CALCULUS SCHAKEL 2DB03 Ongelijkheden, absolute waarde, oplossen van ongelijkheden.

Transcriptie

1 CALCULUS SCHAKEL DB03 Onelijkheden, solute wrde, olossen vn onelijkheden. Produtreel, quotiëntreel en kettinreel. Verelijkinen vn rehte lijnen. Een tweetl stndrdlimieten voor sin en os. Definitie funtie, olynoomfunties, rtionle funties. De feleide vn sin, os en tn. Grfiek vn een funtie. De feleiden vn sommen, roduten, quotiënten en smenestelde funties Nulunten kwdrtishe verelijkin (ontinden in ftoren; -formule) Nulunten derderdsverelijkin indien een ftor uitedeeld kn worden. Snijunten vn een lijn en een rool. De inverse funtie vn een funtie. De funties sinus, osinus en tnens. Periodiiteit. Vernd tussen sin en os, os sin (Pythors) Somformules, hershrijven vn sommen vn sinussen en osinussen. De inverse vn de sin, os en tn. Vereenvoudien vn uitdrukkinen met rsin, ros en rtn. Rekenreels voor eonenten, de eonentiële funtie, het etl e Grfieken vn e-mhten, de loritmishe funties, ntuurlijke loritme ln. Verelijkinen met loritmen, rfiek vn loritmishe funties Rekenreels voor loritmen. De hyerolishe funties sinh, osh en tnh. Verelijkinen met hyerolishe funties olossen. sin Het eri limiet, eenzijdie limiet, lim 0 Het erekenen vn limieten, rekenreels, insluitstellin. Continuïteit in een unt en o een intervl, disontinuïteiten, ontinuïteit vn sommen, roduten en quotiënten vn ontinue funties, de tussenwrdestellin. Oneindie limieten en limieten in oneindi, limieten vn rtionle funties, vertile (VA) en horizontle (HA) symtoten. Differentiequotiënt, rklijn, rihtinsoëffiiënt. Snijlijn vs rklijn. De feleide vn een funtie in een unt, differentiëren vn funties, differentieerrheid imlieert ontinuïteit. Berekenen feleiden, rekenreels voor som, vershil en onstnte ftor. wrin oniometrishe funties voorkomen. Afeleiden vn eonentiële- en loritmishe funties. Afeleide vn inverse funties, ijv rsin, ros en rtn Funtieonderzoek en het shetsen vn rfieken vn funties. Domein en Bereik. Glol/lokl mimum, lol/lokl minimum, (lokle) etreme wrde, etremewrdestellin, definitie kritiek unt, etreme wrden worden nenomen in kritieke unten. Stijende en dlende funties, tekenshem s en etreme wrden. Buiunten en tweede feleide test voor etreme wrden. Primitieve funtie. Oervlkteerekenin dmv intereren. Belde en onelde interl. Riemnn som. Gemiddelde wrde vn een funtie. Hoofdstellin vn de interlrekenin. Sustitutiemethode. Stndrd interlen. Kwdrt fslitsen. Prtieel intereren. Omekeerde (o.. oniometrishe) sustituties. Interlen vn rtionle funties: drie vrinten (riterium is ntl nulunten vn de noemer: reukslitsen, sisfuntie en rtn). Zwrteunt.

2 Lineire funtie (lijn) Kwdrtish (rool) Geroken lineir (hyerool) y =r= y/ stijend ls >0 en dlend ls <0 -s: (-/,0) y-s: (0,) domein lle ereik lle y Ostellen: mv ten invullen en elen mv elimintie/sustitutie Grfiek: lijn door ten. Verelijkin olossen/snijt - elijkstellen en - olossen y ( 0) ( to ) yto ( nult)( nult) to en y vi invullen to dlrool ls >0; to=minimum errool ls <0; to=mimum -s: y=0 mv formule D D 4 met (D>0: ol; D=0: ol; D<0 een ol) y-s: =0 en y= symmetrie-s: =to domein lle ereik vnf yto; res. t/m yto Ostellen mv to of nulunten of unten o de rfiek (kies este methode) Grfiek: mv wrdentel Verelijkin olossen/snijt - elijkstellen en - olossen y ( 0 ) stijend ls <0 en dlend ls >0 VA: =- (nult noemer) HA: y= (vrije onstnte) Puntsymmetrie tov (-,) het snijt vn de symtoten -s (y=0): = vi invullen y-s (=0): y=/ + domein lle, muv - ereik lle y muv Ostellen mv unten o de rfiek, symtoten, unt vn symmetrie (kies este methode) Grfiek: mv wrdentel Verelijkin olossen/snijt - elijkstellen - olossen Controle: noemers 0 Goniometrish y sin os tn (evt. trfo's) y f( ) met f( ) sin,os of tn = mlitude = (m-min)/ ij sin en os Let o ±! =evenwihtsstnd = (m+min)/ ij sin en os sin, os zijn olftronen tussen - en. tn loot vn oneindi nr +oneindi sin miml in π/ en miniml - in -π/ (toen) os miml in 0, π en miniml - in π (toen) eriode (herhlin): π tn onerensd symtoten (VA) = π/ en = -π/ eriode (herhlin): π sin en os domein: lle tenzij kleiner eied neeven ereik: - y tn: domein lle muv = π/ + πk; ereik lle y overstnde zijde sin( ) shuine zijde nliende zijde os( ) shuine zijde overstnde zijde sin( ) tn( ) nliende zijde os( ) Eenheidsirkel Rehthoekie driehoek Pythors: en sin ( ) os ( ) met en rehthoekszijden en de shuine zijde Grfiek: mv wrdentel Bereken eerst mlitude en evenwihtstoestnd. Verelijkin olossen/snijt elen (ltjes!) sin sin( ) dn k of k os os( ) dn k of k tn tn( ) dn k met k eheel Controle: o eeven domein Wortel (hlve rool) HBO y of y ( 0 ) Zowel wortel zelf ls rument zijn 0. Hlve liende rool y dus y0 en 0 y dus 0 to=meest linkse of rehtse t (onder wortel stt 0), eindt vn de rfiek /, res. eny 0 to y to stijend vnuit de to nr links of rehts y stijend nr rehts indien >0 en dlend indien <0 domein en ereik volen uit estnsriteri Ostellen mv to of unten o de rfiek (kies este methode) y en y kunnen vi sieelin in de lijn y= emkt worden. V. y y, y, y en met ltjes. Grfiek: mv wrdentel Verelijkin olossen/snijt - elijkstellen, evt kwdrteren - olossen Controle: invullen in strtverelijkin o eldiheid.

3 Trnsformties: Eonentieel Loritmish Rekenmethoden HBO sisfuntie Hkjes: verdrijven of mken: Gonio y f( ) y y lo( ) Vermenivuldien Grfiek stijend ls Grfiek stijend ls > en Wewerken/verdrijven: (º) rd sin os tn met ftor /q tov de > en dlend ls dlend ls 0<< voor >0. Boojes / tel y-s: 0<<: = roeiftor=rondtl, snijten y-s). 30 π/6 Domein: >0 (dus een y=f() y=f(q) (voor 0<q< = eonent. Bereik lle y ( )( ) uiterekt, voor q> in Domein: lle. De lijn =0 is VA (vertile 45 π/4 elkr edrukt) Bereik y>0 (ls symtoot). ( ) ( )( ) 60 π/3 Hndie ti: vervn >0) en y<0 (ls 3 3 eerst door () en <0) (dus een ( ) ( )( ) 90 π/ dn innen de snijunten -s) hkjes door q. Strtwrde =0: 80 π 0 0 Indien q=- wordt de y=: -s (y=0) is 70 3π/ 0 - rfiek esieeld in HA (horizontle 360 π 0 0 de y-s. symtoot). Vershuiven in horizontle rihtin over h: y=f() y=f(-h) (nr rehts ls h>0 en nr links ls h<0) Hndie ti: vervn eerst door () en dn innen de hkjes door -h. Vermenivuldien met ftor tov de - s: y=f() y=f( ) (rehterlid wordt in zijn eheel met vermenivuldid) Indien =- wordt de rfiek esieeld in de -s. Vershuiven in vertile rihtin over v: y=f() y= f()+v (omhoo ls v>0 en oml ls v<0) lo -loritme vn is de mht wrtoe ik het rondtl moet verheffen odt ik krij Funtievoorshrift: Ostellen mv unten o de rfiek en/of symtoot. Vl olossen/ snijten q q dn =q olossen Evt. ontrole lo lo lo( ) lo lo lo( ) lo lo( ) lo 0 lo lo lo lo Funtievoorshrift: Ostellen mv unten o de rfiek en/of symtoot. lo 0 lo lo / lo k lo(/ ) lo k Vl olossen/ snijten lo lo q q dn =q olossen Controle o het estn vn de loritmen Ontinden in ftoren: som-rodutmethode q q ( s)( t)met s t en st q Breuken: / d (delen vn reuken) / d d (kruislins rodut) d Vereenvoudien vn reuken (elimineren emeenshelijke delen formule) Otellen/ftrekken vn reuken: elijknmi (elijknoemeri) mken Vermenivuldien vn reuken (teller * teller; noemer * noemer, vereenvoudien) Olossen vn eroken verelijkinen (elijknmi mken; kruislins rodut en dn olossen) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) os( ) os( ) os( ) os( ) tn( ) tn( ) mv eenheidsirkel sin( / ) os( ) os( / ) sin( ) mv eenheidsirkel Mhten: ( ) n n n n n n ( ) ( / ) / n m n mn / n m n m n m n mn 0 n n n / ( ) ( ) ( ) / q q q q / q / q ( ) ( Wortels: n m ls 0; ls 0; ( ) n n / / en q s r ls q s r )

4 Werkmodel Differentiëren Reels en stndrdformules HBO. Informtie Gemiddelde vernderin vn f( ) : Reel funtie feleide (strutureren). Modelouw f ( ) f ( eind) f ( ein) f ( ) f ( ) Constnte ftor ( ) f( ) '( ) f '( ) CR (doelfuntie) eind ein 3. Olossen differentiequotiënt (erekenen) Som SR s( ) f( ) ( ) s '( ) f '( ) '( ) 4. Toessen Vershil VR v ( ) f( ) ( ) v'( ) f '( ) '( ) (hlrheid) Het differentiequotiënt is de r vn de snijlijn door (,f()) en (+,f(+ )) n de rfiek. Produt PR ( ) f( ) ) ( '( ) f '( ) ( ) f( ) '( ) Snijlijn t door twee unten (vn de rfiek) Rklijn rkt de rfiek in een unt. Lijnen te elen met twee unten o die lijn dnwel de r en een unt. Voor de r eldt: r= y/ = vernderin vn y edeeld door de vernderin vn. Momentne/mrinle vernderin vn f( ) : f ( ) y f( ) f ( ) f '( ) lim lim lim differentilquotiënt Het differentilquotiënt is de r vn de rklijn in (,f()) n de rfiek vn f(). Quotiënt QR f ( ) f '( ) ( ) f( ) '( ) q ( ) q'( ) ( ) ( ( )) Kettin KR f ( ) v( u( )) f '( ) v'( u( )) u'( ) (KR: funtie in stjes odelen; drn feleiden vn de stjes vermenivuldien) Geruik desewenst hkjes om de sten te elen. f( ) 4 feleide Bij toessin vn deze reels 4 kn het nutti zijn eerst het V. KR / / u u u u u funtievoorshrift uit te werken f '( ) en/of te vereenvoudien. u u 4 Lijn: y y r Drn uitrekenen door het unt in te vullen. V. Mehni: v=s (t) en =v (t) met s=lts(we), v=snelheid en = versnellin Synoniemen: feleide f () =df()/d r vn de rklijn tnens vn de hellinshoek hellin, Differentieerrheid: (let o domein) Rklijn vn links estt: Rklijn vn rehts estt: f f lim 0 ( ) ( ) f f lim 0 ( ) ( ) Differentieerr: rklijn vn links = rklijn vn rehts dus lim Differentieerrheid ontinuïteit, ndersom niet ltijd. 0 Stndrdfuntie Afeleide f ( ) f '( ) 0 f ( ) f '( ) f ( ) sin f '( ) os f ( ) os f '( ) sin f ( ) tn f '( ) tn os f ( ) ln f '( ) f ( ) lo f '( ) lo e ln f ( ) e f '( ) e f ( ) f '( ) ln Bij toessin vn deze reels kn het nutti zijn eerst het funtievoorshrift uit te werken en/of te vereenvoudien. Hulmiddel: oniowieltje, formulekrt.

5 Funtieonderzoek Funtie f() stijt ls r rklijn >0 dus ls f ()>0 dus f() Funtie f() dlt ls r rklijn <0 dus ls f ()<0 dus f() Als f ()=0 dn r rklijn=0 (horizontl) moelijke situties: f () f () f() f() uiunt mimum f () f () f() f() minimum uiunt Etreme/uiterste wrden zijn mim en minim (lokl/lol). Etreme wrden treden dus o ls f ()=0 en een tekenwisselin vn f () Etreme/uiterste wrden zijn mim en minim. (ijv. to ij rool) Etreme wrden treden dus o - ls f ()=0 en een tekenwisselin vn f () (+0- of -0+) - ls f ()=0 en f ()>0 (dn heeft f() een minimum) rfiek f() is onve (ol) of ls f ()=0 en f ()<0 (dn heeft f() een mimum) rfiek f() is onf (hol) Beide methoden moen eruikt worden (kies de hndiste!). Rndetremen zijn eindwrden vn het domein wr moelijk een uiterste wrde otreedt. Vnf links (in domein): f () ++++ dn is er een rndminimum; evenzo tot rehts (in domein) f () ++++ rndmimum. Vnf links (in domein) f () dn is er een rndmimum; evenzo tot rehts (in domein) f () rndminimum. Buiunten: f() heeft in = een uiunt ls f "( ) 0 en f "( ) heeft een tekenwisselin rond = :dus =+0- of -0+ (dus f () miml of f () miniml) f () f () f () m f () min f() onve (ol) onf (hol) f() onf (hol) onve(ol) uiunt uiunt De rklijn in het uiunt n de rfiek vn f() heet de uirklijn. Deze rk lijn t dus eienlijk dwrs door de rfiek heen. Cirkel met strl r: omtrek r en oervlkte r Cilinder strl r en hoote h: Inhoud=rondvlk*h= rh; o(zijknt)= r h Rehthoek met lente l en reedte : omtrek=(+l) oervlkte=*l Tekenen vn rfieken vn funties HBO. Bel Domein D(efinitieeied) (en B(erei)k B) vn de funtie.. Mk een wrdentel voor enkele eenvoudi te tekenen unten o de rfiek, v. = -3, -, -, 0,,, 3 of ij onio, 3,,, 0,,, 3, 3. Bel snijunten met de -s (olossen f()=0). 4. Bel eventuele horizontle en vertile symtoten: HA en VA. 5. Bel f (), eef een tekenshem en el de etremen vn f(). 6. Bel f () en ereken eventuele uiunten. 7. Shets de rfiek. Afeleiden vn sisfunties uit PWIS Funtie Afeleide f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) f ( ) f '( ) ( ) f ( ) sin( ) d f '( ) os( ) f ( ) os( ( )) d f '( ) sin( ( )) f ( ) f '( ) f( ) f '( ) ln f( ) lo( ) f '( ) ln ( ) Let hierij o het eruik vn hkjes! Vooreeldmodel: Kr () r heeft etreme wrden voor r K'( r) r 0 zodt r 3 3 r r r / ot r Tekenshem eeft minimum n ( -0+) voor r=r ot. Driehoek: oervlkte=sis*hoote/ Gelijkzijdie driehoek, elijkenie driehoek.

6 Werkmodel Differentiëren Reels en stndrdformules voor het differentieren HBO3. Informtie Gemiddelde vernderin vn f( ) : Reel funtie feleide (strutureren). Modelouw f ( ) f ( eind) f ( ein) f ( ) f ( ) Constnte ftor CR ( ) f( ) '( ) f '( ) (doelfuntie) eind ein 3. Olossen Som +R differentiequotiënt s( ) f( ) ( ) s '( ) f '( ) '( ) (erekenen) Vershil -R 4. Toessen Het differentiequotiënt is de r vn de snijlijn door v ( ) f( ) ( ) v'( ) f '( ) '( ) (hlrheid) (,f()) en (+,f(+ )) n de rfiek. Produt PR ( ) f( ) ) ( '( ) f '( ) ( ) f( ) '( ) Interlen: Momentne/mrinle vernderin vn f( ) : - eld (renzen) vs. f ( ) y f( ) f ( ) Quotiënt QR f( ) f '( ) ( ) f( ) '( ) oneld (funtie) f '( ) lim lim lim q ( ) q'( ) oneienlijk: renzen ( ) ( ( )) en/of funtie zijn differentilquotiënt=feleide f () =df()/d Kettin KR f( ) v( u( )) f '( ) v'( u( )) u'( ) onerensd (± ) Het differentilquotiënt is de r vn de rklijn in Interlen kunnen (KR: funtie in stjes odelen; drn feleiden vn de stjes vermenivuldien) (,f()) n de rfiek vn f(). Ook: tnens vn ositief, nul of netief Geruik desewenst hkjes om de sten te elen. zijn, oervlkten zijn de hellinshoek, hellin vn de rklijn. ltijd niet-netief. Zwrteunt Z=( Z,y Z ) Stndrdfuntie f() Afeleide f () Oervlkte tussen f()=oven en ()=onder: f( ) f '( ) 0 A f( ) ( ) d (evt ()=0 dn onder rfiek f()) f ( ) f '( ) f ( ) sin f '( ) os Sttishe momenten (fleiden mv Δ-methode) en oördinten Moment M=? rm met?=mss, krht, oervlkte et. f ( ) os f '( ) sin S ijv y f ( ) tn tov y-s: Sy ( f( ) ( )) d z ( f( ) ( )) d f '( ) tn A A os f ( ) ln d d S f '( ) tov -s: S y( rehts links) dy yz y( rehts links ) dy A A f ( ) lo f '( ) lo e ln Eenvoudier: yz ( f( ) ( ) ) d f ( ) e f '( ) e A met, o de -s en, d renzen o de y-s. Eventueel ()=0 dn onder rfiek f()). Symmetrie Zwrteunt lit o lle symmetrie-ssen. (Tov symmetrie-s is sttish moment 0) Snijunt vn symmetrie-ssen is het zwrteunt. Toessin mehni: zwrteunt is het nrijinsunt vn een krht, Bijv. rvittie F=m. 3 Cirkel met strl r: omtrek r en o r Bol: o 4 r en volume 4 r /3 Cilinder strl r en hoote h: volume=rondvlk*h= r h; o(zijknt)= r h Keel met rondvlk G (evt. irkel) en (loodrehte)hoote h: volume =Gh /3. f ( ) f '( ) ln Bij toessin vn deze reels kn het nutti zijn eerst het funtievoorshrift uit te werken en/of te vereenvoudien. Hulmiddel: oniowieltje, formulekrt. Differentiëren en intereren zijn omekeerde/teenestelde ewerkinen: Deze tel : lezen is differentiëren en lezen is intereren. Tel ndere knt A4tje: lezen is intereren en lezen is differentiëren Rehthoek met lente l en reedte : omtrek=(+l) oervlkte=*l Driehoek: oervlkte=sis*hoote/ Gelijkzijdie driehoek, elijkenie driehoek. Zwrtelijnen: verhoudin :

7 Werkmodel Intereren Reels en stndrdformules voor het intereren HBO3. Informtie Oervlkte onder rfiek vn f ( ) tussen en : Reel funtie rimitieve (interl) (strutureren) Constnte ftor CR ( ) f( ). Modelouw ( d ) f( d ) A f( ) d F( ) F( ) Af (doelfuntie) Som +R s( ) f( ) ( ) 3. Olossen s( d ) f( d ) ( d ) (erekenen) Oervlkte tussen rfieken vn f ( )en ( ) Vershil -R v ( ) f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Toessen v d f d d vn tot : (hlrheid) Sustitutie SR f ( u( )) u '( ) d f ( u) du F( u) F( u( )) Primitieve F(): F( ) f( ) d met internd f ( ). F ()=f() dus ook f ( ) f '( ) d Indien nodi onstnte toevoeen (dus F() is niet uniek) V. Mehni: v=s (t) en =v (t) met s = lts(we), v = snelheid en = versnellin. Dus s() t v() t d t en vt () td () t. Mk ltjes! V. Eenrie ewein: v(t)=onstnt=v dus (t)=0 s() t s(0) vt Eenri versnelde ewein: (t)=onstnt = vt () v(0) t A oven( ) onder( ) d A A oven onder Punten en eventueel te elen ls twee oeenvolende snijunten. Drtussen in een unt oven en onder elen. Riemnn-enderin: Δ=(-)/n ΔA=lente() Δ o. strookje ij met reedte Δ A=Σ ΔA= Σ lente() Δ Interlst (limiet ) Δ d en Σ A lente( ) d (oervlkte) Evenzo: ΔV=o() Δ volume strookje ij met dikte Δ V=Σ ΔV= Σ o() Δ Interlst (limiet ) Δ d en Σ V o( ) d (volume) Bovensom, ondersom, treziumreel Toessinen. Teken ltjes! Areid W=F s mv F=m ijv. W ms ( s) ( s s) W ( s s) ds eind Hydrosttishe krht: P(h)=F/A=ρh met diete h F Ph ( ) Ahh (, h) Ph ( ) ( h) h eind F P( h) ( h) dh h ( h) dh Volume door een uis: V=v A (mv deieten) V v() t A() t t V v() t A() t dt Omwentelinslihm: (rond de -s vn funtie f()) V r f( ) V r d (rond de -s tussen f()=uiten en ()=innen) V V V ( f( ) ( ) ) d tussen uiten innen SR: Kies voor u wt tussen innenste hkjes stt, of wt omle lijkt: u= ; du/d=u () ; du=u ()d en herkennen/vervnen. Controle mv de kettinreel + differentiëren Eienshen: f( d ) F ( ) F ( ) 0 (lee interl); f ( d ) ( f( d) ) (renzen verwisselen) en f ( d ) f( d ) f( d ) (eiedslitsin) Stndrdfuntie f() Primitieve / interl f ( d ) f ( ) f ( d ) n f( ) (mits n ) n f ( d ) n f ( ) sin f ( d ) os f ( ) os f ( d ) sin f( ) f ( d ) tn os f( ) f ( d ) ln f ( ) e f ( d ) e f ( ) f ( d ) ln Bij toessin vn deze reels kn het nutti zijn eerst het funtievoorshrift uit te werken en/of te vereenvoudien. Hulmiddel: oniowieltje, formulekrt. Hndi: d, d ; n ln n ln n 3 5 n ( n) ln d u u V. (ln ) ln mv ln (SR) d