gelijkvormigheid handleiding inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek

Transcriptie

1 gelijkvormigheid inhoudsopgave 1 de grote lijn 2 applets 3 bespreking per paragraaf 4 tijdsplan 5 materialen voor een klassengesprek gelijkvormigheid

2 gelijkvormigheid 1 de grote lijn hoofdlijn de zijlijn Uitrekken in één richting geeft vertekening. In gelijke mate uitrekken in twee onderling loodrechte richtingen geeft een zuivere vergroting zonder vertekening. In gelijke mate uitrekken in twee onderling loodrechte richtingen is te beschouwen als vermenigvuldigen vanuit een punt. Bij vermenigvuldigen vanuit een punt - worden alle lengtes met dezelfde factor vermenigvuldigd, - blijven alle hoeken even groot - en lopen corresponderende zijden evenwijdig. (Dit wordt allemaal vastgesteld vanuit aanschouwing.) Oefenen in tekenen en rekenen bij vermenigvuldigen vanuit een punt, ook met negatieve factor Een interessante toepassing: de pantograaf. Vergroten met factor k geeft vergroting van de oppervlakte met k 2. Vergroten en gelijkvormigheid. Kenmerk voor gelijkvormigheid van rechthoeken: het quotiënt van lengte en breedte is gelijk A-formaten in papier. Kenmerken voor gelijkvormigheid van driehoeken: zzz, hh en zhz (vastgesteld vanuit aanschouwing). Oefenen in rekenen met gelijkvormigheid.

3 gelijkvormigheid Verkenning van de regelmatige vijfhoek, met behulp van symmetrie-eigenschappen. Definitie van de gulden snede en van de gulden rechthoek Herhaling van het algoritme van Euclides voor het bepalen van de GGD van twee getallen. De GGD is hier de grootste gemeenschappelijke maat van die twee getallen. Enkele links ter illustratie van zin en onzin over de gulden snede ϕ en 1 hebben geen gemeenschappelijke maat. Met de Euclides2Applet kunnen de leerlingen uitvinden dat bijvoorbeeld 2, 3,... met 1 geen gemeenschappelijke maat hebben. Ondersteund door een reeks plaatjes kunnen de leerlingen de exacte waarde van ϕ berekenen. 2 applets \apa{gullivrijapplet} bij f Deze applet is overgenomen van het Freudenthal Instituut. Je kunt een foto in twee richtingen uitrekken en dan nagaan wat de oppervlakte is in vergelijking met de oorspronkelijke foto. \app{euclidesapplet bij e Deze applet past op aanschouwelijke wijze het algoritme van Euclides toe bij het bepalen van de GGD van twee getallen. \app{euclides2applet}bij , , Deze applet maakt aanschouwelijk dat bijvoorbeeld 7 en 1 geen gemeenschappelijke maat hebben. Dat komt omdat er in het proces van Euclides twee rechthoeken optreden die gelijkvormig zijn met elkaar. Daardoor treedt er herhaling op tot in het oneindige. Ook leerlingen van hogere klassen kunnen met deze applet verkenningen uitvoeren, bijvoorbeeld naar de tingbreukontwikkeling van wortels van natuurlijke getallen. \app{latjesapplet} bij Je kunt zelf een latjesvierhoek tekenen en kijken welke vormen die kan aannemen.

4 gelijkvormigheid 3 bespreking per paragraaf uitrekken en vergroten De introductie gaat over beeldschermen, normaal en breedbeeld. Dat geeft de gelegenheid om nog eens te rekenen met verhoudingen en voor omrekenen van cm naar inches en terug. Met de FI-applet Gullivrij kunnen leerlingen experimenteren met het verband tussen vermenigvuldigen en oppervlakte. Bovendien geeft het een voorzet voor de samenhang tussen vermenigvuldigen in twee onderling loodrechte assen (met dezelfde factor) en vermenigvuldigen ten opzichte van het snijpunt van die twee assen. Daarna wordt vermenigvuldigen vanuit een punt gedefinieerd. Met behulp van een plaatje worden drie belangrijke eigenschappen vastgelegd: alle lengtes worden met dezelfde factor vemenigvuldigd, alle hoeken blijven even groot en tenslotte lijn en beeldlijn zijn evenwijdig. De leerlingen krijgen vervolgens diverse opgaven over puntvermenigvuldigen, ook met een negatieve factor. De pantograaf is een toepassing van gelijkvormigheid. In de rest van de paragraaf komen nog een flink aantal opgaven. Hierin gaat het om rekenen met vergrotingen, ook bij oppervlakten. gelijkvormige figuren In de tweede paragraaf wordt het algemenere begrip gelijkvormigheid geïntroduceerd. In het vervolg wordt dat vooral beperkt tot gelijkvormige rechthoeken en gelijkvormige driehoeken. Voor beide gevallen worden gelijkvormigheidskenmerken vastgesteld, weer uit de aanschouwing. Dan volgt er weer een flink aantal opgaven waarin geoefend wordt in het zien van gelijkvormigheid en rekenen daarmee. de gulden snede De derde paragraaf gaat over de gulden snede. Daar kun je op het vwo toch niet aan voorbijgaan. De gulden snede wordt geïntroduceerd vanuit de regelmatige vijfhoek. Dan volgt een definitie, samen met een definitie van de gulden rechthoek en het gulden getal φ. De pagina wordt afgesloten met enkele links voor meer informatie over de gulden snede in kunst en architectuur, en ook over de magische betekenis van de regelmatige vijfhoek. Het gulden getal φ is in zekere zin ook een zeer voor de hand liggend irrationaal getal. Het heeft met 1 geen gemeenschappelijke maat. Dat is heet duidelijk als je het algoritme van Euclides toepast op de getallen 1 en φ. Al na één stap krijg je een rechthoek die gelijkvormig is met de

5 gelijkvormigheid beginrechthoek. Daaruit volgt al de volgende stappen rechthoeken opleveren die gelijkvormig zijn met de beginrechthoek en daarom is het proces niet eindig. Je vindt geen gemeenschappelijke maat. Ook bij wortels van natuurlijke getallen (geen kwadraten) treden in het proces van Euclides algoritme rechthoeken op die gelijkvormig zijn met rechthoeken uit eerdere stappen. Die wortels zijn dus ook irrationaal. Met een tweede versie van de Euclides applet kunnen leerlingen het optreden van die gelijkvormigheid zien en narekenen. Het algoritme van Euclides hangt nauw samen met kettingbreuken. Wortels van natuurlijke getallen hebben repeterende kettingbreuken. Daar valt veel aan te ontdekken voor leerlingen. Als het nu niet is, dan wellicht in een later stadium. Tenslotte wordt uitgelegd hoe groot φ precies is. Omdat de leerlingen nog niet geleerd hebben hoe je kwadratische vergelijkingen kunt oplossen, is gekozen voor een meetkundig verhaal dat voor goede en geïnteresseerde leerlingen toegankelijk zou moeten zijn. onderzoek 1 gelijkvormige vierhoeken De leerlingen moeten zelf gelijkvormigheids kenmerken bedenken voor de verschillende typen vierhoeken. Hierdoor zullen ze de functie van de gelijkvormigheids kenmerken voor rechthoeken en driehoeken waarschijnlijk beter begrijpen. 2 congruente driehoeken Dit is een sterk gestuurd onderzoek. Congruentie speelt geen belangrijke rol in de meetkundelijn van Ratio. Dit onderzoek heeft meer een inleidend karakter. Het bereid voor op het hierna volgende latjesonderzoek. 3 latjes en congruentie Met vier latjes en vier spijkers kun je een vierhoek maken. Die vierhoeken zijn niet star; je kunt ze vervormen. Met een applet kun je daarmee experimenteren. Door er nog een vijfde latje aan toe te voegen, kun je de constructie wel star maken, onder bepaalde voorwaarden. Hoe? Wat zijn die voorwaarden? Je kunt daarna ook kijken naar vijfhoeken van latjes, zeshoeken van latjes, enzovoort. In het tweede deel van dit onderzoek wordt gevraagd naar congruentiegevallen voor vierhoeken. 4 hoogte bepalen met een kwadrant Dit onderzoek is een bewerking van het artikel Hoogten meten met een geometrisch kwadrant, Pythagoras jaargang 21, nr 2 van november penrose tegels Met behulp van een link naar een engelstalige site kunnen de leerlingen variaties aanbrengen in een Penrose betegeling.

6 gelijkvormigheid 4 Tijdsplan Uitrekken en vergroten Gelijkvormige figuren De gulden snede Onderzoek Proeftoets Toets 3 lessen 3 lessen 3 lessen 1 les 1 les 1 les

7 gelijkvormigheid 5 materialen voor een klassengesprek gereedschappen 1 vergroten en oppervlakte 2 vermenigvuldigen vanuit een punt 3 bij puntvermenigv. het centrum zoeken 4 vermenigvuldigen met neg. factor 5 de pantograaf 6 rekenen met vergroten 7 kenmerk voor gelijkv. rechthoeken 8 kenmerken voor gelijkv. driehoeken 9 rekenen met gelijkvormigheid 10 wat je weet van regelm. vijfhoeken 11 gulden snede en gulden rechthoek 12 irrationale getallen en ggd Vragen Gegeven een parallellogram ABCD met diagonaal DB. Op deze diagonaal ligt punt X. De lijnen door X evenwijdig aan de zijden van het parallellogram snijden de zijden van het parallellogram achtereenvolgens in de punten P, Q R en S. (Zie plaatje.) 1. Leg uit dat vierhoeken APXS en CRXQ dezelfde oppervlakte hebben, waar je X ook kiest op de diagoanaal DB. 2. Als je X zo kiest dat de oppervlakte van vierhoek PBQX het 9 1 deel is van de oppervlakte van parallellogram ABCD, bereken dan de oppervlakte van de andere gebieden waarin het parallellogram is verdeeld. (Een moeilijker variant: Als je X zo kiest dat de oppervlakte van vierhoek APXS het 9 2 deel is van de oppervlakte van parallellogram ABCD, bereken dan de oppervlakte van de andere gebieden waarin het parallellogram is verdeeld. ABCD is een vlieger. Het snijpunt van de diagonalen is S. 1 DAB = DCB = 90 en DS = DC. 2 Gegeven is bovendien dat opp SCD =5. Bereken de oppervlakte van de vlieger.

8 gelijkvormigheid hoofdzaken Twee figuren zijn gelijkvormig als er een vergroting is van de ene die precies op de andere past. De gelijkvormigheids kenmerken van rechthoeken en van driehoeken. Rekenen met gelijkvormigheid (lengte en oppervlakte). De eigenschappen van een regelmatige vijfhoek. De gulden snede en gulden rechthoeken. Irrationaliteit en GGD. samenhang Gelijkvormigheid een van de krachtigste gereedschappen voor het berekenen van afstanden, oppervlaktes en inhouden. Gelijkvormigheid bereid voor op goniometrie in de zin van hoekmeetkunde. leerling-opgaven Teken een willekeurige driehoek ABC en teken de middens P, Q en R van achtereenvolgens BC, CA en AB. Bedenk een som over de oppervlakte van de driehoeken ABC en PQR. Maak een opgave over het gewicht of de inhoud van twee gelijkvormige voorwerpen. Maak een opgave over een zandloperfiguur in een trapezium.