Wiskunde B voor 4/5 havo

Transcriptie

1 Wiskune B voor 4/5 hvo Deel 1 Versie 2013 Smensteller

2 2013 Het uteursreht op it lesmteril erust ij Stihting Mth4All. Mth4All is erhlve e rehtheene zols eoel in e hieroner vermele retive ommons lientie. Het lesmteril is met zorg smengestel en getest. Stihting Mth4All nvrt geen enkele nsprkelijkhei voor onjuistheen en/of onvolleigheen in e moule. Ook nvren ze geen enkele nsprkelijkhei voor enige she, voortkomen uit (het geruik vn) it lesmteril Voor eze moule gelt een Cretive Commons Nmsvermeling-Niet-ommerieel 3.0 Neerln Lientie. (zie Dit lesmteril is open, grtis en vrij toegnkelijk lesmteril fkomstig vn en is speil ontwikkel voor het vk wiskune in het voortgezet onerwijs. Het lesmteril op e wesite is fgestem op kernoelen wiskune, tussenoelen wiskune en eintermen voor e vkken wiskune A, B en C. Dit lesmteril is meiumneutrl ontwikkel en op iverse mnieren te ekijken en te geruiken. Voor informtie en vrgen kunt u ontt opnemen vi info@mth4ll.nl. Ook houen we ons ltij nevolen voor suggesties, vereteringen en/of nvullingen.

3 Inhou Voorwoor 3 1 Werken met formules Formules geruiken Formules hershrijven Formules en e grfishe rekenmhine Vergelijkingen Totleel 33 2 Funties en grfieken Het egrip funtie Domein en ereik Krkteristieken Trnsformties Ongelijkheen Totleel 77 3 Lineire vernen Lineire funties Lineire vernen Stelsels vergelijkingen Lineire moellen Totleel Exponentiële funties Exponentiële groei Reële exponenten Exponenten en mhten Exponentiële funties Meer exponentiële funties Totleel Logritmishe funties Logritmen Eigenshppen vn logritmen Logritmishe shlen Logritmishe funties Logritmishe vergelijkingen Totleel Mhtsfunties Werken met mhten Eigenshppen vn mhtsfunties Kwrtishe funties ls mhtsfunties 219 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 1

4 6.4 De -formule Meer mhtsfunties Totleel 242 Register 247 PAGINA 2 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

5 Voorwoor Het lesmterl in it oek is geseer op het mteril t je kunt vinen op e wesite In e tekst stn n ook regelmtig verwijzingen nr ie wesite. Wr je preies moet zijn op ie wesite kun je zien in e kopregel vn ieere pgin. Bij estuering vn het lesmteril kom je in e tekst ook nwijzingen tegen. Je ziet n ijvooreel in e tekst: Bekijk eerst: > 1/2 HAVO/VWO > Afstnen > Toepssen Je kunt met e muis elk eel vn e werel ekijken en er op inzoomen. Als zo n nwijzing in een opgve stt, kun je ie opgve wrshijnlijk lleen mr mken ls je iner op e wesite het gekeken. Ieer hoofstuk estt uit een ntl prgrfen en wort stees fgesloten met een prgrf Totleel wr e leerstof wort smengevt en/of herhl. Ieere prgrf is ingeeel in vste rurieken ie houvst geven ij e estuering vn het lesmteril. > Verkennen > Uitleg > Theorie en Vooreelen > Verwerken > Toepssen Inien er in het lesmteril wort verwezen nr werklen n kun je eze terugvinen op e wesite. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 3

6 PAGINA 4 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

7 1Werken met formules Formules geruiken 6 Formules hershrijven 12 Formules en e grfishe rekenmhine 20 Vergelijkingen 26 Totleel 33

8 1.1 Formules geruiken Inleiing De oppervlkte vn een rehthoek kun je uitrekenen oor e lengte en e reete met elkr te vermenigvuligen. Dt is een zin ie je kunt inkorten tot A = u u ls je e oppervlkte vn e rehthoek voorstelt oor e letter A, e lengte oor e letter u en e reete oor e letter u. Zo n ingekorte zin heet een formule. Formules zijn overzihtelijker n lnge zinnen, mr je moet wel goe onthouen (of opshrijven) wt l ie letters voorstellen. En ij toepssingen moet je ook om e eenheen enken: ls lengte en reete in meter zijn, n moet oppervlkte in vierknte meter. Je leert in it onerwerp > vershillene soorten formules herkennen; > ij een formule ie het vern tussen twee vrielen eshrijft grfieken tekenen; > werken met grootheen en eenheen. Voorkennis > werken met vrielen (met letters ); > tellen mken en grfieken tekenen. Verkennen Opgve 1 Iemn wil een stuk hei fgrenzen om er shpen te lten grzen met 360 meter gs. Het f te grenzen stuk moet rehthoekig woren met een oppervlkte vn 0,5 hetre (us 5000 m 2 ). De vrg is nu of t kn en zo j, wt n e lengte en e reete zijn vn het f te zetten stuk hei. Om welke vrielen gt het in it proleem? Stel ij it proleem één of meer pssene formules op. Los het verer op, ijvooreel met ehulp vn tellen of grfieken. PAGINA 6 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

9 Theorie en vooreelen Een formule is een zin wrin vrielen voorkomen. Vk eshrijven formules een vern tussen ie vrielen, mr niet ltij. Formules heen meestl e vorm vn een vergelijking, us een zin met een isgelijkteken. Als een formule een vern eshrijft tussen twee vrielen, kun je er een grfiek ij tekenen. Je mkt n eerst een tel. Vervolgens zet je e gevonen punten in een ssenstelsel. In e prktijk eshrijven formules vk het vern tussen grootheen. Die grootheen woren voorgestel oor een vriele wrin e letter pst ij e geruikte groothei. Bij zo n groothei hoort weer een fgesproken eenhei wrin hij kn woren gemeten. > De formule A = u 2 is een vergelijking ie een vern tussen e vrielen A en u vstlegt. Je kunt er een tel en een grfiek ij tekenen. > De formule 2u + 40 = 300 geeft informtie over e onekene u. Deze vergelijking heeft ls oplossing u = 130, wnt = 300. > De formule (u + 3) 2 = u 2 + 6u + 9 is een rekenregel en gelt us voor elke wre vn u. Vooreel 1 Als een formule een vern tussen twee vrielen eshrijft, kun je vk een grfiek tekenen. Stel je voor t iemn 30 m 2 grszoen heeft gekoht. Drmee kun je vershillene rehthoekige grsveljes leggen. Tussen lengte en reete (in m) vn eze veljes estt n it vern: lengte reete = 30 Bij eze formule kun je een tel mken en een grfiek tekenen. Je egint met een tel en een "leeg" ssenstelsel. lengte reete Als lengte = 1 n is 1 reete = 30. En us is n reete = 30. Dit komt in e tel. In het ssenstelsel komt het punt (1, 30). Als lengte = 2 n is 2 reete = 30. En us is n reete = 30 /2 = 15. Dit komt in e tel. In het ssenstelsel komt het punt (2, 15). En zo vul je e tel verer in. De ijehorene punten komen in het ssenstelsel. Tenslotte teken je een (kromme) lijn oor e getekene punten. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 7

10 lengte reete , Opgve 2 Geruik e formule: oppervlkte(rehthoek) = lengte reete. Stel t gegeven is: lengte = 6 m. Vul it in e formule in. Geef e formule ie hieroor ontstt. Stel je voor t: oppervlkte = 12 m 2. Shrijf op hoe e formule n wort. Vn een rehthoek is eken t het een vierknt is. Shrijf e formule op ie voor eze rehthoek het vern tussen oppervlkte en lengte eshrijft. De volgene grfieken horen ij e formules uit, uit of Shrijf ij elke grfiek e juiste formule, zet e juiste vrielen ij e ssen en mk er een goee shlvereling ij. Opgve 3 Voor een onnement voor moiele telefonie etl je 24 per mn en nog eens 8 euroent per elminuut. De totle kosten per mn hngen us f vn het ntl elminuten per mn. Die totle kosten kun je omrekenen nr kosten per elminuut. Leg uit, t er voor e kosten K per elminuut gelt: K = 0, u wrin u het ntl elminuten in een mn voorstelt. Teken een grfiek ij eze formule. Neem n t 0 < u 240. Bekijk eventueel Vooreel 1 op pgin 7. Bij hoeveel elminuten etl je 12 euroent per minuut? PAGINA 8 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

11 Vooreel 2 Gooi je een steen met een eginsnelhei vn 24,1 m/s, n wort e snelhei vn e steen (zolng hij niet op e gron is gekomen) gegeven oor: u = 24,1 9,8u wrin u e tij in seonen voorstelt. Hier zie je e ijehorene grfiek. Je wilt weten op welk tijstip e steen op zijn hoogste punt is. Hoe lees je t uit eze grfiek f? Zolng e steen omhoog gt is u positief; zor e steen lt, is u negtief. Je kunt uit e grfiek flezen op welk tijstip e snelhei vn e steen 0 is. Op t moment is e steen op zijn hoogste punt. Dt is ongeveer n 2,5 s. Kun je it ntwoor ook nuwkeurig erekenen? Opgve 4 Iemn gooit vnf zijn lkon een tennisl omhoog met een eginsnelhei vn 5 m/s. In Vooreel 2 op pgin 9 stt eshreven hoe ij een omhoog geworpen steen e snelhei vn e tij fhngt. De l komt n 2 seonen op e egne gron. e Ps e gegeven formule n voor e gegevens vn e tennisl. Welke formule krijg je nu? Teken een grfiek ij eze formule. In e grfiek is e snelhei soms positief, soms negtief. Hoe komt t? N hoeveel seonen is e l op zijn hoogste punt? (Geef je ntwoor in uizensten nuwkeurig.) Met welke snelhei komt e l op e gron? (Geef je ntwoor in km per uur.) Vooreel 3 Een formule zols (u + 4) 2 = u 2 + 8u + 16 is een rekenregel. Een formule zols (u + 4) 2 = u is een vergelijking ie je op kunt lossen. Verklr het vershil. De ovenste formule gelt voor elke wre vn u. Dit kun je lten zien oor n e linkerknt vn het isgelijkteken e hkjes uit te werken: (u + 4) 2 = (u + 4)(u + 4) = u 2 + 4u + 4u + 16 = u 2 + 8u + 16 Bij e tweee formule kun je itzelfe oen, mr n komt er: u 2 + 8u + 16 = u En it gelt lleen ls 8u = 0 en us ls u = 0 De eerste (ovenste) formule klopt voor elke wre vn u, e tweee lleen ls u = 0. Opgve 5 Bekijk Vooreel 3 op pgin 9. Welke vn e volgene formules stelt een vern tussen twee vrielen voor? Teken in t gevl e grfiek. inhou = 3u 2 inhou = u u h 4 (u u ) = 4u 4u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 9

12 e lengte = 200 reete 2u + 25 = 14 0,5u f u u = 12 Opgve 6 Welke vn e formules uit e vorige opgve stelt een rekenregel voor? Verwerken Opgve 7 Voor e inhou vn een ilinervormig likje gelt: V = π u 2 h. Hierin is V e inhou (het volume), u e strl in entimeter en h e hoogte in entimeter. e In welke eenhei moet V woren uitgerukt? Hoeveel ergt e inhou vn een likje met een imeter vn 80 millimeter en een hoogte vn 16 entimeter? Welke formule geeft het vern tussen V en u voor likjes met een hoogte vn 16 entimeter? Teken een grfiek ij e formule ie je in het gevonen. Vn nere likjes ligt e inhou vst: V = 1 L. Welk vern is er nu tussen u en h? Teken er een grfiek vn. Opgve 8 Welke vn eze formules eshrijft een vern tussen twee vrielen? Teken er n een grfiek ij. (2 + u ) u = 2u + u u inhou(kuus) = u 3 u = 400 5u 2 u 2 + u 2 = u 2 Opgve 9 Voor het geruik vn elektriiteit etl je een vst erg per jr en een erg per kwh (kilowttuur) verruik. De totle jrlijkse kosten hngen rom f vn het ntl kwh t er wort verruikt. Die totle kosten kun je omrekenen nr kosten per kwh. Er gelt e formule: K = 0, u Hierin is u het ntl verruikte kwh en K e kosten per kwh (in euro s). Hoeveel ergt het vste erg per jr? Teken een grfiek vn K fhnkelijk vn u. Wrom moet K op e vertile s komen? Voor welke wre vn u ergen e kosten per kwh 16 euroent? PAGINA 10 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

13 Opgve 10 Een elektrishe weerstn wort ngesloten op een spnning vn 200 Volt. Met ehulp vn een mpèremeter kun je e stroomsterkte meten. Voor eze situtie gelt e wet vn Ohm: U = I R wrin U e spnning in V (volt), I e stroomsterkte in A (mpère) en R e weerstn in? (ohm). Bij een spnning vn 200 volt eshrijft e wet vn Ohm het vern tussen I en R. Welke formule hoort r ij? En welke eenheen horen ij eze formule? Teken een grfiek ij eze formule. Welke stroomsterkte wort er gemeten ls R = 15 Ω? Testen Opgve 11 Welke vn e volgene formules stellen een vern tussen twee vrielen voor? Mk er een ijpssene grfiek ij. u + u = 8 (u + 5) 2 = u u u 2 25 = 135 R = 50u 2u 2 Opgve 12 De Quetelet-inex (QI) is een mt voor je gezonhei. Je erekent e QI met e formule: QI = G. u 2 Hierin is u je lengte in meters en G je gewiht in kilogrm. Een QI vn tussen e 20 en e 25 etekent een gezon gewiht. Bereken e QI vn iemn ie 180 entimeter lng is en 78 kilogrm weegt. Bij een QI vn 20 kun je een grfiek mken vn iemns gewiht fhnkelijk vn zijn lengte. Teken ie grfiek. Teken in hetzelfe ssenstelsel e grfiek QI = 25. Stel je een persoon voor vn 180 entimeter lengte. Geef in je figuur n welke gewihten voor eze persoon gezon zijn. Zet e onergrens en e ovengrens er in e grfiek ij, in kilogrm nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 11

14 1.2 Formules hershrijven Inleiing Formules kun je vk op vershillene mnieren shrijven. Zo kun je e omtrek vn een rehthoek uitleggen ls Tel lengte en reete en lengte en reete ij elkr op, mr ook ls Neem 2 keer e lengte en 2 keer e reete en tel t ij elkr op. Dn zeg je vershillene ingen, mr ie leveren het toh ltij ezelfe omtrek op. Het zijn gelijkwrige formules (in wooren). Soms is e éne versie vn e formule hniger, soms werk je liever met een nere Je leert in it onerwerp > formules hershrijven; > hkjes uitwerken; > ontinen in ftoren; > werken met reuken. Voorkennis > werken met vrielen (met letters ); > eenvouige lgerïshe tehnieken zols terugrekenen, e lnsmethoe ij vergelijkingen en werken met hkjes. Verkennen Opgve 1 Iemn wil een stuk hei fgrenzen om er shpen te lten grzen met 360 meter gs. Het f te grenzen stuk moet rehthoekig woren met een oppervlkte vn 0,5 hetre (us 5000 m 2 ). De vrg is nu of t kn en zo j, wt n e lengte en e reete zijn vn het f te zetten stuk hei. Noem e lengte vn e rehthoek u en e reete u. Stel ij it proleem een formule op pssen ij e gegeven omtrek en één pssen ij e gegeven oppervlkte. Shrijf eie formules in e vorm u =... Hoe kun je nu het proleem verer oplossen? PAGINA 12 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

15 Theorie en vooreelen Formules zols 2u + 2u = 60 en u = 30 u eshrijven hetzelfe vern, ze zijn gelijkwrig. Je kunt e formule 2u + 2u = 60 herleien (of hershrijven): 2u + 2u = 60 u + u = 30 u = 30 u eie zijen /2 eie zijen u Nu is u uitgerukt in u. De nieuwe formule evt miner tekens en is overzihtelijker. Bij het hershrijven vn formules mk je geruik vn: > n eie zijen vn een isgelijkteken mg je hetzelfe optellen of ftrekken; n eie zijen vn een isgelijkteken mg je met hetzelfe vermenigvuligen of elen (ehlve vermenigvuligen of elen met 0); > hkjes uitwerken: u (u + u ) = u u + u u en (u + u ) (u + u ) = u u + u u + u u + u u > ontinen in ftoren: u u + u u = u (u + u ) en u 2 + u u + u = (u + u ) (u + u ) met u + u = u en u u = u > reuken optellen/ftrekken en reuken vermenigvuligen/elen: u u ± u u = u u u u ± u u u u = u u ±u u u u en u u u u = u u u u en u u / u u = u u u u / u u u u = u u u u ls u 0, u 0 (lleen ij e eling) en u 0 Vooreel 1 Je wilt e formule 4u 2 2u = 0 hershrijven zo, t u is uitgerukt in u. Lt zien hoe je t kunt oen. Dit gt zo: 4u 2 2u = 0 4u 2 = 2u eie zijen +2u eie zijen /4 u 2 = 1 2 u terugrekenen (eie zijen worteltrekken) u = ± 1 2 u Je vint us u = 1 2 u u = 1 2 u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 13

16 Je het nu e vriele u uitgerukt in u. Je ziet t er twee mogelijkheen zijn: het teken tussen eie mogelijke formules etekent en/of. Het gt om een vern tussen u en u wrij e éne formule en/of e nere formule hoort. Opgve 2 In een rehthoekige riehoek gelt e stelling vn Pythgors. In formulevorm: u 2 + u 2 = u 2. Geef twee gelijkwrige formules. Neem u = 3u en u = 4u en ruk u uit in u. Opgve 3 Shrijf e volgene formules zo eenvouig mogelijk: 2 u + 3 u + 4 u 6 u = 12 2 u u + u u = 18 A = 2 πu πu 1000 πu 2 u = 5u 6 6u 4 3u 7 Opgve 4 Bekijk Vooreel 1 op pgin 13. Druk in eze formules u uit in u. 2u 4u = 10 u (u + 2) = 6 u = 4u 2 u 2 + u 2 = 25 Vooreel 2 Vooreelen vn hkjes uitwerken zijn: > 2 (u u ) = 2 u 2 u = 2u + 2u > u (3 u ) = u 3 u u = 3u u 2 > 2 (u 5) = 2 u 5 = 2 u + 5 = 7 u > (u + 3)(u 5) = (u + 3)(u + 5) = u u + u u = u 2 2u 15 > (u 5) 2 = (u 5)(u 5) = u 2 5u 5u + 25 = u 2 10u + 25 Let er wel op t het uitwerken vn hkjes geen lin utomtishe wort. Soms kun je met een formule juist veel eenvouiger werken ls je e hkjes gewoon lt stn. Denk ook stees n of het uitwerken wel is toegestn. > Goe: u +6 2 = (u + 6) /2 = u = 1 2 u > Fout: u +2 = 6 /(u + 2) = 6 u = 6 u + 3 Opgve 5 Bekijk Vooreel 2 op pgin 14. Werk in e volgene uitrukkingen e hkjes uit: 3u (u 2u ) 2u (9u + 6) PAGINA 14 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

17 0,5u 100u u (20u + 100) 5u 3 (u 2 3u 3 ) Opgve 6 Werk in e volgene uitrukkingen e hkjes uit: (u + 2) (u + 4) 2 (u + 4) (u 2) (u + 3) ( 1 u + 6) (5u 4) 2 Vooreel 3 Vooreelen vn ontinen in ftoren zijn: > 2u 2 + 6u u = 2u u + 2u 3u = 2u (u + 3u ) > u 2 + 4u = u u u 4 = u (u 4) > u 2 + 5u + 6 = u 2 + 2u + 3u = (u + 2)(u + 3) > u 2 4u 12 = (u + 2)(u 6) > u 3 4u = u (u 2 4) = u (u 2)(u + 2) Opgve 7 Bekijk Vooreel 3 op pgin 15. Ontin in ftoren: 2u u u 2 + 5u + 4 u 2 9u + 8 u 3 + 2u 2 + u e u 2 17u + 16 f u 3 u 5 Vooreel 4 Breuken optellen/ftrekken is geseer op het gelijknmig mken: u u ± u u = u u u u ± u u u u = u u ±u u u u Hier zie je een pr vooreelen (g er vn uit t je nooit oor 0 eelt): > 2 u + 5 u = 7 u > 2 u 5 u = 3 u = 3 u > 2 u 5 u = 2u u u 5u > 2 3u + 5 u 2 = 2u 3u u 2 > 2 u 1 u +3 = 2(u +3) u (u +3) u u = 2u 5u u u = 2u +15 3u 2 u u (u +3) = u +6 u (u +3) STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 15

18 Opgve 8 Bestueer nog eens hoe je reuken optelt en ftrekt. Zie Vooreel 4 op pgin 15. Shrijf ls één reuk (neem n t je nooit oor 0 eelt): u + 1 u 2 u + 1 u Vooreel 5 Breuken vermenigvuligen en elen is geseer op: u u u u = u u u u en u u / u u = u u u u / u u u u u u = u u /u u = u u Hier zie je een pr vooreelen (g er vn uit t je nooit oor 0 eelt): > 2 u 5 u = 10 u 2 > 2 u / 5 u = 2 5 > 2 u / 5 u = 2u u u / 5u u u = 2u 5u > 2u 3 5 u 2 = 10u = 10 3u 2 3u > 2u 3 / 5 = 2u 3 / 15 = 2u 3 u 2 3u 2 3u 2 15 = 2 15 u 3 Opgve 9 Bestueer nog eens hoe je reuken vermenigvuligt en eelt. Zie Vooreel 5 op pgin 16. Shrijf ls één reuk (neem n t je nooit oor 0 eelt): / u 1 u 2 u / 1 u Opgve 10 Nog even oor elkr. Shrijf ls één reuk (neem n t je nooit oor 0 eelt): 1 u + 2 u 2 u 1 2u 3 5u / 2u 5 2 u + 1 u +1 PAGINA 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

19 Verwerken Opgve 11 Shrijf eze formules zo eenvouig mogelijk: 4 u + 10 = 3 u 2 u 2 u + 2 u u + 4 u = 6 u 2 4 u h + 2 u 2 = 100 W = u (650 2 u ) 20 (650 2 u ) Opgve 12 Druk in eze formules u uit in u. Shrijf ze rn zo eenvouig mogelijk. u 2u = 10 (u + 2) u = 6 u = 4 u 2 u u 2 = 4 e 0,5u + 1,5u = 12 f (u + u ) 3 = 8 g u 2 u 2 = 25 h 2u 2 + 4u u = 100 Opgve 13 Werk e hkjes uit: 2u (u 2 + 6u ) 2u (u 2 + 6u ) (u + 20) (u 5) (u 2 + 1) (3u 2) e (u 3) (u + 3) f (6u 3) 2 g (u 1 u )2 h (u 2) 3 Opgve 14 Ontin in ftoren: u 2 4u 2u u u 2 + 5u u u 2 e 4u 2 16 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 17

20 f 2u 3 2u 2 24u g 16 u 2 h u 2 10u + 9 Opgve 15 Shrijf ls één reuk (neem n t je nooit oor 0 eelt): 3 u + 5 u 3 u 2 2 u 2 u / 3 u 2u 1 2u Opgve 16 Een oer heeft een rehthoekig stuk ln t twee keer zo lng is ls ree. Uit het oogpunt vn lnshpseheer hlt hij n eie lnge zijen een strook vn 3 meter ree f en mkt r een smlle oswl. Verer mkt hij een reere oswl vn 10 m ree n één vn eie korte zijen. Zijn ln wort rmee 2690 m 2 kleiner. Mk eerst een tekening vn e situtie. Noem e oorspronkelijke reete vn het ln u (in meter). Hoe groot is e oppervlkte vn it ln? Hoe groot is e oppervlkte vn het ln n e nleg vn e oswl? (Denk om e hkjes!) Bereken oor uitwerken vn e hkjes hoe groot e reete vn het rehthoekige stuk ln is. Testen Opgve 17 Shrijf eze formules zo, t u is uitgerukt in u. u u + 4 u = 8 u 2 4 u 2u u = 0,4u u 4u 2 = 2 Opgve 18 Werk eerst e hkjes uit en ontin rn in ftoren: 2 (u 2) (u + 3) 12 (u + 3) (u 2) + 4u 8 Opgve 19 Goe of fout? Vereter e foute uitwerkingen of ontiningen. Lt ij e goee uitwerkingen zien wrom ze goe zijn. (u + 3) 2 = u u 2 4u + 12 = (u 6) (u + 2) 8u +100 = 2 4u 2 u + 25 u 2 PAGINA 18 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

21 8u u 2 +3u = 5u = 5 u 2 u Opgve 20 Shrijf ls één reuk (neem n t je nooit oor 0 eelt): u u 3 4u / 5 2u 2 u 4 2u +5 u +1 u + 1 2u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 19

22 1.3 Formules en e grfishe rekenmhine Inleiing De grfishe rekenmhine kn heel snel grfieken mken ij formules ie een vern tussen twee vrielen weergeven. Mr n moeten ze wel in e juiste vorm stn: hij kn lleen werken met formules wrij uielijk is voor welke vriele getllen woren ingevul (e invoervriele) en welke vriele n moet woren uitgereken. Ook mogen er ntuurlijk niet meerere uitkomsten mogelijk zijn. Vernen ie n eze eisen voloen noem je funties. Het egrip funtie wort verer in Funties en grfieken esproken. Je leert in it onerwerp > formules hershrijven tot ze e juiste vorm heen voor e grfishe rekenmhine; > het egrip funtie kennen; > grfieken mken met e grfishe rekenmhine. Voorkennis > werken met vrielen (met letters ); > eenvouige lgerïshe tehnieken zols terugrekenen, e lnsmethoe ij vergelijkingen en werken met hkjes. Verkennen Opgve 1 Als je nog nooit met een grfishe rekenmhine het gewerkt, oe je nu eerst het prtium Bsistehnieken. Je vint het ij: Prtium. Theorie en vooreelen Bij een formule, ie het vern tussen e vrielen u en u eshrijft, noem je u een funtie vn u, wnneer eze formule e vorm u =... heeft. In e ijehorene grfiek komt u n ltij op e vertile s. > In e formule u = u is u een funtie vn u. > In e formule P = 0,052u 3 is P een funtie vn u. > De formule u + 2u = 6 kun je op twee mnieren shrijven: > u = 6 2u, met u ls funtie vn u. > u = 3 0,5u, met u ls funtie vn u. Formules vn e vorm u =... kun je in e grfishe rekenmhine invoeren. PAGINA 20 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

23 Vooreel 1 De formule u + 2u = 12 eshrijft een vern tussen u en u. Hershrijf e formule zo, t u is uitgerukt in u en teken n met e grfishe rekenmhine e ijpssene grfiek. Dit gt zo: u + 2u = 12 2u = 12 u u = 6 0,5u eie zijen u eie zijen /2 Je het e vriele u geshreven ls funtie vn u. Nu kun je e formule in e grfishe rekenmhine invoeren. Opgve 2 Bekijk Vooreel 1 op pgin 21. Gegeven zijn e twee formules 2u + u = 6 en u 2 + 2u = 12. Hershrijf eie formules tot u een funtie is vn u. Voer eie formules in je grfishe rekenmhine in. Bepl met e grfishe rekenmhine e snijpunten vn eie grfieken. Doe it ook oor e ijpssene vergelijking lgerïsh op te lossen. Opgve 3 Bekijk Vooreel 1 op pgin 21. Druk in eze formules u uit in u. 2u 4u = 10 u (u + 2) = 6 u = 4u 2 u 2 + u 2 = 25 Vooreel 2 Als je 360 meter frstering eshikr het voor een rehthoekig vel met een oppervlkte vn 0,5 hetre n gelt: u u = 5000 en 2u + 2u = 360 en voor e reete (in m) e vriele u kiest. Zoek nu wren voor u en u ie n eie formules voloen. Shrijf e formules ls: u = 5000 u en u = 180 u. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 21

24 Voer je ze in e grfishe rekenmhine in ls Y1=5000/X en Y2=180-X. Om een goee grfiek te krijgen kies je verstnige grenzen vn e wren vn X (e reete) en Y (e lengte). Je ziet t e grfieken twee snijpunten heen. Om ie snijpunten gt het. Je erekent ze met je grfishe rekenmhine. Opgve 4 Bekijk Vooreel 2 op pgin 21. Bepl met je grfishe rekenmhine het snijpunt vn e grfieken u +u = 9 en u = u 3 in één eiml nuwkeurig. Shrijf een uielijke uitwerking op. Vooreel 3 Stel je voor t iemn een rehthoekig stuk ln vn 200 m 2 wil omheinen. De kosten voor e omheining moeten zo lg mogelijk woren. Hij moet e lengte en e reete us zo kiezen t e omtrek zo klein mogelijk wort. Hoeveel meter omheining is in it gevl noig? Er gelen voor zo n rehthoek twee formules: A = u u en P = 2u + 2u ls u e lengte (in m), u e reete (in m), A e oppervlkte en P e omtrek is. Omt A = 200, gelt: u u = 200 en us u = 200 u Die uitrukking kun je invullen in e formule voor e omtrek: P = 400 u + 2u Deze formule geeft een vern tussen P en u wrmee je een grfiek kunt mken. Je voert n e formule in e grfishe rekenmhine in en je kiest verstnige wren voor e instelling vn het grfiekenvenster. An e grfiek kun n je zien, t er een wre vn u is, wrij e omtrek zo klein mogelijk is. Die wre is ongeveer 14,1 m en e ijehorene reete is hetzelfe. Kennelijk is een ongeveer vierknt lnje het gunstigst. Dt zl je niet verwoneren... Opgve 5 Bekijk Vooreel 3 op pgin 22. Boer Voortmn zet voor zijn pr een weilnje f. Hij heeft rvoor nog 200 meter gs. Het weiln wort zuiver rehthoekig. Omt het weiln tegen een ree rivier n komt te liggen hoeft hij lleen e twee reetes en e lengte vn gs te voorzien. Druk e lengte u vn het weiln uit in e reete u. Druk e oppervlkte A vn het weiln uit in u. Breng met je grfishe rekenmhine e grfiek ij e formule ie je in het gevonen in eel. Beenk vn te voren e este vensterinstellingen. Voor welke wren vn u is e oppervlkte vn het weiln zo groot mogelijk? PAGINA 22 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

25 Opgve 6 Voor e inhou vn een ilinervormig likje gelt: V = π u 2 h Hierin is V e inhou (het volume), u e strl in entimeters en h e hoogte in entimeters. Neem een likje wrvoor h = 10 m. Nu is V een funtie vn u. Breng e grfiek vn eze funtie zo in eel t je ij V = 1000 nog kunt flezen hoe groot u is. Bepl e wre vn u in twee eimlen nuwkeurig. Voor een likje wrvn e imeter en e hoogte gelijk zijn, gelt: h = 2u. Shrijf een formule op voor V ls funtie vn u. Bepl nu e wre vn u vn zo n likje ls e inhou 0,5 L is. Voor een likje wrvn e inhou 1 L is, kun je een formule opstellen voor h fhnkelijk vn u. Breng e ijehorene grfiek in eel en epl e wre vn h wrvoor u = 5 m. Verwerken Opgve 7 Breng vn e volgene formules e grfieken in eel. Denk om het geruik vn hkjes en e instellingen vn het venster! u = 250u 4,9u 2 u = 0, u 4 u h + 2 u 2 = 100 N = ,5u 2 Opgve 8 Voor e inhou vn een rehte kegel gelt: V = 1 3 Gh, wrin G e oppervlkte vn het gronvlk en h e hoogte is. Dit gronvlk is een irkel met strl u. Welke formule eshrijft het vern tussen V, u en h? Voor een kegel met een inhou vn 1 liter kun je uit e formules een vern fleien tussen u en h. Geef t vern in een formule weer zo, t u een funtie is vn h. Bepl nu e wre vn h wrvoor gelt: u = 10 m. Bener het ntwoor in twee eimlen nuwkeurig. Bepl e wre vn u wrvoor gelt: h = 10 m. Bener het ntwoor in twee eimlen nuwkeurig. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 23

26 Opgve 9 Voor een kopieerpprt ergt e mnelijkse huur 200 wrij nog een erg vn 4 ent per kopie komt. K stelt e totle kosten voor en u is het ntl kopieën t er mnelijks (gemiel) wort gemkt. Shrijf e formule op voor K ls funtie vn u. Iemn ie een kopie mkt etlt 10 ent per kopie. Shrijf e formule op voor e inkomsten I ls funtie vn u. Hoeveel kopieën moeten er per mn woren gemkt ls 10 ent per kopie kostenekken is? Opgve 10 Stel je voor t een erijf ffihes wil mken. Om op te vllen moet e oppervlkte vn zo n ffihe 1 m 2 woren. Het ffihe wort zo erukt, t er n e eie zijknten en e ovenknt een witte strook vn 10 m overlijft. An e onerknt is ie strook 15 m. De erijfsleiing vrgt zih f welke fmetingen het ffihe nu nog kn heen. Ze komen rij op e formule: (u + 25) (u + 20) = Lt zien hoe ze n eze formule komen en wt u en u etekenen. Breng e grfiek ij eze formule in eel. Controleer of lle in eel gerhte fmetingen ook mogelijk zijn. Bij ner inzien wil e erijfsleiing t het erukte eel een vierknt wort. Welke mt voor e ffihes viseer je nu? Testen Opgve 11 In een iologish lortorium is onerzoek gen nr e tij ie ij een eple tempertuur noig is om 50% vn het z vn een plnt te lten ontkiemen. Proefonervinelijk wer it vern tussen e tije in gen en e tempertuur in C (gren Celsius) gevonen: u u u u = 89 T 2 Hierin is T e tempertuur in C. Voor welke temperturen heeft e formule etekenis? Mk een grfiek ij eze formule. Shrijf e instellingen vn het eelsherm op. Bij welke tempertuur uurt het 5 gen tott 50% vn het z is ontkiem? PAGINA 24 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

27 Opgve 12 Vn een vierknt stuk ppier vn 20 m ij 20 m wort een kje gemkt oor uit e hoeken een vierkntje weg te knippen. De rnen ie ontstn woren nr oven gevouwen. Stel zo n geknipt vierkntje heeft een zije vn u m. e Stel een formule op voor e reete u vn het kje ls funtie vn u. Welke wren kunnen u en u nnemen? Mk een formule voor e inhou I ls funtie vn u. Mk een grfiek vn e formule voor I. Let op e wren ie u kn nnemen en zorg voor een zonige grfiek t lle mogelijke wren vn I in eel komen. Bepl voor welke wre vn u e inhou mximl is. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 25

28 1.4 Vergelijkingen Inleiing Een rhitet wil een goee trp ontwerpen. Hij geruikt rvoor e formule: 2 optree + ntree = pslengte Hij gt uit vn een pslengte vn 70 m. Voor e optree wil hij 16 m nemen. Vult hij eze gegevens in e formule in, n krijgt hij e vergelijking: 32 + ntree = 70. Hij kn us ls ntree nemen: ntree = = 38 m. Op eze mnier heeft hij e vergelijking opgelost. Het getl 38 mkt e vergelijking kloppen: = 70. Je leert in it onerwerp > systemtish vergelijkingen met één vriele oplossen met l ekene oplossingsmethoen; > vergelijkngen oplossen met e grfishe rekenmhine. Voorkennis > werken met vrielen (met letters ); > eenvouige lgerïshe tehnieken zols terugrekenen, e lnsmethoe ij vergelijkingen en werken met hkjes. Verkennen Opgve 1 Je het l in voorgne jren vergelijkingen opgelost. Zet even je kennis op een rijtje: welke soorten vergelijkingen ken je en welke oplossingsmethoen ken je? Een zuiver rehthoekig oosje met een vierknte oem en een hoogte vn 12 m heeft een uitenoppervlkte (inlusief oem en eksel) vn 512 m 2. Welke fmetingen heeft t oosje? Bentwoor eze vrg met ehulp vn een vergelijking. PAGINA 26 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

29 Theorie en vooreelen Formules zols u = 2u + 3, of u + 4u u = 15, of 6u + 10 = 2u 8noem je vergelijkingen. Je kunt n wren (of ominties vn wren) zoeken ie e vergelijking kloppen mken, t heet het oplossen vn een vergelijking. Vergelijkingen kun je systemtish oplossen oor hershrijven. Voorl ij vergelijkingen met één vriele oe je t vk. Je geruikt n lgerïshe methoen, zols: > e lnsmethoe, wrij je n eie zijen vn het isgelijkteken > hetzelfe optelt of ftrekt; > met hetzelfe vermenigvuligt of oor hetzelfe eelt (mr niet 0). > e terugrekenmethoe, wrij je ewerkingen ongen mkt oor het tegenovergestele te oen: > optellen mk je ongen oor ftrekken (en omgekeer); > vermenigvuligen mk je ongen oor elen (en omgekeer); > mhten mk je ongen oor worteltrekken (en omgekeer). > ontinen in ftoren, wrij je geruik mkt vn het feit t een vergelijking vn e vorm u u = 0 gelijkwrig is met u = 0 u = 0. Het teken etekent t je eze uitrukking moet lezen ls u = 0 en/of u = 0 (us u = 0 of u = 0 of eie). Als lgerïshe methoen niet werken, kun je nog enken n inklemmen: je zoekt n oor proeren op een stees kleiner zoekgeie. Je grfishe rekenmhine heeft r iverse routines voor ingeouw. Vooreel 1 Los e vergelijking 1 2 (u + 8) = 7 + u op met e lnsmethoe. Je kunt ijvooreel zo te werk gn: 1 2 (u + 8) = 7 + u hkjes uitwerken 1 2 u + 4 = 7 + u eie zijen u = 11 + u eie zijen u 1 2 u = 11 eie zijen 2 u = 22 Je kunt it ntwoor nog ontroleren oor n eie zijen vn e gegeven vergelijking voor u het getl 22 te sustitueren. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 27

30 Opgve 2 Bekijk Vooreel 1 op pgin 27. Los e volgene vergelijkingen op met e lnsmethoe. 3u 400 = 700 3u 400 = 700 2u ,15 u = ,42 u u 3 4 = 1 5 (10 2u ) Vooreel 2 In e vergelijking 2(u 4) 2 = 32 komt e onekene u mr op één plek voor. Je kunt hem oplossen met terugrekenen. Eerst even uitzoeken hoe je heen rekent vnuit x: u 32 Vervolgens g je terugrekenen: u Je vint: u = ± en us u = 0 en/of u = 8. En weer ontroleren oor invullen! Opgve 3 Bekijk Vooreel 2 op pgin 28. Los e volgene vergelijkingen op oor terugrekenen. 3u 400 = 700 (3 u 20) 2 = u 3 = 81 Vooreel 3 Deze twee vergelijkingen kun je oplossen met ontinen in ftoren: > u 2 5u + 6 = 0 > u 3 = 4u De eerste vergelijking gt zo: u 2 5u + 6 = 0 (u 2) (u 3) = 0 u 2 = 0 u 3 = 0 u = 2 u = 3 En e tweee vergelijking gt zo: u 3 = 4u u 3 4u = 0 u (u 2 4) = 0 u = 0 u 2 4 = 0 u = 0 u 2 = 4 u = 0 u = 2 u = 2 PAGINA 28 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

31 Opgve 4 Bekijk Vooreel 3 op pgin 28. Los e volgene vergelijkingen op oor ontinen in ftoren. 0,5u 2 = 4u u 2 + 5u 6 = 0 8u u 2 = 0 u (u 2) = 3u 6 e u 2 = u + 12 f u 3 = 4u Vooreel 4 De vergelijking u + u 2 = 10 kun je oplossen met inklemmen. Eerst mk je e grfieken vn u 1 = u + u 2 en u 2 = 10 op e grfishe rekenmhine. Breng ze zo in eel t lle snijpunten zihtr zijn! De grfieken snijen elkr tweeml. De vergelijking heeft twee oplossingen. Voor e positieve oplossing moet je zoeken tussen 2 en 3. Stel e tel in op stppen (voor u ) vn 0,1. Je ziet t je verer moet zoeken tussen 2,7 en 2,8. Het zoekgeie wort kleiner, je klemt e oplossing in. Stel vervolgens een stpgrootte vn 0,01 in en zoek tussen 2,70 en 2,80. Nu zie je t e oplossing tussen 2,70 en 2,71 ligt, het ihtst ij 2,70. Zo vin je op twee eimlen nuwkeurig: u 2,70. Als een nuwkeuriger oplossing wort verlng, moet je nog oor zoeken tussen 2,700 en 2,710. Op ezelfe mnier epl je e nere oplossing. Op twee eimlen nuwkeurig is e volleige oplossing: u 2,70 en/of u 3,70. Opgve 5 Niet lle vergelijkingen kun je met e lnsmethoe, oor terugrekenen of ontinen in ftoren systemtish oplossen. De oplossing vinen oor inklemmen werkt rentegen wel ltij. Je moet n vn tevoren een iee heen vn het zoekgeie, us vn het geie wrin e oplossing is te vinen. In Vooreel 4 op pgin 29 kun je nlezen hoe je e inklemmethoe geruikt smen met je grfishe rekenmhine. Los e volgene vergelijkingen op met e inklemmethoe. Geef je oplossingen in rie eimlen nuwkeurig. u 3 = 4 u. 600 u = ,04u STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 29

32 Opgve 6 Los e volgene vergelijkingen op met e grfishe rekenmhine. Geef wr noig eneringen in twee eimlen nuwkeurig. u 3 + 2u = 16 u + u = 10 u + 10 u = u +4 = 20 Vooreel 5 Los e vergelijking 1 u + 2 u +3 = 1 zowel lgerïsh ls met e grfishe rekenmhine op. De oplossing met e grfishe rekenmhine is etrekkelijk eenvouig: > Voer in: Y1=1/X+2/(X+3) en Y2=3. > Bekijk e grfieken. > Je vint e twee x-wren wr Y1 en Y2 gelijk zijn in e tel, mr exte wren vin je niet. De lgerïshe oplossing gt ijvooreel zo: 1 u + 2 u +3 = u +3 u (u +3) + 2u u (u +3) = 3u +3 u (u +3) = 1 en us: 3u + 3 = u (u + 3). (Let op t zowel u 0 ls u moet zijn!) Dit geeft: u 2 = 3 en us u = 3 u = 3. Je ziet meteen hoe nuttig lgerïshe methoen zijn: je vint meteen e exte oplossingen, terwijl je je ners moet ehelpen met eneringen, ie vk nog lstig te vinen zijn ook... Opgve 7 Bekijk Vooreel 5 op pgin 30. Los e volgene vergelijkingen zowel lgerïsh ls met e grfishe rekenmhine op. 1 u u = u 2 +5 = 2 10 u + 1 = 5 u Verwerken Opgve 8 Los e volgene vergelijkingen lgerïsh op. 4u + 50 = 200 4u = 200 u + 4 = 20 (2u 5) 3 = 125 e u = 0 f 12 u = 400 g 2u 2 2 = 12u + 30 PAGINA 30 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

33 Opgve 9 Los e volgene vergelijkingen op oor inklemmen met ehulp vn je grfishe rekenmhine. Zoek lle oplossingen. u = 6 u u 4 = 2 + u Opgve 10 Het Empire Stte Builing is een hoge wolkenkrer in New York. Stel je voor t iemn vn het 381 m hoge geouw een steentje lt vllen! Oner invloe vn e zwrtekrht vlt een steen eenprig versnel (e luhtweerstn lt je uiten eshouwing). Ntuurkunigen heen rvoor een rekenmoel eht. Drin hngen e fgelege weg u (in meter) en e snelhei u (in m/s) f vn e tij u (in seone) volgens e formules u = 4,9u 2 en u = 9,8u. Geef een formule voor e hoogte h vn het steentje oven e gron ls funtie vn u. Bereken het tijstip wrop het steentje op e gron komt. Bereken e snelhei wrmee het steentje op e gron komt. Geef je ntwoor zowel in m/s ls in km/h. Opgve 11 Bereken ij eze formules e wre vn e éne vriele ls e nere 0 is. 2u 3u = 650 W = 0,25u (0,5u 100) u 2 + (u + 2) 2 = 100 u = ,2u 2 1 e (u 2 4) (u 2 9) = 36 f u = 4 1+u 2 Opgve 12 Een oer wort oor e gemeente gevrg om een stuk ln te voorzien vn een oswl vn 4 m reete. Het stuk ln is zuiver vierknt. Het grenst n één knt l n het os, zot er mr n rieknten een strook f hoeft voor e oswl. Ik hou zo mr e helft vn mijn ln over, verzuht e oer. Als t wr is, hoe groot is n e oppervlkte vn het ln? Los it proleem op met ehulp vn een vergelijking. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 31

34 Opgve 13 Sommige krsen zijn ijn zuiver ilinervormig. Stel je voor t je zo n krs wilt mken met een lengte vn 20 m. Je neemt een lont met een imeter vn 3 mm en ompelt ie een ntl keer in een met vloeir krsvet. Elke onerompeling wort e imeter vn e krs 1 mm groter. De hoeveelhei krsvet V in e krs hngt f vn het ntl onerompelingen u. Geef een formule voor V ls funtie vn u. Breng e grfiek vn eze funtie met je grfishe rekenmhine in eel. N hoeveel onerompelingen is e hoeveelhei krsvet in e krs ongeveer 106 m 3? Lees je ntwoor eerst uit e grfiek f en ereken het rn oor e ijehorene vergelijking lgerïsh op te lossen. Testen Opgve 14 Los e volgene vergelijkingen lgerïsh op. 1,25u + 5,50 = 1,85u 0,15(u 2) 2 = 1, u 2 = 0 3u 2 6u = 360 Opgve 15 Los e volgene vergelijkingen op oor inklemmen met ehulp vn je grfishe rekenmhine. (Eventuele eneringen in één eiml nuwkeurig.) 0,12u u = 30 4 = 1 3+u 2 u Opgve 16 Los eze vergelijking lgerïsh op: 2 u u = 0. Opgve 17 Voor e totle oppervlkte A vn een ilinervormig groentelik met strl u en hoogte h gelt: A = 2πu 2 + 2πu h. Leg uit hoe je eze formule zelf kunt fleien. Bereken in m 3 nuwkeurig e oppervlkte vn een groentelik met een imeter vn 20 m en een hoogte vn 30 m. Een groentelik met een oppervlkte vn 1000 m 2 heeft een hoogte vn 20 m. Bereken e imeter in mm nuwkeurig. Vn een groentelik met een oppervlkte vn 1000 m 2 zijn e hoogte en e imeter even groot. Bereken e imeter in mm nuwkeurig. PAGINA 32 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

35 1.5 Totleel Smenvtten Je moet nu voor jezelf een overziht zien te krijgen over het onerwerp Werken met formules. Een eigen smenvtting mken is nuttig. Begrippenlijst > formule vriele groothei eenhei > hershrijven uitrukken in hkjes uitwerken ontinen in ftoren > funtie > vergelijking vergelijking oplossen lnsmethoe terugrekenen inklemmen Ativiteitenlijst > soorten formules herkennen grfieken mken ij vernen tussen 2 vrielen > formules hershrijven e éne vriele uitrukken in e nere formules omineren > formules invoeren in e grfishe rekenmhine en grfieken erij mken > vergelijkingen oplossen met lle ekene methoen Ahtergronen Het geruik vn formules is een etrekkelijk reente "uitvining". De Frnse mteurwiskunige Frnçois Viète ( ) ws e eerste ie een systemtishe symolishe nottie voor lgerïshe prolemen eht. Hij geruikte letters voor onekenen: klinkers voor vrielen en meeklinkers voor onstnten (ie hij ls eerste oëffiiënten noeme). Zijn ijrge n e theorie vn het oplossen vn vergelijkingen is mee roor heel groot, wnt voor ie tij moesten lle oplossingsmethoen in wooren woren omshreven... Al eerer h e theoloog Niole Oresme ( ) voor zijn ntuurkunige onerzoekingen e grfiek uitgevonen. Mr ps nt René Desrtes ( ) e eshrijving vn rehte en kromme lijnen met ehulp vn formules eht, wer het geruik vn grfieken zols wij ie tegenwoorig kennen lngzmerhn gemeengoe. Desrtes geruikte voor vrielen letters hterin het lfet (vk x, y en z) en voor onstnten letters voor in het lfet. Dt oen wiskunigen tegenwoorig nog stees... Drom weet je t e formule y = x + een (lineir) vern eshrijft tussen x en y, wrin en onstnten zijn. STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 33

36 Testen Opgve 1 Los eze vergelijkingen lgerïsh op. Geef eventueel eneringen vn je ntwooren in twee eimlen nuwkeurig ,35u = ,12u 0,15(u + 25) = 0 4 u 3 = ,25u 2 = 7 e u 2 u = 90 f 1 u + u = 5,2 Opgve 2 Los e volgene vergelijking op met ehulp vn e grfishe rekenmhine. Geef een enering in rie eimlen nuwkeurig. u 2 + 2u = 20 Opgve 3 Een friknt wil zijn hgelslg verpkken in oosjes met een vierknte oem. Voor een oosje geruikt hij 800 m 3 krton. G ervn uit t een oosje preies e vorm vn een lk heeft. De hoogte vn zo n oosje wort ngegeven met h en e zije vn het gronvlk met u. Lt zien t het vern tussen h en u eshreven wort oor e formule: 4u h + 2u 2 = 800. De verpkkingsmhine lt een mximle hoogte vn 12 entimeter toe. Bepl e wre vn u ij h = 12 m. Geef e enering in mm nuwkeurig. Is een nuwkeuriger enering vn u zinvol in eze situtie? Geef n wrom. Opgve 4 Vnf een toren wort een vuurpijl fgeshoten. De hoogte h vn e vuurpijl hngt f vn e tij u t eze onerweg is. Er gelt: h = u 5u 2. Hierin is h in meter en u in seonen gemeten. e Breng e grfiek vn h in eel op je grfishe rekenmhine. Op welke hoogte oven e egne gron wer e vuurpijl fgeshoten? N hoeveel seonen ws e vuurpijl weer op iezelfe hoogte? N hoeveel seonen ws e vuurpijl op het hoogste punt in zijn n? Hoeveel meter oven e egne gron ws hij op t moment? N hoeveel seonen kwm e vuurpijl op e gron tereht? Kun je met eze gegevens e n vn e vuurpijl in eel rengen? Verklr je ntwoor. PAGINA 34 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013

37 Toepssen Opgve 5: Koolmonoxie Koolmonoxie (CO) is één vn e stoffen ie vi e uitlt vn een uto e luht inkomt. De hoeveelhei CO ie uitgestoten wort is fhnkelijk vn e tempertuur vn e motor en vn e rijsnelhei. Voor e CO-uitstoot ij e wrme motor gelt: u = 4, ,0 u. Bij een koue motor gelt: u = 6, ,5 u. Hierin is u e uitstoot in grm per kilometer en u e snelhei in kilometer per uur. Hoe kun je n e formules zien t e uitstoot fneemt ls e snelhei toeneemt? De uitstoot vn een koue motor eroeg 14 g/km. Hoe hr ree eze uto? Iemn is geïnteresseer in het vershil tussen e uitstoot ij een koue en ij een wrme motor. Hij onerzoekt hoeveel proent e uitstoot ij een koue motor meer is n ij een wrme motor. Dt perentge hngt f vn e snelhei. Hoe groot is t perentge ij een snelhei vn 30 kilometer per uur? Er estn ook formules wrij e CO-uitstoot gegeven wort fhnkelijk vn e ritlengte en e rijtij. Voor een wrme enzinemotor gelt: u tot = 4,4L + 0,054T. Hierin is u tot e totle hoeveelhei CO in grm uitgestoten tijens e rit, L e ritlengte in kilometers en T e rijtij in seonen. Lt zien hoe eze formule kn ontstn uit e eerste formule voor e CO-uitstoot ij een wrme motor. Opgve 6: Winmolens Winmolens kunnen elektriiteit opwekken. Voor een zekere winmolen wort t ngegeven oor e formule: P = 0,00013 u 3 D 2 Hierin is P het (gemiele) vermogen in kw (kilowtt), u e (gemiele) winsnelhei in m/s en D e rotorimeter in m. G uit vn een winmolen met een imeter vn 24 m. Bij welke winsnelhei in km/h wort een vermogen vn 26 kw opgewekt? G weer uit vn een vermogen vn 26 kw. Welke imeter e winmolen moet heen, kun je n nog erekenen. Stel een formule op ie D uitrukt in u. In een epl geie ligt e winsnelhei tussen e 7,2 en e 36 km/h. Als je een (gemiel) vermogen vn 26 kw met een winmolen wilt opwekken, tussen welke wren kies je n e imeter vn ie molen? STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013 PAGINA 35

38 Exmen Opgve 7: Treinreizigers te U. Treinreizigers ie op het sttion te U. uitstppen, kunnen e uitgng vn het sttion lleen ereiken vi een voetgngerstunnel. De tunnel is 30 meter lng en 3 meter ree. De snelhei vn e voetgngersstroom in e tunnel is fhnkelijk vn e rukte. Een mt voor e rukte is e moule, t is het gemiele ntl vierknte meter per voetgnger. e Op zeker moment evinen zih 120 mensen in e tunnel, ie llen in e rihting vn e uitgng lopen. Bereken voor eze situtie e moule. Het vern tussen e snelhei vn e voetgngersstroom V en e moule M wort gegeven oor e formule V = M+0,5 met V in meter per minuut en M in m 2 per voetgnger. Bereken e moule ij een snelhei vn 50 m per minuut. Geef je ntwoor in twee eimlen nuwkeurig. Wnneer een voetgnger ongehiner kn lopen, is zijn snelhei ongeveer 5 km/h. Onerzoek of t in overeenstemming is met e formule. Er estt een vern tussen e wre vn M en het ntl voetgngers t per minuut e tunnel verlt (N). Het vern tussen M en N stt grfish weergegeven in e figuur. Sht zo nuwkeurig mogelijk hoeveel mensen er per minuut e tunnel verlten in het gevl t e snelhei vn e voetgngersstroom 70 m per minuut is. Een elngrijk gegeven ij het ontwerpen vn een tunnel is het mximle ntl mensen t in korte tij kn woren verwerkt. Bij welke snelhei is het ntl voetgngers t per minuut e tunnel verlt mximl? Liht je ntwoor toe. (ron: exmen wiskune A hvo 1989, tweee tijvk) PAGINA 36 STICHTING MATH4ALL 3 OKTOBER 2013