Meetkunde met coördinaten

Transcriptie

1 Meetkunde met coördinten Blok I Redeneren met vormen, getllen en formules

2 Inleiding op dit blok In dit eerste blok brengen we meetkunde en lgebr dicht bij elkr. Meetkunde gt over figuren, lgebr gt over formules en rekenen drmee. We doen dt n de hnd vn drie onderwerpen die je gedeeltelijk kent:. De stelling vn Pythgors. Prgrf 1 tot en met 3. Die gt over het rekenen n rechthoekige driehoeken. Je komt oude bekenden tegen, mr ook heel wt nieuws. An de hnd vn Pythgors rekenen we onder ndere wt meer met wortels. b. Gelijkvormigheid. Prgrf 6 tot en met 9. In dit blok pkken we gelijkvormigheid n op een ndere mnier dn in de onderbouw. Weer kom je het smengn vn werken met figuren en rekenen met lgebr volop tegen. c. De stelling vn Thles. Prgrf 10. Bij deze stelling komen cirkels ter sprke. Alles wordt verbonden met de twee vorige onderwerpen, weer vi de meetkunde én de lgebr. En prgrf 4 en 5 dn? Dr gt het over de methode zélf. Over de mnier wrop we lgebr en meetkunde combineren. Omdt die methode verder steeds wordt gebruikt, is het de eigenlijke kern vn het blok. Veel succes! Meetkunde met coördinten Blok I: Redeneren met vormen, getllen en formules Experiment: Nieuwe Meetkunde VWO B, Op voorstel vn de ctwo (Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs). Ontwikkeltem: Richrd Berends (NSG Groenewoud, Nijmegen), Josephine Buskes (Kndinsky College, Nijmegen), Ad Goddijn (FIsme), Sieb Kemme (ctwo), Dick Klingens (Krimpenerwrd College, Krimpen /d IJssel). Ontwerp blok 1: Ad Goddijn (FIsme; Freudenthl Instituut voor Didctiek vn Wiskunde en Ntuurwetenschppen). Versie: Experimentele versie 1 Dtum: 25 oktober Copyright: ctwo / Universiteit Utrecht

3 1: Home plte en Grss line 1: Home plte en Grss line Op de voorplt vn dit blok stt Dvid Ortiz vn de Boston Red Sox. Hij stt hier in de left-hnded btter s box vn het bsebll veld. Wordt ook mr linkshndig; Ortiz is in 2008 goed voor $ n inkomsten! Dit wordt vst weer een vn zijn homeruns. Vi first, second en third bse terug over de Home Plte, dt is de witte vijfhoek op de foto. De bsebll spelregels leggen de mten vn de homeplte zó vst: 17 Home bse is five-sided beveled [fgeschuind] slb tht mesures 17 inches by 17 inches, with two of the corners cut off so tht the two prllel sides re 8.5 inches long nd the two sides tht come together to mke point re 12 inches long. Shped like house De Home plte onderzocht De Home plte is dus een vierknt vn 17 bij 17 inch, wr twee hoeken vnf zijn gesneden. In de figuur hiernst zijn de rechte hoeken en de mten ngegeven. G met een berekeningen n of dt dit lleml wel exct kn kloppen! Schrijf je berekening met je conclusie op en geef n op welke stelling je npk berust De Home Plte ligt met de zijden vn 12 inch in de rechte hoek vn de twee foul lines. Op het overzicht vn het veld is het mr een klein ding. 1.2 De Grss line De Grss line is een grote cirkel om de Pitcher s mound; de strl is in de figuur ngegeven. Het is de grens tussen infield en outfield. De overgng vn dirt nr grss voel je ls je ls speler n je voeten ls je hrd loopt en in de lucht kijkt om de bl te vngen. De foul lines zijn de lijnen wr de bl binnen moet blijven. De Grss line loopt tot n de foul lines. Hoever vn de hoek vn de home plte snijdt de grss line de foul lines? Gebruik de hulpfiguur hiernst! Drin moet je dus HR berekenen. Trek eerst de loodlijn PS uit P op HR en bereken dr de lengte vn. Bedenk drbij: HS = PS. H P R berekening vn PS: berekening vn SR: berekening vn HR: 3

4 2: Pythgors beredeneerd 2: Pythgors beredeneerd Bij de bsebll-opgven op de vorige bldzijde kwmen rechte hoeken en fstnden voor. De welbekende stelling vn Pythgors gt over de zijden vn een driehoek die een rechte hoek heeft. Die stelling heb je l vk gebruikt. In deze prgrf kijken we eerst wrom het zo bsoluut zeker is dt de stelling klopt. We gn dus de stelling bewijzen. Je kunt de stelling op twee mnieren onder woorden brengen. Eerste mnier: met oppervlktes vn vierknten in een figuur De stelling vn Pythgors in oppervlktevorm Gegeven situtie: Een driehoek met een rechte hoek. Op elke zijde is een vierknt gezet. De Stelling vn Pythgors zegt: De oppervlktes vn de vierknten rond de rechte hoek zijn smen gelijk n de oppervlkte vn het derde vierknt. In de figuur: Donker en licht grijs zijn in oppervlkte gelijk Tweede mnier: met lengtes en een formule De stelling vn Pythgors in lgebrvorm c b Gegeven situtie: Een driehoek met een rechte hoek. De zijden hebben lengtes, b en c. De zijde met lengte c ligt tegenover de rechte hoek. De Stelling vn Pythgors zegt: c 2 = 2 + b 2 Bij de eerste mnier zie je drie vierknten in de figuur. Bij de tweede mnier zie je in letters de kwdrten vn, b en c. Die kwdrten zijn de oppervlkten vn de vierknten, dus er stt heleml hetzelfde. In dit blok kijken we vk op deze twee mnieren nr meetkundige problemen: de mnier met figuren en de mnier met getllen en lgebr. Bij beide mnieren hoort een bewijs vn de stelling vn Pythgors. 4

5 2: Pythgors beredeneerd Redeneren op de eerste mnier: oppervlktes vn de vierknten 2.1 Een legpuzzel Hierboven zie je de drie vierknten die op de zijden vn witte rechthoekige driehoek pssen. Er zijn nog zeven extr driehoeken, vn precies dezelfde vorm. Hieronder zie je twee keer het zelfde vierknt, wrvn de zijde gelijk is n de zijden vn de twee lichtgrijze vierknten smen.. Lt zien door tekenen (of puzzelen met de stukken die je uit bldzijde 37 knipt) dt de twee lichtgrijze vierknten plus vier witte driehoeken pssen precies smen in een vn de witte vierknten het ene donkergrijze vierknt plus vier witte driehoeken pssen precies smen in het nder (even grote) witte vierknte. b. Hoe weet je nu dt inderdd geldt: de twee lichtgrijze vierknten zijn smen even groot ls het donkergrijze vierknt? 5

6 2: Pythgors beredeneerd Redeneren op de tweede mnier: vn lengtes, b en c nr formule 2.2 We gn uit vn deze tekening Hier zijn vier rechthoekige bc-driehoeken n elkr gelegd. Zo ontstond een groot vierknt en een binnenvierknt. De oppervlkte vn het grote vierknt is c 2.. Wrom is de grote figuur eigenlijk een vierknt? Leg dt uit door te verklren wrom de hoeken met en smen 90 zijn. c b... c b c... b b. Zet in de vijf delen vn het grote vierknt uitdrukkingen (met en b erin) voor de oppervlktes. b... c c. Stel de vergelijking op die de smenhng tussen c 2 en de ndere stukken ngeeft: c 2 =... d. Werk het rechterlid nu verder uit totdt je uiteindelijk de formule c 2 = 2 + b 2 te pkken hebt. oefening c 2 = 2 + b Een ndere mogelijkheid Er is nóg een mogelijkheid vier rechthoekige -b-c driehoeken tot een buiten- en binnenvierknt te leggen: met de rechte hoeken buiten. Zie hiernst. Weer kun je op twee mnieren de oppervlkte vn het grote vierhoek bekijken: ls geheel en in delen.. Stel de vergelijking die drbij hoort op, en herleidt die ook tot de Pythgors-vergelijking.: b c c b c c b b 6

7 2: Pythgors beredeneerd De omkering vn de stelling vn Pythgors 2.4 Twee driehoeken in onderzoek Hier zijn vn twee verschillende driehoeken de zijden gegeven. Je moet ngn of de driehoeken rechthoekig zijn of niet.. De zijden zijn 68, 61 en 30. Deze driehoek is WEL / NIET rechthoekig, wnt... b. De zijden zijn 65, 56 en 33. Deze driehoek is WEL / NIET rechthoekig, wnt... Deze opgve heb je vst opgelost, door n te gn of de reltie c 2 = 2 + b 2 geldt voor de zijden. Klopt de gelijkheid, dn weet je dt de hoek recht is. Dt is juist, mr wt je gebruikt, is eigenlijk niet de stelling vn Pythgors, l lijkt het er ls twee druppels wter op. : Omkering vn de stelling vn Pythgors c c 2 = 2 + b 2 b Gegeven situtie: Een driehoek met zijden hebben, b en c wrvoor geldt c 2 = 2 + b 2 De Omkering vn de stelling vn Pythgors zegt: De hoek tegenover zijde c zijde is recht. 2.5 Slotvoorbeeld met een volledige redenering Een driehoek met zijden 61, 60, 11. Vrg: is de hoek tegenover zijde 61 recht? Onderzoek: Er bestt een rechthoekige driehoek met zijden 60 en 11. (Misschien is dt een ndere driehoek dn die met 61, 60, 11.) De zijde c vn deze (nieuwe) driehoek kunnen we uitrekenen. c = = 61.. De wrde 61 is exct goed. G dt n met een berekening. b. Het ws dus toch dezelfde driehoek! Wt is nu het ntwoord op de vrg hierboven? c. Bij welke vn de twee vrgen vn opgve 2.4 kun je deze redenering gebruiken? 7

8 3: Oefenen en verdiepen 3: Oefenen en verdiepen 3.1 Rekenen met Pythgors (Noteer bij je ntwoorden ook of je de stelling zelf, of de omgekeerde gebruikt hebt). Een driehoek heeft zijden ter lengte 5, 12 en 13. Mk een schets vn die driehoek, zet de lengtes vn de zijden erbij en geef n welke hoek rechts is. b. Een rechthoekige driehoek heeft een schuine zijde vn lengte 10. De twee ndere zijden hebben gehele getllen ls lengte. Bereken die lengtes. c. Een grote vierknte tfel heeft een digonl vn 1 meter. Dn ligt de lengte (en de breedte) tussen: A: 60 en 65 cm B: 65 en 70 cm C: 70 en 75 cm D: 75 en 80 cm. Leg je ntwoord uit. d. Vn een rechthoekige driehoek hebben de zijden bij de rechte hoek lengte 9581 en Bereken de lengte vn de schuine zijde. 3.2 De schuine zijde is ltijd de lngste In elke rechthoekige driehoek met zijden, b en c (de ltste de schuine) geldt c 2 = 2 + b 2.. Leg uit hoe je vnuit die formule kunt concluderen dt c groter is dn. 3.3 De loodlijn is de kortste verbinding In deze figuur is A een punt buiten de lijn l. De volgende uitsprk zl jou wrschijnlijk niet verrssen: Vn lle mogelijke verbindingslijnstukken vn A met punten vn l is het lijnstuk dt loodrecht op l stt het kortste. A Gebruik de rechthoekige driehoek APQ om dit n te tonen. AP is dr de loodlijn uit A op lijn l en AQ is niet de loodlijn. Toon dus n dt AP < AQ. Noteer je redenering; je kunt drin verwijzen nr een eerdere opgve. P Q l 8

9 3: Oefenen en verdiepen 3.4 Wortels en rekenmchines Bij vrg 3.1d werd het kwdrt vn de schuine zijde, zeg mr c 2, een groot getl. Omdt je c zelf wilt weten, berekende je de wortel, ntuurlijk met de rekenmchine.. Wrschijnlijk gf die rekenmchine een geheel getl ls ntwoord. Controleer door de drie getllen in de Pythgorsformule in te vullen, of er geen frondingsfoutje is gemkt. b. Nog zo n vrg ls 3.1d, mr met ndere getllen. Ook met de rekenmchine doen: Vn een rechthoekige driehoek hebben de zijden bij de rechte hoek lengte en 1. Wt is de lengte vn de schuine zijde? c. Ben je het met het ntwoord vn de rekenmchine eens? Wrom wel/niet? 3.5 Kiezen uit wortelvormen Vn een rechthoekige driehoek is de schuine zijde 650 en een vn de rechthoekszijden is 72. Welke vn deze formules geeft de derde zijde:? Omcirkel het ntwoord Driehoeken in serie. Bereken de lengtes vn de lijnstukken in de eerste figuur wr nog geen lengte bij ngegeven is. Rond je resultt niet f; lt wortels dus stn, tenzij je zeker weet dt de lengte een geheel getl is b. Zols in de tweede figuur te zien is, kn het proces onbeperkt voortgezet worden. N hoeveel stppen is een lijnstuk vn lengte 1000 bereikt? Licht je ntwoord toe. 1 In de tweede figuur zie je ook een spirlchtige lijn, opgebouwd uit gelijke stukjes vn lengte 1. De lijnen vnuit het centrum lijken dn ook heel gelijkmtig te lopen. c. Zijn de hoeken tussen de opeenvolgende lijnen inderdd gelijk? Licht je ntwoord toe! 9

10 3: Oefenen en verdiepen 3.7 Stomp, recht en scherp In deze tbel nog enkele voorbeelden vn driehoeken met zijden, b en c. b c scherp / recht / stomp b c scherp / recht / stomp I V II VI III VII IV VIII Geef nu n of de hoek tegenover zijde c scherp, recht of stomp is. Mk zo nodig een schets vn een driehoek. b. In de gevllen VII en VIII wijkt de hoek tegenover zijde c mr heel weinig vn de rechte hoek f. Mr in die gevllen kon je tóch beslissen over stomp of scherp door Pythgors te gebruiken. Vul nu stomp/recht/scherp n in de rechterkolom: 2 + b 2 < c b 2 = c b 2 > c 2 de hoek tegenover zijde c is c. Voorbeelden. Vul n in de rechterkolom; je hoeft lleen stompe en rechte hoeken te signleren, wnt scherpe zijn er ltijd wel. 12, 7, 9 stompe hoek tegenover zijde met lengte 12 12, 13, 5... hoek tegenover zijde met lengte... 5, 14, hoek tegenover zijde met lengte... d. In de figuur hier rechts moet je je voorstellen dt B en C vste punten zijn. BC heeft lengte. Stel je Q voor dt punt A bezig is over de hlve cirkel te lopen, vnf P vi Q A nr R. De lengte vn AC is c steeds b. Mr c, de lengte vn b BA, verndert tijdens de beweging. B C P R Beschrijf hoe c in grootte verndert tijdens de beweging; mk duidelijk wnneer c stijgt of dlt, wt de kleinste en grootste wrde is, wnneer de stijging of dling meer of minder sterk is, wnneer een beplde wrde bereikt wordt, enzovoort. 10

11 3: Oefenen en verdiepen 3.8 De gehele driehoeken In een pr opgven vn deze prgrf kwmen rechthoekige driehoeken voor wrbij de lengtes vn zijden lledrie gehele getllen zijn. Zulke drietllen heet Pythgoreïsche drietllen. Bij het berekenen vn de derde zijde moet vk een wortel bepld worden. Dt levert zelden een mooi getl op. Hoe vinden we toch vn die mooie Pythgoreïsche drietllen?. Controleer door nrekenen dt lijnstukken met deze lengtes een rechthoekige driehoek kunnen vormen: = , b = c = b. Zou dit trucje vker werken? Kies zelf eerst eens twee ndere getllen in plts vn 58 en 23 om het ptroon te testen. c. Om te kijken of het ltijd werkt, kiezen we in plts vn specile gehele positieve getllen nu letters, n en m, die willekeurig getllen voor kunnen stellen. We gn wel uit vn n > m, wnt nders is negtief. G door lgebrïsch uitwerken n of = n 2 m 2, b = 2 n m c = n 2 + m 2 ltijd een Pythgoreïsch drietl is. Intermezzo Vierknt en digonl. Hiernst zie je een vierknt met digonl. Er zijn twee rechthoekige driehoeken. De zijde is ngegeven met. Er geldt nu: de digonl vn een vierknt met zijde heeft lengte 2 Toon dit n door de volgende redenering f te mken: Noem de schuine zijde vn een driehoek even c. Dn geldt c 2 = b. Er onder is een vierknt getekend met digonl d. Lt zien (met Pythgors of nders) dt geldt: d de zijde vn een vierknt met digonl d heeft lengte d c. Wt is de digonl vn een vierknt met zijde 100 cm? Geef een ntwoord in honderdste millimeters nuwkeurig. d. Wt is de zijde vn een vierknt met digonl 200 cm? Geef een ntwoord in honderdste millimeters nuwkeurig. 11

12 3: Oefenen en verdiepen 3.10 Rekenen met 2 : wortels uit de noemer hlen d De formule voor de zijde vn het vierknt, wrvn de digonl d is, ws: Er is ook een formule 2 d 1 wrin geen 2 in de noemer voorkomt. Er geldt nmelijk: = --d Toon dit n door links en rechts vn het gelijkteken met 2 te vermenigvuldigen. 2 d = d b. Toon dit n door in de breuk teller en noemer met 2 te vermenigvuldigen: = = = Rekenen met 2 : uitwerken vn vermenigvuldiging. Werk de volgende vermenigvuldigingen uit nr een vorm wrin mr één wortel voorkomt: =... = =... = b. Mk gebruik vn b + b = 2 b 2 om de volgende vermenigvuldiging te vereenvoudigen, zodt geen wortel in het resultt voorkomt: = = =... c. Herleid de breuken hieronder tot uitdrukking zonder wortel in de noemer, door teller en noemer met een hndig gekozen uitdrukking te vermenigvuldigen = = = = = = = = =

13 4: Een belngrijke methode 4: Een belngrijke methode 4.1 Het vlggemstprobleem We lossen nu we een probleem, wrvn je de oplossing niet onmiddellijk kunt zien, op een specile mnier op. Het gt echt om een specil, mr heel lgemeen bruikbr werkpln. probleemstelling An de top vn een rechtopstnde vlggemst zit een koord. Eén meter vnf het losse eind zit een knoop. Als het koord los nr benden hngt, komt de knoop precies op de grond. Je trekt n het eind vn het touw en brengt dt eind zover mogelijk vn de mst nr de grond. Het koord rkt nu de grond op 6 meter vn de voet vn de mst. Vrg Hoe hoog is de vlggemst?. Stp 1: SCHETS MAKEN Mk een schets vn de situtie! Mk dus een schets wrin je koord, grond en mst tekent. Vn het koord tekent je zowel de loshngende stnd ls de stnd met de uiterste punt op de grond. Ongeveer zols hiernst; het kn niet precies, wnt je weet de juiste verhoudingen nog niet. Je doet ls het wre lsof je de lengte weet! Kleur in de schets de twee lijnstukken die in werkelijkheid even lng zijn. Mrkeer ook de rechte hoek die er is. b. Stp 2: GEGEVENS EN ONBEKENDE INVULLEN Zet de bekende gegevens op de juiste plekken in de tekening; in dit gevl de 1 en de 6 meter. Geef het onbekende stuk met de letter x n. Bij de mst; wnt dr moet je de lengte vn weten. x komt nóg een keer in de tekening voor, het gt om twee stnden vn het koord. c. Stp 3: VERGELIJKING OPSTELLEN BIJ DE SCHETS Gebruik de rechte hoek en gebruik hier Pythgors. Vul de zijden vn de driehoek in::... 2 = Je hebt nu een vergelijking opgesteld wrn het gevrgde getl x moet voldoen. d. Stp 4: VERGELIJKING OPLOSSEN Om de onbekende x te beplen, moet de vergelijking worden opgelost. G je gng en noteer je fleiding. x =... Terugblik: de vier stppen in een notedop:. Schets mken bij het probleem, lsof de oplossing er l is. b. Gegevens en onbekenden invullen; ls getllen of letters. Meestl hoef je mr met één onbekende te werken. Gebruik x voor die onbekende. Als er meer zijn gebruik je bijvoorbeeld y en z. c. Vergelijking opstellen bij het verbnd dt er in de figuur is. d. Oplossen vn de vergelijking. 13

14 4: Een belngrijke methode 4.2 Bijzonder punt in vierknt zoeken. probleemstelling Gegeven een vierknt ABCD vn 10 bij 10. Gezocht Een punt P binnen het vierknt dt even ver vn A ligt ls vn de zijden BC en CD. De fstnd vn het punt tot deze A, BC en CD moet gevonden worden. De vier stppen kun je in de volgende situtie weer gebruiken.. Stp 1: Mk de schets f met de lijntjes die de fstnden voor stellen.. (De plts vn P is lleen ongeveer ngeduid). D C b. Stp 2: Vul de bekende zijde 10 en de onbekende x op zoveel mogelijk plekken in de figuur in. c. Stp 3: Een vergelijking opstellen. Tip: Teken het vierknt om het schuinliggende lijntje x. Schrijf een kleine formule in x bij de zijden. Stp 3b vn het pln Nu kun je wel de vergelijking opstellen wrn de onbekende x moet voldoen. A P? B d. Stp 4 vn het werkpln. Omwerken vn de vergelijking; de onbekende berekenen. G je gng en noteer je fleiding. (Mk gebruik vn de oefening met wortelrekenen op de vorige bldzijde) x = Oefening brt kunst: nog een bijzonder punt probleemstelling Gegeven een vierknt ABCD vn 10 bij 10. Gezocht Een punt P binnen het vierknt dt even ver vn A, B en de zijde CD f ligt. Die fstnd vn het punt tot deze A, B en CD moet gevonden worden.. Vind die fstnd volgens het bekende pln! stppen schets 14

15 5: Voortzetting 5: Voortzetting 5.1 Twee vierknten met cirkels De twee grote vierknten op deze bldzijde hebben zijde 8; ze zijn ook op de juiste schl getekend, zodt je lter je ntwoorden met kunt controleren door meten. De bedoeling is dt je de strlen vn lle getekende cirkels berekent. w Q u x Doe dt met behulp vn wt je in dit blok tot nu toe gedn hebt. M v Denk er n dt je in de tekeningen ook ndere lijnen en punten kunt toevoegen. Middelpunten, digonlen, hlverende lijnen, prllellen n de zijde. Je bent vrij te kiezen. x Geef hieronder kort je berekeningen n. De letters zijn l bij strlen n gegeven, mr je moet soms meer vn dezelfde letters toevoegen. Let op de letters voor de volgende vrgen. u. v. Tip: Wt is MQ? y w. Tip: Verbind het middelpunt vn de w-cirkel met dt vn de u-cirkel er nst. Lt zien dt 2 w = u+ w 2 z x. Let op QA! y. z. 15

16 6: Gelijkvormigheid, wt is dt? 6: Gelijkvormigheid, wt is dt? Twee beeldformten Hier zie je één foto op twee verschillende beeldformten: breedbeeld (16 : 9) en stndrd (4 : 3). 16 : 9 4 : 3 Dt kn niet llebei goed zijn! Voor de linkerfoto is lles lleen opgerekt in de dwrsrichting. Dit is beter: Nu is op grote fbeelding lles met een fctor 1,33 vergroot ten opzichte vn de kleine foto. Nu is de vorm vn de fiets niet vernderd. Alleen jmmer vn dt zdel... Je bent gewend met verhoudingen en gelijkvormigheid te werken met behulp vn het begrip vergrotingsfctor en je hebt geleerd drbij te rekenen met de verhoudingstbel. In dit hoofdstuk leggen we meer ndruk op het goed blijven vn de vorm bij het vergroten, dn op de verhoudingsfctor. Drom eerst op weg nr een nuwkeurige fsprk over gelijkvormigheid. Intuitief gelijkvormig Twee figuren zijn gelijkvormig ls de onderlinge verhoudingen in de ene figuur precies dezelfde zijn ls in de nder figuur. De figuren kunnen in wre grootte nog wel verschillen. 6.1 De onderlinge verhoudingen vn twee rechthoeken. Lt zien dt de verhouding vn lengte en breedte bij deze twee rechthoeken niet dezelfde is. Doe dt door de lengte door breedte te delen in beide gevllen en de resultten te vergelijken. b. Denk n twee cirkels met verschillende strlen en b. Wrom weet je zeker dt de verhouding vn omtrek en strl voor de twee cirkels gelijk is? 16

17 6: Gelijkvormigheid, wt is dt? Wiskundige beschrijving vn gelijkvormigheid Excte vstlegging vn het begrip gelijkvormig voor driehoeken Twee driehoeken ABC en PQR noemen we gelijkvormig ls de verhoudingen vn de zijden in de ene driehoek gelijk zijn n die in de tweede driehoek. Er moet dus gelden AB : AC = PQ : PR en AB : BC = PQ : QR Nottie We noteren de gelijkvormigheid met een specil teken en gebruiken het fkortingsteken voor 'driehoek : Overeenkomstige hoekpunten moet je op dezelfde plts zetten. ABC ~ PQR Geheugensteun Welke verhoudingen vn zijden moeten overeenkomen, wordt hndig ngegeven met tekentjes of streepjes onder of boven de letters. Hier zie je de eerste verhouding, AB : AC = PQ : PR, n twee knten ngegeven. ABC ~ PQR 6.2 Voorbeeld: H PQR C G I J A B E. Controleer of geldt HIJ ~ ABC en EFG ~ ABC. Noteer welke verhoudingen je hebt ngemeten: F b. De vierde driehoek PQR ís gelijkvormig met ABC. Zet de letters P, Q en R op bij de juiste hoekpunten. Gelijkvormigheid en hoeken; de hoofdeigenschppen I. Als ABC ~ KLM, dn zijn ook de overeenkomstige hoeken gelijk: A = K, A = K en C = M. II. Als vn ABC en KLM twee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dn geldt ABC ~ KLM. III. Als vn ABC en KLM geldt dt AB : BC = KL : LM, en dt de ingesloten hoeken gelijk zijn (d.w.z. dt B = L), dn zijn de driehoeken gelijkvormig. 17

18 6: Gelijkvormigheid, wt is dt? 6.3 Controle. Vergelijk in de figuur bij de vorige opgve ter controle de hoeken bij A, E, H en P. b. Bij eigenschp II. stt twee overeenkomstige hoeken. Mr hoe zit dt dn met de derde hoeken vn de driehoeken? Zouden die ongelijk mogen zijn? c. Teken twee driehoeken ABC en KLM wrvn de zijden verhoudingen AB : BC en KL : LM gelijk zijn en de driehoeken toch niet gelijkvormig zijn. (Let op de derde hoofdeigenschp!) Oppervlkteverhoudingen In de hoofdeigenschppen (het lijstje op bldzijde 17) stt niets over verhoudingen vn oppervlktes. Eerst een voorbeeld, om even n te rekenen. 6.4 Vierknten met driehoeken In de vierknten hiernst loopt de schuine lijn vn een hoekpunt nr het midden vn een zijde.. Bereken in de figuren de verhouding wrin die lijn de oppervlkte vn het vierknt in twee delen verdeelt. figuur 1 figuur 2 figuur 3 Het zl je niet verbsd hebben dt ook de verhoudingen vn de oppervlktes in de verschillende figuren dezelfde zijn. De figuren zijn immers op precies dezelfde mnier in twee delen verdeeld. In deze figuur is het lstiger om de verhoudingen vn de oppervlktes tussen de delen vn de figuur te berekenen, mr je kunt toch wel iets zeggen over de oppervlkteverhoudingen in de twee figuren: die zijn gelijk. Dus: T 1 S 2 T 2 S 1 Opp(T 1 ) : Opp (S 1 ) = Opp(T 2 ) : Opp (S 2 ) 18

19 7: hoeken en evenwijdigheid, een déjà vu 7: hoeken en evenwijdigheid, een déjà vu Eigenschppen vn hoeken en evenwijdige lijnen In deze prgrf gebruiken we evenwijdige lijnen om llerlei gelijkvormige driehoeken te mken. Bij evenwijdige lijnen hoort het fenomeen vn de Z-hoeken en de F-hoeken. Dt herhlen we in het kort. c b d Twee snijdende lijnen. Er zijn twee pr gelijke overstnde hoeken. Hetzelfde, mr een extr lijn, evenwijdige een een vn de ndere, is toegevoegd. Rond de twee snijpunten komen de hoeken overeen; het een is een verschuiving vn de ndere Z-hoeken en F-hoeken. Als de hoeken enlinks gelijk zijn, zijn de lijnen en b evenwijdig. Als de hoeken en rechts gelijk zijn, zijn de lijnen c en d evenwijdig. 7.1 Twee evenwijdige pren lijnen In de figuur hiernst zie je twee pren evenwijdige lijnen. Er zijn nu vier snijpunten en er is een prllellogrm te zien. Twee hoeken in de figuur zijn gemrkeerd. *. Zet de ook tekentjes in de ndere veertien hoeken. b. Hoe groot is hier een hoek vn * + #? c. Vul deze beweringen n: # Binnen een prllellogrm zijn de overstnde hoeken... In een prllellogrm zijn de twee hoeken die n één zijde liggen Drie bundels evenwijdige lijnen Als je vn elk vn de drie richtingen één lijn uitkiest, bepl je een driehoek. Twee vn zulke driehoek zijn l gemrkeerd.. Plts tekentjes in de overeenkomstige hoeken, zodt blijkt dt de driehoeken gelijkvormig zijn. b. Teken er nog twee ndere driehoeken bij, gebruikmkend vn de lijnen. Zijn die ook gelijkvormig met de eerdere twee? Licht je ntwoord toe. 19

20 7: hoeken en evenwijdigheid, een déjà vu De hoeken vn elke driehoek zijn smen 180 Die stelling ken je l. Wel mooi om toch even te zien wrom dt eigenlijk zo is! Bij dit onderdeel heb je geen gelijkvormigheid nodig, mr in de volgende prgrf is die hoekensom vn de driehoek wel belngrijk; vndr. 7.3 Eerste redenering; omlopen en drien De hoeken vn de driehoek zijn en. We moeten ntonen: = 180. Stel je voor dt je bij P op de driehoek begint met een rondgng in de richting vn de pijl. Bij A, B en C moet je een dri nr links mken.. Noteer de grootte vn die driingen, uitgedrukt in en bij de pijlen die de driingen ngeven. b. Bij P ben je weer terug in dezelfde richting! Wt betekent dt voor de drie drien smen? Schrijf dt op ls een vergelijking: A P C B c. Herleid die vergelijking tot wt bewezen moest worden. 7.4 Tweede redenering, meetkundig.. Hiernst is een ABC getekend. Zet en in de hoeken. b. Trek een lijn door één vn de hoekpunten, die evenwijdig is n de zijde tegenover dt hoekpunt. Er ontstn dr drie hoeken bij elkr. Hoe groot zijn die smen? c. Zet de juiste letters in die hoeken en leg uit wrom de som vn de hoeken vn een driehoek 180 is. A C B 7.5 Oefenen vn de stelling over de hoekensom vn de driehoek.. In een of ndere driehoek zijn twee hoeken 34 en 57 Hoe groot is de derde hoek? b. Een rechthoekige driehoek heeft een hoek vn 28 Hoe groot zijn de ndere twee hoeken? c. Een gelijkbenige driehoek heeft een hoek vn 100Hoe groot zijn de ndere twee hoeken? d. Een gelijkbenige driehoek heeft een hoek vn 36Hoe groot zijn de ndere twee hoeken? Let op: er zijn twee mogelijkheden! e. Een driehoek heeft een hoek vn 40 Hoeveel zijn de ndere twee hoeken smen? f. Een driehoek heeft hoeken, en. Druk in en uit. 20

21 8: Evenwijdigheid en gelijkvormigheid: goede vrienden 8: Evenwijdigheid en gelijkvormigheid: goede vrienden 8.1 In deze twee figuren zijn de lijnen AB en DE evenwijdig. C B D E D C E A B A. Beide figuren kun je lezen ls twee driehoeken. Welke driehoeken? b. Elk vn deze figuren bevt twee gelijkvormige driehoeken: ABC en DEC. Noteer de drie bijhorende gelijke verhoudingen die er zijn; voor beide figuren zul je hetzelfde opschrijven! 8.2 Drie gelijkvormige driehoeken in één figuur Hier is in de eerste figuur hiernst bovendien nog FD evenwijdig n BC.. Welke zijn de drie driehoeken? Noteer ze met de hoekpunten in de juiste volgorde! D E C b. UIt de gelijkvormigheid vn twee vn die driehoeken kun je fleiden dt AD : DC = FD: EC. Hoe volgt hieruit dt AD : DC = BE : EC? A F D B C c. Bepl in de tweede figuur door een hndige lijn te tekenen op lijnstuk GC een punt H dt GC precies in de verhouding AD : DC indeelt. d. Bepl in de derde figuur door tekenen vn lijnen een punt Q op PR, zo dt KL : LM = PQ : QR. (Mk op een of ndere mnier een tussenstpje, zodt je het idee vn vrg c twee keer uitvoert...) A K L M R G P 21

22 8: Evenwijdigheid en gelijkvormigheid: goede vrienden Snelrecht bij verhoudingscontrole 8.3 Een rechthoek met digonl en extr lijnen evenwijdig n de zijden. c d b. In deze figuur geldt : b = c : d. Wrom? (Je kunt in je ntwoord verwijzen nr wt we eerder gezien hebben.) b. De digonl verdeelt de grote rechthoek in gelijke delen. Verklr nu wrom de grijze rechthoeken gelijke oppervlkten moeten hebben. c. Hoe volgt druit dt d = b c? 8.4 Verhoudingen controleren met vermenigvuldigen Bij de vorige opgve bleek hoe je een gelijkheid vn verhoudingen zols : b = c : d om kunt zetten in een gelijkheid vn oppervlktes vn rechthoeken: d = b c. De lgemene regel is: Het product vn de buitentermen is gelijk een het product vn de binnentermen.. Als je de verhoudingsgelijkheid weergeeft ls -- = -- c b d kun je ook op grond vn je kennis vn breuken komen tot het resultt d = b c. Welke redenering volge jij drbij? -- b = -- c d d = b c b. Controleer door vermenigvuldigen welke vn deze verhoudingen kloppen; noteer je berekening en je conclusie. 55 : 89 = 144 : : 323 = 403 : : 45 = 91 : 2047 c. Leg uit wrom geldt: Als : b = c : d, dn geldt ook : c = b: d 22

23 8: Evenwijdigheid en gelijkvormigheid: goede vrienden Verhoudingen en fctoren 8.5 De vergrotingsfctor Hier is gegeven dt de twee driehoeken gelijkvormig zijn: ABC ~ DEF. De zijden zijn ngeduid met kleine letters. Let op: de zijde met de kleine letter ligt tegenover de hoek met de hoofdletter. Met deze kleine letter nottie in de driehoek reken je wt gemkkelijker met de zijden dn met de nottie AB. B. Een vn de verhoudingen die geldt is b : = e : d. Lt met lgebr zien dt druit volgt wt heleml rechts hieronder stt. b : = e : d b. Kies een ndere verhoudingsgelijkheid om de volgende gelijkheid f te leiden. A b C c F e e = D d d -- b f E te vermenigvuldigen te vermenigvuldigen. te vermenigvuldigen. e f d c. Leg uit wrom je evengoed de fctor -- of de fctor -- kunt gebruiken in plts vn --. b c 8.6 Oefenen! Je hebt nu gezien d dt je e kunt beplen door b met de fctor -- d dt je f kunt beplen door c met de fctor -- Dit geldt ntuurlijk ook: d dt je d kunt beplen door met de fctor -- de ene driehoek de ndere driehoek fctor b b d e f ,8 7,2 3, ,5 2,5 5,8 f = d -- c vergrotings- of verkleiningsfctor De zijden vn de tweede driehoek kun je vinden door de zijden vn de eerste driehoek met een zelfde getl te vermenigvuldigen. Dt getl ken je ls je de eerste driehoek kent en één zijde vn de tweede. 23

24 9: Een beeldschone driehoek 9: Een beeldschone driehoek Dit is hem: de rechthoekige driehoek, wrbij de schuine zijde horizontl ligt C b A c B 9.1 Eerst gn we zo veel mogelijk ngeven wt we l vn de figuur weten.. Trek de lijn uit C loodrecht op AB. Je krijgt een voetpunt, noem dt D. b. Er geldt: A + B = 90 Zet een en in die twee hoeken om de grootte te mrkeren. Er zijn nog twee hoeken die je kunt mrkeren met en Doe dt in de tekening. c. Verklr wrom ADC, CDB en ACB gelijkvormig zijn. d. We geven nmen n de lengtes vn de lijnstukken. Zet letters p en q bij AD en DB en h bij DC. 9.2 Nu gn we met behulp vn gelijkvormigheid llerlei smenhngen ontdekken tussen de lijnstukken. We vinden uiteindelijk een bekende formule terug Voorbeeld: in deze gelijkvormigheid is op de mnier vn blz. 17 ngegeven vn welke zijden we de verhoudingen vergelijken: ADC ~ CDB De verhouding die dr bij hoort is p : b = h :. Omgezet nr een lgebrïsch verbnd.p = hb. Leid net zo het lgebrïsche verbnd f dt bij deze gelijkvormighoud hoort: CDB ~ ACB b. Het resultt ws een vergelijking wrin 2 voorkwm. Stel nu zelf de gelijkvormigheid op, wr een lgebrïsche verbnd uitrolt, wrin b 2 voorkomt.... ~... c. Tel de formules voor 2 en b 2 bij elkr op en herleid met behulp vn p + q = c tot een bekend verbnd: 2 + b 2 = 9.3 Toon met de techniek vn de vorige opgve n dt h 2 = pq 24

25 10: De stelling vn Thles 10: De stelling vn Thles De rechthoekige driehoek vn de vorige prgrf heeft nog een mooie eigenschp. Bij die eigenschp gt het om het verbnd vn de driehoek met een specile cirkel: de cirkel wrvn de schuine zijde een middellijn is. Eerst gn we dt verbnd meetkundig onderzoeken Het midden vn de schuine zijde. Teken in de driehoek nuwkeurig het midden M vn de zijde AB. b. Mk driehoek ACB nu f tot rechthoek ACBZ. c. Geef een korte redenering wruit volgt: MA = MB = MC. (Je mg ntuurlijk gebruiken wt je weet over de digonlen vn een rechthoek.) A b C c B d. M is het middelpunt vn de cirkel die door A en B gt. Teken die cirkel met je psser. e. Punt C ligt op die cirkel. Wrom is dt zo? Bij deze opgve zie je dt een rechthoekige driehoek precies pst in de helft vn een cirkel. Smengevt: stelling vn de cirkel en de rechthoekige driehoek De schuine zijde vn een rechthoekige driehoek is de middellijn vn een cirkel die door het punt met de rechte hoek gt. An de hnd vn de volgende opgve zie je dt het ook sterk smenhngt met de meer lgebrische opgven vn de vorige bldzijde Nogmls AM = MC! In deze figuur is x de fstnd vn M tot D. C. Geef ook p en q in de figuur n, zols die eerder gebruikt zijn. Lt zien dt p = ½ c -x b h b. Geef een soortgelijke formule voor q. A D x M c B 25

26 10: De stelling vn Thles c. Leidt nu uit h 2 = pq door invullen en uitwerken vn het product f dt CM = ½ c. Net ls bij de stelling vn Pythgors, is hier een omkering vn. Dt is de zogenmde stelling vn Thles. Drbij g je uit vn een driehoek, die in de hlve cirkel pst. Stelling vn Thles Als PQ de middellijn is vn een cirkel, en R ligt op die cirkel, dn is hoek QRP recht De stelling vn Thles; met hulp vn lgebr bewezen Nu gn we uit vn deze figuur, wrin O het midden vn PQ is en geldt: OP = OQ = OR. Voor het gemk noemen we dt even r. Er is dus een cirkel met middellijn PQ, middelpunt O, wr R op ligt en de strl vn die cirkel is r. R P O Q. Zet letters r op de juiste pltsen. b. We willen lten zien dt PRQ recht is. Teken dus de lijnen PR en RQ. Zet er letters s en t bij. c. Nu moeten we gn rekenen, en uiteindelijk vi Pythgors de slotconclusie trekken. Welk lgebrïsch verbnd tussen s, t en r moeten we dn uiteindelijk ntonen? d. Er is nog niet zoveel houvst, geen rechte hoek te zien. Voeg weer de loodlijn uit R op PQ toevoegen. Noem het voetpunt U en noem OU nu x en UR y. Voeg de letters n de tekening toe. e. Wrom geldt in ieder gevl x 2 + y 2 = r 2? f. Druk nu s 2 en t 2 ook in x, y en r uit en leid de het verbnd tussen s, t en r f. 26

27 10: De stelling vn Thles 10.4 De stelling vn Thles; meetkundig bewezen We gn uit vn dezelfde figuur. Voeg weer de letter r toe bij de gelijke lijnstukken.. De figuur bevt twee gelijkbenige driehoeken. Lt met tekentjes ls # en * zien welke hoekgelijkheden druit volgen. b. De figuur bevt ook een hoek die gelijk is n #+#. c. Zet ## in die hoek en geef een redenering die dit onderbouwt. P O R Q d. Er is één hoek over. Die is ntuurlijk geschikt voor **. e. Hoe kun je nu met behulp vn de tekentjes concluderen dt de hele hoek bij R 90 is? 27

28 11: Smenvtting 11: Smenvtting A: Er wren drie meetkundige onderwerpen I: Pythgors Je leerde de stelling vn Pythgors zelf en de omkering ervn beter kennen. In beide stellingen gebruik je de kwdrten vn de lengte vn de zijde; dt zijn de oppervlktes vn de vierknten die je op de zijden kunt tekenen. De Stelling vn Pythgors In een rechthoekige driehoek zijn de oppervlktes vn de vierknten rond de rechte hoek smen gelijk n de oppervlkte vn het derde vierknt. Omkering vn de Stelling vn Pythgors Als in een driehoek de oppervlktes vn de vierknten op twee zijden smen gelijk zijn n de oppervlkte vn het vierknt op de derde zijde, dn heeft de driehoek een rechte hoek tegenover de derde zijde. Bij de omkering hoort een nvulling; die zegt iets over de hoek tegenover de derde zijde ls er geen gelijkheid is. je moet in de omkerings stelling een pr worden vervngen. Zo: Pythgors; nvulling stomp-recht-scherp... smen gelijk zijn n..., dn... rechte hoek smen groter zijn dn..., dn... scherpe hoek smen kleiner zijn dn..., dn... stompe hoek... Je hebt gezien: hoe je de stellingen kunt bewijzen op verschillende mnieren: met meetkunde en met lgebr dt je de stelling op llerlei mnieren kunt toepssen dt je bij het werken met de stelling vk wortels tegenkomt in uitkomsten en hoe je met wortels kunt rekenen. II: Gelijkvormigheid en hoeken Je leerde een nuwkeurige omschrijving vn gelijkvormigheid vn twee driehoeken kennen. Smengevt : Wnneer zijn twee driehoeken gelijkvormig?. Als de lengteverhoudingen vn de zijden in de ene driehoek gelijk zijn n de lengteverhoudingen in de ndere driehoek. Of b. Als twee hoeken vn de ene driehoek gelijk zijn n twee hoeken vn de ndere 28

29 11: Smenvtting De gelijkvormigheid vn driehoeken ABC en PQR noteer je zó, dt je rekening houdt met de volgorde vn de punten. ABC ~ PQR Geheugensteun Welke verhoudingen vn zijden moeten overeenkomen, kun je nu flezen Hier is AB : AC = PQ : PR, n twee knten ngegeven. ABC ~ PQR Jemg bijvoor beeld NIET concluderen: AC : BC = PQ : PR Om gelijkvormigheid te herkennen, moet je drom goed gelijke hoeken kunnen vststellen. Over hoeken heb jedrom twee dingen teruggezien.. De hoeken vn elke driehoek zijn smen 180 b. Als je twee evenwijdige lijnen snijdt met een derde lijn, ontstn bij de twee snijpunten verschillende gelijke hoeken. Die kun je vinden met behulp vn de Z- en F- figuur, Gelijkvormigheid en evenwijdigheid komen vk smen voor. De bsis hiervoor is deze smenhng:. Als in deze twee figuren de lijnen AB en DE evenwijdig zijn C B D E D C E A B dn is ABC ~ DEF Verhoudingen tussen getllen zijn belngrijk bij gelijkvormigheid. Je hebt geleerd hoe je met verhoudingen kunt rekenen. Je leerde welke verhoudingen vststellen welke verhoudingen in een figuur gelden en wt je dr met lgebr mee kunt doen. Bijvoorbeeld: C Als ABC ~ DEF A b F e d f E A D c B dn gelden bijvoorbeeld : b e d b : = e : d, -- = --, e = -- b, bd = e, b : e = : d d 29

30 11: Smenvtting Je hebt ook geleerd dt je gelijkvormigheid vn twee figuren kunt beschrijven met het begrip vergrotingsof verkleiningsfctor: vergrotings- of verkleiningsfctor De zijden vn de tweede driehoek kun je vinden door de zijden vn de eerste driehoek met een zelfde getl te vermenigvuldigen. Dt getl ken je ls je de eerste driehoek kent en één zijde vn de tweede. III: De stelling vn Thles en zijn omgekeerde Dits is de stelling zelf Stelling vn Thles Als PQ de middellijn is vn een cirkel, en R ligt op die cirkel, dn is hoek QRP recht. De omkering vn de stelling vn Thles kwmen we eerder tegen, ls stelling vn de cirkel en de rechthoekige direhoek. Nu zo: Omkering vn de stelling vn Thles De schuine zijde vn een rechthoekige driehoek is de middellijn vn een cirkel die door het punt met de rechte hoek gt. Bij de stelling vn Thles leerde je verschillende bewijzen kennen. Weer met meetkunde en met Algebr. Je zg ook dt je in de bweijzen eerdere stellingen (zols die vn Pythgors en over gelijkvormigheid) kunt gebruiken. Je ziet dt de theorie vn de meetkunde nieuwe wrheden opbouwt op l bekende wrheden. B: Er ws een belngrijke vier stppenmethode In dit blok gebruikte je een belngrijke methode, nmelijk hoe lgebr te gebruiken bij meetkundige problemen. In prgrf 4. het ws een vier stppenpln, dt goed werkt bij veel meetkunde problemen. De vier stppen in een notedop Vk wordt in probleem gegeven in de vorm : vind de lengte vn een bepld lijnstuk.. Schets mken bij het probleem, lsof de oplossing er l is. b. Gegevens en onbekenden invullen; ls getllen of letters. Gebruik x voor de onbekende. c. Vergelijking opstellen bij het verbnd dt er in de figuur is. d. Oplossen vn de vergelijking geeft de wrde vn de onbekend, dus de lengte vn het lijnstuk. C: Het belngrijkste vn dit hoofdstuk Het belngrijkste vn dit hoofdstuk stt ls het wre tussen de regels door. Je hebt een begin gemkt met het gebruiken vn lgebr bij meetkunde. De belngrijkste meetkundige bsisgereedschppen heb je leren kennen. Je hebt gemerkt dt veel onderwerpen in dit hoofdstuk met elkr te mken hebben en niet los vn elkr stn. In de volgende blokken zul je dt steeds terugzien. 30

31 12: Extr oefeningen 12: Extr oefeningen Pythgors gebruiken 12.1 Oefening. Iemnd meet de zijden en de digonlen vn een kmer op, om drmee te controleren of de kmer rechthoekig is (dt is vk niet precies zo!). Gebruikt hij de stelling vn Pythgors, of de omkering ervn? b. In de figuur hiernst zie je een rechthoekig rooster; de fstnd tussen de lijnen is steeds 1. De snijpunten vn de lijnen heten roosterpunten. Teken (zonder buiten de figuur te gn!) lijnstukken die roosterpunten verbinden. De lijnstukken moeten de lengtes hebben die hieronder stn. Als je zeker weet dt er een onmogelijke bij zit, moet je uitleggen hoe je dt weet Uitleg (eventueel): c. Geef drie roosterpunten A, B en C in de figuur n, zodt ABC stomp is, mr doe het zo dt het op het oog heel moeilijk te zien is de hoek niet recht is. d. In dit blok heb je verschillende bewijzen voor de stelling zelf leren kennen. Welke zou je gebruiken om iemnd de stelling uit te leggen, die niet zo goed in wiskunde is ls jij? Licht je ntwoord kort toe Terugkijken nr de figuur bij opgve Toon n dt dr geldt: q 2 p 2 = 2 b 2 b. Is het voor het gelden vn deze formule nodig dt hoek C recht is? Licht je ntwoord toe. 31

32 12: Extr oefeningen II: Gelijkvormigheid 12.3 Geef n wt wr is. Bij nee lt je ook een voorbeeld zien vn een situtie wr het niet klopt.. Als de twee hoeken vn de ene driehoek gelijk zijn n twee vn de ndere, dn zijn de driehoeken gelijkvormig. b. Als twee driehoeken elkrs spiegelbeeld zijn, zijn ze gelijkvormig. c. Als drie hoeken vn een vierhoek gelijk zijn n drie hoeken vn een ndere vierhoek, dn zijn de vierhoeken gelijkvormig Vierknt in driehoek. Hiernst is een rechthoekige driehoek getekend met rechthoekszijden 4 en 8. Precies pssend in de rechthoek en tegen de schuine zijde n, zit een vierknt.. Zet zelf letters en mten bij de figuur. b. Noteer de gelijkvormigheden die er zijn. c. Bepl de zijde vn het vierknt exct Fctoren gebruiken. Je hebt gezien dt ls twee driehoeken gelijkvormig zijn, dt er dn een fctor is wrmee je de zijden vn de ene kunt vermenigvuldigen om de zijden vn de ndere te krijgen.. Lees dt nog even n op bldzijde 23. b. Probeer het omgekeerde te bewijzen! G dus uit vn een driehoek met zijden, b, c en een met zijden p, q, r en dt er zo n fctor is. Er geldt dus: * f = p. Noteer twee soortgelijke verbnden en leidt f dt /c = p/r.. 32

33 12: Extr oefeningen III: De stelling vn Thles en zijn omgekeerde 12.6 Eén cirkel, één middellijn, één koorde In de figuur hier rechts is AB een middellijn vn de cirkel. AB = 6,5. Gegeven is punt C met AC = 3,3. (Een lijnstuk met de uiteinden op een cirkel heet een koorde). Bereken exct de lengte vn BC. B 12.7 Twee cirkels, twee middellijnen, twee koorden. Lt zien dt in de onderste figuur de (nog niet getekende koorden DE en EF op één rechte lijn liggen. A C D G Een zijstrtje Bij het werken met Pythgors kwmen vk wortels te voorschijn, dt ligt in de rd vn het beestje. De wortel uit twee hd een specile rol. Bij de digonl vn een vierknt hd je die nodig. E 12.8 Hier nog twee vrgen over het rekenen met wortels. F Bij deze twee voorbeelden moet je op de lege plekken getllen zetten zodt het klopt. Dt kn, en de methode vn opgve 3.11 kun je hier goed gebruiken = b = een belngrijke methode en twee wt lstigher voorbeelden! In dit blok gebruikte je een belngrijke methode, nmelijk hoe lgebr te gebruiken bij meetkundige problemen. Die methode g je nog vk gebruiken bij de Anlytische meetkunde. Hier volgen nog twee uitdgende voorbeelden. Drbij heb je llerlei onderdelen vn dit blok nodig; bij het tweede voorbeeld ook het rekenen met hoeken in de driehoek. In de ltste stp vn het vierstppenpln heb je bij llebei de problemen het oplossen vn een vergelijking vn de tweede grd nodig. Mr je gt merken dt je mr een vn de twee echt hoeft op te lossen. 33

34 12: Extr oefeningen Hoe dt zit? Proberen mr! 12.9 De methode gebruiken om een bijzondere rechthoek te vinden De gezochte rechthoek heeft korte zijde ter lengte 1. (We nemen in de tekening dr 5 cm voor) Met een lijn dwrs op de lengterichting kn elke rechthoek worden verdeeld in een vierknt en een kleinere rechthoek. Bij deze bijzondere rechthoek is het zo, dt de rechthoek zelf en de resterende rechthoek gelijkvormig zijn. De vrg is: Wt is de lengte vn die bijzondere rechthoek? Voer het vier-stppenpln uit!. b. c. d. 34

35 12: Extr oefeningen De methode gebruiken om een bijzondere driehoek te vinden De gezochte driehoek ABC is gelijkbenig en heeft bsis AB vn lengte 1. (Neem in je tekening dr weer 5 cm voor). De gelijkbenigheid zegt: AC = BC. In een schetsje lukt het ltijd mkkelijk een punt D op zijde BC te beplen, zodt ook ABD gelijkbenig is, dus dt AB = AD.. Probeer dt even op een kldje uit. b. Lt zien dt dn ABC ~ BDA Bij de bijzonder driehoek is het zo, dt de resterende driehoek ook weer gelijkbenig is. Dus AD = DC. Vn je kldje heb je wel gezien dt dt niet ltijd zo is. Dn is ABC echt bijzonder. De vrg is: Wt is de lengte vn AC? c. Voer het vier-stppenpln uit om AC te beplen d. In deze driehoek kun je ook de hoeken berekenen. Dt is een leuke puzzel, en je gt merken dt de driehoek l een keer in dit blok is voorgekomen... 35

36 .

37 13: Extr bld bij opgve : Extr bld bij opgve

38 13: Extr bld bij opgve

39 13: Extr bld bij opgve

40