 Een wiel met een strl vn 30 m drit linksom rond met onstnte snelheid. De omlooptijd is 20 seonden. De hoogte in entimeter vn punt A n de uitenknt vn het wiel, gemeten ten opzihte vn het middelpunt, noem je h (u ) met u in seonden. Het punt A egint ovenn, dus h (0) = 30. Met welke frequentie drit punt A? Bereken h (35). d Bereken h (18) in één deiml nuwkeurig. Bereken h (76) in één deiml nuwkeurig. e Geef lle tijdstippen u met 40 u 40 wrvoor geldt h = 0. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 1.2 Rdilen Inleiding Een regelmtige irkeleweging is een elngrijk periodiek vershijnsel. De hoogte vn een punt op een driende irkel, uitgezet tegen de tijd, levert een heel regelmtige periodieke grfiek: de sinusoïde. Drij komt vnzelf een nieuwe mnier te voorshijn om de grootte vn een hoek n te geven: in rdilen in plts vn in grden. Je leert in dit onderwerp > de grfiek vn u = u u u (u ) tekenen met u in rdilen; > grden omrekenen in rdilen en omgekeerd. Voorkennis > grfieken tekenen met de grfishe rekenmhine; > werken met sinus in rehthoekige driehoeken. Verkennen Opgve 1 Bekijk de pplet. Hoeken druk je l heel lng in grden uit. Toh hoeft dt niet, ekijk deze kwrtirkel mr eens. Hij heeft een strl vn 1. Er stt een hoek vn 30 in getekend. Hoe lng is de getekende irkeloog? Leg uit wrom 30 overeenkomt met een ooglengte vn 1 6 π. Als je de grootte vn een hoek door zijn ooglengte in een irkel met strl 1 eshrijft, krijg je hoeken in rdilen. Dus 30 komt overeen met 1 6 π rdilen. Wrom is het vn elng dt de irkel wrin je de ooglengte uitrekent een strl vn 1 heeft? Reken mr eens een pr ndere hoeken om vn grden nr rdilen. Uitleg Bekijk de pplet. Hier zie je een punt dt linksom (tegen de klok in) drit over een irkel met strl 1, een eenheidsirkel. Strl OP mkt een hoek α met de horizontle s. De hoogte h vn punt is rehthoekszijde in een rehthoekige driehoek. Deze hoogte is te erekenen met ehulp vn goniometrie: u u u (α) = h 1 = h. Dit is preies de u -oördint vn punt P: u P = u u u (α). De driehoek is lleen te geruiken zolng α < 90. Mr het punt drit gewoon door, evenls de hoek. Op deze mnier wordt de sinus gedefinieerd voor hoeken vn 90 en groter. Je ziet dt voor sommige hoeken de sinus een negtief getl kn zijn! PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 In de sinusgrfiek die ontstt is u niet de hoek α in grden, mr de lengte vn de ijehorende irkeloog. Deze irkeloog is ook een mt voor hoek α, dn is α in rdilen uitgedrukt: α = u rdilen. Dus dit is de grfiek vn h = u u u (u ) met u in rdilen. En u loopt vnf 0 tot 2π (de omtrek vn de eenheidsirkel). Je kunt ook over grotere hoeken drien, of juist in de tegenovergestelde rihting (met de wijzers vn de klok mee). Zo krijg je positieve hoeken (linksom drien) en negtieve hoeken (rehtsom drien). De grfiek vn h = u u u (u ) gt zih dn eindeloos herhlen, zowel nr rehts ls nr links. De hoeken worden vnf nu gemeten in rdilen: 2π rd komt overeen met 360. De periode vn deze stndrdsinusoïde is drom 2π. Hier zie je nog eens een eenheidsirkel. Mr nu stt op de horizontle s de fgelegde fstnd vn P lngs de eenheidsirkel, de ooglengte vn α. (Omdt de grfiek nders niet pst is α op de horizontle s kleiner gemkt dn de werkelijke ooglengte. Er is een ndere shlverdeling op de s geruikt dn op de irkel.) De omtrek vn de irkel is 2π strl = 2π 1 = 2π. De periode vn de sinusgrfiek is drom niet 360, mr 2π. Deze grfiek is de meest geruikte sinusgrfiek. Je noemt dit de stndrdsinusoïde. Je werkt met 2π ls met een gewoon getl, zonder nog n hoeken te denken. Het punt kn ook rehtsom (met de klok mee) drien, er komen dn mintekens voor de ooglengtes. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 Opgve 2 Bekijk de Uitleg op pgin 14. Drin zie je hoe je in een eenheidsirkel de lengte vn de oog ls mt voor een hoek geruikt. Je zegt dn dt de hoek α is uitgedrukt in rdilen. Teken een eenheidsirkel (een irkel met een strl vn 1 eenheid). d Teken P ls de drihoek α = 30. Bereken de ijehorende wrde vn h. Hoeveel rdilen is α? Teken P ls de drihoek α = 150. Bereken h. Hoeveel rdilen is α? Teken P ls de drihoek α = 210. Bereken h. Hoeveel rdilen is α? Teken P ls de drihoek α = 270. Bereken h. Hoeveel rdilen is α? e Hoeveel rdilen hoort er ij 360? f Bij welke drihoeken is h = 1? Geef je ntwoord in grden en drn in rdilen. Opgve 3 Teken met je grfishe rekenmhine de grfiek vn u = u u u (u ). Neem u in grden en stel het venster zo in dt 360 u 720 en 1,5 u 1,5. Hoeveel periodes vn de sinusgrfiek krijg je zo in eeld? Bereken u u u (30 ) en u u u (390 ). Leg uit wrom eide uitkomsten gelijk zijn. Bereken u u u (30 ) en u u u (150 ). Leg uit wrom eide uitkomsten gelijk zijn. d Bij welke wrden vn u vind je dezelfde uitkomst ls u u u (30000 )? e Bij welke wrden vn u vind je dezelfde uitkomst ls u u u ( )? Opgve 4 Teken met je grfishe rekenmhine de grfiek vn u = u u u (u ). Neem u in rdilen en stel het venster zo in dt 2π u 6π en 1,5 u 1,5. d e Hoeveel periodes vn de sinusgrfiek krijg je zo in eeld? Bereken u u u (1) en u u u (1 + 2π). Leg uit wrom eide uitkomsten gelijk zijn. Bereken u u u (1) en u u u (π 1). Leg uit wrom eide uitkomsten gelijk zijn. Bij welke wrden vn u vind je dezelfde uitkomst ls u u u (211,5π)? Bij welke wrden vn u vind je dezelfde uitkomst ls u u u ( 1500π)? Theorie en vooreelden Punt P eweegt over een eenheidsirkel (irkel met strl 1). De ijehorende drihoek α is positief ls je linksom drit, negtief ls je rehtsom drit en kn lle wrden nnemen. De hoogte h vn P t.o.v. het middelpunt vn de irkel is h = u u u (α). Voor een geshikte grfiek neem je liever α = u rdilen. De hoek wordt dn voorgesteld door de lengte vn de ijehorende oog op de eenheidsirkel. 360 komt overeen met 2π rdilen. Vnf nu wordt elke hoek in rdilen gemeten tenzij duidelijk is vermeld dt het om een hoek in grden gt! Deze stndrd sinusgrfiek is periodiek met periode 2π. PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Bekijk de pplet. Vooreeld 1 Bij het omrekenen vn grden nr rdilen geruik je: 360 wordt 2π rdilen. En dus: > 1 wordt 2π 360 = π rd. > 90 wordt 90 2π 360 = 1 2 π rd. En omgekeerd: > 1 rd komt overeen met ( 360 2π ) 57 > 1 6 π rd komt overeen met ( π 2π ) = 30 Opgve 5 Punt A eweegt tegen de klok in over een eenheidsirkel met middelpunt M. α is de drihoek vn MA in grden en u is de lengte vn de irkeloog die ij die drihoek hoort. Hoeveel edrgt u ls α = 360? Vul deze tel in. α u u is de lengte vn de eenheidsirkeloog in rdilen. Bekijk nu in Vooreeld 1 op pgin 8 hoe je systemtish vn grden nr rdilen omrekent en omgekeerd. Hoeveel rdilen is 10? d Hoeveel grden is 10 rdilen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 Vooreeld 2 Bepl met je rekenmhine u u u (10 ), u u u (100 ), u u u (1000 ) en u u u (10000 ). Wrom zijn de ltste twee uitkomsten hetzelfde? De drihoek is gegeven in grden. Zorg er voor dt je rekenmhine met grden rekent. G n, dt u u u (10 ) 0,174; u u u (100 ) 0,985; u u u (1000 ) 0,985 en u u u (10000 ) 0,985. De grfiek vn u = u u u (u ) met u in grden heeft een periode vn 360. De ltste twee uitkomsten zijn gelijk omdt tussen 1000 en preies 9000 = zit. Dt is preies 25 perioden. Opgve 6 In Vooreeld 2 op pgin 18 ekijk je de wrden vn u u u (u ) ls u in grden is. Hier zie je nog eens wr je de wrden vn u u u (u ) in de eenheidsirkel vindt. Hoeveel edrgt de periode vn deze sinusfuntie? Leg uit wrom u u u (u ) = u u u (u + u 360 ). d e Leg uit wrom u u u (u ) = u u u (180 u ). Leg uit wrom u u u ( u ) = u u u (u ). Wrom is u u u (45 ) = 1 2 2? (Denk n de stelling vn Pythgors.) f Voor welke twee hoeken u tussen 0 en 360 geldt: u u u (u ) = 1 2 2? Vooreeld 3 Bepl met je rekenmhine u u u (1), u u u (10), u u u ( 1 6 π) en u u u (360). Er wordt nu in rdilen gerekend, wnt er zijn geen grdentekens. Lt je rekenmhine dn ook in rdilen rekenen. G n, dt u u u (1) 0,841; u u u (10) 0,544; u u u ( 1 6 π) = 0,5 en u u u (360) 0,959. PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 Hier zie je de grfiek vn u = u u u (u ) met u in rdilen. Opgve 7 In Vooreeld 3 op pgin 18 ekijk je de wrden vn u u u (u ) ls u in rdilen is. Hier zie je nog eens wr je de wrden vn u u u (u ) in de eenheidsirkel vindt. d e Hoeveel edrgt de periode vn deze sinusfuntie? Leg uit wrom u u u (u ) = u u u (u + u 2π). Leg uit wrom u u u (u ) = u u u (π u ). Welke wrden kn u u u (u ) nnemen? Wrom is u u u ( 1 6 π) ext 0,5? En wrom volgt dr uit dt u u u ( 1 3 π) = 1 2 3? f Geef de volgende wrden ext: u u u (5 1 6 π), u u u ( π), u u u (2 3 4 π). Opgve 8 Gegeven is u u u (u ) = 0,1 met u in rdilen. d e f Geef lle mogelijke hoeken u die hiern voldoen en wrvoor geldt 0 u < 2π n in een eenheidsirkel. Hoe groot is u u u (u + 2π)? Hoe groot is u u u (u + π)? Hoe groot is u u u (π u )? Hoe groot is u u u (15π + u )? Hoe groot is u u u (16π + u )? Opgve 9 Voor welke exte wrden vn u (in rdilen) geldt u u u (u ) = 0,5? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 Verwerken Opgve 10 Deze hoeken zijn gegeven in grden. Bereken de ijehorende ooglengtes in de eenheidsirkel in rdilen. 30, 20, 10, 270, 360, 455, 780. Hier zijn ooglengtes in de eenheidsirkel gegeven. Bereken de ijehorende hoeken in grden nuwkeurig. 1 2 π; 1 3 π; 3 4 π; 1; π; 3,1416; 10π. Opgve 11 d e Vnf nu is (tenzij nders vermeld) ij u u u (u ) de vriele u ltijd in rdilen uitgedrukt. Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ) op [ 2π, 4π]. Bereken u (5 1 6 π) en 5 u ( 1 6 π) ext. Verklr het vershil. Bereken u ( 1 4 π) en u ( 1 4 π) ext. Verklr de overeenkomst. Lt in deze grfiek zien dt u u u ( u ) = u u u (u ). Lt met ehulp vn deze grfiek zien dt u u u (u ) = u u u (3π u ). Met een grfiek kun je ntuurlijk niets ewijzen. Met ehulp vn een figuur in de eenheidsirkel wel. Bewijs nu de twee voorgnde eigenshppen. Opgve 12 Gegeven u u u (u ) = 0,6. Geef in een eenheidsirkel lle wrden vn u met 0 u < 2π n die hiern voldoen. Shrijf lle wrden vn u op die hier n voldoen. Benderingen in drie deimlen nuwkeurig. Opgve 13 Gegeven u u u (u ) = 0,5. Geef in een eenheidsirkel lle wrden vn u met 0 u < 2π n die hiern voldoen. Shrijf lle wrden vn u op die hier n voldoen. Geef exte wrden. Testen Opgve 14 Geef de ntwoorden ext indien mogelijk, nders in drie deimlen enderd. Deze hoeken zijn gegeven in grden. Reken om nr rdilen. 60, 45, 180, 300, 330, 350, 350. Deze ooglengtes vn een eenheidsirkel zijn gegeven in rdilen. Bereken de ijehorende hoeken in grden. π, 1 3 π, 1 4 π, 2π, π, 12 π, 2, 5 3 π. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 Opgve 15 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ) op [ 2π, 4π]. d Bereken u ( 1 4 π π) en u ( 1 4 π) + u ( 1 3 π). Verklr het vershil. Bereken u ( 1 4 π) en u ( 3 4 π) ext. Verklr de overeenkomst. Lt in deze grfiek zien dt u u u ( u ) = u u u (π + u ). Bewijs deze eigenshp met ehulp vn een eenheidsirkel. Opgve 16 Gegeven u u u (u ) = 0,25. Geef in een eenheidsirkel lle wrden vn u met 0 u < 2π n die hiern voldoen. Shrijf lle wrden vn u op die hier n voldoen. Benderingen in drie deimlen nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 1.3 Sinusfunties Inleiding Met periodieke funties kun je, door de herhling, gemkkelijk voorspellingen doen. Dezelfde uitkomsten komen met een vste regelmt weer terug. Dit emoeilijkt ehter het terugrekenen. Zelfs een eenvoudige vergelijking ls u u u (u ) = 0,5 heeft in prinipe oneindig veel oplossingen. Hoe vind je die lleml en en hoe shrijf je ze lleml netjes op? Drover gt dit onderdeel. Bij de grfiek vn u = u u u (u ) neem je u ltijd in rdilen. Je leert in dit onderwerp > de grfiek vn u = u u u (u ) tekenen met u in rdilen; > de vergelijking u u u (u ) = u oplossen ls u een onstnte is. Voorkennis > een grfiek tekenen op de grfishe rekenmhine en dn uit de grfiek u vinden, ls u gegeven is; > symmetrie in grfieken geruiken. Verkennen Opgve 1 Geruik deze grfiek vn u (u ) = u u u (u ) en de symmetrie ervn. Los op: u u u (u ) = 0,8 met u in [0, 4π]. Geef je ntwoord in drie deimlen nuwkeurig. Los op: u u u (u ) = 0,5 met u in [0, 4π]. Geef je ntwoord ext. Los op: u u u (u ) = 0,5 voor elke mogelijke wrde vn u. Geef je ntwoord ext. Uitleg Bekijk de pplet. Hier kun je zien hoeveel oplossingen de vergelijking u u u (u ) = u heeft ls u een onstnte is. Je geruikt drij de symmetrie en de periode vn de grfiek vn u = u u u (u ). PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 Als je ijvooreeld u u u (u ) = 0,8 wilt oplossen, epl je eerst de oplossing die zo diht mogelijk ij de vertile s zit: u 0,93. Dit getl kun je vinden met je grfishe rekenmhine. Het heet in de wiskunde de russinus vn 0,8: u = u u u u u u (0,8) 0,93. Binnen één periode is (vk) nog een oplossing. Vnwege de symmetrie vn de grfiek is die tweede oplossing u = π u u u u u u (0,8). Vnwege de periode vn 2π zijn lle oplossingen vn deze vergelijking: u = u u u u u u (0,8) + u 2π u = π u u u u u u (0,8) + u 2π met u een geheel getl. Door u te vernderen kun je de oplossingen zien vn ndere vergelijkingen zols ijvooreeld u u u (u ) = 0,2 en u u u (u ) = 0,2 enzovoorts... Je ziet ovendien: > u u u (u ) = 1 heeft ls oplossingen: u = 1 2 π + u 2π. > u u u (u ) = 1 heeft ls oplossingen: u = 1 2 π + u 2π. > u u u (u ) = 0 heeft ls oplossingen: u = 0 + u π = u π. > Als u groter dn 1 of kleiner dn 1 is zijn er geen oplossingen. Opgve 2 Bekijk de Uitleg op pgin 22. Los nu zelf op: u u u (u ) = 0,2 u u u (u ) = 0,2 Opgve 3 Wrom heeft u u u (u ) = 1,2 geen oplossingen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 Theorie en vooreelden Bekijk de pplet. Je ziet hier de grfiek vn u (u ) = u u u (u ) met u in rdilen op [0, 2π]. Verder zijn de oplossingen vn u u u (u ) = u ngegeven (u is een onstnte). De oplossing vn u u u (u ) = u die ligt innen [ 1 2 π, 1 2 π] heet de russinus vn u : u = u u u u u u (u ). Binnen één periode is (vk) nog een oplossing. Vnwege de symmetrie vn de grfiek is die tweede oplossing u = π u u u u u u (u ). Vnwege de periode vn 2π zijn lle oplossingen vn u u u (u ) = u : u = u u u u u u (u ) + u 2π u = π u u u u u u (u ) + u 2π met u een geheel getl. De vergelijking u u u (u ) = u heeft lleen oplossingen ls 1 u 1. Er zijn enkele wrden die hndig zijn om te geruiken: > u u u (0) = 0 > u u u ( 1 6 π) = 1 2 > u u u ( 1 4 π) = > u u u ( 1 3 π) = > u u u ( 1 2 π) = 1 en omgekeerd: > u u u u u u (0) = 0 > u u u u u u ( 1 2 ) = 1 6 π > u u u u u u ( 1 2 2) = 1 4 π > u u u u u u ( 1 2 3) = 1 3 π > u u u u u u (1) = 1 2 π Worden er exte uitkomsten gevrgd, dn geruik je deze wrden. PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 Vooreeld 1 Los op: u u u (u ) = 0,5 met u in [0, 3π]. Mk eerst met je grfishe rekenmhine de grfieken vn u 1 = u u u (u ) en u 2 = 0,5 op het gegeven intervl. Een oplossing is: u = u u u u u u (0,5). Met je rekenmhine geeft dt in drie deimlen nuwkeurig: u 0,524. Op het gewenste intervl vind je dn vier oplossingen: u 0,524 u π 0,524 u 0, π u π 0, π. En dus: u 0,524 u 2,618 u 6,807 u 8,901. Het exte ntwoord is: u = 1 6 π (zie de tel ij de theorie). Op het gegeven intervl: u = 1 6 π u = π 1 6 π u = 1 6 π + 2π u = π 1 6 π + 2π. En dus: u = 1 6 π u = 5 6 π u = π u = π. Opgve 4 Bekijk Vooreeld 1 op pgin 25. Los nu op u u u (u ) = 0,5. Geef lle oplossingen enderd in drie deimlen nuwkeurig. Geef lle exte oplossingen. Geef lle exte oplossingen op het intervl [0,4π]. Opgve 5 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ). Zorg dt je in ieder gevl één omplete periode in eeld het. Los ext op: u u u (u ) = Geef lle exte oplossingen op het intervl [ 2π, 4π]. Geef de oplossingen op het intervl [ 2π, 4π] in drie deimlen nuwkeurig. Vooreeld 2 Los op: u u u (u ) = 0,8. Bekijk een deel vn de stndrd sinusgrfiek en zet er de lijn u 2 = 0,8 ij in. Zorg dt in ieder gevl een hele periode zihtr is. Een oplossing is:u = u u u u u u ( 0,8) 0,927 (een exte uitkomst is er niet). De tweede oplossing innen een periode is: u = π u u u u u u ( 0,8) 4,069. Alle verdere oplossingen zijn nu te vinden door ij deze twee oplossingen een veelvoud vn de periode op te tellen: u 0,927 + u 2π x 4,069 + u 2π een wilekeurig geheel getl. Opgve 6 In Vooreeld 2 op pgin 25 los je u u u (u ) = 0,8 op. Nu zijn lleen enderingen mogelijk. Los op u u u (u ) = 0,6 op het intervl [ π, 3π]. Geef enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Los op u u u (u ) < 0, 6 op het intervl [ π, 3π]. Geef enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Los op u u u (u ) < 0, 6 op het intervl [ π, 3π]. Geef enderingen in twee deimlen nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 Vooreeld 3 Los op: 3 u u u (u ) + 1 < 0. Je kunt de grfiek vn de funtie u = 3 u u u (u ) + 1 ekijken met je grfishe rekenmhine. Het gt ij de vergelijking 3 u u u (u ) + 1 = 0 om de nulwrden vn deze funtie, dt zijn er oneindig veel. De vergelijking 3 u u u (u ) + 1 = 0 herleid je tot u u u (u ) = 1 3. De oplossingen hiervn zijn: u = u u u u u u ( 1 3 ) + u 2π u = π u u u u u u ( 1 3 ) + u 2π. In drie deimlen nuwkeurig: u 0,340 + u 2π u = 3,841 + u 2π. In de grfiek zie je dt de funtiewrden negtief zijn ls u tussen 3,841 en 0, π inligt, dus voor 3,841 < u < 5,943. De oplossing vn de ongelijkheid is nu: 3,841 + u 2π < u < 5,943 + u 2π. d e Opgve 7 Bestudeer Vooreeld 3 op pgin 26. Je werkt drin met de grfiek vn de funtie u (u ) = 3u u u (u )+1. Breng zelf deze grfiek in eeld op [ 2π, 4π]. Los u (u ) < 2 op met enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Los u (u ) = 2,5 ext op. Los u (u ) = 4 ext op. Wrom kun je u (u ) = 5 niet oplossen? Opgve 8 Los op [ 2π, 2π] ext op: 2 u u u (u ) 3. Opgve 9 Los ext op: u u u (2u ) = u u u ( 1 12 π). Verwerken Opgve 10 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ). Los de volgende vergelijkingen op. Geef wr mogelijk exte oplossingen en nders enderingen in drie deimlen nuwkeurig. u u u (u ) = 0,35 u u u (u ) = 0,35 u u u (u ) = d u u u (u ) = Opgve 11 Geef lle oplossingen vn: u u u (u ) = 1 PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 u u u (u ) = u u u (1) u u u (1) = u Opgve 12 Gegeven is de funtie u met u (u ) = 2u u u (u ) 1 op [0, 4π]. Bereken lle nulpunten vn de grfiek vn deze funtie. Los op: u (u ) 0. Opgve 13 Gegeven is de funtie u met u (u ) = u u u (2u ) op [0, 4π]. Los op: u (u ) = 0,5 Los op: u (u ) 0,5. Testen Opgve 14 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ). Los de volgende vergelijkingen op. Geef wr mogelijk exte oplossingen en nders enderingen in drie deimlen nuwkeurig. u u u (u ) = 0,95 u u u (u ) = 0,95 u u u (u ) = 1 2 Opgve 15 gegeven is de funtie u (u ) = 4u u u (u ) + 1 op [ 2π, 2π]. Bereken lle nulpunten vn de grfiek vn u in twee deimlen nuwkeurig. Los op u (u ) < 0. Opgve 16 Los ext op: u u u (3u ) = 0,5. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 1.4 Cosinusfunties Inleiding Je kunt nu, ls het goed is, l heel rdig rekenen met de sinus. Bij formules voor periodieke funties komt ehter ook vk de osinus voor. De funtie u = u u u (u ) (met u in rdilen) heeft een grfiek die er uitziet ls een vershoven sinus. Veel erekeningen in dit onderdeel lijken op de erekeningen uit het voorgnde. Let wel goed op de vershillen, die er ook zijn. Bijvooreeld heeft de osinus ndere symmetrie-eigenshppen dn de sinus. Bij vergelijkingen heeft dt gevolgen voor het vinden vn de volledige oplossing. Je leert in dit onderwerp > de grfiek vn u = u u u (u ) tekenen met u in rdilen; > de vergelijking u u u (u ) = u oplossen ls u een onstnte is. Voorkennis > de grfiek vn u = u u u (u ) tekenen met u in rdilen; > de vergelijking u u u (u ) = u oplossen ls u een onstnte is. Verkennen Opgve 1 Geruik deze grfiek vn u (u ) = u u u (u ) en de symmetrie ervn. d Los op: u u u (u ) = 0,8 met u in [0, 4π]. Geef je ntwoord in drie deimlen nuwkeurig. Los op: u u u (u ) = 0,8 voor elke mogelijke wrde vn u. Geef je ntwoord in drie deimlen nuwkeurig. Los op: u u u (u ) = 0,5 met u in [0, 4π]. Geef je ntwoord ext. Los op: u u u (u ) = 0,5 voor elke mogelijke wrde vn u. Geef je ntwoord ext. Uitleg Bekijk de pplet. Je ziet hier weer een punt P dt ronddrit over de eenheidsirkel. Nu egint het punt zijn driing op de vertile s reht oven het middelpunt. Alle drihoeken in rdilen worden gemeten vnf de strl nr dt punt. De hoogte h vn punt P oven het middelpunt ereken je met ehulp vn de osinus: u u u (α) = PQ 1 = h 1 = h. PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 De grfiek die ontstt door P te ewegen is dus die vn h = u u u (u ) met u in rdilen. Je ziet dt deze stndrd osinusgrfiek sprekend lijkt op de stndrd sinusgrfiek, de periode is ook 2π. Hij is lleen 1 2 π nr links vershoven ten opzihte vn de stndrdsinus. Dit etekent dt u u u (u ) = u u u (u π). Bekijk de pplet. Hier kun je zien hoeveel oplossingen de vergelijking u u u (u ) = u heeft ls u een onstnte is. Je geruikt drij de symmetrie en de periode vn de grfiek vn u = u u u (u ). Als je ijvooreeld u u u (u ) = 0,8 wilt oplossen, epl je eerst de oplossing die zo diht mogelijk ij de vertile s zit: u 0,64. Dit getl kun je vinden met je grfishe rekenmhine. Het heet in de wiskunde de rusosinus vn 0,8: u = u u u u u u (0.8) 0,64. Binnen één periode is (vk) nog een oplossing. Vnwege de symmetrie vn de grfiek is die tweede oplossing u = u u u u u u (0,8). Vnwege de periode vn 2π zijn lle oplossingen vn deze vergelijking: u = u u u u u u (0,8) + u 2π u = u u u u u u (0,8) + u 2π met u een geheel getl. Door u te vernderen kun je de oplossingen zien vn ndere vergelijkingen zols ijvooreeld u u u (u ) = 0,2 en u u u (u ) = 0,2 enzovoorts... STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 Je ziet ovendien: > u u u (u ) = 1 heeft ls oplossingen: u = 0 + u 2π = u 2π. > u u u (u ) = 1 heeft ls oplossingen: u = π + u 2π. > u u u (u ) = 0 heeft ls oplossingen: u = 1 2 π + u π. > Als u groter dn 1 of kleiner dn 1 is zijn er geen oplossingen. Opgve 2 Bekijk de Uitleg op pgin 28. Los nu zelf op: u u u (u ) = 0,2 u u u (u ) = 0,2 Opgve 3 Lt ook in de eenheidsirkel zien, dt u u u (u ) = u u u (u π). Theorie en vooreelden Bekijk de pplet. Je ziet hier de grfiek vn u (u ) = u u u (u ) met u in rdilen. Verder zijn de oplossingen vn u u u (u ) = u ngegeven (u is een onstnte). De oplossing vn u u u (u ) = u innen [ 1 2 π, 1 2 π] is rusosinus: u = u u u u u u (u ). Binnen één periode is (vk) nog een oplossing. Vnwege de symmetrie vn de grfiek is die tweede oplossing u = u u u u u u (u ). Vnwege de periode vn 2π zijn lle oplossingen vn u u u (u ) = u : u = u u u u u u (u ) + u 2π u = u u u u u u (u ) + u 2π met u een geheel getl. De vergelijking u u u (u ) = u heeft lleen oplossingen ls 1 u 1. Verder lijkt de grfiek vn de osinusfuntie sterk op die vn de sinusfuntie. Er estn dn ook diverse vernden tussen eide. Bekijk de pplet. PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 De grfiek vn u (u ) = u u u (u ) met u in rdilen, de stndrd osinusgrfiek lijkt sprekend op de stndrd sinusgrfiek en de periode is ook 2π. Hij is lleen 1 2 π nr links vershoven ten opzihte vn de stndrdsinus. Dit etekent dt u u u (u ) = u u u (u π). Verder kun je de sinus en de osinus vn dezelfde hoek in één eenheidsirkel tekenen. Je ziet dn dt voor de oördinten vn punt P geldt: u P = u u u (α) en u P = u u u (α). En dn kun je met de stelling vn Pythgors ngn, dt: (u u u (α)) 2 + (u u u (α)) 2 = 1 Om het ntl hkjes te verminderen shrijf je dit ls: u u u 2 (α) + u u u 2 (α) = 1 Er zijn enkele wrden die hndig zijn om te geruiken: > u u u (0) = 1 > u u u ( 1 6 π) = > u u u ( 1 4 π) = > u u u ( 1 3 π) = 1 2 > u u u ( 1 2 π) = 0 en omgekeerd: > u u u u u u (0) = 1 2 π > u u u u u u ( 1 2 ) = 1 33 π > u u u u u u ( 1 2 2) = 1 4 π > u u u u u u ( 1 2 3) = 1 6 π > u u u u u u (1) = 1 Worden er exte uitkomsten gevrgd, dn geruik je deze wrden. Vooreeld 1 Los op: u u u (u ) = 0,5 met u in [0, 3π]. Mk eerst met je grfishe rekenmhine de grfieken vn u 1 = u u u (u ) en u 2 = 0,5 op het gegeven intervl. Een oplossing is: u = u u u u u u (0,5). Met je rekenmhine geeft dt in drie deimlen nuwkeurig: u 1,047. Op het gewenste intervl vind je dn drie oplossingen: u 1,047 u 2π 1,047 u 1, π. En dus: u 1,047 u 5,236 u 7,330 u 8,901. Het exte ntwoord is: u = 1 3 π (zie de tel ij de theorie). Op het gegeven intervl: u = 1 3 π u = 2π 1 3 π u = 1 3 π + 2π. En dus: u = 1 3 π u = π u = π u = π. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 Opgve 4 Bekijk Vooreeld 1 op pgin 31. Los nu op u u u (u ) = 0,5. Geef lle oplossingen enderd in drie deimlen nuwkeurig. Geef lle exte oplossingen. Geef lle exte oplossingen op het intervl [0, 4π]. Opgve 5 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ). Zorg dt je in ieder gevl één omplete periode in eeld het. Los ext op: u u u (u ) = Geef lle exte oplossingen op het intervl [ 2π, 4π]. Geef de oplossingen op het intervl [ 2π, 4π] in drie deimlen nuwkeurig. Vooreeld 2 Los op: u u u (u ) = 0,8. Bekijk een deel vn de stndrd osinusgrfiek en zet er de lijn u 2 = 0,8 ij in. Zorg dt in ieder gevl een hele periode zihtr is. Een oplossing is:u = u u u u u u ( 0,8) 2,498 (een exte uitkomst is er niet). De tweede oplossing innen een periode is: u = u u u u u u ( 0,8) 2,498. Alle verdere oplossingen zijn nu te vinden door ij deze twee oplossingen een veelvoud vn de periode op te tellen: u 2,498 + u 2π u 2,498 + u 2π een wilekeurig geheel getl. Opgve 6 In Vooreeld 2 op pgin 32 los je u u u (u ) = 0,8 op. Nu zijn lleen enderingen mogelijk. Los op u u u (u ) = 0,6 op het intervl [ π, 3π]. Geef enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Los op u u u (u ) < 0,6 op het intervl [ π, 3π]. Geef enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Los op u u u (u ) < 0,6 op het intervl [ π, 3π]. Geef enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Vooreeld 3 Los op: 3 u u u (u ) + 1 < 0. Je kunt de grfiek vn de funtie u = 3 u u u (u ) + 1 ekijken met je grfishe rekenmhine. Het gt ij de vergelijking 3 u u u (u ) + 1 = 0 om de nulwrden vn deze funtie, dt zijn er oneindig veel. De vergelijking 3 u u u (u ) + 1 = 0 herleid je tot u u u (u ) = 1 3. De oplossingen hiervn zijn: u = u u u u u u ( 1 3 )+u 2π u = u u u u u u ( 1 3 )+ u 2π. In drie deimlen nuwkeurig: u 1,911 + u 2π u = 1,911 + u 2π. In de grfiek zie je dt de funtiewrden negtief zijn ls u tussen 1,911 en 2π inligt, dus voor 1,911 < u < 4,373. De oplossing vn de ongelijkheid is nu: 1,911 + u 2π < u < 4,373 + u 2π. PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 Opgve 7 Bestudeer Vooreeld 3 op pgin 32. Je werkt drin met de grfiek vn de funtie u (u ) = 3u u u (u )+1. d e Breng zelf deze grfiek in eeld op [ 2π,4π]. Los u (u ) < 2 op met enderingen in twee deimlen nuwkeurig. Los u (u ) = 2,5 ext op. Los u (u ) = 4 ext op. Wrom kun je u (u ) = 5 niet oplossen? Opgve 8 Los op [ 2π, 2π] ext op: 2 u u u (u ) 3. Opgve 9 Los ext op: u u u (2u ) = u u u ( 1 12 π). Vooreeld 4 Voor een eplde wrde vn u geldt u u u (u ) = 0,2. Bereken nu de exte wrde vn u u u (u ). In de Theorie op pgin 30 zie je dt er vershillende vernden estn tussen u u u (u ) en u u u (u ). Bijvooreeld: u u u 2 (u ) + u u u 2 (u ) = 1. Met u u u (u ) = 0,2 wordt dit: 0,2 2 + u u u 2 (u ) = 1. En dus is: u u u 2 (u ) = 1 0,04 = 0,96. Je vindt drom twee mogelijke wrden voor u u u (u ), nmelijk: u u u (u ) = 0,96 u u u (u ) = 0,96. Opgve 10 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u 2 (u ) + u u u 2 (u ) op [ 2π, 4π]. Bekijk de Theorie op pgin 30. Leg uit wrom de grfiek er zo uit ziet. Stel dt u u u (u ) = 1 3. Hoe groot is dn u u u (u ) ext? Bekijk eventueel Vooreeld 4 op pgin 33. Opgve 11 Je wilt de vergelijking u u u 2 (u ) = u u u 2 (u ) oplossen. Lt zien dt je deze vergelijking kunt shrijven ls 2u u u 2 (u ) = 1. Lt zien dt uit het voorgnde volgt dt u u u (u ) = u u u (u ) = Geef nu lle oplossingen vn de vergelijking. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 Verwerken Opgve 12 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ). Los de volgende vergelijkingen op. Geef wr mogelijk exte oplossingen en nders enderingen in drie deimlen nuwkeurig. u u u (u ) = 0,35 u u u (u ) = 0,35 d u u u (u ) = u u u (u ) = Opgve 13 Geef lle oplossingen vn: u u u (u ) = 1 u u u (u ) = u u u (1) u u u (1) = u d u u u (u ) = u u u (1) Opgve 14 Gegeven is de funtie u met u (u ) = 2u u u (u ) 1 op [0, 4π]. Bereken lle nulpunten vn de grfiek vn deze funtie. Los op: u (u ) 0. Opgve 15 Gegeven is de funtie u met u (u ) = u u u (2u ) op [0, 4π]. Los op: u (u ) = 0, 5 Los op: u (u ) 0,5. Opgve 16 Bereken ext de oplossingen op [0, 2π]. u u u (u ) (2u u u (u ) 1) = 0 u u u 2 (u ) = u u u (u ) u u u 2 (u ) 1, 5u u u (u ) 1 = 0 d 2u u u 2 (u ) + u u u (u ) = 0 PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 Testen Opgve 17 Bekijk de grfiek vn u (u ) = u u u (u ). Los de volgende vergelijkingen op. Geef wr mogelijk exte oplossingen en nders enderingen in drie deimlen nuwkeurig. u u u (u ) = 0,95 u u u (u ) = 0,95 u u u (u ) = 1 2 Opgve 18 Gegeven is de funtie u (u ) = 4u u u (u ) + 1 op [ 2π, 2π]. Bereken lle nulpunten vn de grfiek vn u in twee deimlen nuwkeurig. Los op u (u ) < 0. Opgve 19 Los ext op: u u u (3u ) = 0,5. u u u 2 (u ) = 0,5 + u u u 2 (u ) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 1.5 Sinusoïden Inleiding Je het leren werken met de funties u = u u u (u ) en u = u u u (u ) (met u in rdilen). Als je op deze funties trnsformties toepst, krijg je ndere periodes en kunnen de grfieken om een ndere lijn dn de u -s gn slingeren met een ndere uitwijking. Dt is elngrijk omdt de sinusfuntie en de osinusfuntie dn kunnen worden geruikt om periodieke vershijnselen meer in het lgemeen te eshrijven. Funties die door trnsformtie ontstn uit u = u u u (u ) noem je sinusoïden. Je leert in dit onderwerp > de grfieken vn u = u u u u (u (u + u )) + u en u = u u u u (u (u + u )) + u tekenen; > de vergelijkingen u u u u (u (u + u )) + u = u en u u u u (u (u + u )) + u = u oplossen. Voorkennis > de grfieken vn u = u u u (u ) en u = u u u (u ) tekenen met u in rdilen; > de vergelijkingen u u u (u ) = u en u u u (u ) = u oplossen ls u een onstnte is. > trnsformties op funties toepssen. Verkennen Opgve 1 Gegeven is de funtie u (u ) = 2 u u u (4u ) + 3. Mk met de grfishe rekenmhine de grfiek vn u op [0, 2π]. Bepl de periode vn deze periodieke funtie. Bereken de oördinten vn lle toppen vn de grfiek op [0, 2π]. Gegeven is de funtie u (u ) = 4 u u u (0,5(u π)) 1. d e f Mk met de grfishe rekenmhine de grfiek vn u op [0, 4π]. Bepl de periode vn deze periodieke funtie. Bereken de oördinten vn lle toppen vn de grfiek op [0, 4π]. Uitleg Bekijk de pplet. Je kunt met de pplet in > > Mth4All > 4/5 HAVO B > Sinusoïden > Uitleg de grfiek vn de funtie u (u ) = u u u u (u (u + u )) + u mken. Deze grfiek ontstt door trnsformtie uit die vn u (u ) = u u u (u ). De grfiek vn u noem je een sinusoïde. > u verndert de mximle uitwijking, de mplitude is u ; > u verndert de periode, de periode is 2π u ; PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

39 > u zorgt voor een horizontle vershuiving over u ; > u verndert de evenwihtslijn, die is u = u. Je ziet hier de grfiek vn de sinusoïde u (u ) = 1,5 u u u (2(u 1)) + 0,5. Je ziet: > de mplitude is 1,5; > de evenwihtslijn is u = 0,5; > de periode is 2π 2 = π; > de horizontle vershuiving is 1. Het ereik is drom B u = [0,5 1,5; 0,5 + 1,5] = [ 1, 2]. De toppen vn u zijn te vinden door de trnsformties toe te pssen op de toppen vn u. Opgve 2 Bekijk ij de Uitleg op pgin 36 de grfiek vn u (u ) = 1,5u u u (2 (u 1)) + 0,5 op [0, 2π]. d Mk zelf deze grfiek op de grfishe rekenmhine. Leg uit welke trnsformties er htereenvolgens op de grfiek vn u = u u u (u ) moeten worden toegepst om die vn u te krijgen. Het punt (0, 0) ligt op de grfiek vn u = u u u (u ). Welk punt op de grfiek vn u ontstt door deze trnsformties uit (0, 0)? Welke toppen heeft de grfiek vn u? Opgve 3 Gegeven is de funtie u met u (u ) = 1 2u u u (3 (u + 2)). Lees uit het funtievoorshrift de periode, de mplitude, de evenwihtslijn en de horizontle vershuiving f. Shets de grfiek. Controleer met ehulp vn de pplet in de Uitleg op pgin 36 of je grfiek juist is. Oefen dit een ntl keer. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 37

40 Theorie en vooreelden Bekijk de pplet. De grfiek vn de funtie u (u ) = u u u u (u (u + u )) + u is een sinusoïde. Dt is een funtie die door trnsformtie ontstt uit u (u ) = u u u (u ). Voor de grfiek vn u geldt: > de mplitude (mximle uitwijking vn de evenwihtslijn) is u ; > de periode is 2π 2π u dus u = periode ; > de horizontle vershuiving is u ; > de evenwihtslijn is de lijn u = u. Bekijk de pplet. De grfiek vn de funtie u (u ) = u u u u (u (u + u )) + u is een sinusoïde. Dt is een funtie die door trnsformtie ontstt uit u (u ) = u u u (u ). Voor de grfiek vn u geldt: > de mplitude (mximle uitwijking vn de evenwihtslijn) is u ; > de periode is 2π 2π u dus u = periode ; > de horizontle vershuiving is u ; > de evenwihtslijn is de lijn u = u. PAGINA 38 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

41 Vooreeld 1 Je ziet hier een deel vn de grfiek vn u = 2u u u (3u ). Bereken de periode en lle toppen vn deze sinusoïde. De vriele u wordt eerst vermenigvuldigd met 3. Dn is de periode 2π 3. De mplitude is 2 en de grfiek is niet omhoog geshoven. Het mximum is dus 2. De mxim vn de stndrd sinusgrfiek zitten ij u = 1 2 π + u 2π. Dus vind je de mxim vn deze grfiek ls 3u = 1 2 π + u 2π. Links en rehts door 3 delen geeft: u = 1 6 π + u 2 3 π. En dt klopt netjes met de erekende periode. Het minimum is 2. Die minim vind je ls 3u = π + u 2π. Dus de minim zitten ij: u = 1 2 π + u 2 3 π. Opgve 4 Je ziet hier een deel vn de grfiek vn u = 10u u u (4u ) + 5. Bereken de periode en lle toppen vn deze sinusoïde en zorg dt je de grfiek ook zo in eeld krijgt. Bekijk eventueel eerst Vooreeld 1 op pgin 39. Vooreeld 2 Je ziet hier een deel vn de grfiek vn u (u ) = u u u (2(u 0,5π)) + 1. De funtie u is gedefinieerd op R. Bepl de periode en de oördinten vn lle toppen. Los op: u u u (2(u 0,5π)) + 1 = 1,5. De periode is 2π 2 = π. De hoogste wrde die wordt ereikt is = 2. De mxim vn de stndrd sinusgrfiek zitten ij u = 1 2 π + u 2π. Dus vind je de mxim vn deze grfiek ls 2(u 1 2 π) = 1 2 π + u 2π. Eerst door 2 delen: u 1 2 π = 1 4 π + u π. Nu 1 2 π ijtellen: u = 3 4 π + u π Het minimum is 0. Drvoor geldt: 2(u 1 2 π) = π + u 2π. Nu vind je: u = 5 4 π + u π. Omdt de periode π is mg je dit ook shrijven ls u = 1 4 π + u π. De toppen zijn: ( 3 4 π + u π < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 2 < m : mn >) en ( 1 4 π + u π < m : mn >< m : mo >, < m : mo > 0 < m : mn >). Je moet oplossen: u u u (2(u 0,5π)) + 1 = 1,5. Dus: u u u (2(u 0,5π)) = 0,5. Dit levert op: STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 39

42 2(u 1 2 π) = u u u u u u (0.5) + u 2π 2(u 1 2 π) = π u u u u u u (0.5) + u 2π. En dus: 2(u 1 2 π) = 1 6 π + u 2π 2(u 1 2 π) = 5 6 π + u 2π. Delen door 2 en drn 0,5π optellen geeft: u = π + u π u = 12 π + u π. Benderd: u 1,833 + u π u 2,880 + u π. De enderde oplossing kun je ook vinden met ehulp vn de rekenmhine. Opgve 5 Gegeven is de funtie u met u (u ) = 3u u u (π (u 1)) Bepl de periode en de oördinten vn lle toppen. Bekijk eventueel eerst Vooreeld 2 op pgin 39. Welke trnsformties moet je htereenvolgens op de grfiek vn u = u u u (u ) toepssen om die vn u te krijgen? Los op: u (u ) = 11,5. Bekijk eventueel eerst Vooreeld 2 op pgin 39. Vooreeld 3 Je ziet hier een deel vn de grfiek vn u (u ) = 300u u u (0,4488(u +2)) 200. Neem u vnf 0 tot en met 28. Bereken de periode, rond f op een geheel getl. Bereken het ereik vn f. Los lgerïsh op: u (u ) = 0. Geef je ntwoord enderd in twee deimlen. De u wordt vermenigvuldigd met 0,4488. De periode is drom 2π 0, De hoogste wrde vn u is = 100. De lgste wrde vn u is = 500. Dus: B u = [ 500, 100]. Je lost de vergelijking stp voor stp op. 300u u u (0,4488(u + 2)) 200 = 0 300u u u (0,4488(u + 2)) = 200 u u u (0,4488(u + 2)) = 2 3 eide zijden +200 eide zijden /300 terugrekenen met u u u u u u 0,4488(u + 2) = ±u u u u u u ( 2 3 ) + u 2π enderen in drie deimlen 0,4488(u + 2) = ±0,841 + u 2π u + 2 = ±1,874 + u 14 u = 0,126 + u 14 u = 3,874 + u 14 eide zijden /0,4488 eide zijden 2 Omdt u loopt vnf 0 tot en met 28, krijg je vier oplossingen: u 10,13 u 13,87 u 24,13 u 27,87. Opgve 6 Gegeven is de funtie u met u (u ) = 4u u u ( 1 2 (u + 2)) + 8. Bepl de periode en de oördinten vn lle toppen. Bekijk eventueel eerst Vooreeld 3 op pgin 40. PAGINA 40 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

43 Welke trnsformties moet je htereenvolgens op de grfiek vn u = u u u (u ) toepssen om die vn u te krijgen? Los op (enderingen in drie deimlen nuwkeurig): u (u ) = 11. Bekijk eventueel eerst Vooreeld 3 op pgin 40. Opgve 7 Voor de hoogte vn de tip vn het rotorld vn een driende windmolen geldt de volgende formule: h (u ) = u u u ( 4 3 π u ) wrin u de tijd in seonden en h de hoogte in m is. Bepl de wrden voor de periode, de mplitude, de evenwihtsstnd en de horizontle vershuiving. Bij welke vensterinstellingen krijg je vnf u = 0 preies twee periodes in eeld? Bereken de tijdstippen wrop de tip preies 45 m oven de grond zit. Verwerken Opgve 8 De grfieken vn onderstnde funties zijn sinusoïden. Geef vn iedere sinusoïde de periode en de mplitude. Breng drn de grfiek in eeld zodt je op de grfishe rekenmhine twee perioden ziet. u = 12 u u u (u ) h (u ) = 50u u u (2πu ) + 10 d u = 120u u u ( π 5 u ) P (u ) = 20u u u (2u ) Opgve 9 Los de volgende vergelijkingen op. Geef wr nodig enderingen in drie deimlen nuwkeurig. 5u u u ( 1 2 u + 4) = 1 10u u u ( π 5 (u 2)) = 5 d 50u u u (4u ) = u u u ( 2π 15 u ) = 45 Opgve 10 Gegeven is de funtie u met u (u ) = 20u u u ( π 4 u ) + 10 op [0, 16]. Bepl het ereik vn u. Bereken lle nulpunten vn de grfiek vn deze funtie. Los op: u (u ) 0. Opgve 11 De hoogte oven de grond vn iemnd die zih in een reuzenrd evindt, kn worden eshreven door: h (u ) = u u u ( π 10 u ) wrin h (u ) is uitgedrukt in meters en u in seonden. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 41