1 Meetkunde en Algebra

Transcriptie

1 1 Meetkunde en Algebra

2 Het eerste deel van dit hoofdstuk is een bewerking van Meetkunde met coördinaten, Blok Redeneren met vormen, getallen en formules van Aad Goddijn ten behoeve van het nieuwe programma (015) wiskunde B vwo. Opgaven met dit merkteken kun je overslaan zonder de opbouw aan te tasten. * Bij opgaven met dit merkteken hoort een werkblad. Inhoudsopgave 1 Pythagoras, meetkundig en algebraïsch 1 Descartes aanpak 9 3 De stelling van Thales 13 4 De sinusregel 16 5 De cosinusregel 5 6 Samenvatting 8 7 Gemengde opgaven 9 8 Antwoorden 34 Bij dit hoofdstuk hoort de bijlage Rekenen met wortels. Uitgave juli 011 Colofon 011 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van den Broek, Dolf van den Hombergh Met medewerking van Josephine Buskes, Richard Berends, Gert Dankers, Sieb Kemme, Dick Klingens Op dit werk zijn de bepalingen van Creative Commons van toepassing. Iedere gebruiker is vrij het materialen voor eigen, niet-commerciële doeleinden aan te passen. De rechten blijven aan ctwo.

3

4 De bal moet binnen de foul lines blijven. De grens tussen infield en outfield is de grass line. Het is een deel van een cirkel met middelpunt M. Voor de afmetingen, zie het plaatje op de vorige bladzijde. (De maten zijn nu in feet, 1 foot 30 cm.) b. Bereken de afstand van de homeplate H tot het eindpunt R van de grass line in feet nauwkeurig. Tip. Teken een loodlijn vanuit M op een foul line. Als je de lengte hiervan niet kunt berekenen, bekijk dan de Rekentechniek over de graden driehoek. c. Bereken de oppervlakte van het infield. In de opgave hierboven heb je de stelling van Pythagoras gebruikt. In het volgende bewijzen we deze stelling opnieuw. En wel op verschillende manieren. We geven twee algebraïsche bewijzen; daarvoor moet je rekenen. We geven ook twee meetkundige bewijzen; daarvoor moet je redeneren. Pythagoras, geboren op het Griekse eiland Samos, leefde in de zesde eeuw voor Chr. Hij reisde naar Babylonië en Egypte en heeft daar waarschijnlijk zijn wiskundekennis opgedaan. Hij hield zich bezig met rekenkunde, meetkunde, muziek en astrologie. Pythagoras vestigde zich in Croton (een Griekse handelsstad in zuid Italië), waar hij een filosofische school stichtte, een soort religieuze sekte met een heleboel regels (die op de moderne mens eigenaardig overkomen). Pythagoras' grote verdienste is dat hij de dingen met getallen uitdrukte. De stelling van Pythagoras is naar hem genoemd. De stelling van Pythagoras is misschien wel de bekendste stelling uit de wiskunde. Elke middelbare scholier in Nederland leert hem. De stelling is minstens 500 jaar oud, en speciale gevallen van de stelling zijn nog ouder. Er zijn honderden bewijzen van de stelling. De meest bekende vorm van de stelling luidt: a + b = c ; dan moet je voor a, b en c wel de juiste zijden nemen, en weten dat hij voor rechthoekige driehoeken geldt. 1 Meetkunde en algebra

5

6

7

8

9

10

11

12 Omdat de wiskunde zekerheid bood, kon zo zekerheid in andere zaken bereikt worden. Als denker is Descartes een extreme rationalist: alleen het denken leidt de mens op weg naar de waarheid (en de ervaring der zintuigen of geloven bijvoorbeeld niet). De wiskunde van de tweede en derde stip publiceerde Descartes in 1637 in het slot-essay van zijn Discours de la Méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences met de ondertitel La Geometrie. Facsimile van de eerste bladzijde van La Geometrie van René Descartes (1637) Elk meetkundeprobleem is uiteindelijk het bepalen van lengtes van lijnstukken, stelde Descartes in de eerste zin van La Geometrie. Hij bedacht daarbij de volgende zeer algemene methode. Geef alle lijnstukken in de figuur namen (letters), bekende zowel als onbekende. Probeer één grootheid op twee verschillende manieren uit te drukken in de aldus benoemde lijnstukken. De uitdrukkingen zijn gelijk, dat geeft een vergelijking. Los de onbekende uit de vergelijking op. Dan is alles bekend in de figuur en het probleem opgelost. 1 Meetkunde en algebra 10

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23 11 Van driehoek ABC is gegeven: α=30, b=6 en a=4. a. Teken driehoek ABC zo nauwkeurig mogelijk. Er zijn twee mogelijkheden, één waarbij hoek B stomp is en één waarbij hoek B scherp is. b. Wat is het verband tussen de scherpe hoek B in de ene driehoek en de stompe hoek B in de andere? c. Bereken sinβ. Welke mogelijkheden voor β volgen hieruit? d. Bereken γ en c voor het geval dat hoek B scherp is en ook voor het geval dat hoek B stomp is. 1 De sinusregel toegepast op een gelijkbenige driehoek met basishoeken α en opstaande zijden 1 geeft: sin(180 α) = sinαcosα. a. Leg dat uit. De oppervlakteformule toegepast op een gelijkbenige driehoek met basishoeken α en opstaande zijden 1 geeft: sin(180 α) = sinαcosα. b. Leg dat uit. In de praktijk Een landmeter kan met zijn theodoliet eenvoudig en nauwkeurig hoeken meten (op 0,0001 nauwkeurig!). Het opmeten van afstanden is veel moeilijker. (Hij moet bijvoorbeeld omlopen omdat er een heg of een sloot is.) Hij beperkt zich tot het nauwkeurig meten van één afstand. Om de overige afstanden te bepalen, meet hij hoeken. De afstanden berekent hij dan met trigono-metrie (= driehoeksmeting; het Griekse woord γóνυ (gonu) betekent hoek). Dat heet in de landmeetkunde voorwaartse insnijding. Deze methode werkt alleen in de lagere geodesie, de landmeetkunde waarbij het aardoppervlak als plat kan worden beschouwd. Hoe het werkt, zie je in de volgende opgave. De eerste driehoeksmeting werd uitgevoerd door Willebrord Snel van Royen uit Leiden. Hij bepaalde de afstand tussen Bergen op Zoom en Alkmaar met behulp van een netwerk van aaneengesloten driehoeken tussen torens in veertien steden. Op al deze punten voerde hij richtingsmetingen naar enkele van de andere torens uit. Onder andere in een weiland bij Leiden werd door hem een basis (afstand) gemeten waarmee hij, via een aantal hulpdriehoeken, de grootte van het driehoeksnet bepaalde. Uit: 175 jaar kadaster GEO-INFO Bij de berekeningen die hierbij uitgevoerd moesten worden, moet je denken aan die in de volgende opgave. 1 4 De sinusregel

24

25

26

27

28

29

30 6 Samenvatting Hoe luidt de meetkundige en hoe de algebraïsche versie van de stelling van Pythagoras? Hoe luidt de omgekeerde stelling van Pythagoras? Stelling van Thales In een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die rechthoekige driehoek. Omgekeerde stelling van Thales Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op een zijde ligt, dan is de hoek tegenover die zijde recht. Als 90 <α<180, dan: sinα = sin(180 α) cosα=- cos(180 α) A α b c C γ a β B De oppervlakte van driehoek ABC is 1absinγ. sin α sin β sin γ Sinusregel = = a b c Cosinusregel a = b + c bc cos α Maak een opgave waarin je de sinusregel moet gebruiken. waarin je de cosinusregel moet gebruiken. Als je de sinus van een hoek kent, ken je de hoek zelf nog niet. Als je de cosinus van een hoek kent, ken je de hoek wel. Leg dat uit. Descartes aanpak Geef alle lijnstukken in de figuur namen (letters), bekende zowel als onbekende. Probeer één grootheid op twee verschillende manieren uit te drukken in de aldus benoemde lijnstukken. De uitdrukkingen zijn gelijk, dat geeft een vergelijking. Los de onbekende uit de vergelijking op. Dan is alles bekend in de figuur en het probleem opgelost. 1 Meetkunde en algebra 8

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49 C A B 1 Meetkunde en algebra werkblad 1

50 7.6 C A B C A B C A B 1 Meetkunde en algebra werkblad

51 1 Bijlage 1 Rekenen met wortels

52 Deze bijlage hoort bij het hoofdstuk 1 Meetkunde en Algebra juli 011 Opgaven gemarkeerd met kunnen worden overgeslagen. Uitgave juli 011 Colofon 011 ctwo Auteurs Aad Goddijn, Leon van den Broek, Dolf van den Hombergh Met medewerking van Josephine Buskes, Richard Berends, Sieb Kemme, Dick Klingens Illustraties Op dit werk zijn de bepalingen van Creative Commons van toepassing. Iedere gebruiker is vrij het materialen voor eigen, niet-commerciële doeleinden aan te passen. De rechten blijven aan ctwo.

53 5 1 Wortels vereenvoudigen 1 Dit is een herhaling van derdeklasstof. 1 De driehoek hiernaast is rechthoekig. a. Ga dat na. Bekijk de vier driehoeken met zijden 1, en 1; 1, 1, 1 1 ; 4 6, 1, en 180 ; 5, 5 en 5. Deze zijn rechthoekig. b. Ga dat voor de eerste in de serie na. Omdat de rechthoekszijden zich verhouden als 1:, is elke driehoek uit de serie gelijkvormig met de driehoek hiernaast. Door de driehoek met zijden 1, en 5 met 1 te vermenigvuldigen, krijg je de driehoek met zijden 1, 1, 1 1 (Vergelijk de kortste rechthoekszijden.) 4 Dus 1 1 = c. Hoe volgt met gelijkvormigheid dat 180 = 6 5? d. De driehoeken met zijden 5, 5 en 5 en 1, en 1 zijn gelijkvormig. Hoe volgt hieruit dat 1 = 1 5? 5 5 In opgave 1 hebben we met gelijkvormigheid gezien dat: 1 1 = 1 5, 1 = 1 5, 180 = We noemen dit vereenvoudigen van wortels. Je kunt dat ook puur algebraïsch doen: = 5 = = = = 5 = = = = 36 5 = Bijlage 1 Rekenen met wortels 1

54 Op de middelbare school is het gebruik om wortels zo eenvoudig mogelijk te schrijven, dat betekent: schrijf een zo klein mogelijk geheel getal achter het wortelteken: 18 = 9 = 3, schrijf geen wortel in de noemer: = = = 1 6, laat geen breuken onder het wortelteken staan: 6 6 = 6 = = = Schrijf de volgende wortels zo eenvoudig mogelijk. a b. c De en de graden driehoek In de tweede klas heb je het volgende al gezien. In een graden driehoek (halve regelmatige driehoek) verhouden de zijden zich als 1: 3 :. In een graden driehoek (half vierkant) verhouden de zijden zich als 1:1: 1 1 C A B 3 Van een gelijkbenige driehoek is de tophoek 10 en de gelijke benen zijn 1. Bereken exact de basis. 4 Het trapezium hiernaast is opgebouwd uit twee en twee graden driehoeken. De kortste zijde is 6. Bereken de lengte van de andere zijden en de diagonalen exact. Schrijf de wortels in je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

55 Voorbeeld De vergelijking 3 + 3x + 1 = 10x 1 los je op door kwadrateren: 3 + 3x + 1 = 10x x x + 1 = 10x 1 6 3x + 1 = 7x x + 36 = 49x 154x x 6x + 85 = 0 x=5 of x = Alleen x=5 voldoet aan de oorspronkelijke vergelijking. 17 x 5 De rechthoekige driehoek hiernaast heeft schuine zijde 17 en omtrek 40. Een van de rechthoekszijden noemen we x. a. Laat zien dat x + 89 x = 3. b. Los de vergelijking in a exact op. 6 Los op: a. x = x + b. x = x + c. x = x Hiernaast is een vierkant in een rechthoekige driehoek getekend. Verder zie plaatje. a. Druk alle lijnstukken in het plaatje uit in x. 1 1 x Blijkbaar geldt: ( x + 1) + ( 1 ) x + 1 = 1 + x x b. Leg dit uit met het plaatje. c. Bewijs de gelijkheid puur algebraïsch. C Wortels vereenvoudigen b h a 8 In driehoek ABC is CD een hoogtelijn. Verder is gegeven: A D B CD=1, AD = 1, BD = + 1. a. Bereken a en b en toon aan dat driehoek ABC rechthoekig is. Omdat BD = h = AD BD geldt dat AD = 1 en + 1elkaars omgekeerde zijn, dus: Bijlage 1 Rekenen met wortels 3

56 1 = b. Controleer dat algebraïsch. Voorbeeld Ook (bijvoorbeeld) mer schrijven = = = , kun je zonder wortel in de noe Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer k A P B 1 P De loodrechte projectie van P op k is P en PP =1. A en B liggen op k en AB=8. B ligt 4 verder van P dan A. Stel een vergelijking op om de afstand van A tot P te berekenen en los die vergelijking op. 4

57 Antwoorden 1 a. b. 1 + = = c. De driehoek met zijden 6, 1, en 180 ontstaat uit die met zijden 1, en 5 door met 6 te vermenigvuldigen. d. Als je de driehoek met zijden 5, 5 en 5 met 4 vermenigvuldigt, krijg je de driehoek met zijden 1, en 1. (Let op de derde zijde.) Dus 1 = 1 5. (Let op de eerste zijde.) 5 5 A C M B a b c Het midden van AB noemen we M, dan is ACM een graden-driehoek. Dus CM=1 en AM=1 3, dus AB= 3. 4 Twee zijden zijn: 6, een zijde is 6 3 en de diagonalen zijn: a. De andere rechthoekszijde is 89 x rechthoekszijden samen zijn 40 17=3. b. 8, 15 De twee 6 a. Kwadrateren geeft: x = x + x x = 0 x x + 1 = 0 x = of x =. ( )( ) 1 Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen x=. b. Kwadrateren geeft: x = x + x x = 0 x x + 1 = 0 x = of x =. ( )( ) 1 Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen x=-1. c. x = x + x = x Kwadrateren geeft: x 4x + 4 = x x 5x + 4 = 0 x 1 x 4 = 0 x = of x = 4. ( )( ) 1 Aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet alleen x=4. Bijlage 1 Rekenen met wortels 5

58 b c 1 d 7 a. a = x + 1 ; b 1 1 = x, dus b = 1 (gelijkvormigheid van x de twee kleinere driehoeken). Verder c = x 1 1 a x De rechthoekszijden van de grote driehoek zijn: x+1 en 1+, dus d= ( ) ( 1 ) 1 x x x Anderzijds d=a+c= x + 1. x b. ( ) ( 1 ) x + 1 = x Kwadrateren x x geeft: 1 ( ) ( 1 ) x + 1= x x x We bekijken eerst de linkerkant. Het deel x + x ( x + 1) x 1 1 x + 1 = + 1 x + 1 = = x + 1 x x x x dus de linkerkant is: +, x x + 1 = x x + 1 x x x x = x x +. x x en de rechterkant is: ( x + 1) + ( 1+ 1 ) = x + x x x x Klopt! a, 8 a. = ( + 1) + 1 = 4 + b = ( 1) + 1 = 4 en c = ( ) = 8 a + b = c, dus b. 1 = + 1? Kruislings vermenigvuldigen geeft: 1 ( 1)( 1) = 1 + en dat klopt. 9 Schrijf de volgende vormen zonder wortel in de noemer = = = = 15 3 ( 5 17 ) = = Noem die afstand x, dan AP = x + 1 en 6

59 ( 8 ) + 1 BP = x, dus: ( 8 x) + 1 x + 1 = 4 ( 8 x ) + 1 = x Kwadrateren geeft: 65+x = x x x= 8 x + 4 x= x + Nogmaals kwadrateren geeft: 16 16x+4x =x + x 8x+7=0 x=1 of x=7. Bijlage 1 Rekenen met wortels 7

60 8